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Effektivwert von Wechselstrom und Wechselspannung

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Jakob Köbner
Effektivwert von Wechselstrom und Wechselspannung
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Effektivwert von Wechselstrom und Wechselspannung

Der Effektivwert von Wechselstrom und Wechselspannung

Wir wollen uns heute mit den Effektivwerten in Wechselstromkreisen in der Physik beschäftigen. Dazu solltest du schon die Grundlagen zum Wechselstrom gelernt haben. Wir erinnern uns: Eine Wechselspannung ist eine Spannung, die periodisch mit einer Frequenz $\omega$ ihre Polung wechselt und über folgende Gleichung beschrieben werden kann:

$U(t) = \hat{U} \cdot cos(\omega t) $

Dabei ist $\hat{U}$ der Maximalwert der Spannung, auch Scheitelspannung genannt. Erweitern wir den Stromkreis um einen Verbraucher $R$, fließt ein ebenso periodischer Strom, den wir mit der folgenden Gleichung beschreiben können:

$I = \hat{I} \cdot cos(\omega t)$

Dabei ist $\hat{I}$ die maximale Stromstärke, auch Scheitelstromstärke genannt.

Mittlere elektrische Leistung

Die elektrische Leistung können wir als Produkt aus Stromstärke und Spannung berechnen:

$P_{el}(t) = U(t) \cdot I(t) = \hat{U} \cdot \hat{I} \cdot cos^{2}(\omega t)$

Die Leistung ist im Wechselstromkreis also eine periodische Funktion. Analog zu Scheitelspannung $\hat{U}$ und Scheitelstromstärke $\hat{I}$ gibt es auch eine Scheitelleistung $\hat{P}$, die den Maximalwert der Leistung angibt. Diese können wir mithilfe des ohmschen Gesetzes auch folgendermaßen aufschreiben:

$\hat{I} = \frac{\hat{U} }{R} \underbrace{\Rightarrow}_{\text{Einsetzen in }P=UI} \hat{P} = \frac{\hat{U}^{2} }{R} $

In der Regel interessiert uns allerdings nicht der Maximalwert oder der zeitliche Verlauf der Leistung, sondern die über eine gewisse Zeit im Mittel erzeugte Leistung. Die entscheidenden Kenngrößen dafür sind die Effektivwerte der Wechselspannung und der Wechselstromstärke. Wir betrachten zunächst die Definition:

Effektivwert der Wechselspannung – Definition

Der Effektivwert einer Wechselspannung gibt die Größe einer fiktiven Gleichspannung an, die am gleichen ohmschen Widerstand in der gleichen Zeit die gleiche Leistung liefern würde.

Wir wollen uns jetzt etwas näher anschauen, wie man den Effektivwert der Wechselspannung berechnen kann. Dazu benötigen wir zunächst die mittlere Leistung $\overline{P}_{el}$, also die Leistung, die in einer Periode $T$ umgesetzt wird, geteilt durch die Länge der Periode. Mathematisch betrachtet entspricht die umgesetzte Leistung dem Integral über eine Periode $T$ und somit folgt:

$\overline{P}_{el} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} U_0 \cdot I_0 \cdot cos^{2}(\omega t) \,dt $

Im Falle sinus- oder cosinusförmiger Wechselspannungen können wir uns die mittlere Leistung aber auch etwas anschaulicher machen. Denn das Integral über eine Periode gibt den Flächeninhalt unter der Funktion an. Tragen wir in einem Koordinatensystem $P_{el}$ über $t$ auf und zeichnen eine horizontale Linie bei der Hälfte des Scheitelwerts, sehen wir, dass die abgeschnittenen Spitzen genau in die Täler der Funktion passen.

Effektivwert Wechselspannung Physik

Die Fläche unter der Funktion können wir also mit Hilfe eines Rechtecks beschreiben, das die Seitenlängen $\frac{1}{2}\hat{P}_{el}$ und $T$ hat. Da wir für den Mittelwert wieder durch eine Periode teilen müssen, erhalten wir genau:

$\overline{P}_{el} = \frac{1}{2} \frac{\hat{U}^{2}}{R}$

Nach der Definition des Effektivwerts muss das aber gerade der Leistung $P_{eff} = \frac{U_{eff}^{2}}{R}$ entsprechen, die die Effektivspannung am selben ohmschen Widerstand erzeugen würde. Wir erhalten also:

$\overline{P}_{el} = \frac{1}{2} \frac{\hat{U}^{2}}{R} = \frac{U_{eff}^{2}}{R} ~ ~ ~ ~ |\cdot R$

