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Isobare Zustandsänderungen

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Lerntext zum Thema Isobare Zustandsänderungen

Thermodynamische Zustandsänderungen

In diesem Text soll verständlich gemacht werden, was ein thermodynamischer Zustand ist und wie eine Änderung dieses Zustands zustande kommen kann. In Analogie zur klassischen Mechanik fragen wir, inwieweit eine Zustandsänderung in der Thermodynamik zu einer Änderung der inneren Energie führt. Um diese Frage zu beantworten, wiederholen wir ausführlich die Definition des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik und zeigen am Beispiel eines idealen Gases, inwieweit eine Zustandsänderung des Gases mit einer Änderung der in ihm gespeicherten Energie zusammenhängt.

Thermodynamische Zustände

Du bist vielleicht in der Mechanik schon einmal dem Begriff Zustand begegnet. Unter einem physikalischen Zustand versteht man ganz allgemein die Gesamtheit aller Messgrößen eines physikalischen Objekts, die es erlauben, dieses Objekt im Rahmen einer Theorie, z. B. der klassischen Mechanik, vollständig zu beschreiben. Zum Beispiel könnte ein gelber Tennisball auf dich zufliegen, der leicht eingedellt ist, doch wenn es in der klassischen Mechanik darum geht, seine Flugbahn zu berechnen, interessieren nur die Variablen Ort und Impuls dieses Balls zu einem bestimmten Zeitpunkt.

In der klassischen Mechanik des Massenpunkts ist der physikalische Zustand eines Teilchens gegebener Masse durch Ort und Impuls definiert.

Wenn du ein Gas als eine Gesamtheit (ein System) von Punktteilchen interpretiertest, die den Gesetzen der Mechanik gehorchen, wäre der Zustand dieses Systems die Gesamtheit aller Orte und Impulse der Moleküle zu einem vorgegebenen Zeitpunkt. Da es in den meisten Fällen unmöglich ist, all diese Messwerte zu kennen und mit ihnen mathematisch zu arbeiten, verwendet die Thermodynamik einen einfacheren Zustandsbegriff, der z. B. ein Gas nicht als Summe seiner Teile betrachtet, sondern als eigenständige Gesamtheit, die durch eine endliche Anzahl von Eigenschaften charakterisiert werden kann.

Der thermodynamische Zustand wird im Fall eines homogenen Gases oder einer homogenen Flüssigkeit, die chemisch definiert sind, durch die Messgrößen Temperatur $T$, Volumen $V$ und Druck $p$ vollständig charakterisiert.

Zuallermeist wird stillschweigend vorausgesetzt, dass das Gas oder die Flüssigkeit sich im Gleichgewichtszustand befindet, dass seine Messgrößen also unverändert bleiben, solange die äußeren Bedingungen sich nicht verändern. Wenn du einen Topf mit Wasser hättest, das in manchen Bereichen deutlich wärmer ist als in anderen, könntest du keinen einheitlichen Wert für die Temperatur ermitteln, der das System vollständig charakterisiert.

Zustandsgleichungen

Die Zustandsgleichung setzt die Messgrößen eines physikalischen Zustands in ein Verhältnis, das von der Theorie vorhergesagt und experimentell untersucht wird. Die Zustandsgleichung für ein homogenes, ideales Gas wird aus dem idealen Gasgesetz hergeleitet und lautet:

$p \cdot V = n\cdot R \cdot T$

$\Leftrightarrow \quad p \cdot V - n\cdot R \cdot T = 0$

Chemisch bestimmt ist das Gas durch seine Stoffmenge $n = \frac{m}{M}$, die durch seine Masse $m$ und seine molekulare Masse $M$ gegeben ist. Die Konstante $R = 8{,}314 \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol\cdot K}}$ ist universell und hat für alle Gase den gleichen Wert.

Der thermodynamische Zustand wird dementsprechend durch die Zustandsgleichung ${p \cdot V - n\cdot R \cdot T = 0}$ beschrieben, die von den drei Größen $p$, $V$ und $T$ abhängig ist. Ein thermodynamischer Zustand $\{p,V,T\}$ wird demnach mithilfe der drei Größen vollständig beschrieben. Jede der drei Größen kann durch die Auswahl von zwei der drei variablen Größen eindeutig bestimmt werden.

