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Zyklotron – Überblick 06:13 min

Textversion des Videos

Transkript Zyklotron – Überblick

Hallo und herzlich willkommen. Ich zeige hier, wie ein Zyklotron aufgebaut ist, und erkläre sein Funktionsprinzip. Du solltest das Verhalten bewegter Ladungsträger in elektrischen und magnetischen Feldern kennen und insbesondere die Wirkung der Lorenzkraft. Stellen wir uns eine flache runde Keksdose vor, die nahezu luftleer gepumpt ist und in ihrem inneren einer weitere flache runde Dose enthält. Diese innere Dose ist in der Mitte längs durchgeschnitten, sodass sich zwei halbierte Dosen mit einem schmalen Spalt gegenüberstehen. Im Mittelpunkt der äußeren Dose, also genau im Spalt der Inneren, steht so etwas wie eine kleine Stecknadel mit einem Kanal, der in ein Loch im Kopf der Stecknadel mündet. Durch diesen Kanal können wir geladene Teilchen in die Dose hineinträufeln. Legen wir eine Spannung zwischen die Hälften der inneren Dose, baut sich am Spalt ein elektrisches Feld auf, dass unser geladenes Teilchen in Richtung einer der Dosenhälften lenken wird. Dann setzen wir diese Anordnung noch in ein konstantes magnetisches Feld. So, dass das magnetische Feld senkrecht auf den Grundflächen steht. Dann wird ein jedes der geladenen Teilchen, die wir in der Mitte der Dose ins Innere träufeln zwar vom elektrischen Feld zur Seite in Bewegung gesetzt, aber zugleich durch das Magnetfeld zur Seite abgelenkt, weil die Lorenzkraft wirkt. Weil das Teilchen in einer Ebene fliegt, die den Grundflächen unserer Dose genau parallel liegt, bleibt seine Bewegung trotz der Richtungsänderung weiterhin genau rechtwinklig zur Ausbreitung des magnetischen Feldes. Das heißt aber, dass die Lorenzkraft auf allen Punkten seiner Bahn mit unverminderter Stärke immer rechtwinklig zur Bewegungsrichtung wirkt. Wenn aber die Bahngeschwindigkeit des Teilchens, wie hier, unverändert bleibt, bedeutet eine konstante Kraft zur Seite hin eine gleiche Abweichung zur Seite in jedem Punkt der Bahn. Also ist die Bahn an allen Punkten gleich stark gekrümmt. Es gibt nur eine geometrische Figur in der Ebene, die eine Linie mit überall gleicher Krümmung besitzt. Das ist der Kreis. Sehen wir mal von der mathematischen Spitzfindigkeit ab, dass auch eine Gerade überall gleich gekrümmt ist, nämlich gar nicht. Genauer hergeleitet findet man diesen Umstand in der Mechanik bei der Untersuchung der gleichförmigen Kreisbewegung. Für geladene Teilchen mit konstanter Bahngeschwindigkeit ergibt sich also bei Bewegung in einer Ebene, die rechtwinklig zum magnetischen Feld steht, eine Kreisbewegung. Aber dafür ist das Zyklotron nicht konstruiert worden. Hier wird nämlich eine Wechselspannung an die geteilte innere Dose angelegt und genau so justiert, dass sich das elektrische Feld genau dann umpolt, wenn das Teilchen auf dem äußersten Punkt seiner Bahn läuft und sich eben wieder in Richtung auf den Spalt zu bewegt. Folgt der Verlauf der Wechselspannung einer Sinusfunktion, hat das von ihr, jetzt in der entgegengesetzen Richtung aufgebaute elektrische Feld, gerade dann sein Maximum, wenn das Teilchen wieder in den Spalt hineinfliegt. Das bedeutet, dass es aber nun in seine Bewegungsrichtung eine Kraftwirkung erfährt. Es wird kurz beschleunigt und dadurch schneller. Das heißt aber nun, dass auch die Lorenzkraft größer wird. Erinnern wir uns an die gleichförmige Kreisbewegung, fällt uns ein, dass die Zentripetalkraft, die eine Kreisbewegung kennzeichnet, nach der Formel FZ=m×(v2/r) berechnet wurde. Sie muss hier in unserer Versuchsanordnung offenkundig der Lorenzkraft entsprechen, also muss gelten: Zentripetalkraft gleich Lorenzkraft. Daraus folgt die Beziehung v/r=(q×B)/m. Das heißt, wenn sich die Bahngeschwindigkeit des Teilchens erhöht, muss sich auch der Radius des Kreises, auf dem es umläuft, vergrößern, solange die Ladung q, die Masse m des Teilchens und die magnetische Flussdichte B konstant bleiben. Der Ausdruck v/r ist natürlich gleich der Winkelgeschwindigkeit Omega, die also hier konstant bleibt, solange Ladung, Masse und Flussdichte B konstant bleiben. Dann leuchtet vielleicht sofort ein, dass wir mit einer sinusförmigen Wechselspannung der Frequenz f ein perfekt abgestimmtes System haben, in dem das kreisende Elektron immer genau dann einen zusätzlichen Stoß in Bewegungsrichtung erfährt, wenn es den Spalt passiert. Weil es dadurch schneller wird, muss der Radius seiner Kreisbahn größer werden und es ergibt sich eine spiralförmige Bahn, auf der wir das Teilchen schneller und schneller werden sehen. Im Zyklotron wird es schließlich auf einer weit außen liegenden Bahn von einem elektrischen Feld abgelenkt, aus dem Zyklus befreit und mit seiner hohen Geschwindigkeit auf ein Ziel, ein sogenanntes target gelenkt. Zusammenstöße der beschleunigten Elektronen mit Atomen oder auch freien Elektronen des ... Materials erzeugen Effekte, die man dann sorgfältig untersuchen kann. Weil die Winkelgeschwindigkeit Omega, wie vorhin notiert, unter anderem von der Masse des Teilchens abhängt, muss man sie nachjustieren, wenn das Teilchen während seines Fluges schwerer werden sollte. Und genau das geschieht ja, wenn es so schnell wird, dass der relativistische Effekt der Massenzunahme bemerkbar wird. Für bestimmte Zwecke, für die man hochbeschleunigte Teilchen aus dem Zyklotron erhalten will, muss man also mit der relativistischen Massenzunahme die Frequenz verkleinern, um die Beschleunigungsschübe mit der Spiralbewegung synchron zu halten. Das Gerät, mit dem man das kann, nennt man Synchrozyklotron. Kurz und prägnant zusammengefasst ist ein Zyklotron also ein Gerät, in dem geladene Teilchen durch ein elektrisches Wechselfeld schubweise beschleunigt werden und dabei von einem Magnetfeld senkrecht zu ihrer Bewegungsrichtung auf einer nahezu spiralförmigen Bahn geführt werden, bis sie bei hoher Geschwindigkeit ausgekoppelt und auf ein Ziel gelenkt werden können. So viel für dieses Mal. Bis zum nächsten Video!

