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Zyklotron (Übungsvideo)

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Jakob Köbner
Zyklotron (Übungsvideo)
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Grundlagen zum Thema Zyklotron (Übungsvideo)

In diesem Video werden drei Beispielaufgaben zum Zyklotron gerechnet. In der ersten Aufgabe sollst du eine Formel für die Winkelgeschwindigkeit herleiten. Die zweite Aufgabe dreht sich um die Geschwindigkeit eines Protons im Zyklotron und um einen um einen Vergleich zwischen Zyklotron und Linearbeschleuniger. Als letztes sollst du dann noch berechnen, welche magnetische Flussdichte nötig ist, um ein geladenes Teilchen auf 1/10 der Lichtgeschwindigkeit zu beschleunigen

Transkript Zyklotron (Übungsvideo)

Hallo und herzlich willkommen zu Physik mit Kalle. In diesem Video, das zum Gebiet Elektrizität und Magnetismus gehört, wollen wir einmal eine Beispielaufgabe zum Zyklotron rechnen. Wir betrachten einen Zyklotron, dessen Duanten einen maximalen Bahnradius r=0,5m zulassen. Zur Ablenkung geladener Teilchen wird ein Magnetfeld der Flussdichte B=0,5T verwendet. Aufgabe a: Leiten Sie eine Formel für die Winkelgeschwindigkeit ? her und erläutern Sie, unter welchen Umständen sie konstant ist. Welche Geschwindigkeit hat ein Proton, Masse m=1,67×10^-27 kg, Ladung Q=1,6×10^-19 C) nach der Beschleunigung durch das Zyklotron, und welche Beschleunigung muss ein Linearbeschleuniger haben, um die gleiche Endgeschwindigkeit zu erreichen? Aufgabe c: Berechnen Sie, auf welchen Wert die magnetische Flussdichte eingestellt werden müsste, damit die Endgeschwindigkeit genau 1/10 der Lichtgeschwindigkeit beträgt. Wenn ihr die Aufgabe selbst berechnen wollt, drückt bitte jetzt die Pausetaste. Dann könnt ihr gleich euren Rechenweg überprüfen. Die Protonen werden durch die Lorentzkraft auf der Kreisbahn gehalten. Das heißt, wir können den Ansatz Zentripetalkraft = Lorentzkraft wählen. Wir schreiben als (mv²)/r=Q×v×B. Ein Proton, das sich mit der Geschwindigkeit v auf der Kreisbahn r bewegt, hat die Winkelgeschwindigkeit ?. Wir wissen: v=?×r oder, umgestellt: die Winkelgeschwindigkeit ?=v/r. Aus meinem Ansatz kann ich gleich ein v wegkürzen und damit schreiben Q×B=m×(v/r) oder, wenn ich für v/r gleich ? einsetze =m×?. Und daraus folgt ?=(Q×B)/m. Jetzt haben wir unsere Formel für die Winkelgeschwindigkeit hergeleitet. Als nächstes sollen wir erläutern, unter welchen Umständen sie konstant ist. Dazu müssen wir uns nur ihre Bestandteile ansehen. Die Ladung Q unseres Protons ändert sich nicht, und wenn die Flussdichte B des Feldes konstant bleibt, kommt es also nur noch auf die Masse m an. Die Masse eines Teilchens ändert sich nur, wenn man in relativistische Bereiche vordringt, also wenn die Geschwindigkeit ? 1/10 der Lichtgeschwindigkeit ist. Unser Antwortsatz lautet also: Die Winkelgeschwindigkeit ? ist konstant, wenn sich die magnetische Flussdichte nicht ändert und die Geschwindigkeit v<0,1c ist. Denn dann darf ich sagen, die Masse m, die genau genommen ja die Ruhemasse m0/ (\sqrt(1-v²/c²)) ist, ist in diesem Fall immer ungefähr =m0. In Aufgabe b haben wir gegeben die Masse des Protons ist 1,67×10^-27 kg, die Ladung des Protons ist 1,6×10^-19 C, der Radius beträgt 0,5m und die magnetische Felddichte B=0,5T. Wir wählen wieder den gleichen Ansatz wie gerade eben, Zentripetalkraft = Lorentzkraft, aber lösen diesmal nach der Geschwindigkeit auf. Es ergibt sich: Die Geschwindigkeit ist (r×Qp×B)/mp. Da ich das alles habe, setz ich es alles ein und schaue mir erst mal die Einheiten an. Wenn ich für T die Definition kg/(As²) einsetze, kürzt sich alles heraus bis auf m/s. Die Einheiten scheinen also zu stimmen. Das Ergebnis für die Geschwindigkeit ist 2,4×107 m/s. Ihr merkt, wir haben gerade noch Glück gehabt. Das ist knapp unter 1/10 der Lichtgeschwindigkeit, wir müssen also nicht relativistisch rechnen. Für den 2. Teil der Aufgabe benutzen wir nun den Ansatz elektrische Energie = kinetische Energie, denn wir haben ja nun die Geschwindigkeit. Wir schreiben die Beschleunigungsspannung U×Q=1/2 mv². Umstellen nach der Spannung ergibt U= Masse des Protons × Geschwindigkeit² durch 2× die Ladung. Ich setze alles ein und schaue mir wieder erst mal die Einheiten an. Diesmal kürzt sich nichts raus und ich erhalte (kg×m²)/(A×s³). (kg×m²)/s²= Joule, und dann bleibt unter dem Bruchstrich noch A×s, also C übrig. Trifft sich gut, den J/C=Volt. Mein Ergebnis lautet also 3×106 J/C oder anders geschrieben 3 Millionen Volt oder 3 Megavolt. Unsere Antwort lautet also: Ein Proton hat nach dem Durchlaufen des Zyklotrons die Geschwindigkeit v=2,4×107m/s. Ein Linearbeschleuniger mit U=3MV würde dieselbe Geschwindigkeit erreichen. In Aufgabe c haben wir gegeben: Die Geschwindigkeit soll diesmal 1/10 der Lichtgeschwindigkeit, also 0,1×c oder 3×107 m/s sein. Die Masse des Protons ist immer noch 1,67×10^-27 kg und die Ladung 1,6×10^-19 C. Gesucht ist die magnetische Flussdichte B. Wir nehmen wieder unseren Lieblingsansatz (m×v)/r=Q×B und stellen ihn nach der Flussdichte um. Es ergibt sich: Die magnetische Flussdichte B=(m×v)/(Q×r). Wir setzen ein und werfen wieder einmal einen Blick auf die Einheiten. Wir können Meter kürzen und übrig bleibt kg/(A×s²), und das ist genau ein Tesla. Unser Ergebnis lautet also 0,626 T. Bei einer magnetischen Flussdichte B=0,626 T erreicht die Geschwindigkeit der Protonen also 10% der Lichtgeschwindigkeit. So, das wars schon wieder für heute. Ich hoffe, ich konnte euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen, vielleicht bis zum nächsten Mal, euer Kalle.

