Aufgaben zur magnetischen Feldstärke und Lorentzkraft

Aufgaben zur magnetischen Feldstärke und Lorentzkraft Übung

• Zeige den Zusammenhang zwischen Magnetfeldstärke und Kraft.

  Tipps

  Damit eine Kraft auf den Leiter im Magnetfeld wirkt, ist dessen Ausrichtung wichtig.

  Nur wenn der Stromfluss senkrecht zum Magnetfeld ist, wirkt eine Kraft.

  Lösung

  Um den Zusammenhang zwischen der Magnetfeldstärke $B$ und der Kraft $F$ herzustellen, können wir die folgende Formel verwenden:

  $B = \frac{ F}{I \cdot s \cdot \sin(\alpha)}$.

  Darin sind $B$ das Magnetfeld, $F$ die Kraft, $I$ die Stromstärke, $s$ die Länge des Leiters.

  Da ein Leiter nicht immer im rechten Winkel zum Magnetfeld steht, muss die Richtung des Stromes in Richtung parallel zu den Magnetfeldlinien $I_p$ und der Anteil des Stromes senkrecht zu den Magnetfeldlinien $I_s$ unterschieden werden.

  Auf den parallelen Anteil des Stroms wirkt keine Kraft. Diesen Umstand berücksichtigt man, indem der $sin$ angewandt wird. Für den Fall, dass der Leiter genau senkrecht im Magnetfeld steht ($\alpha = 90°$), ergibt sich $sin(90°) = 1$.

  Für den Fall, dass der Leiter genau parallel zu den Feldlinien steht, tritt keine Kraft auf, denn $sin(0°) = 0$.

• Bestimme die Lorentzkraft.

  Tipps

  Die Drei-Finger-Regel gilt für die Lorentzkraft.

  Magnetfeld und Lorentzkraft stehen in proportionalem Verhältnis zueinander.

  Lösung

  Um die Lorentzkraft zu bestimmen, müssen wir die Ladung $q$, die Geschwindigkeit der bewegten Ladung $v$ und das Magnetfeld $B$, in dem die Bewegung abläuft, kennen.

  Generell gilt: je größer die Ladung, das Magnetfeld und die Geschwindigkeit, desto größer ist die Lorentzkraft.

  Für ein Elektron mit $q_e = 1,6 \cdot 10^{-^9} C$ und Geschwindigkeit $v = 2 \cdot 10^6 \frac{m}{s}$ im Magnetfeld $B = 5 T$ ergibt sich $ F = q \cdot v \cdot B = 1,6 \cdot 10^{-^9} C \cdot 2 \cdot 10^6 \frac{m}{s} \cdot 5T = 0,016 N$.

  Auf ein Elektron, welches sich mit $2 \cdot 10^6 \frac{m}{s}$ in einem Magnetfeld der Stärke $5T$ bewegt, wirkt eine Kraft von $0,016 N$.

  Dabei ist es wesentlich, dass die Bewegungsrichtung des geladenen Körpers senkrecht auf dem Magnetfeld und der Kraft steht. Die Richtungen kannst du mit der Drei-Finger-Regel bestimmen.

• Bestimme die Stärken der Magnetfelder.

  Tipps

  Rechne in den Grundeinheiten.

  $B= \frac{F}{I \cdot s \cdot \sin(\alpha)}$

  Lösung

  Um das Magnetfeld aus den gegebenen Parametern zu bestimmen, benötigen wir die gezeigte Formel .

  Darin ist $B$ das gesuchte Magnetfeld, $F$ die Kraft auf den Leiter, $I$ die Stromstärke im Leiter und $s$ die Länge des Leiters. Mit $sin(\alpha)$ wird zudem die Ausrichtung des Stromflusses durch das Magnetfeld berücksichtigt.

  Betrachten wir ein Beispiel: Mit der Kraft $F = 5 \cdot 10^{-3} N$, der Stromstärke $ I = 3 A$, Leiterlänge $ s = 1 cm$ und Winkel$ \alpha = 90°$ ergibt sich nun:

  $B= \frac{F}{I \cdot s \cdot \sin(\alpha)} = \frac{ 5 \cdot 10^{-3} N}{3A \cdot 0,01m \cdot \sin(90°)} = 0,167 T = 167 mT$.

  Das Magnetfeld muss also eine Stärke von $167 mT$ haben.

  Wichtig ist, dass du in den Grundeinheiten rechnest. Forme etwa $cm$ immer in $m$ um, damit du Fehler in der Berechnung vermeiden kannst.

• Berechne die Masse.

