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Kondensator und kapazitiver Widerstand im Wechselstromkreis 15:27 min

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Transkript Kondensator und kapazitiver Widerstand im Wechselstromkreis

Hallo, hier ist wieder Dr. Psi. Unser heutiges Thema ist der Kondensator und sein kapazitiver Widerstand im Wechselstromkreis. Wir beginnen mit einer knappen Wiederholung der Schreibweise von Spannung und Strom im Wechselstromkreis und widmen uns dann der Betrachtung des elektrischen Verhaltens von Kondensatoren in Wechselstromkreisen. Zum Schluss fassen wir wie üblich das Wichtigste zusammen. Starten wir also mit einem Stromkreis, der eine Wechselspannungsquelle enthält. Unsere Wechselspannungsquelle liefert eine sinusförmige Wechselspannung, die zum Beispiel durch U(t)=U0sin(Omegat) geschrieben werden kann. Dabei ist U0 der Maximal- oder Scheitelwert der Spannung. Wir sehen den entsprechenden Verlauf in einem Diagramm, das auf der x-Achse das Produkt aus Kreisfrequenz Omega und Zeit t und auf der y-Achse zunächst die Spannung U enthält. Der Nulldurchgang der Sinuskurve für die Spannung U(t) fällt mit t = 0 zusammen. Dies ist jedoch nicht immer der Fall. Allgemein erzeugt eine Wechselspannung im Stromkreis einen sinusförmigen Wechselstrom, der hier dargestellt wird durch I(t)=I0sin(Omegat)+Phi0. Dabei ist Phi_0 der Nullphasenwinkel. Dieser beschreibt die Verschiebung der Sinuskurve für den Fall, dass deren Nulldurchgang nicht mit t = 0 zusammenfällt, wie wir das hier für die Stromstärke in dem Diagramm sehen. Links von der Darstellung von U und I als sinusförmiger Verlauf sehen wir das Zeigerdiagramm für U(t) und I(t). Wir sehen zwei Zeiger, einen für U und einen für I. Die Länge der Zeiger entspricht den jeweiligen Scheitelwerten. Die Zeiger drehen sich im mathematisch positiven Sinn und aus der Zeigerstellung kann der jeweilige Momentanwert als Projektion auf die U- bzw. I Achse abgelesen werden. Soweit eine knappe Wiederholung der mathematischen Beschreibung von Größen im Wechselstromkreis. Ja, wir betrachten nun einen Wechselstromkreis mit einer Wechselspannungsquelle und einem Kondensator und wieder zwei Messgeräten für Spannung und Stromstärke. Beachte übrigens, dass der Widerstand eines Kondensators im Wechselstromkreis als kapazitiver Widerstand bezeichnet wird. Erinnerst du dich noch an den Widerstand, an den Wert des Widerstandes eines Kondensators im Gleichstromkreis? Nun kannst du dich bestimmt dran erinnern. Ein Kondensator hat im Gleichstromkreis den unendlich großen Widerstand. Ja, woran liegt das? Nun, der Kondensator wird ja einmal aufgeladen beim Gleichstrom und dann besteht das elektrische Feld und dann ist aus. Also der Widerstand ist sehr groß. Anders als im Wechselstromkreis. Der Kondensator wird aufgeladen bei einer Periode der Wechselspannung, dann wird er entladen und wieder umgeladen. Und während dieses Umladens fließt natürlich im Wechselstromkreis ein elektrischer Strom. Und dieser Strom kann dann bestimmt werden. Und das Verhalten des Kondensators unter Einfluss einer Wechselspannung, das ist eben unser heutiges Thema. Legen wir also eine Spannung an und beobachten die beiden Messgeräte, insbesondere die Zeiger natürlich, so sehen wir, dass diese Zeiger nicht im Gleichtakt schwingen. Sie sind aus physikalischer Sicht nicht in Phase. Präziser: Spannung und Stromstärke sind nicht in Phase. Wir sehen das an diesem Diagramm, wo Spannung und Stromstärke über Omegat aufgetragen ist. Wir sehen dort, dass die Stromstärke zeitlich vor der Spannung das Maximum erreicht. Wenn wir dieses Verhalten mal in das Zeigerdiagramm, das links daneben dargestellt ist, übertragen und die Zeiger von Spannung und Stromstärke uns ansehen, dann sehen wir, dass der Zeiger der Stromstärke um Pi/2 dem Zeiger der Spannung vorauseilt. Und das ist genau das, was wir auch im Stromstärke Spannung Zeit Diagramm sehen. Die Stromstärke eilt also der Spannungskurve um eine Viertelperiode, also Pi/2 voraus. Und im Folgenden wollen wir uns der mathematischen Beschreibung dieses Verhaltens widmen. Ja, wir wollen uns jetzt also dem mathematischen Verlauf von Spannung, Stromstärke im Wechselstromkreis widmen, natürlich aus mathematischer Sicht. Ja, zur Berechnung des Wechselstromwiderstandes unseres Stromkreises mit Kondensator gehen wir von einer bekannten Beziehung aus, nämlich Ladung = KapazitätSpannung. Und da wir es hier mit zeitabhängigen Größen zu tun haben, notieren wir diese Gleichung als Q(t)=CU(t). Da steckt also die zeitliche Abhängigkeit drin. Und unser Wechselstromkreis wird mit einer Spannung