$\Rightarrow U_{eff}^{2} = \frac{1}{2} \hat{U}^{2}$

Jetzt ziehen wir auf beiden Seiten die Wurzel und erhalten für den Effektivwert der Spannung die Formel:

$U_{eff} = \frac{\hat{U}}{\sqrt{2}}$

Effektivwert der Wechselstromstärke – Definition

Auf dieselbe Weise lässt sich auch für den Effektivwert des Wechselstroms eine mathematische Definition herleiten. Dazu muss in der Formel für die Leistung lediglich $U$ statt $I$ mit Hilfe des ohmschen Gesetzes ersetzt werden. Man erhält:

$I_{eff} = \frac{\hat{I}}{\sqrt{2}}$

Dieses Video

In diesem Video wird dir der Effektivwert einfach erklärt. Du erfährst, wie man Effektivwerte für Wechselspannung und Wechselstrom in der Physik berechnen kann. Neben Video und Text findest du auch Übungen, in denen du unter anderem üben kannst, den Effektivwert zu berechnen – anhand von Beispielen.

Transkript Effektivwert von Wechselstrom und Wechselspannung

Hallo und herzlich willkommen bei Physik mit Kalle! Wir wollen uns heute aus dem Gebiet Schwingungen und Wellen mit dem Effektivwert von Wechselstrom und Wechselspannung beschäftigen. Wir lernen heute: Welche Bedeutung der Effektivwert von Wechselstrom und Wechselspannung hat und wie ich die Formeln für diese beiden Größen herleiten kann. Der Effektivwert einer Wechselspannung oder eben eines Wechselstroms gibt den Wert der Gleichspannung beziehungsweise des Gleichstroms an, der am gleichen ohmschen Widerstand in derselben Zeit identische Leistung liefern würde. U(t) und I(t) verändern sich ja mit der Zeit, der Effektivwert scheint aber konstant zu sein. Wir werden gleich sehen, der Effektivwert einer Wechselspannung oder eines Wechselstromes entspricht dem quadratischen Mittelwert von U(t) beziehungsweise I(t). Und wie es dazu kommt, das werden wir uns jetzt in der Herleitung genauer ansehen. Wir schreiben erst mal auf, was wir wissen: Die Leistung zum t ist U(t)×I(t). Außerdem wissen wir, an einem ohmschen Widerstand gilt das ohmsche Gesetz R=U(t)/I(t). Das können wir nach I umformen und wir erhalten: I(t)=U(t)/R. Das setzen wir gleich oben ein und wir erhalten: P(t)=U(t)²/R. Wir zeichnen uns zur Erinnerung noch mal den Verlauf von Wechselstrom und Wechselspannung an einem ohmschen Widerstand auf. Die Maximalwerte von Strom und Spannung hießen Scheitelstrom beziehungsweise Scheitelspannung. Im nächsten Diagramm will ich jetzt die Leistung zum Zeitpunkt t eintragen. Sie wird die gleichen Nullstellen haben, wie U im Diagramm oben. Die Kurve von P(t) sieht ungefähr so aus und ihr Maximum erhalte ich, wenn ich für U(t) die Scheitelspannung einsetze. Ich finde also ihr Maximum bei Û²/R. Damit kann ich mir aufschreiben, die Scheitelleistung ist bei Û²/R. Die Scheitelleistung interessiert mich aber nun eigentlich nicht besonders, ich möchte eher den Mittelwert der Leistung, denn der Effektivwert der Wechselspannung soll mir ja immerhin eine Gleichspannung angeben, die die gleiche Leistung erbringen würde. Diesen Mittelwert finde ich genau bei der gestrichelten Linie, also bei der Hälfte der Scheitelleistung. Ihr könnt euch das Ganze so vorstellen: Wenn ihr die Kurve grün schraffiert, in der Hälfte durchschneidet und die Berge dann in die Täler steckt, erhaltet ihr exakt ein Rechteck, also eine konstant verlaufende Leistung - den Mittelwert. Wir schreiben uns also auf: Der Mittelwert ist ½Û²/R. Und für eine Gleichstromquelle, die konstant diese Leistung liefern würde, müsste ich schreiben: = Ueff²/R. Deswegen spricht man übrigens auch von einem quadratischen Mittelwert. Im Mittelwert der Leistung kommt die Spannung quadratisch vor. Wenn ich das nun umstelle, ergibt sich: Ueff²=½Û². Und wenn ich hier die Wurzel ziehe, erhalte ich also: Ueff=Û/\sqrt2. Der Effektivwert des Wechselstroms lässt sich quasi genauso herleiten. Ich löse oben nach U auf und erhalte U(t)=I(t)×R, setze dies in die Leistung ein und erhalte die Leistung zum Zeitpunkt t ist β×R. Im grünmarkierten Kasten steht dann stattdessen: ½Î²/R=Ieff²×R. Der Widerstand kürzt sich also genauso raus und ab da ist die Herleitung wieder identisch. Ich kann also schreiben Ueff=Û/\sqrt2. Und Ieff=Î/\sqrt2. Wir wollen nochmal wiederholen, was wir heute gelernt haben: Der Effektivwert eines Wechselstroms oder einer Wechselspannung gibt den Wert eines Gleichstroms beziehungsweise einer Gleichspannung an, die am gleichen ohmschen Widerstand in derselben Zeit identische Leistung erbringen. Er entspricht dem quadratischen Mittelwert der Wechselspannung beziehungsweise des Wechselstroms. Die Formeln zur Berechnung der Effektivwerte sind: Ueff=Û/\sqrt2 und Ieff=Î/\sqrt2. So, das war's schon wieder von heute. Ich hoffe, ich konnte euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen, vielleicht bis zum nächsten Mal - euer Kalle!