  Tipps

  $F_L = q \cdot v \cdot B $

  $F_z = m \cdot \frac{v^2}{r}$

  $F_L = F_z \to q \cdot v \cdot B = m \cdot \frac{v^2}{r} $

  $ B = \frac {m \cdot v }{q \cdot r}$

  Lösung

  Der Ansatz bei dieser Aufgabe besteht darin, die Zentripetalkraft mit der Lorentzkraft gleichzusetzen. Aus $F_z = F_L$ folgt nach Einsetzen: $q \cdot v \cdot B = m \cdot \frac{v^2}{r}$. Zunächst einmal vereinfachen wir etwas, indem wir mit $v$ kürzen. So ergibt sich nun $q \cdot B = m \cdot \frac{v}{r}$.

  Diesen vereinfachten Ansatz können wir nun nach der Größe umstellen, die gesucht ist.

  Im Rahmen dieser Aufgabe soll die Stärke des Magnetfeldes, also $B$, ermittelt werden. Umstellen nach $B$ liefert nun : $B =\frac{m \cdot v}{r \cdot q}$.

  Setzen wir nun die gegebenen Werte ein, so ergibt sich: $B =\frac{m \cdot v}{r \cdot q} =\frac{9,1 \cdot 10^{-31} kg \cdot 3,5 \cdot 10^6 \frac{m}{s}}{2 \cdot 10^{-4}m \cdot 1.6 \cdot 10^{-19}C} = 0,0995 T = 99,5 mT$.

  Das Magnetfeld muss also $99,5 mT$ groß sein.

• Gib an, welche Formel für die Lorentzkraft gilt.

  Tipps

  Je größer die Ladung, desto größer die Lorentzkraft.

  Je größer das Magnetfeld, desto größer die Lorentzkraft.

  Lösung

  Um die Lorentzkraft zu bestimmen, die auf eine bewegte Ladung im Magnetfeld wirkt, müssen neben der Ladung $q$ auch die Geschwindigkeit $v$ und die Stärke des Magnetfeldes berücksichtigt werden.

  Es gilt: Je größer, Ladung, Geschwindigkeit und Magnetfeld, desto größer ist auch die Lorentzkraft.

  Dabei ist zu beachten, dass sich in dem gezeigten Fall Ladung $q$, Geschwindigkeit $v$ und Magnetfeld $B$ senkrecht aufeinander stehen.

  Um Fehler in der Berechnung zu vermeiden, muss auch hier in den Grundeinheiten gerechnet werden. Das bedeutet, die Geschwindigkeit ist in $\frac{m}{s}$, die Magnetfeldstärke in $T$ und die Ladung in $C$ anzugeben.

• Bestimme die Radien der bewegten Elektronen im Magnetfeld.

  Tipps

  $q_e = 1,6 \cdot 10^{-19} C$

  $q \cdot B = m \cdot \frac{v}{r}$

  $ r = \frac{m \cdot v}{q \cdot B}$

  Lösung

  Der Ansatz besteht auch bei dieser Aufgabe (vgl $4.$) darin, die Zentripetalkraft mit der Lorentzkraft gleichzusetzen.

  Aus $F_z = F_L$ folgt nach Einsetzen: $q \cdot v \cdot B = m \cdot \frac{v^2}{r}$. Zunächst einmal vereinfachen wir etwas, indem wir mit $v$ kürzen. So ergibt sich nun $q \cdot B = m \cdot \frac{v}{r}$. Diesen vereinfachten Ansatz können wir nun nach der Größe umstellen, die gesucht ist.

  In diesem Fall ist jeweils $r$ gesucht. $q \cdot B = m \cdot \frac{v}{r} \to r = \frac{m \cdot v}{q \cdot B}$ Mit dieser Formel können wir die Radien der unterschiedlichen Kreisbewegungen nun bestimmen.

  Wir schauen uns ein Beispiel an. Die Masse und Ladung des Elektrons sind konstant und mit $m_e$ und $q_e$ gegeben. Sind nun Geschwindigkeit $v = 2,7 \cdot 10^6 \frac{m}{s}$ und Magnetfeld $B = 1,3 T$ bekannt, können wir einsetzen und so $r$ bestimmen:

  $r = \frac{m \cdot v}{q \cdot B} = \frac{9,1 \cdot 10^{-31} kg \cdot 2,7 \cdot 10^6 \frac{m}{s}}{1,6 \cdot 10^{-19}C \cdot 1,3 T} = 1,18 \cdot 10^{-5} m $.

  Mit den Parametern aus der Aufgabe ergibt sich also ein Radius von $r= 1,18 \cdot 10^{-5} m$ für die Kreisbewegung des Elektrons im Magnetfeld.