beliefert, die den Wert hat U=0sin(Omegat). Eine weitere Größe brauchen wir noch, nämlich die Stromstärke. Und Stromstärke und Ladung stehen ja auch in einer Beziehung. Also Stromstärke = Ladung pro Zeit. Und wenn wir das differenziell betrachten, also zeitabhängig betrachten, dann ist das I(t) = Q(t)/ t. Wenn wir dieses Q(t) hier einsetzen, dann müssen wir noch beachten, dass wir hier ja eine Änderung der Ladung in der Zeit haben. Wir müssen das also differenziell betrachten. Also ist I(t)=dQ(t)/dt. Und jetzt setzen wir diesen Term ein d / dt C U(t). C ist eine Konstante. Die ziehen wir vor den Differenziations-Operator also C * d / dt U(t). Und jetzt setzen wir dieses ein. U(t) ist dann gleich d durch dt mal U0mal sin(Omegat). Wir müssen also jetzt diesen Term differenzieren und wir erhalten schließlich I von t ist gleich, das ist konstant, das ist konstant, das schreiben wir vor das Differenzial. Die Ableitung von sin(Omegat) ist cos(Omegat) mal der inneren Ableitung Omega. Und das ziehen wir auch hier an diese Stelle und notieren die Ableitung cos(Omegat). Ja, wir haben hier U=U0sin(Omegat) und I(t) oder I=CU0 Omegacos(Omegat). Wir können jetzt aus dem Kosinus mithilfe der Phasenbeziehung den Sinus machen und schreiben dafür C mal U0 Omega Sinus und jetzt brauchst du ein wenig Mathematik ist Omegat plus Pi/2. Die beiden sind also um Pi/2 phasenverschoben, die beiden trigonometrischen Funktionen Kosinus und Sinus. Und jetzt siehst du, dass hier der sin(Omegat) plus Pi/2 für die Stromstärke steht und für die Spannung sin(Omegat) und wir sehen hieran, dass die Stromstärke der Spannung um Pi/2 voraus eilt. Naja und genau das haben wir in unserem Experiment gesehen. Nun wollen wir noch eine Kleinigkeit nachreichen. Wir betrachten einmal diesen Term hier. Das ist ja, wenn wir die Sinusfunktion uns ansehen, der Wert von dem Maximum der Stromstärke, also das ist I0. Wenn wir jetzt I0=CU0Omega uns anschauen, dann könntest du aus dieser Beziehung sicherlich sofort eine Umstellung herleiten, nämlich das ist U0/I0 und das ist gleich 1/ Omega * C. Und du kennst sicherlich aus dem Elementarunterricht Spannung geteilt durch Stromstärke. Das können wir als Widerstand definieren. Und wir schreiben hier für den so genannten kapazitiven Widerstand XC= 1 /(OmegaC). Das ist der kapazitive Widerstand eines Kondensators im Wechselstromkreis. Schau dir das an XC= 1 /(OmegaC). Dieser Widerstand ist indirekt proportional zu Omega, zur Kreisfrequenz und indirekt proportional zur Kapazität. Das leuchtet auch ein. Omega steht ja für den Wechselstromkreis für die Schnelligkeit des Wechsels von den Perioden im Wechselstromkreis. Und je schneller das ist, je größer Omega ist, desto kleiner wird natürlich der kapazitive Widerstand. Ist der Widerstand sehr klein, geht gegen Null, dann wird eben dieser kapazitive Widerstand, wie wir es vom Gleichstromkreis kennen, unendlich groß. Das spiegelt sich also in dieser Gleichung wider. Ja und die Abhängigkeit von C je größer eben ein Kondensator ist, desto kleiner ist der kapazitive Widerstand. Damit haben wir im Wesentlichen unseren Kondensator im Wechselstromkreis beschrieben. Fassen wir knapp zusammen, was wir gemacht haben: Wir haben also die Schreibweise von Strom und Spannung im Wechselstromkreis uns angeschaut, sind dann auf einen Kondensator zu sprechen gekommen, der sich im Gleichstromkreis befindet, haben nochmal wiederholt, dass der Kondensator im Gleichstromkreis einen unendlich hohen Widerstand hat und haben uns dann eine Schaltung angesehen, in der der Kondensator in einem Wechselstromkreis angeschlossen ist. Und dort haben wir aufgrund des Experiments abgeleitet, dass die Stromstärke der Spannung um Pi/2 vorauseilt. Das haben wir im Zeigerdiagramm gesehen und dann haben wir das Ganze mathematisch abgeleitet und hier haben wir nochmal gesehen, die Spannung und die Stromstärke haben genau den Verlauf, nämlich die Stromstärke eilt der Spannung um Pi/2 voraus. Zum Schluss haben wir noch die Formel, die wir hier hergeleitet haben benutzt, um den so genannten kapazitiven Widerstand eines Kondensators im Wechselstromkreis herzuleiten und haben festgestellt, dass dieser indirekt proportional ist zu Omega und C. Ja, das war's für heute. Ich hoffe, wir sehen uns bald wieder bei einem Video von Dr. Psi. Tschüss

1 Kommentar
  1. gut erklärt

    Von Elias G., vor mehr als einem Jahr

Kondensator und kapazitiver Widerstand im Wechselstromkreis Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kondensator und kapazitiver Widerstand im Wechselstromkreis kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe das Sinusdiagramm.

