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Leistung im Wechselstromkreis 15:47 min

Textversion des Videos

Transkript Leistung im Wechselstromkreis

Hallo, hier ist wieder Doktor Psi. Unser heutiges Thema ist die Behandlung der Leistung im Wechselstromkreis. Wir beginnen mit einer knappen Wiederholung der Leistung im Gleichstromkreis und betrachten dann die Leistung im Wechselstromkreis unter Einbeziehung verschiedener elektronischer Bauelemente, wie Ohm‘schen Widerstand, Kapazität oder Induktivität. Dann werden in diesem Zusammenhang wie Blindleistung und Wirkleistung erklärt. Zum Schluss fassen wir wie üblich das Gelernte ein wenig zusammen. Nun auch im Wechselstromkreis ergibt sich eine Leistung, die wollen wir mal hier jetzt auch so analog notieren. Und beachten hier, dass natürlich die Leistung im Wechselstromkreis-, wir sehen ja hier Spannung und Stromstärke ist da irgendwie zeitabhängig. Die Zeitabhängigkeit spiegelt sich darin wider, dass wir einmal eine Spannung haben, die von der Zeit abhängt, das ist U(t)=U0sin(Omega t). Und die entsprechend daraus resultierende Stromstärke ist I(t)=I0sin(Omega t). Und wenn wir auch hier den Zusammenhang zwischen Stromstärke, -spannung und Leistung beachten, dann setzen wir einfach mal in die Leistung P(t), ist jetzt natürlich zeitabhängig, diese Terme ein. So ergibt sich U0I0sin(Omega t)sin(Omega t)=sin2(Omega t). Das ist also die zeitabhängige Leistung im Wechselstromkreis. Und wir sehen, diese Leistung im Wechselstromkreis, die ist hier und wir betrachten hier also den rein Ohm‘schen Widerstand. Müssen natürlich Ohm mit h schreiben. Ohm‘scher Widerstand. Diese Leistung im Wechselstromkreis bei einem rein ohmschen Widerstand ist also nie negativ. Die Leistung schwankt trotzdem mit sin2 aber da sie nie negativ ist, wird diese Leistung in dem entsprechenden Widerstand, also hier im Ohm‘schen Widerstand, im Verbraucher umgesetzt. Sie wird also nie an das Netz zurückgegeben, das bei negativer Leistung der Fall wäre, wie wir nachher noch sehen, wenn wir kapazitiven und induktiven Widerstand betrachten. Beim ohmschen Widerstand hatten wir ja den Wert um den die Leistung schwankt, als P̅=Ueff2/R erhalten und diesen Term können wir etwas umschreiben, indem wir UeffUeff/R, das hier hat die Dimension einer Stromstärke und wir können also dafür schreiben UeffIeff. Das ist also die Leistung in einem Wechselstromkreis für einen Ohm‘schen Widerstand und diese Leistung, die wird in einem Ohm‘schen Widerstand direkt umgesetzt, zum Beispiel bei einer Glühlampe in Licht oder in Wärme. Und diese Leistung, die direkt umgesetzt wird, die bezeichnen wir als Wirkleistung. Dieser Begriff ist wichtig, wir werden gleich untersuchen, wie sich diese Leistung im Wechselstromkreis bei anderen Widerständen als beim Ohm‘schen Widerstand, nämlich bei Kapazitäten und Induktivitäten verhält. Das wollen wir uns dann gleich weiter ansehen. Ja, wir betrachten jetzt einen Wechselstromkreis, der zunächst mal nur aus einer Spannungsquelle und aus einem Kondensator besteht, und wir wollen diesen Satz, der hier unvollständig steht, im Laufe der Zeit ergänzen. Dieses Strommessgerät im Wechselstromkreis mit Kondensator zeigt natürlich einen Wechselstrom an. Klar, hatten wir schon festgestellt, die Platten des Kondensators werden wechselseitig auf- und entladen und dadurch fließt eben ein Wechselstrom. Misst man jedoch mit einem Leistungsmessgerät in einem Wechselstromkreis die elektrische Leistung, so zeigt dieses Messgerät den Wert null an. Das bedeutet, dass ein idealer Kondensator keine Leistung nach außen abgibt, wie zum Beispiel ein Ohm‘scher Widerstand, wir haben ja Glühlampe, Wärme oder Licht erzeugt. Was passiert nun da eigentlich? Nun, der Kondensator wird aufgeladen, dazu braucht er Energie. Wir sehen hier an dieser Grafik das Verhältnis von Stromstärke und Spannung und wenn dieser Kondensator aufgeladen ist, dann, so wissen wir das ja, dann