Zustandsänderungen

Die Änderung eines physikalischen Zustands wird durch eine äußere Einwirkung bzw. eine Wechselwirkung mit der Außenwelt auf das physikalische System verursacht. Ähnlich verhält es sich bei einem thermodynamischen Zustand, auch er kann sich durch äußere Einwirkung verändern, etwa durch Erhitzung.

Drei verschiedene Typen von Zustandsänderung bei einem idealen Gas sollen hier beispielhaft angeführt werden. Der Versuchsaufbau sieht dabei folgendermaßen aus: Ein ideales Gas befindet sich in einem Zylinder, der mit einem beweglichen Hubkolben verschlossen ist. Alle Seiten des Zylinders und auch der Hubkolben sind isoliert, lediglich der Boden des Zylinders erlaubt einen Wärmeaustausch mit der Umgebung.

Zustandsänderungen von idealem Gas im Zylinder

Die isobare Zustandsänderung – der Druck bleibt konstant

Wir betrachten die Situation, dass der Hubkolben frei aufliegt. Der Zustand des Gases ist durch die Messwerte ${p, V, T}$ gegeben. Unterhalb des Zylinders wird jetzt eine Hitzequelle gebracht, die das Gas erhitzt. Dadurch steigt der Druck des Gases auf den Hubkolben, der sich von allein anhebt und damit einen Druckausgleich schafft. Das Experiment ergibt, dass der Druck konstant geblieben ist, sich aber das Volumen und die Temperatur verändert haben. Das wird isobare Zustandsänderung genannt.

$\{p, V, T\} \stackrel{p = \text{konst.}}{\longrightarrow} \{p, V^\prime, T^\prime \}$

Die isochore Zustandsänderung – das Volumen bleibt konstant

Nun betrachte die gleiche Situation erneut, fixiere aber diesmal den Hubkolben, sodass er unbeweglich ist. Wenn das Gas erhitzt wird, steigen der Druck und die Temperatur an, das Volumen bleibt aber unverändert. Das beschreibt die isochore Zustandsänderung.

$\{p, V, T\} \stackrel{V = \text{konst.}}{\longrightarrow} \{p^\prime, V, T^\prime \}$

Die isotherme Zustandsänderung – die Temperatur bleibt konstant

Im dritten Experiment stellen wir den Zylinder auf ein Wärmereservoir mit der Temperatur $T$. Das Wärmereservoir hat die Eigenschaft, dass sich kleine Zuflüsse oder Abflüsse von Wärme faktisch nicht bemerkbar machen, sodass es praktisch immer auf $T$ bleibt. Nun heben wir den Hubkolben aktiv nach oben und erzwingen dadurch eine Veränderung des Volumens. Dadurch verändert sich auch der Druck des Gases. Nach einiger Zeit oder wenn wir den Hubkolben sehr langsam nach oben bewegt haben, wird sich die Temperatur des Gases mit jener des Wärmereservoirs ausgleichen und wieder bei $T$ sein. Die Temperatur bleibt somit konstant, was isotherme Zustandsänderung genannt wird.

$\{p, V, T\} \stackrel{T = \text{konst.}}{\longrightarrow} \{p^\prime, V^\prime, T\}$

Grafische Darstellung von Isobaren, Isochoren und Isothermen

Im $p$-$V$-Diagramm lassen sich die drei verschiedenen Typen von Zustandsänderungen eines idealen Gases gut darstellen.

Zustandsänderungen im p-V-Diagramm

Die isochore und isobare Zustandsänderung findet entlang von Geraden statt (den Isochoren bzw. Isobaren), die senkrecht zu den jeweiligen Achsen stehen. Für ein fixes $p$ (Isobar) kann das Volumen $V$ verschiedene Werte einnehmen. Der Wert von $T$ ist nicht eingezeichnet. Er kann aus der Zustandsgleichung berechnet werden. Analog verhält es sich bei der isochoren Änderung.

Bei konstanter Temperatur, also bei einer isothermen Zustandsänderung, sieht die Zustandsgleichung folgendermaßen aus:

$p(V) = \dfrac{n\cdot R \cdot T}{V}$

Da der Term $n\cdot R\cdot T$ konstant ist, ähnelt die Funktion für den Druck $p(V)$ der allgemeinen Form einer Hyperbelfunktion $f(x) = \frac{1}{x}$. Die Graphen der Funktion $p(V)$, die sogenannten Isothermen, sind somit Hyperbeln.