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. veilleicht hätte man noch erklären können was was ist. Also zum Beispiel W ist Watt oder soetwas. Ein bisschen zu schnell geredet. Ein Beispiel zeigen wäre vielleicht schön.

    Von Kim M., vor etwa 8 Jahren

Effektivwert von Wechselstrom und Wechselspannung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Effektivwert von Wechselstrom und Wechselspannung kannst du es wiederholen und üben.
  • Definiere den Begriff Effektivwert.

    Tipps

    Warum führt man in der Wechselstromtechnik den Begriff Effektivwert ein?

    Wechselspannungssignal

    Lösung

    Da bei der Wechselspannung die Spannung periodisch in den positiven als auch in den negativen Bereich wandert, würde man theoretisch eine Durchschnittsspannung von 0 V erhalten.

    Da jedoch auch bei der Verwendung einer Wechselspannungsquelle eine Lampe leuchtet, wird schnell klar, dass dieser Mittelwert nicht relevant ist. Stattdessen bestimmt man den quadratischen Mittelwert, der Effektivwert genannt wird.

  • Vervollständige die Wechselspannungsdiagramme.

    Tipps

    Warum hat man den Begriff Scheitelspannung gewählt?

    Lösung

    Den Begriff Scheitelpunkt kennt ihr bereits aus der Mathematik. Eine Parabel hat hier ihren Maximal- oder Minimalwert. Wenn ihr also die Maximalwerte von Strom, Spannung oder Leistung bestimmt, dann sind dies ihre Scheitelwerte.

    Den Effektivwert der Leistung findest du hingegen genau bei der Hälfte der Scheitelleistung.

  • Bestimme die Effektivspannung.

    Tipps

    Überlege zuerst, was gesucht und gegeben ist und welche Formeln dazu passen.

    Zeigt ein Multimeter Effektiv- oder Scheitelwerte an?

    Lösung

    Bei einem Kondensator ist es die Scheitelspannung, die entscheidet, ob er kaputt geht.

    Wir lösen die Aufgabe, indem wir uns überlegen, was gesucht und gegeben ist und welche Formeln wir kennen. Danach wird umgeformt und eingesetzt.

    Gegeben:

    $ \hat U =10\,V$ $ I_{\text{eff}} =2\, mA$

    Gesucht:

    ${U_{\text{eff}}}, \overline P $

    Formeln:

    $\begin{align} U_{\text{eff}}^2&=\frac{1}{2}\hat U^2\\ \overline P&=\frac{\hat P}{2}=\frac{\hat U^2}{2R}\\ R&=\frac{U_{\text{eff}}}{I_\text{eff}}\\ \end{align}$

    Rechnung:

    ${U_{\text{eff}}}:$

    $\begin{align} U_{\text{eff}}^2&=\frac{1}{2}\hat U^2\\ U_{\text{eff}}&=\frac{1}{\sqrt 2}\hat U\\ &=\frac{1}{\sqrt 2}\cdot 10\,V\\ &=7,07\,V\\ \end{align}$

    $ \overline P$:

    $\begin{align} \overline P&=\frac{\hat U^2}{2R}\\ &=\frac{\hat U^2}{2\cdot \frac{U_{\text{eff}}}{I_\text{eff}}}\\ &=\frac{\hat U^2}{2\cdot U_{\text{eff}}}\cdot I_\text{eff}\\ &=\frac{(10\, V)^2}{2\cdot7,07\, V} \cdot{2\,mA}\\ &=14,14\,mW\\ \end{align}$

  • Erkläre und bestimme die Scheitelwerte.