entlädt der Kondensator sich wieder, das Feld bricht zusammen. Wo bleibt die Energie, die kann ja nicht verschwinden? Die wird an das Netz zurückgegeben. Die Grafik zeigt das in etwa. Wir sehen, dass der positive und negative Anteil der Momentanleistung über eine Periode gleich groß ist. Und wenn man den Mittelwert dieser beiden Ausschläge-, dieser sinusartigen Kurve bildet, dann kann man feststellen, dass die Momentanleistung null ist. Und das wollen wir uns notieren, also für die Leistung im Wechselstromkreis bei einem rein kapazitiven Widerstand gilt, und jetzt wollen wir die Ergebnisse dieser Grafik notieren: Positiver und negativer Anteil der Momentanleistung und zwar über eine Periode, die sind gleich groß, das sieht man sehr schön an dieser grafischen Darstellung, gleich groß. Und der Mittelwert der Momentanleistung, der daraus gebildet werden kann, dieser Mittelwert ist gleich null. Ja, wenn wir uns das mal so ansehen, die Leistung ist zwar da, das Messgerät zeigt null an. Gewissermaßen ist dieses Messgerät für die Leistung blind, es misst nichts, null. Also wird diese Leistung in der Fachsprache als Blindleistung bezeichnet. Diese Blindleistung ist Ausdruck einer Art pendelnder Energie und diese belastet das gesamte Netz. Und dieses Netz muss natürlich darauf ausgerichtet sein, obwohl gar keine Leistung, zum Beispiel bei einem rein kapazitiven Widerstand, entnommen wird. Die entsprechende Stromstärke, die dort fließt, die auch immer hin- und herpendelt, dieser Strom wird parallel auch als Blindstrom bezeichnet. Nun, wir haben uns das so schön notiert mit die Leistung im Wechselstromkreis bei einem rein kapazitiven Widerstand und wir wollen jetzt dieses Ganze ergänzen bei einem rein induktiven Widerstand. Und du ahnst sicherlich, da gelten analoge Vorgänge. Nun, wenn wir den rein induktiven Widerstand uns anschauen, der hat ja den Ohm‘schen Widerstand null, aber auch hier fließt ein Blindstrom und dieser erzeugt wie bei einer Glühlampe keine Wärme, also hier dient dieser Strom dem Aufbau eines Magnetfeldes, einer Spule. Und wenn dieses Magnetfeld zusammenbricht, dann wird die Energie, die gebraucht wurde, um das Magnetfeld aufzubauen, wird auch wieder zurück an das Netz gegeben. Wir sehen dieses Verhalten auch in dieser Grafik hier, wir sehen dort wieder Stromstärke und –spannung, den Verlauf und die entsprechende Phasenverschiebung bei einem induktiven Widerstand. Die Spannung eilt dem Strom um π/2 voraus, dadurch ist der Mittelwert über eine Periode gleich null. Auch hier gilt wieder positiver und negativer Anteil der Momentanleistung über eine Periode, du siehst das hier, sind gleich groß. Der Mittelwert der Momentanleistung ist null, also hier haben wir auch eine Blindleistung, die letzten Endes vom Verbraucher benötigt wird, um in diesem Fall ein Magnetfeld aufzubauen und hier beim kapazitiven Widerstand ein entsprechendes elektrisches Feld. Nun ist das in der Realität nicht so, wie wir das hier beschrieben haben. Hier hatten wir gesagt, es gibt einen rein kapazitiven Widerstand und einen rein induktiven Widerstand und haben auch an diesen grafischen Darstellungen festgestellt, dass da eben genau das hier gilt, der Mittelwert der Momentanleistung ist null. Nun, für einen beliebigen Wechselstrom gibt es eine Phasenverschiebung Phi zwischen Strom und Spannung. Und da können wir schreiben: Für einen beliebigen Wechselstrom mit der Phasenverschiebung Phi zwischen Stromstärke-, wir schreiben knapp „zwischen Strom und Spannung“ gilt Folgendes, wir könnten das wieder theoretisch herleiten, ich notiere das und werde dann ein paar Worte dazu verlieren. Da gilt: Die Wirkleistung ist P̅=UeffIeffcos(Phi), also mal Cosinus von der Phasenverschiebung Phi, das ist die Wirkleistung. Und die Blindleistung, die ist P=UeffIeff*sin(Phi). Ja, das war es für heute zur Leistung im Wechselstromkreis, vielleicht sehen wir uns bald wieder zu einem Video von Doktor Psi, tschüss.