Isobare Zustandsänderungen – Zusammenfassung

  • Die thermodynamische Zustandsgleichung lässt sich aus der idealen Gasgleichung herleiten und lautet: $p \cdot V - n\cdot R \cdot T = 0$
  • Der thermodynamische Zustand $\{p,V,T\}$ eines Gases hängt nur von den drei Größen Druck $p$, Volumen $V$ und Temperatur $T$ ab.
  • Isobare Zustandsänderungen sind Änderungen des Systems, bei dem der Druck $p$ konstant bleibt. Das kann zum Beispiel durch einen beweglichen Kolben im Zylinder geschehen.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Isobare Zustandsänderungen

Warum gibt es keine Wärmekapazität für isotherme Zustandsänderungen?
Nenne ein Beispiel aus dem Alltag für isobare Zustandsänderungen.
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Vorschaubild einer Übung

Isobare Zustandsänderungen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Lerntext Isobare Zustandsänderungen kannst du es wiederholen und üben.
  • Fasse dein Wissen über isobare Zustände zusammen.

    Tipps

    Welche Größe bleibt bei isobaren Zustandsänderungen konstant?

    Was bedeutet dem gegenüber isochor, isotherm und adiabatisch?

    Lösung

    Isobare Zustände beschreiben Systeme oder technische Anwendungen, bei denen der Druck konstant bleibt. Das ist bei den genannten technischen Beispielen der Fall. Auf Wetterkarten werden Gebiete mit gleichen Druckverhältnissen durch Linien, den so genannten Isobaren, dargestellt.

    Ändern sich Zustände isobar, so gilt in äquivalenter Form: $p=\text {konstant}$ und $\Delta p=0$. Der Druck darf bei isobaren Zustandsänderungen also in keinem Fall schwanken.

    Neben den isobaren Zustandsänderungen (konstanter Druck) gibt es in der Thermodynamik auch isotherme (konstante Temperatur), isochore (konstantes Volumen) und adiabatische (keine Wärmeaustausch mit der Umgebung) Zustandsänderungen.

  • Beschreibe den ersten Hauptsatz der Thermodynamik in Worten.

    Tipps

    In Formelschreibweise lautet der erste Hauptsatz der Thermodynamik: $\Delta E~=~W~+~Q$.

    Darin steht $E$ für die innere Energie, $Q$ für die Wärme und $W$ für die Arbeit.

    Lösung

    Der erste Hauptsatz der Thermodynamik wird als Formel wie folgt zusammengefasst: $\Delta E~=~W~+~Q$. Darin ist $E$ die innere Energie des Systems, $W$ die Arbeit und $Q$ die Wärme. Die Änderung der inneren Energie ist demnach gleich der Summe aus Arbeit und Wärme.

    Für diesen Formelausdruck gibt es mehrere wörtliche Formulierungen. Zwei sind hier wie im Video genannt. Sie sind aber alle gleichbedeutend und du kannst dir die Variante aussuchen, die dir am besten gefällt.

    Ein System kann zum Beispiel ein abgeschlossener Behälter mit einem Gas und einem Kolben (etwa eine vorne verschlossene Spritze) sein. Die innere Energie beschreibt die Temperatur des Gases. Diese erhöht sich, wenn dem System Wärme zum Beispiel über ein Wasserbad zugeführt wird oder an diesem System Arbeit verrichtet wird. So kann unter anderem durch den Kolben das Volumen des Gases in dem Behälter verringert werden. Umgekehrt verringert sich die innere Energie des Systems und somit seine Temperatur, wenn das Gas Wärme nach außen abgibt oder Arbeit verrichtet, indem es zum Beispiel den Kolben nach außen verschiebt und das Volumen des Gases sich dabei vergrößert.

  • Entscheide anhand des Diagramms, welche der gezeigten Zustandsänderungen isobar sind.

    Tipps

    Beachte die Achsenbeschriftungen.

    Welches ist das wesentliche Merkmal isobarer Zustandsänderungen?

    Lösung

    Von den gezeigten Zustandsänderungen ist nur eine isobar, und zwar die Nummer (6). Wie an deren Graphen zu erkennen ist, ändert sich der Druck im Verlauf der Zustandsänderung nicht. Er besitzt immer einen festen Wert. Da die Druckachse die y-Achse ist, verlaufen Isobaren in diesem p-V-Diagramm also parallel zur x-Achse (also zur Volumenachse).

    Bei allen anderen gezeigten Zustandsänderungen verändert sich der Druck beständig. Sie sind daher nicht isobar. Lediglich der Graph Nummer (3) zeigt im Anfangsbereich eine isobare Zustandsänderung.

