Aufgaben zu Schaltungen von Spule, Kondensator und Ohm'schem Widerstand im Wechselstromkreis

Hallo. Hier ist wieder Doktor Psi. Wir beschäftigen uns heute mit einigen Aufgaben zu Schaltungen von Spule, Kondensator und Ohm’schem Widerstand im Wechselstromkreis. Vorab werden wir kurz die wichtigsten Formeln für Parallel- und Reihenschaltung wiederholen. Dann werden wir uns der Lösung von den Aufgaben zuwenden und zum Schluss werden wir eine knappe Übersicht über das Gelernte geben. Ja, ich habe mal zwei Aufgaben mitgebracht. Die erste Aufgabe handelt von einem Siebkreis, also einer Reihenschaltung von Ohm’schem Widerstand, Spule und Kondensator. Und ich habe hier mal die gegebenen Größen notiert: R=200 Omega, L=2H, C=10µF, I=0,1A, f=50Hz. Und wir suchen die Teilspannungen UR, UL, UC, die Gesamtspannung U und den Gesamtwiderstand, also die Impedanz Z, und auch die Phasenverschiebung φ. Wir wollen uns als erstes mal bei den Lösungen mit der Spannung UR beschäftigen. UR, Spannung ist gleich Widerstand mal Stromstärke, also R mal I; und wir setzen die entsprechenden Größen ein: 200 Omega mal 0,1A. Ohm ist Volt durch Ampere, Ampere kürzt sich weg, es bleibt also Volt übrig, also haben wir 20V. Da wir hier eine Textaufgabe vorliegen haben, müssten wir eigentlich bei der Zusammenfassung nachher jedes einzelne Ergebnis aufführen und in einem Antwortsatz mit notieren. Das wollen wir uns im Wesentlichen hier aus Platzgründen schenken. Nun haben wir als nächstes die Spannung UL zu berechnen. Dazu brauchen wir den induktiven Widerstand XL=Omega L. Wir setzen ein, was wir haben, Omega ist ja 2 Pi f, die Frequenz ist 50Hz, mal, dann brauchen wir 2H, und wenn wir das ausrechnen mit dem Taschenrechner, das kannst du gerne nachvollziehen, dann gewinnen wir ungefähr 628,3. Und jetzt zur Einheit: Hertz hat eins durch Sekunde, Henry ist Voltsekunde durch Ampere, die Sekunden kürzen sich weg, Voltsekunde durch Ampere, es bleibt Volt durch Ampere übrig; und Volt durch Ampere, das kannst du hier nochmal draus entnehmen, Volt durch Ampere ist Ohm. Das heißt, wir haben hier einen induktiven Widerstand von 628,3 Omega. Nun können wir damit UL berechnen. UL wäre dann analog hierzu XL mal I; XL sind 628,3 Omega, mal 0,1A; und hier gewinnen wir durch entsprechende Rundung 62,8, nicht Ohm, sondern 62,8, wir haben ja eine Spannung, Volt. Analog müssen wir für die Spannung UC vorgehen. Wir berechnen den kapazitiven Widerstand XC als eins durch Omega mal c. Und auch hier setzen wir die entsprechenden Größen ein: eins durch 2 Pi mal 50Hz mal 10 mal, wir haben ja Mikrofarad, Mikrofarad, das wären dann 10-6Farad. Auch hier überlasse ich die einzelne Ausrechnung dir, du kannst das mit dem Taschenrechner nachvollziehen, das sind dann entsprechend 318,3 Omega. Nochmal kurz zu den Einheiten: Die Einheit für Hertz ist 1/s, die Einheit für Farad ist As/V, da kürzt sich auch wieder die Sekunde raus; es bleibt übrig V/A und das sind Omega; 318,3 Omega erhalten wir da als Ergebnis. Die Spannung ist dann Uc gleich, analog hierzu XC mal I, XC sind 318,3Omega, mal 0,1A; und das ist wieder gerundet etwa 31,8, und das Ergebnis hat die Einheit Volt, 31,8V. Ja, dann brauchen wir den Widerstand, also die Impedanz Z, und diese ergibt sich als Wurzel aus R² plus, ich notier das nochmal als Formel, XL minus XC in Klammern zum Quadrat. Wir setzen die entsprechenden Werte mal ein: Ich rechne jetzt ohne Einheiten hier weiter, das ist ja so üblich in der Physik; 200 zum Quadrat, XL ist 628,3, minus XC, 318,3, in Klammern zum Quadrat, das alles steht unter der Wurzel; und das sind rund 368,9. Und jetzt mit Einheit notiert: Z ist also 368,9 Omega. Das ist die Impedanz oder der Scheinwiderstand im Siebkreis. Nun ist die gesamte Spannung, die hier anliegt, U gleich, auch hier wieder analog, Z, Impedanz, mal I und die entsprechenden Werte eingesetzt; 368,9 Omega mal 0,1A und das sind rund, 36 Komma, also wir können hier ein bisschen aufrunden, das ist dann sinnvoller, rund 37V. Ja, die Phasenverschiebung, die jetzt noch fehlt, dazu hatten wir uns die Formel notiert tan()=XL-XCR, und das ist jetzt 628,3 minus, XC ist 318,3, dividiert durch 