Leistung im Wechselstromkreis Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Leistung im Wechselstromkreis kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib an, was die Wirkleistung ist.

    Tipps

    Ein Beobachter kann die Wirkleistung wahrnehmen.

    Blindleistung gibt an, dass diese Leistung von Messgeräten nicht erfasst wird.

    Lösung

    Die Wirkleistung ist die Leistung, die im Wechselstromkreis direkt umgesetzt wird.

    Zum besseren Verständnis formen wir etwas um: Die umgesetzte Wirkleistung zeigt sich dem Beobachter direkt.

    Damit ist schon klar, das Blindleistung und Wirkleistung zwei unterschiedliche Dinge sind. Die Blindleistung hat die Eigenschaft, dass sie sich nicht auf dem Messgerät zeigt. Die Wirkleistung hingegen ist die Leistung, mit der eine Glühbirne leuchtet oder ein Elektroofen heizt. Diese gibt die Leistung an, die für den vorhergesehen Zweck zur Verfügung steht, sozusagen die Leistung nach Abzug aller Verluste.

    Wie du dir sicher denken kannst, ist die Wirkleistung die maßgebliche Größe bei der Installation von Elektronik, da diese festlegt, wie viel Leistung vom Benutzer genutzt werden kann.

  • Zeige die richtige Formel zur Berechnung der Blindleistung.

    Tipps

    $U_{eff} = R \cdot I_{eff}$

    $\frac{U_{eff}^2}{R} = U_{eff} \cdot I_{eff}$

    Lösung

    Die Wirkleistung setzt sich aus Anteilen der effektiven Stromstärke und Spannung in Abhängigkeit von der Phasenverschiebung zusammen.

    Unter Umständen muss die Stromstärke dabei aus der Spannung und einem bekannten Widerstand abgeleitet werden ( $U_{eff} = I_{eff} \cdot R$).

    Die einfachste Form der Formel für den Blindwiderstand lautet: $ P_b = U_{eff} \cdot I_{eff} \cdot \sin(\phi)$. Wie du sicher schon vermutest, ist hier $U_{eff}$ die Spannung, $I_{eff}$ die effektive Stromstärke und $\phi$ die Phasenverschiebung.

    Setzen wir nun $U_{eff} = R \cdot I_{eff} \to I_{eff} = \frac{U_{eff}}{R}$ in die Gleichung für $P_b$ ein, so erhalten wir: $P_b = P_w = \frac{U_{eff}^2}{R} \cdot \sin(\phi)$ und damit eine weitere mögliche und richtige Formel zur Berechnung der Blindleistung.

    Beachte, dass zur Berechnung der Blindleistung stets der $\sin$ benötigt wird. Verwendest du stattdessen den $\cos$, so errechnest du die Wirkleistung anstelle der Blindleistung.

  • Bestimme die stromtechnischen Größen.

    Tipps

    $ R = \frac{U}{I}$

    $P_w = U_{eff} \cdot I_{eff} \cdot \cos(\Phi) $

    $P_b = U_{eff} \cdot I_{eff} \cdot \sin(\Phi) $

    Lösung

    In dieser Aufgabe unterscheiden wir wieder zwischen der Wirkleistung $P_w$ und der Blindleistung $P_b$. Die weiteren Betrachtungen gelten für einen beliebigen Widerstand im Wechselstromkreis mit Phasenverschiebung $\phi$ in $°$.

    Beginnen wollen wir mit nun den Überschneidungen: Beide Leistungen hängen ab von der effektiven Spannung $U_{eff}$ und der effektiven Stromstärke $I_{eff}$. Der Zusammenhang zwischen den effektiven Größen von Strom und Spannung ist über den Widerstand geregelt. Es gilt $U_{eff} = R \cdot I_{eff}$. Der Unterschied zwischen diesen beiden Leistungen äußert sich durch die Phasenverschiebung $\Phi$. Für die Wirkleistung wird $\cos(\Phi)$ und für die Blindleistung $\sin(\Phi)$ benötigt.

    Somit ergeben sich drei Formeln zur Berechnung:

    $P_w = U_{eff} \cdot I_{eff} \cdot \cos(\Phi) $, $P_b = U_{eff} \cdot I_{eff} \cdot \sin(\Phi) $ und $ R = \frac{U}{I}$.

    Betrachten wir ein Beispiel :

    Für $U_{eff} = 1,85 V$ $I_{eff} = 1,22 A$ $\alpha = 44,7°$ ergibt sich die Wirkleistung $P_w = 1,85 V \cdot 1,22 A \cdot \cos(44,7°) = 1,60 W$. Die Blindleistung ergibt sich zu $P_b = 1,85 V \cdot 1,22 A \cdot \sin(44,7°) = 1,59 W$. In einem dritten Schritt ermitteln wir den Widerstand nach $ R = \frac{U}{I} = \frac{1,85 V}{1,22 A} = 1,52 \Omega$.