    Und noch etwas: Im Video hast du eine Isobare gesehen, die senkrecht verlief, weil dort Druck- und Volumenachse vertauscht waren. In einem Diagramm, in dem an den Achsen Druck und Volumen abgetragen sind, ist die Isobare also stets eine Parallele zur Volumenachse.

  • Identifiziere das unbekannte Gas durch Analyse seiner spezifischen Wärmekapazität.

    Tipps

    Leite dir eine Formel zur Berechnung der spezifischen Wärmekapazität von Gasen her.

    Verwende dafür die allgemeine Formel für die Wärmekapazität $C$ und stelle sie nach $C$ um: $Q=C\cdot \Delta T$.

    Setze diese Formel in die Gleichung für die spezifische Wärmekapazität ein: $c=\frac Cm$.

    In die hergeleitete Formel $c_p=\frac {Q} {\Delta T\cdot m}$ für die Berechnung der spezifischen Wärmekapazität des unbekannten Gases unter isobaren Bedingungen kannst du nun die gegebenen Größen einsetzen.

    Lösung

    Die Wärmekapazität $C$ eines Stoffes ist ganz allgemein ein Maß dafür, wie viel Wärme $Q$ er speichern kann. Es gilt der Zusammenhang $Q=C\cdot \Delta T$.

    Um verschiedenen Stoffe besser miteinander vergleichen zu können, gibt man die Wärmekapazität in Bezug auf eine bestimmte Masse $m$ (oder auch Stoffmenge) als spezifische Wärmekapazität c an, die über den Zusammenhang $c=\frac Cm$ mit der Wärmekapazität in Verbindung steht.

    Für ein Gas gilt somit unter isobaren Bedingungen durch Zusammenführen der beiden Gleichungen für die spezifische Wärmekapazität: $c_p=\frac {Q} {\Delta T\cdot m}$.

    Einsetzen der experimentell ermittelten Daten ergibt für das unbekannte Gas eine spezifische Wärmekapazität von rund $0,93\frac {kJ} {kg\cdot K}$ (siehe Rechnung). Dies kommt dem Tabellenwert von Sauerstoff sehr nahe. Daher handelte es sich bei dem unbekannten Gas sehr wahrscheinlich um Sauerstoff.

  • Gib die Formel an, mit deren Hilfe die innere Energie eines Gases bei isobaren Zustandsänderungen bestimmt werden kann.

    Tipps

    Die Formel für isobare Zustandsänderungen leitet sich aus dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik ab.

    Welche beiden Komponenten tauchen in der rechten Seite der Formel auf und wie sind sie miteinander verknüpft?

    Wie kann die Arbeit in der allgemeinen Formel für den Fall isobarer Zustandsänderungen ausgedrückt werden?

    Lösung

    Der erste Hauptsatz der Thermodynamik lautet $\Delta E=Q+W$ mit der inneren Energie $E$, der Wärme $Q$ und der Arbeit $W$.

    Für isobare Zustandsänderungen kann die Arbeit durch die Volumenarbeit $p\cdot \Delta V$ ersetzt werden, da $p=\text{konstant}$ gilt.

    In Worten ausgedrückt kannst du das zum Beispiel so formulieren: Die Änderung der inneren Energie $\Delta E$ eines Systems ist für isobare Vorgänge gleich der Summe aus der zu- oder abgeführten Wärme $Q$ und der am System oder vom System verrichteten Volumenarbeit $p\cdot \Delta V$.

  • Vergleiche die spezifische Wärmekapazität eines Gases unter isobaren und unter isochoren Bedingungen.

    Tipps

    Isochore Zustandsänderungen beschreiben Vorgänge, bei denen das Volumen des Gases stets konstant bleibt.

    Lösung

    Die spezifische Wärmekapazität eines Gases hängt also sehr maßgeblich davon ab, ob ein Gas bei Erwärmung oder Abkühlung sein Volumen ändert oder nicht.

    Diese Besonderheit von Gasen lässt sich auch anhand des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik zeigen:

    Für isochore Vorgänge gilt: $\Delta E=Q$. Die gesamte zugeführte Wärme wird beim Erwärmen in innere Energie des Gases überführt.

    Für isobare Vorgänge hingegen gilt: $\Delta E=Q+p\cdot \Delta V$. Der nötige Anteil der Volumenarbeit verringert die Erhöhung der inneren Energie.

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