    Tipps

    Überlege dir, was gesucht und was gegeben ist und welche Formel du verwenden kannst.

    Wenn man von Strom und Spannung in der Wechselstromtechnik redet, meint man immer Effektivwerte.

    Lösung

    Wir lösen die Aufgabe, indem wir uns überlegen, welche Größen gesucht und gegeben sind und welche Formeln wir kennen. Danach wird umgeformt und eingesetzt.

    Gegeben:

    $ U_{\text{eff}}=230\,V$ $ I_{\text{eff}} =0,5\, A$

    Gesucht:

    $\hat U, \hat P, \overline P $

    Formeln:

    $\begin{align} U_{\text{eff}}^2&=\frac{1}{2}\hat U^2\\ {\hat P}&=\frac{\hat U^2}{R}\\ \overline P&=\frac{\hat P}{2}=\frac{\hat U^2}{2R}\\ R&=\frac{U_{\text{eff}}}{I_\text{eff}}\\ \end{align}$

    Rechnung: $\hat U$:

    $\begin{align} U_{\text{eff}}^2&=\frac{1}{2}\hat U^2\\ \hat U^2&=2\cdot U_{\text{eff}}^2\\ \hat U&=\sqrt 2 \cdot U_{\text{eff}}\\ &=\sqrt 2 \cdot 230\, V\\ &=325\, V\\ \end{align}$

    $\hat P,~ \overline P$:

    $\begin{align} {\hat P}&=\frac{\hat U^2}{R}\\ &=\frac{\hat U^2}{\frac{U_{\text{eff}}}{I_\text{eff}}}\\ &=\frac{\hat U^2}{U_{\text{eff}}}\cdot I_\text{eff}\\ &=\frac{(325\, V)^2}{230, V} \cdot{0,5\,A}\\ &=230\,W\\ \overline P&=\frac{\hat P}{2}\\ &=115\,W\\ \end{align}$

  • Nenne die Formeln der Wechselstromtechnik.

    Tipps

    Wie hängen $\hat p$ und $\overline p$ zusammen?

    Lösung

    Effektivstrom und -Spannung sind jeweils um den Faktor 0,707 kleiner als ihr Scheitelwert.

    Der Mittelwert der Leistung, der einfach nur Leistung genannt wird, ist genau halb so groß wie die Scheitelleistung.

  • Bestimme Scheitel- und Effektivwerte einer Rechteckspannung.

    Tipps

    Wie bestimmt man Effektiv- und Scheitelwert bei einer sinusförmigen Spannung?

    Einen quadratischen Mittelwert berechnet man mit folgender Formel.

    Lösung

    Rechtecksignale werden beispielsweise als Taktgeber bei Prozessoren verwendet.

    Die Scheitelspannung liegt hier offensichtlich bei 5 V. Interessanter ist die Frage nach der Effektivspannung. Diese wird nicht nach der bisher bekannten Formel für ein sinusförmiges Signal $U_{\text{eff}}^2=\frac{1}{2}\hat U^2$ berechnet.

    Stell dir vor, du wärst ein Widerstand und dich interessiert nicht, in welche Richtung der Strom fließt. Dann stellst du fest, dass ständig eine Spannung von 5 V anliegt und somit permanent der gleiche Strom in abwechselnde Richtungen fließt. Die Effektivspannung ist somit gleich der Scheitelspannung.

    Man kann auch mathematisch argumentieren:

    Die Effektivspannung ist der quadratische Mittelwert der zeitlich veränderlichen Spannung. Durch das Quadrat spielt es keine Rolle, ob die Spannung + oder - 5 V beträgt, da das Quadrat jeweils 25 V² beträgt. Die Effektivspannung beträgt also immer 5 V.

    Beispiel: zwei Werte + 5 V, - 5V

    quadratischer Mittelwert:

    $U_{\text{eff}}=\sqrt{\frac{(+5\, V)^2+(-5\,V)^2}{2}}=\sqrt{\frac{50\,V}{2}}=\sqrt{25\,V}=5\, V$

    Tatsächlich gibt es keine exakten Rechteckspannungen, da der Strom von einem Moment auf den anderen die Richtung wechseln muss. Man kann es aber schaffen, dass er dies sehr schnell tut, sodass es annähernd eine Rechteckspannung ist.

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