    Mit diesem Schema kannst du nun auch die übrigen Aufgaben leicht lösen.

  • Erkläre den Begriff Blindleistung.

    Tipps

    Wir können Blindleistung auch als pendelnde Energie verstehen.

    Messgeräte sind blind für diese Leistung.

    Lösung

    Die Blindleistung bezeichnet diejenige Leistung im Wechselstromkreis, die von einem Messgerät nicht wahrgenommen wird. Da das Gerät gewissermaßen blind für diesen Anteil der Leistung ist, spricht man von Blindleistung. Diese tritt sowohl bei einem kapazitiven, als auch bei einem induktiven Widerstand auf.

    Die Ursache besteht in der Zusammensetzung der Leistung: Über eine Periode gleicht sich der positive und negative Anteil der momentanen Leistung aus, da beide genau gleich groß sind. Bildet man den Mittelwert, so ergibt sich $0$. Genau diesen Mittelwert misst das Messgerät. Obwohl also eine positive beziehungsweise negative Leistung innerhalb einer halben Periode auftritt, zeigt das Gerät null an.

    Wir können die Blindleistung somit als eine pendelnde Energie verstehen, die das Stromnetz belastet.

  • Berechne die Wirkleistung.

    Tipps

    $1\cdot T = 360°$

    $T = 360° \to \frac{T}{8} = \frac{360°}{8} = 45°$

    $P_w = U_{eff} \cdot I_{eff} \cdot \cos(\phi)$

    Lösung

    Um die Wirkleistung zu berechnen, behelfen wir uns der angezeigten Formel. Hierin ist $P_w$ die Wirkleistung, $U_{eff}$ die effektive Spannung, $I_{eff}$ die effektive Stromstärke und $\phi$ die Phasenverschiebung.

    Die Verschiebung ist hier als Anteil der gesamten Umlaufdauer gegeben. Wir müssen nun zunächst in einen Phasenwinkel umrechen. Es gilt $T = 360° \to \frac{T}{8} = \frac{360°}{8} = 45°$.

    Setzen wir nun in $P_w$ ein. $P_w = 2.000 V \cdot 40 A \cdot \cos{45°} = 56.568,54 W = 56,59 kW$.

    Die Wirkleistung beträgt hier etwa $56,59 kW$.

  • Berechne die effektiven Stromstärken und die Blindleistungen.

    Tipps

    $U_{eff} = R \cdot I_{eff}$

    $P_w = U_{eff} \cdot I_{eff} \cdot \cos(\Phi) $

    $P_b = U_{eff} \cdot I_{eff} \cdot \sin(\Phi) $

    Lösung

    In dieser Aufgabe unterscheiden wir zwischen der Wirkleistung $P_w$ und der Blindleistung $P_b$. Die weiteren Betrachtungen gelten für einen beliebigen Widerstand im Wechselstromkreis mit Phasenverschiebung $\Phi$.

    Beginnen wollen wir mit den Überschneidungen: Beide Leistungen hängen ab von der effektiven Spannung $U_{eff}$ und der effektiven Stromstärke $I_{eff}$. Der Zusammenhang zwischen den effektiven Größen von Strom und Spannung ist über den Widerstand geregelt. Es gilt $U_{eff} = R \cdot I_{eff}$.

    Der Unterschied zwischen diesen beiden Leistungen äußert sich durch die Phasenverschiebung $\phi$. Für die Wirkleistung wird $ \cos(\Phi)$ und für die Blindleistung $\sin(\Phi)$ benötigt.

    Somit ergeben sich zwei Formeln zur Berechnung: $P_w = U_{eff} \cdot I_{eff} \cdot \cos(\Phi) $ und $P_b = U_{eff} \cdot I_{eff} \cdot \sin(\Phi) $.

    Betrachten wir ein Beispiel: Es sei $U_eff = 21V$, $I_eff = 0,7A$ und $\Phi = 30$. Gesucht ist die Blindleistung $P_b$. Es gilt also die Formel: $P_b = U_{eff} \cdot I_{eff} \cdot \sin(\Phi) $.

    Einsetzen liefert nun $P_b = 21V \cdot 0,7A \cdot \sin(30) = 7,35 W $. Bei gegebenen Parametern tritt also eine Blindleistung von $P_b = 7,35 W$ auf.