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Die Entwicklung des Dezimalsystems

Das Dezimalsystem basiert auf zehn Ziffern und ist ein Stellenwertsystem. Es wurde ursprünglich entwickelt, um auf einfache Weise mit den zehn Fingern zählen zu können. Die Darstellung von Zahlen erfolgt durch das Verschieben der Ziffern nach links. Interessiert? Dies und vieles mehr erfahren Sie im folgenden Text!

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Team Digital
Die Entwicklung des Dezimalsystems
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse

Die Entwicklung des Dezimalsystems Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Die Entwicklung des Dezimalsystems kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Probleme der Zahlensysteme wieder.

    Tipps

    Überprüfe, wie groß die Zahlen in den Zahlensystemen werden können.

    Versuche, die Zahl $45\,238$ mit den verschiedenen Zahlensystemen darzustellen.

    Die Zahl $45\,238$ wird im ägyptischen Zahlensystem so dargestellt.

    Lösung

    In dieser Aufgabe geht es um die Probleme, die zur Entwicklung des Dezimalsystems führten.

    Im Zahlensystem der Mayas wurde mit Fingern und Zehen gezählt. Hierbei konnten die Menschen sicher bis zwanzig zählen.

    Um höhere Zahlen zählen zu können, wurden für das babylonische Zahlensystem die Glieder der Finger genutzt. Hierdurch konnte an einer Hand bis $12$ gezählt werden. Mit der zweiten Hand addierten die Menschen hinzu, wie oft sie die $12$ Glieder schon gezählt hatten. Sie kamen auf diese Weise sicher bis sechzig:

    $12+12+12+12+12= 5 \cdot12= 60$

    Im ägyptischen Zahlensystem wurden Ziffern (Zahlzeichen) genutzt, um einfach und effektiv große Zahlen darzustellen. Hierbei verwendeten die Menschen für die $1$ bis $9$ Striche und für die Zehnerpotenzen $10$, $100$, $1\,000$, $10\,000$, $100\,000$ sowie $1\,000\,000$ jeweils ein eigenes Zeichen. Da die verschiedenen Zeichen bis zur Verwendung des nächstgrößeren Zeichens sehr häufig hintereinandergeschrieben wurden, entstanden sehr lange Zahlbezeichnungen.

    Um die Zahlbezeichnungen zu verkürzen, wurden im indischen Zahlensystem der $1$ bis $9$ einzelne Ziffern zugeordnet. Beim Darstellen der $10$ rückte die Ziffer der $1$ eine Stelle weiter nach links. Jede Stelle stand auch in diesem System für eine Zehnerpotenz (ein Vielfaches von $10$). Allerdings gab es anfangs kein Zeichen, das eingesetzt wurde, wenn eine Stelle leer bleibt. Die dadurch entstehenden leeren Stellen in Zahlen machten es schwierig, bestimmte Zahlen zu unterscheiden.

    Erst durch die Einführung der $0$ konnten Zahlen, $304$ zum Beispiel, eindeutig von der $34$ unterschieden werden.

  • Bestimme die Dezimalsysteme (Zehnersysteme).

    Tipps

    In Dezimalsystemen werden für die Zehnerpotenzen $10$, $100$, $1\,000$, $10\,000$, $100\,000$ und $1\,000\,000$ andere Zahlzeichen oder eine Zusammensetzung der Ziffern $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$ und $9$ genutzt.

    Beim Aufschreiben von Zahlen wird in Dezimalsystemen bis $9$ gezählt.

    Überprüfe, ob du Ziffern für $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$ und $9$ auf den Bildern sehen kannst.

    Achte darauf, ob die $10$ eine besondere Zahl in dem Zahlensystem ist und nicht darüber hinaus gezählt wird.

    Lösung

    Für diese Aufgabe beschäftigen wir uns mit dem Erkennen von Dezimalsystemen.

    Der Name „Dezimalsystem“ oder auch „Zehnersystem“ geht auf das lateinische Wort „decem“ für „zehn“ zurück. Zehnersysteme nutzen die $10$ als besondere Zahl (Basis). Für die Zehnerpotenzen $10$, $100$, $1\,000$, $10\,000$, $100\,000$ und $1\,000\,000$ werden bestimmte Zahlzeichen oder eine Zusammensetzung der Ziffern $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$ und $9$ verwendet.

