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Stellenwertsysteme

Binärsystem, Dezimalsystem, Zweiersystem, Zehnersystem

Verschiedene Stellenwertsysteme im Überblick

Du lernst in der Schule Zahlen kennen. Dabei beginnst du mit Zahlen bis $10$, dann kommen größere Zahlen hinzu, bis $100$ oder sogar bis zu $1.000.000$ (einer Million). All diese Zahlen haben gemeinsam, dass ihre Stellen jeweils Zehnerpotenzen sind. Das bedeutet, dass die Stellen jeweils Potenzen mit der Basis $10$ sind, also zum Beispiel $ 10^{2} = 100 $ .

Die Basis kann aber auch jede andere Zahl sein, zum Beispiel die $2$, oder die $5$. Du kannst dir auch gerne ein weiteres Stellenwertsystem mit deiner Lieblingszahl als Basis einfallen lassen.

Das Zehnersystem

902_10_Finger.jpg

Du kannst an deinen Finger immer bis $10$ abzählen. Deshalb lernst du die Zahlen, so wie sie üblicherweise auch aufgeschrieben werden, im Zehnersystem kennen. Dieses System wird auch als Dezimalsystem bezeichnet. Diese Bezeichnung kommt von dem lateinischen „decem“ für „zehn“.

Für Zahlen im Zehnersystem werden die Ziffern von $0$ bis $9$ verwendet. Die jeweiligen Stellen im Zehnersystem sind Zehnerpotenzen:

$\begin{array}{cccc} 10^0&=&1&~&10^3&=&1000&~\\ 10^1&=&10&~&10^4&=&10000&~\\ 10^2&=&100 &~&10^5&=&100000&~ \end{array}$

Schau dir ein Beispiel an:

602_Beispiel_57348.jpg

Diese Zahl kannst du auch so schreiben:

$57348=5\cdot 10^{4}+7\cdot 10^{3}+3\cdot 10^{2}+4\cdot 10^{1}+8\cdot 10^{0}$.

Das Zweiersystem

Im Zweiersystem werden nur die Ziffern $0$ und $1$ verwendet. Computer rechnen auf diese Weise. Dabei bedeutet die $0$ einfach “Strom aus” und die $1$ “Strom an”. Das Zweiersystem wird auch als Binärsystem oder Dualsystem bezeichnet.

Dieses System ist sehr alt, es lässt sich zurückverfolgen bis ins 3. Jahrhundert v.Chr. Gottfried Wilhelm Leibniz, ein deutscher Mathematiker, beschrieb das System am Anfang des 18. Jahrhunderts ausführlich.

Die Stellen in diesem System sind Zweierpotenzen:

$\begin{array}{cccc} 2^0&=&1&~&2^3&=&8&~\\ 2^1&=&2&~&2^4&=&16&~\\ 2^2&=&4 &~&2^5&=&32&~ \end{array}$

Genauso wie im Dezimalsystem kannst du jede Zahl als Summe von Produkten schreiben. Allerdings wird hier jeweils eine Zweierpotenz entweder mit $0$, oder mit $1$ multipliziert.

Sieh dir als Beispiel die Umrechnung der Zahl $55$ an:

  • Schreibe zunächst $55$ als Summe von Zweierpotenzen: $55=32+16+4+2+1$.
  • Schreibe jeden Summand als Produkt: $55=1\cdot 2^{5}+1\cdot 2^{4}+1\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}$.
  • Du siehst, die Potenz $2^{3}$ fehlt. Hier schreibst du $0\cdot 2^{3}$.
  • Gesamt erhältst du dann $55=1\cdot 2^{5}+1\cdot 2^{4}+0\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}$.
  • Wie beim Dezimalsystem lässt du nun die Potenzen weg. Dies führt zu der Zahl $110111$, welche im Binärsystem für die Zahl $55$ des Dezimalsystems steht.

Das Fünfersystem

Ebenso wie die beiden nun bereits bekannten Stellenwertsysteme ist das Fünfersystem aufgebaut:

Die Stellen sind Fünferpotenzen:

$\begin{array}{cccc} 5^0&=&1&~&5^3&=&125&~\\ 5^1&=&5&~&5^4&=&625&~\\ 5^2&=&25 &~&5^5&=&3125&~ \end{array}$

Die verwendeten Ziffern sind die Ziffern von $0$ bis $4$.

Wir schreiben nun die $55$ im Fünfersystem:

  • $55=2\cdot 25+5$
  • $55=2\cdot 5^{2}+1\cdot 5^{1}+0\cdot 5^{0}$
  • Damit ist die Darstellung von $55$ im Fünfersystem vollständig: $210$.

Zusammenfassung

Um zu wissen, welche Zahl du gerade vor dir hast, solltest du also wissen, in welchem Zahlensystem die Zahl geschrieben ist:

  • Die Zahl $55$ im Dezimalsystem ist
  • die Zahl $110111$ im Binärsystem und
  • $210$ im Fünfersystem.

Wenn du am $25.10.2002$ geboren bist, dann ist

  • der Tag im Binärsystem $11001$,
  • der Monat im Fünfersystem $20$ und
  • das Jahr lassen wir mal lieber im Dezimalsystem.

Du bist also am $11001.20.2002$ geboren. Aber das ist ja eigentlich Unsinn und das versteht auch keiner, da drei verschiedene Stellenwertsysteme verwendet werden.

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