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. Kann mich meinem Vorgänger nur anschließen, wirklich super Videos!

    Von Yannic S., vor mehr als 7 Jahren
  2. Ich muss es einfach noch ein Mal sagen. Ihre Videos sind wirklich phänomenal, doch habe ich gemerkt, dass meine Schwäche im Umgang mit bzw. umformen von Einheiten liegt.

    Haben Sie Tipps, wo und wie man diese am Besten weg trainieren kann? Gibt es dazu "hier" vielleicht auch irgendwo - unter einer bestimmten Rubrik - Übungsvideos oder Tipps?
    Schon Mal vielen dank im voraus.

    Von Sweat Technique, vor etwa 8 Jahren
  3. ist Lichtgeschwindigkeit nicht 3*10^8m/s? wobei es im Tutor 3*10^7m/s ist (3*10^5km/s =(3*10^5*10^3)m/s)

    Von Can A., vor mehr als 10 Jahren

Zyklotron (Übungsvideo) Übung

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  • Gib den Ansatz für die Berechnung der Winkelgeschwindigkeit im Zyklotron an.

    Tipps

    Zentripetalkraft $=$ Lorenz-Kraft

    Lösung

    Wir können den Ansatz Zentripetalkraft $=$ Lorenz-Kraft wählen, da die geladenen Teilchen im Zyklotron durch die Lorenz-Kraft auf der Kreisbahn gehalten werden.

    $ F_{L} = F_{ZP} \to \frac {m \cdot v^2}{r} = Q \cdot v \cdot B$

    Da wir eine Kreisbahn beschreiben, ersetzen wir die Geschwindigkeiten $v$ mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega$.

    Für diese gilt $ \omega = \frac {v}{r} $.

    Wir setzen in den Ansatz ein und erhalten so $ Q \cdot B = m \cdot \frac{\omega}{r} = m \cdot \omega$.