    Computer funktionieren mit dem Dualsystem. Da hierfür nur die Ziffern $0$ und $1$ genutzt werden, ist es kein Dezimalsystem.

    Im ägyptischen Zahlensystem wurden für die Ziffern $1$ bis $9$ Striche und für die Zehnerpotenzen $10$, $100$, $1\,000$, $10\,000$, $100\,000$ sowie $1\,000\,000$ jeweils ein eigenes Zeichen verwendet. Es war ein Dezimalsystem.

    Für das babylonische Zahlensystem wurden die Glieder der Finger genutzt. Hierdurch konnten die Menschen an einer Hand bis $12$ zählen. Mit der zweiten Hand addierten sie hinzu, wie oft sie die $12$ Glieder schon gezählt hatten. Sie kamen auf diese Weise sicher bis $60$. Ihr Zahlensystem hat deshalb die Basis $60$ und heißt Sexagesimalsystem. Es ist kein Dezimalsystem.

    Im indischen Zahlensystem wurden für die $1$ bis $9$ einzelne Ziffern festgelegt. Beim Darstellen der $10$ rückte die Ziffer der $1$ eine Stelle weiter nach links. (Es wurde ein Stellenwertsystem angewendet.) Jede Stelle stand in diesem System für eine Zehnerpotenz (ein Vielfaches von $10$). Es ist ein Dezimalsystem.

    Im Zahlensystem der Mayas wurde mit Fingern und Zehen gezählt. Hierbei konnten die Menschen sicher bis $20$ zählen. Ihr Zahlensystem hat deshalb die Basis $20$ und heißt Vigesimalsystem. Es ist kein Dezimalsystem.

    Die arabischen Ziffern verwenden wir. Durch eine Zusammensetzung der Ziffern $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$ und $9$ sowie die Nutzung des Stellenwertsystems können wir alle möglichen Zahlen darstellen. Es ist ein Dezimalsystem.

  • Zeige die Stellenwerte in den verschiedenen Dezimalsystemen.

    Tipps

    Überlege, welche Ziffer im römischen Zahlensystem nicht dargestellt wird.

    Bei der Zuordnung der einzelnen Stellenwerte zu den Zeichen kannst du dich an der folgenden Tabelle orientieren:

    $\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \color{#F3DB00}{\text{Tausender}} & \color{#FF66FF}{\text{Hunderter}} & \color{#66D8FF}{\text{Zehner}} & \color{#99FF32}{\text{Einer}} \\ \hline1\,000 & 100 & 10 & 1 \\ \hline M & C & X & I \\ \hline\end{array}$

    Lösung

    Diese Aufgabe dreht sich um das Vergleichen zweier Dezimalsysteme:

    Während das römische Dezimalsystem alle notwendigen Zeichen aneinanderreiht, nutzen wir ein Stellenwertsystem, in welches die Ziffern eingeordnet werden. Hierdurch wird zum einen die Verwendung der $0$ nötig. Zum anderen wird die Zahlbezeichnung besonders kurz.

    In den Aufgaben sind die $\color{#F3DB00}{\text{Tausender}}$, $\color{#FF66FF}{\text{Hunderter}}$, $\color{#66D8FF}{\text{Zehner}}$ und $\color{#99FF32}{\text{Einer}}$ folgendermaßen zu markieren:

    1) $4\color{#F3DB00}{5} \, \color{#FF66FF}{2} \color{#66D8FF}{3} \color{#99FF32} {8}$

    2) $\color{#F3DB00}{\text{MM}} \color{#FF66FF}{\text{CCC}} \color{#66D8FF}{\text{XXXXX}} ~\color{black}{=} ~\color{#F3DB00}{2} \, \color{#FF66FF}{3} \color{#66D8FF}{5} \color{#99FF32} {0}$

    3) $\color{#F3DB00}{\text{MMMMM}} \color{#66D8FF}{\text{XX}}~\color{black}{=}~ \color{#F3DB00}{5} \,\color{#FF66FF}{0} \color{#66D8FF}{ 2} \color{#99FF32}{0}$

    4) $\color{#F3DB00}{\text{MMMM}} \color{#FF66FF}{\text{CD}} \color{#99FF32}{\text{II}} ~\color{black}{=} ~\color{#F3DB00}{ 4} \,\color{#FF66FF}{ 4} \color{#66D8FF}{ 0} \color{#99FF32}{2}$