Zyklotron – Überblick Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zyklotron – Überblick kannst du es wiederholen und üben.

  • Nenne die richtigen Aussagen über das Zyklotron.

    Tipps

    Ionen sind stets geladene Teilchen.

    Teilchen werden nur zwischen den Duanten beschleunigt.

    Lösung

    Im Inneren des Zyklotrons befindet sich immer eine Ionenquelle, die zwischen zwei Duanten angebracht ist.

    An den Duanten ist eine Wechselspannung abgebracht, sodass zwischen diesen ein elektrisches Feld herrscht, welches seine Richtung immer wieder wechselt.

    Die Ionenquelle sendet nun geladene Teilchen aus, die von dem elektrischen Feld beschleunigt werden. Ein Neutron würde unbeeinflusst vom elektrischen Feld bleiben und somit nicht beschleunigt.

    Damit die beschleunigten Ionen auf einer spiralen Bahn um die Ionenquelle verlaufen, muss ein Magnetfeld senkrecht zur flachen Seite der Duanten herrschen.

    Ist dies der Fall, wirkt die Lorentzkraft auf die bewegten, geladenen Teilchen und diese werden auf den Mittelpunkt ihrer Kreisbewegung hingelenkt.

    Da ein Teilchen sehr häufig durch das elektrische Feld zwischen den Duanten laufen kann und damit immer weiter beschleunigt wird, können relativistisch relevante Geschwindigkeiten erreicht werden.

  • Bezeichne den Aufbau des Zyklotrons.

    Tipps

    Im Zyklotron wirkt die Lorentzkraft.

    Nur geladene Teilchen können im Zyklotron beschleunigt werden.

    Lösung

    Das Zyklotron besteht aus mehreren einzelnen Bauteilen.

    Eine Ionenquelle befindet sich zwischen den beiden Duanten. Diese Anordnung ist von einem Gehäuse umgeben.

    Darüber hinaus liegt ein Magnetfeld an. Damit sind die Wesentlichen Bauteile des Zyklotrons schon beschrieben.

    Wird nun ein geladenes Teilchen aus der Ionenquelle emittiert, so ist dieses dem Einfluss der Duanten und des Magnetfeldes ausgesetzt.