    Daraus können wir umstellen und erhalten für die Winkelgeschwindigkeit im Zyklotron $ \omega = \frac{ Q \cdot B}{m}$.

  • Bestimme die Spannung des Linearbeschleunigers.

    Tipps

    $ U \cdot Q_p = \frac{1}{2} \cdot m_p \cdot v^2 $

    Die kinetische Energie des Protons, ausgedrückt durch Masse und Geschwindigkeit, muss also gleich dem Produkt aus angelegter Spannung und Ladung des Protons sein.

    $ U = \frac{m \cdot v^2}{2 \cdot Q_p}$

    Lösung

    Um zu ermitteln, wie groß die Spannung am Linearbeschleuniger sein muss, behelfen wir uns mit einem Ansatz:

    $ U \cdot Q_p = \frac{1}{2} \cdot m_p \cdot v^2 $.

    Die kinetische Energie des Protons, ausgedrückt durch Masse und Geschwindigkeit, muss also gleich dem Produkt aus angelegter Spannung und Ladung des Protons sein.

    Um nun $U$ zu ermitteln stellen wir um und erhalten $ U = \frac{m \cdot v^2}{2 \cdot Q_p}$.

    Wir haben im Aufgabenkopf alle notwendigen Werte gegeben und setzten ein:

    $ U = \frac{1,67\cdot 10^{-27} kg \cdot 2,4 \cdot 10^7 {\frac{m}{s}}^2}{2 \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} As} = 3.006.000 \frac{kg m^2}{As^3} = 3 \cdot 10^6 V = 3 MV$.

  • Berechne die Geschwindigkeit im Zyklotron.

    Tipps

    Ansatz $ \frac{mv^2}{r} = QvB$

    $v = \frac{r \cdot Q_p \cdot B}{m_p} $

    Lösung

    Die Geschwindigkeit im Zyklotron lässt sich mit dem Ansatz $ \frac{mv^2}{r} = QvB$ bestimmen. Dazu kürzen wir zunächst einmal mit $v$ und erhalten dann $\frac{mv}{r} = QB$.

    Nun stellen wir nach der gesuchten Größe, also $v$ um und erhalten $v = \frac{r \cdot Q_p \cdot B}{m_p} $.

    Große Geschwindigkeiten werden also dann erreicht, wenn Ladung, Magnetfeld und Radius möglichst groß sind und die Masse möglichst klein ist.

    Betrachten wir ein Beispiel.

    Es sei $ r = 0,9m$ und $ B = 0,23 T$ .

    Einsetzen liefert $v = \frac{0,9 m\cdot 1,6\cdot 10^{-19} C \cdot 0,23T}{1,67 \cdot 10^{-27} kg} = 19,83 \cdot 10^6 \frac{m}{s} $.

    Bei gegebenen Randbedingungen, würde ein Proton also die Geschwindigkeit $19,83 \cdot 10^6 \frac{m}{s}$, also etwa $6,6 %$ der Lichtgeschwindigkeit erreichen.

    Ab einer Geschwindigkeit von 0,1c müssten wir relativistisch rechnen.

  • Bestimme die Masse des Elektrons.

    Tipps

    $\frac{m \cdot v^2}{r} = Q \cdot v \cdot B $

    $m = \frac{Q \cdot v \cdot B \cdot r}{v^2} $

    $e = 1,6 \cdot 10^{-19} C $

    Lösung

    Stellen wir den Ansatz $\frac{m \cdot v^2}{r} = Q \cdot v \cdot B $ nach der Masse $m$ um, erhalten wir $m = \frac{Q \cdot v \cdot B \cdot r}{v^2} $.

    Wir können also die Masse $m$ eines Teilchens im Zyklotron bestimmen, wenn wir wissen, wie dieses geladen (Ladung Q) ist und mit welcher Geschwindigkeit $v$ und auf welcher Bahn (Radius $r$) es sich im Magnetfeld $B$ des Zyklotrons bewegt.

    Betrachten wir nun ein einzelnes Elektron, welches in ein Magnetfeld $ B = 0,13 \mu T$ eingebracht wird.

    Das Elektron trägt natürlich die Einheitsladung $e = 1,6 \cdot 10^{-19} C $. Die Geschwindigkeit und der Radius seien ebenfalls bekannt und mit $ r = 0,65 m$ und $v = 14.840,83 \frac{m}{s}$ gegeben.

