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Grundlagen zu Exponentialfunktionen

Exponentialfunktionen, ihre Eigenschaften und ihre Anwendung im Alltag

Was ist eine Exponentialfunktion?

Um Funktionen zu klassifizieren, unterscheiden wir, ob sich die Variable $x$ in der Basis oder im Exponenten befindet. Bei Potenzfunktionen befindet sich die Variable in der Basis, wir schreiben folgende Funktionsgleichung:

$f(x) = x^{a}$

Dagegen befindet sich die Variable bei Exponentialfunktionen – wie der Name schon sagt – im Exponenten und die Funktionsgleichung hat dann folgende Form:

$f(x) = a^{x}$

Die Basis $a$ bleibt konstant, während für den Exponenten verschiedene Zahlen eingesetzt werden können. Es gilt:

$a\in\mathbb{R}^{+}\setminus\{1\}$

Die Basis $a$ ist also eine positive reelle Zahl außer $1$. Dies ist damit zu begründen, dass wir im Falle $a = 1$ mit $f(x) = 1^{x} = 1$ eine Parallele zur $x$-Achse, also eine konstante Funktion hätten.

Des Weiteren darf $a$ keinen negativen Wert annehmen, wenn wir beispielsweise folgende Darstellung für $a = -2$ und $x = \frac{3}{4}$ betrachten:

$\begin{array}{lll} f(\frac{3}{4})&=&(-2)^\frac{3}{4}\\ &=&\sqrt[4]{(-2)^3}\\ &=&\sqrt[4]{-8} \end{array}$

Wir bekommen für diesen Fall kein reelles Ergebnis, da sich aus negativen Zahlen nicht die vierte Wurzel ziehen lässt.

Eigenschaften von Exponentialfunktionen

Im Folgenden betrachten wir einige Beispiele und Eigenschaften von Exponentialfunktionen.

Beispiele für Exponentialfunktionen

In einer Exponentialfunktion finden wir immer eine positive Basis ungleich $1$ und einen Exponenten, der die Variable enthält. Deshalb können wir für die Basis $a$ ganze Zahlen, Brüche und irrationale Zahlen einsetzen, wie folgende Beispiele zeigen:

$f(x) = 2^{x} \\ f(x) = \frac{1}{2}^{x} \\ f(x) = \sqrt{17}^{x} \\ f(x) = 4\cdot 2^{x} \\ f(x) = 4\cdot 2^{3\cdot x - 0,1} - 23\cdot x$

Definitions- und Wertebereich

Betrachten wir die allgemeine Funktionsgleichung $f(x) = a^{x}$ mit $a \in\mathbb{R}^{+}\setminus {1}$, so erkennen wir, dass der Definitionsbereich die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ und der Wertebereich die reellen Zahlen größer $0$, also $\mathbb{R}^+$ umfasst. Für $a=1,5$ kann man diese Eigenschaft dem folgenden Funktionsgraphen entnehmen:

steigende Exponentialfuntkion

Monotonie und Verhalten

In der obigen Abbildung für $a=1,5$ erkennen wir, dass der Graph für $a\gt1$ streng monoton steigt. Es gilt nämlich:

$x_1 \lt x_2 ~ \rightarrow ~ a^{x_1}\lt a^{x_2}$

Für positive $x$-Werte streben die Funktionswerte gegen $\infty$, für negative $x$-Werte streben die Funktionswerte gegen $0$.

fallende Exponentialfunktion

Betrachten wir nun den Fall $0\lt a\lt 1$, so ist der Graph streng monoton fallend. Diese Eigenschaft können wir dem obigen Graphen für $a=0,5$ ebenfalls entnehmen. Es gilt nämlich:

$x_1 \lt x_2 ~ \rightarrow ~ a^{x_1}\gt a^{x_2}$

Für positive $x$-Werte streben die Funktionswerte gegen $0$, für negative $x$-Werte streben die Funktionswerte gegen $\infty$.

Funktionsgleichung am Graphen bestimmen

Wir können für die allgemeine Exponentialfunktion $f(x) = b\cdot a^{x}$ eine nützliche Eigenschaft hinzuziehen. Es gibt immer zwei Punkte, die Elemente des Graphen sind:

  • Der Punkt $(0|b)$ folgt aus $f(0) = b\cdot a^{0} = b\cdot 1 = b$. In diesem Punkt schneidet der Graph die $y-$Achse.
  • Der Punkt $(1|ab)$ folgt aus $f(1) = b\cdot a^{1} = b\cdot a = ab$.

Exponentialfunktion

Aus dem obigen Graphen entnehmen wir den $y$-Achsenschnittpunkt $S_y(0\vert 2)$. Es gilt also $b = 2$ und somit folgt aus dem Punkt $(1\vert ab)$:

$\begin{array}{llll} f(1) &=& 5 & \\ b\cdot a^1 &=& 5 & \vert b=2\ \text{einsetzen} \\ 2\cdot a &=& 5 & \vert :2 \\ a &=& 2,5 & \end{array}$

Daraus folgt schließlich $a = 2,5$ und wir erhalten für den abgebildeten Graphen folgende Funktionsgleichung:

$f(x) = 2\cdot 2,5^{x}$

Anwendungsbeispiele

Exponentialfunktionen spielen in der Mathematik eine sehr wichtige Rolle, um Wachstums- und Zerfallsprozesse darzustellen. Sie lassen sich in folgender Form schreiben:

$f(x) = b\cdot a^{x}$

Zunächst beschäftigen wir uns mit dem Wachstumsprozess einer Bakterienkultur, die anfangs aus $100$ Bakterien besteht und sich stündlich verdoppelt.

$\begin{array}{lllllll} t = 0 && 1000 &=& 1000\cdot 1 &=& 1000\cdot 2^0 \\ t = 1 && 2000 &=& 1000\cdot 2 &=& 1000\cdot 2^1 \\ t = 2 && 4000 &=& 1000\cdot 2\cdot 2 &=& 1000\cdot 2^{2} \\ t = 3 && 8000 &=& 1000\cdot 2\cdot 2\cdot 2 &=& 1000\cdot 2^{3} \end{array}$

Zum Zeitpunkt $t$ erhalten wir dann:

$N = 1000\cdot \underbrace{2\cdot 2\cdot …\cdot 2}_{t\text{-mal}} = 1000\cdot 2^{t}$

So kann der Wachstumsprozess dieser Bakterienkultur mithilfe folgender Exponentialfunktion beschrieben werden:

$N(t) = 1000\cdot 2^{t}$

Unter $N(t)$ verstehen wir die Anzahl der Bakterien zum Zeitpunkt $t$.

Das nachfolgende Beispiel zeigt uns, wie wir eine Exponentialfunktion für radioaktiven Zerfall aufstellen, wenn sich die anfangs $1000$ Teilchen stündlich halbieren:

$\begin{array}{llrll} t = 0 && 1000 &=& 1000\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{0} \\ t = 1 && 500 &=& 1000\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{1} \\ t = 2 && 250 &=& 1000\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2} \\ t = 3 && 125 &=& 1000\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{3} \\ t = t && N &=& 1000\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t} \end{array}$

Für den beschriebenen Zerfallsprozess können wir die Anzahl der Teilchen zum Zeitpunkt $t$ ermitteln:

$N(t)= 1000\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t}$

In diesem Zusammenhang wird auch häufig mit der Halbwertszeit gerechnet. Damit ist die Zeit gemeint, die vergeht, bis sich die Menge eines Stoffes halbiert hat.