    Zwischen den Duanten wirkt ein elektrisches Feld, welches das Ion beschleunigt. Diese Bewegung des Teilchens können wir als einen Strom verstehen. Ein Strom ist ja $ I = \frac{Q}{t} $, also Ladung pro Zeit.

    Liegen ein Strom und ein Magnetfeld vor, die senkrecht aufeinander stehen, dann muss die Lorentzkraft wirken.

    Diese lenkt das Ion auf die charakteristische Kreisbahn.

    Hat das beschleunigte Teilchen nun seine vorgesehene Geschwindigkeit erreicht, verlässt es die Kreisbewegung im Zyklotron und wird mithilfe eines elektrischen Feldes auf ein Target, also ein Ziel, gelenkt.

    Genutzt wird das Zyklotron in der Medizin, für bestimmte Strahlentherapien oder in der physikalischen Forschung.

  • Erkläre, wie die spiralförmige Bahn des Teilchens im Zyklotron entsteht.

    Tipps

    Das Zyklotron ist ein Gerät, welches man benutzt, um Teilchen zu beschleunigen.

    Die Beschleunigung erfolgt in Schüben.

    Lösung

    Die Ionenquelle im Zentrum des Zyklotrons sendet geladene Teilchen aus.

    Diese sind direkt dem elektrischen Feld ausgesetzt, welches zwischen den Duanten herrscht. Weiterhin wirkt ein magnetisches Feld auf die Teilchen.

    Die beiden Felder führen dabei unterschiedliche Funktionen aus.

    Das elektrische Feld bewirkt die Beschleunigung des Teilchens. Immer wenn der Spalt zwischen den Duanten überschritten wird, wird dieses beschleunigt. Man sagt, es handelt sich um eine schubweise Beschleunigung.

    Damit sich das Teilchen nun in einer Spiralform bewegt, muss es einen Einfluss geben, der bewirkt, dass die geradlinige, schubweise Beschleunigung durch das elektrische Feld gelenkt wird.

    Dafür benutzt man das magnetische Feld. Da hier nun ein Strom (bewegtes geladenes Teilchen) senkrecht zum Magnetfeld fließt, muss die Lorentzkraft auftreten. Diese ist im Zyklotron immer so gerichtet, dass diese zum Zentrum hin gerichtet ist.

    Durch wiederholtes Beschleunigen des Teilchens, wird dessen Geschwindigkeit größer.

    Dadurch kann die Lorentzkraft die Bewegung nicht weiter auf einer engen Kreisbahn halten und der Kreis wird immer größer, also zur Spirale.

    Du kannst diesen Effekt gut nachvollziehen, wenn du eine Münze an einem Gummiband befestigst und dieses dann wie ein Lasso schwingst. Je schneller die Drehung des Gummibandes, desto größer ist die Bahn, die die Münze beschreibt.

    Im Zyklotron wird, sobald eine weit außen liegende Bahn erreicht ist, das Teilchen durch ein elektrisches Feld geradlinig herausgeschossen und auf ein Zielobjekt gelenkt.

  • Analysiere den Einfluss der relativistischen Masse.

    Tipps

    Lösung

    Da in einem Zyklotron sehr hohe Geschwindigkeiten erreicht werden können, müssen wir betrachten, was passiert, wenn $v > \frac {1}{10} c $ und damit eine relativistisch relevante Geschwindigkeit erreicht ist.

    Dazu müssen wir die relativistische Masse berücksichtigen. Diese errechnet sich aus $ m_{rel} = m_ 0 \cdot \frac {1}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}}$.

    Die Masse steigt also mit der Geschwindigkeit an.

    Integrieren wir $m_{rel}$ in die Formel zur Berechnung der Wechselfrequenz, so ergibt sich:

    $ f = q \cdot B \cdot \frac{1}{2 \cdot \pi m_{rel}}$ $ = \frac{q \cdot B \cdot \sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}}{2 \cdot \pi \cdot {m_0}}$

    Damit muss also eine geringere Frequenz angelegt werden, je weiter ein Teilchen die Grenze von $ v = \frac{1}{10} c $ überschreitet.

    Das ist deshalb wichtig, da die Wechselfrequenz festlegt, zu welchem Zeitpunkt und in welcher Richtung das elektrische Feld vorliegt.

    Durchliefe das beschleunigte Teilchen das elektrische Feld zu einem falschen Zeitpunkt, würde dieses gebremst und das Zyklotron würde nicht mehr seinem Zweck gerecht.

    Mithilfe der Beobachtungen von Albert Einstein, können wir dieses Problem jedoch leicht lösen und das Zyklotron kann auch bei Geschwindigkeiten $ v > \frac{1}{10} c $ funktionieren.