    Nun setzen wir die Informationen in unsere umgestellte Gleichung ein und erhalten $m = \frac{Q \cdot B \cdot r}{v} = \frac{1,6 \cdot 10^{-19} C \cdot 0,13 \mu T \cdot 0,65 m}{ 14.840,83 \frac{m}{s}} = 9,11 \cdot 10^{-31} kg $.

    Die Masse des Elektron muss also $ m_{el} = 9,11 \cdot 10^{-31} kg$ betragen.

    Genauso wie für das Elektron, können wir auch die Masse eines Protons oder bei bekannten Massen die zugehörigen Ladungen angeben.

    Mit dem Zyklotron können wir also, aufgrund des Verhaltens eines geladenen Teilchens im Magnetfeld, einen Zusammenhang zwischen Masse und Ladung darstellen.

  • Berechne die magnetische Flussdichte.

    Tipps

    $ v = 0,1 \cdot c = 0,1 \cdot 3\cdot 10^8 \frac{m}{s} = 3 \cdot 10^7 \frac{m}{s}$.

    $ \frac{m_p \cdot v}{r} = Q_p \cdot B$

    Lösung

    In dieser Aufgabe soll berechnet werden, wie groß das herrschende Magnetfeld innerhalb des Zyklotrons sein muss, damit das Proton eine Geschwindigkeit von $ v = 0,1 \cdot c $ erreicht.

    Wir bilden einen Ansatz und stellen um: $ \frac{m_p \cdot v}{r} = Q_p \cdot B \to B = {m_p \cdot v}{r \cdot Q_p} $.

    Die Magnetfeldstärke lässt sich also angeben, wenn die Masse, Geschwindigkeit und Ladung des Protons sowie der Radius des Zyklotrons bekannt sind.

    Die Geschwindigkeit soll in unserem Experiment ja $ v = 0,1 \cdot c = 0,1 \cdot 3\cdot 10^8 \frac{m}{s} = 3 \cdot 10^7 \frac{m}{s}$ betragen.

    Die angestrebte Geschwindigkeit beträgt also $ 3 \cdot 10^7 \frac{m}{s}$.

    Setzen wir nun alles ein, so ergibt sich: $ B = {1,67 \cdot 10^{-27} kg \cdot 3 \cdot 10^7 \frac{m}{s}}{0,5 m \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} C} = 0,626 \frac{kg}{As^2} = 0,626 T $.

    Damit die Geschwindigkeit von $ 3 \cdot 10^7 \frac{m}{s} $, für ein Proton im Zyklotron mit $ r = 0,5m$ zu erreichen ist, muss die magnetische Flussdichte $ B = 0,626 T$ betragen.

  • Berechne den notwendigen Radius des Zylklotrons.

    Tipps

    Der Ansatz ist $ \frac{mv^2}{r} = QvB$.

    Gib alle Größen in den Grundeinheiten an.

    $ r = \frac{v \cdot m_p}{Q_p \cdot B}$

    Lösung

    Um zu bestimmen, wie groß der Radius des Zyklotrons sein muss, damit eine bestimmte Geschwindigkeit $v$ bei gegebener Masse $m_p$ und Ladung $Q_p$ im bekannten Magnetfeld $B$ erreicht werden kann, machen wir zunächst einen Ansatz:

    $ \frac{mv^2}{r} = QvB$.

    Wir können mit $v$ kürzen und erhalten dann $\frac{mv}{r} = QB$.

    Nun stellen wir nach der gesuchten Größe, also $r$ um $ r = \frac{v \cdot m_p}{Q_p \cdot B}$.

    Um festzustellen, wie groß der Radius und den jeweiligen Fällen ist, setzten wir nun jeweils Masse und Ladung des Protons sowie die Geschwindigkeit $v$ und das herrschende Magnetfeld $B$ ein.

    Betrachten wir ein Beispiel.

    Für $B = 0,25 T $ und $ v = 1,5 \cdot 10^7 \frac{m}{s}$ ergibt sich für $ r = \frac{v \cdot m_p}{Q_p \cdot B} = \frac{1,5 \cdot 10^7 \frac{m}{s} \cdot 1,67 \cdot 10{-27} kg}{1,6 \cdot 10^{-19} C \cdot 0,25 T}= 0,626m$.

    Um mit einem Magnetfeld der Stärke $ 0,25 T$ ein Proton auf eine Geschwindigkeit von $ v = 1,5 \cdot 10^7 \frac{m}{s}$ zu erreichen, muss das Zyklotron einen Radius von $ r = 0,626 m$ haben.

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