    Tipps

    Die Frequenz beschreibt die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde.

    Lösung

    Auch bei der Wechselspannung treffen wir auf Sinusfunktionen. Die Wellenberge haben eine positive und die -Täler eine negative Auslenkung. Sie beschreiben die Umpolungen bei der Wechselspannung.

    Die maximale Auslenkung heißt Amplitude, und eine Wellenlänge besteht aus einem Wellenberg und einem Wellental.

  • Nenne Eigenschaften des Kondensators.

    Tipps

    Ein Kondensator besteht aus zwei gegenüberliegenden Leiterplatten und einem isolierenden Material dazwischen.

    Lösung

    Der Plattenkondensator verhält sich bei Wechselspannung anders als bei Gleichspannung.

    Bei Gleichspannung baut sich im Kondensator ein elektrisches Feld auf, dann erliegt der Stromfluss. Bei Wechselspannung lädt/entlädt der Kondensator sich ständig und gibt so immer Energie ab bzw. nimmt Energie auf nach einer Umpolung.

    Misst man Strom und Spannung im Wechselstromkreis, so stellt man fest, dass die Spannung ihr periodisches Maximum früher erreicht als der Strom.

  • Beschreibe das Zeigerdiagramm.

    Tipps

    Stelle dir einen Uhrzeiger vor und versuche seine Bewegung zu beschreiben.

    Lösung

    Das Zeigerdiagramm ist eine Darstellung, um den Verlauf von Sinusschwingungen zu veranschaulichen.

    Der Sinus ist wie der Zeiger periodisch und lässt sich durch einen Kreis beschreiben.

  • Berechne die Feldstärke und die Kapazität zwischen einer Gewitterwolke und der Erde.

    Tipps

    Benutze genau die Formeln, die du bei einem normalen Plattenkondensator benutzen würdest.

    Achte darauf, dass die Größenordnungen der Einheiten stimmen.

    Lösung

    Bei einem Gewitter stellen Boden und Wolken je eine Fläche mit einer anderen Ladung dar, genau wie beim Plattenkondensator. Daher können wir genauso verfahren und durch eine Feldstärkenmessung die Spannung eines möglichen Blitzes berechnen.

    Für die Spannung fangen wir mit der Gleichung der Feldstärke an und stellen um:

    $E=\dfrac{U}{d} \rightarrow U=E\cdot d=1\cdot 10^5~\dfrac{\text{V}}{\text{m}}\cdot 500~\text{m}=5\cdot 10^7~\text{V}$.

    Nun berechnen wir die Kapazität, gegeben durch:

    $C=\varepsilon_0\cdot\dfrac{A}{d}=8,85\cdot 10^{-12}\cdot\dfrac{6000000~\text{m}^2}{500~\text{m}}=1,06\cdot 10^{-7}~\text{F}$.

  • Erkläre den Kondensator im Wechselstromkreis.

    Tipps

    Bedenke: Es heißt Wechselspannung.

    Lösung

    Was ist am Kondensator bei Wechselstrom anders als bei Gleichspannung?

    Bei der Gleichspannung baut sich im Kondensator ein E-Feld auf und von dann passiert nichts mehr: Es fließt kein Strom.

    Bei der Wechselspannung verändert sich die Polung der Platten im Kondensator stetig. Er wird also ständig be- und entladen, und kann immer etwas Energie für den Stromkreis bereitstellen.

    Daher ist ein Strom trotz Kondensator messbar. Je nach Kapazität des Kondensators verändert sich der gemessene Strom.

  • Berechne die Stromstärke zur Zeit t.

    Tipps

    Die Stromstärke "hinkt" der Spannung um $\dfrac{\pi}{2}$ hinterher.

    $1~\text{A}=1000~\text{mA}$

    Lösung

    Durch den ständigen Wechsel der Polung verändern sich Strom und Spannung im Kondensator; allerdings nicht ruckartig, sondern kontinuierlich, sinusförmig. Das macht es wichtig, Strom und Spannung zu einer bestimmten Zeit berechnen zu können.

    Hier tun wir das für den Strom. Wir haben 230 Volt bei 60 Hertz. Wir müssen eigentlich nur die Kapazität des Kondensators kennen.

    $\begin{array}{rcl} I(t)&=&C\cdot U_0\cdot\omega\cdot\cos(\omega\cdot t+\dfrac{\pi}{2})\\ &=&100\cdot 10^{-6}~\text{F}\cdot 230~\text{V}\cdot 9,5~\text{Hz}\cdot\cos(9,5~\text{Hz}\cdot 5+\dfrac{\pi}{2})\\ &=&0,143~\text{A}\\ &=&143~\text{mA} \end{array}$