  • Zeige die Zusammenhänge.

    Tipps

    Ein Ion ist ein geladenes Teilchen.

    Ein geladenes Teilchen wird im elektrischen Feld beschleunigt.

    Fließt ein Strom senkrecht zu einem Magnetfeld, tritt die Lorentzkraft auf.

    Lösung

    Um zu erklären, wie ein Ion im Zyklotron beschleunigt wird, müssen wir im Wesentlichen betrachten, wie sich Magnetfeld und elektrisches Feld auf die Bewegung des Teilchens auswirken.

    Ein geladenes Teilchen trägt immer eine bestimmte Ladung. Betrachten wir hier ein Elektron. Dieses ist negativ geladen und wird in einem elektrischen Feld also auf den $+$Pol hin beschleunigt.

    Im Zyklotron befindet sich das elektrische Feld zwischen den flachen Seiten der beiden Duanten.

    Da sich durch das Anlegen einer Wechselspannung die Richtung des elektrischen Feldes immer wieder ändert, wird das Elektron bei jedem Durchlauf des Feldes beschleunigt und nicht ausgebremst.

    Das elektrische Feld ist also für die Beschleunigung der Teilchen verantwortlich.

    Damit das bewegte Teilchen nun nicht direkt an das Gehäuse stößt, muss es auf eine Kreisbahn gelenkt werden. Das geschieht, durch das Magnetfeld.

    Genauer gesagt wirkt die Lorentzkraft, als Resultat aus elektrischem Strom und dazu senkrechtem Magnetfeld auf das Teilchen und lenkt dieses ab.

    Dabei kann das Teilchen umso mehr abgelenkt, der Radius des Kreises, den es beschreibt also umso größer sein, je geringer die Geschwindigkeit des Teilchens ist.

    Wie bereits beschrieben, wird das Teilchen jedoch immer schneller. Als Folge davon muss also auch der Radius der Teilchenbahn immer größer werden, sodass eine spiralförmige Bewegung entsteht.

  • Berechne die Frequenzen der Wechselspannungen.

    Tipps

    Der Betrag der Ladung ist $q$ stets $q_{el} = q_{prot} = 1e$

    $ f = \frac{q \cdot B }{2 \cdot \pi \cdot m}$

    Lösung

    Damit ein Teilchen im Zyklotron immer weiter beschleunigt werden kann, muss immer zum richtigen Zeitpunkt der angelegte Strom in die passende Richtung fließen.

    Erinnere dich an die Linke-Hand-Regel ,die Richtung der Lorentzkraft hängt von der Richtung des Magnetfeldes und der Stromrichtung ab.

    Im Zyklotron ist das Magnetfeld konstant, die Stromrichtung und damit die Richtung der Lorentzkraft ändern sich jedoch immer wieder.

    Nun wird ein Ion jedesmal beschleunigt, wenn es den Spalt zwischen den Duanten passiert. Wie häufig der Spalt passiert wird, ist natürlich abhängig von der Geschwindigkeit des Teilchens, genauer der Winkelgeschwindigkeit. Den Ansatz $ \omega = 2 \cdot \pi \cdot f$ lösen wir nach $f$ auf und erhalten $ f = \frac{\omega}{2\cdot\pi}$.

    Die Geschwindigkeit $\omega$ lässt sich auch durch die Ladung und Masse des Teilchens und das Magnetfeld ausdrücken:

    $ \omega = \frac{q \cdot B}{m}$

    Abhängig von der Masse des Teilchens $m$ und seiner Ladung $q$ muss also, in einem Magnetfeld $B$, eine bestimmte Frequenz $f$ angelegt werden.

    Wir erhalten die Formel $ f = \frac{q \cdot B }{2 \cdot \pi \cdot m}$.

    Dabei ist der Betrag der Ladung $q$ stets $q_{el} = q_{prot} = 1e$, also eine Elementarladung.

    Betrachten wir ein Beispiel:

    Ein Elektron mit $m_{el} = 9,1 \cdot 10^{-31} kg$ und $ q = 1,6 \cdot 10^{-19} C$ wird in einem Zyklotron mit dem Magnetfeld $ B = 580 mT$ eingebracht.

    Zunächst müssen wir umformen: $ 580 mT = 0,58T$.

    Wir setzen nun in $ f = \frac{q \cdot B }{2 \cdot \pi \cdot m}$ ein und erhalten $f = \frac{ 1,6 \cdot 10^{-19} C \cdot 0,58T }{2 \cdot \pi \cdot 9,1 \cdot 10^{-31} kg} = 16,23 GHz$.