200; hier steht Ohm, hier steht Ohm, das können wir ausklammern und gegen die Ohm im Nenner kürzen, sodass wir hier einheitenfrei sind. Und wenn wir das ausrechnen, gibt das ungefähr 1,55; und wenn wir das in den Taschenrechner eingeben, tan-1(1,55), erhalten wir hier einen Phasenwinkel von ungefähr 57,2°. Ja, das wäre eigentlich die Lösung der Aufgabe. Wenn wir jetzt noch in einem Antwortsatz sämtliche unterstrichenen Werte aufführen, dann ist die Aufgabe komplett gelöst. Aber ich habe euch nochmal für diese Reihenschaltung ein Diagramm mitgebracht, das die Stromstärke über die Kreisfrequenz Omega aufträgt. Und wir sehen hier einen typischen Verlauf für einen Siebkreis, bei dem die Wechselströme der einzelnen Frequenzen umso stärker gedämpft werden, je weiter sie von der Resonanzfrequenz entfernt liegen. Ja, das wäre eine Aufgabe, die uns die Größen zeigt, die berechnet werden können oder müssen, um diesen ganzen Siebkreis in seiner Allgemeinheit zu beantworten. Als nächstes wenden wir uns dann einer Aufgabe zum Parallelkreis zu. Ja, die zweite Aufgabe behandelt einen Sperrkreis. Wir wollen eine Kapazität in Farad berechnen, wenn die Induktivität L=0,1H gegeben ist. Zusatzangaben sind natürlich die Frequenz, 50Hz, und die anderen Größen brauchen wir auch noch, um die Impedanz auszurechnen und vielleicht auch noch eine grafische Darstellung zu erzeugen; das ist R=15 Omega und U=200V. Und wir beginnen also mit der Lösung dieser Aufgabe; und wir kennen ja den Zusammenhang zwischen der Resonanzfrequenz eines Sperrkreises und der Induktivität und Kapazität. Wir wissen also, dass gilt für die Resonanzfrequenz: eins durch 2 Pi Wurzel L mal C; und wenn wir das umstellen nach C, können wir zunächst quadrieren: f0²=14²LC; dann stellen wir das so um, dass wir C und f0² austauschen und dann haben wir die Kapazität C=14²Lf0². Und wenn wir jetzt hier die entsprechenden Größen einsetzen, gewinnen wir 4Pi ², f ist 50Hz, also 50 zum Quadrat mal L, mal 0,1H, und die Einheit fehlt hier noch, das ist 1/s, das können wir nach oben setzen, also eins mal s²; und wenn wir uns jetzt erinnern, dass die Einheit für Henry Vs/A ist, dann kommt einmal die Sekunde und wir erhalten dann As/V; und wenn wir das Ganze hier ausrechnen, gewinnen wir 0,0001As/V, und das ist gleich Farad. So, damit wäre eigentlich die Aufgabe gelöst, aber wir können zur Veranschaulichung des Problems noch einmal die Grafik Stromstärke über Kreisfrequenz uns anschauen und die sehen wir hier. Wenn wir die Resonanzfrequez f0, die 50Hz, umrechnen in die Kreisfrequenz Omega, dann sind das rund 314 1/s. Und wenn wir die ganzen anderen Größen benutzen, um die, zunächst mal die Stromstärke auszurechnen und die dann in Abhängigkeit von Omega - ich habe das mal durch einen Rechner laufen lassen - dann gewinnen wir diese grafische Darstellung; und wir sehen, dass genau bei dieser Frequenz, 314, hier ein Minimum auftritt, dort ist also die Stromstärke minimal; die Impedanz ist dort maximal. Und genau diese Frequenz wird aus dem Bereich der Frequenzen der anliegenden Wechselspannung herausgefiltert; sie wird gesperrt, daher eben der Name Sperrkreis für diese Anordnung der Wechselstromwiderstände. Ja, das waren zwei Aufgaben, zwei Textaufgaben, zu Schaltungen mit Wechselstromwiderständen. Wir haben einmal einen Siebkreis vollständig berechnet mit allen Größen, die dort auftreten, und haben uns in einer grafischen Darstellung gesehen, dass dort bei einer bestimmten Frequenz, der Resonanzfrequenz des Wechselstromkreises, eine Spannung, eine Stromstärke sich ergeben hat, die maximal ist, die wird dort herausgesiebt, verstärkt. Und bei der zweiten Aufgabe haben wir uns einen Sperrkreis ausgesucht, der bei gegebener Induktivität über die Resonanzfrequenz eine notwendige Kapazität berechnet werden sollte; und auch hier haben wir in einer grafischen Darstellung gesehen, dass bei der Resonanzfrequenz ein Minimum der Stromstärke auftritt, dort wird genau diese Frequenz gesperrt. Ja, das waren zwei Aufgaben zu Wechselstromschaltungen. Ich hoffe, du hast alles verstanden und wir sehen uns bei einem der nächsten Videos von Doktor Psi wieder. Tschüss.