    5) $\color{#F3DB00}{\text{MMMMMMMM}} \color{#66D8FF}{\text{XXXX}} \color{#99FF32}{\text{III}} ~\color{black}{=}~ \color{#F3DB00}{ 8} \, \color{#FF66FF}{ 0} \color{#66D8FF}{ 4} \color{#99FF32}{ 3}$

    6) $\color{#F3DB00}{\text{MMMMMM}} \color{#FF66FF}{\text{CM}} \color{#66D8FF}{\text{XXXX}} ~\color{black}{=} ~\color{#F3DB00}{ 6} \,\color{#FF66FF}{ 9} \color{#66D8FF}{4} \color{#99FF32}{0}$

  • Untersuche die Auswirkung der Null an verschiedenen Stellen.

    Tipps

    Die Abkürzungen in der Stellentafel stehen für folgende Bezeichnungen:

    • ZT = Zehntausender
    • T = Tausender
    • H = Hunderter
    • Z = Zehner
    • E = Einer

    Der Wert der Zahlen an den Stellen steigt von rechts nach links:

    ZT $>$ T $>$ H $>$ Z $>$ E

    Sehr kleine Zahlen haben niedrige Ziffern an den größten Stellenwerten:

    $1 < 6$

    Sehr große Zahlen haben hohe Ziffern an den größten Stellenwerten:

    $75\,631 > 57\,631$

    Alle Nullen, die links neben der ersten anderen Ziffer stehen, verändern den Wert der Zahl nicht.

    Die folgende Stellenwerttafel zeigt zum Beispiel die Zahl $6$:

    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} &\text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 0& 0 & 0 & 0 & 6 \\ \hline\end{array}$

    Lösung

    Hier wird die Funktion der Null gezeigt. Sie markiert leere Stellen und kann dadurch den Wert einer Zahl verändern.

    Um mit den Ziffern $0$, $2$, $0$, $0$ und $9$ unterschiedlich große Zahlen zu bilden, müssen die Nullen an die richtige Stelle gesetzt werden. Dabei hilft es, zunächst zu bedenken, dass alle Nullen, die links neben der ersten anderen Ziffer stehen, den Wert der Zahl nicht verändern.

    Um eine möglichst kleine Zahl zu bilden, tragen wir alle Nullen links neben den anderen Ziffern ein:

    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} &\text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 0& 0 & 0 & 2 & 9\\ \hline 0& 0 & 0 & 9 & 2 \\ \hline\end{array}$

    Da die $29$ eine Zwei und die $92$ eine Neun an der größten Stelle (der Zehnerstelle) haben, ergibt sich:

    $29<92$

    Um eine möglichst große Zahl zu bilden, tragen wir alle Nullen rechts neben den anderen Ziffern ein:

    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} &\text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 2 & 9 & 0 & 0 & 0\\ \hline 9& 2 & 0 & 0 & 0 \\ \hline\end{array}$

    Da die $29\,000$ eine Zwei und die $92\,000$ eine Neun an der größten Stelle (der Zehntausenderstelle) haben, folgt daraus:

    $92\,000>29\,000$

    Beginnen wir beim Eintragen mit der kleinsten Zahl, entsteht diese Stellentafel:

    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} &\text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 0& 0 & 0 & 2 & 9\\ \hline 9& 2 & 0 & 0 & 0 \\ \hline\end{array}$

  • Stelle die Zahlen richtig in der Stellenwerttafel dar.

    Tipps

    Vergleiche die Zahlen $2\,353$ und $40\,821$, um herauszufinden, welche du zuerst einsetzen musst.

    Es kann helfen, wenn du dir dafür die Anzahl der Stellen anschaust wie in diesem Beispiel:

    $1\,000 < 10\,000$

    Beginne beim Einsetzen der Ziffern mit dem Einer: Er steht ganz rechts.

    In dem folgenden Beispiel ist der Einer der Zahl $6\,47\color{#99CC00}{8}$ schon in die Stellenwerttafel eingesetzt worden:

    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} &\text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline & & & & \color{#99CC00}{8} \\ \hline\end{array}$

    Ziehe danach den Zehner, den Hunderter und den Tausender in das richtige Feld.

    Lösung

    In dieser Aufgabe hast du die Zahlen $2\,353$ und $40\,821$ nach ihrem Stellenwerten notiert.
    Hierfür ordnen wir die Ziffern von rechts nach links ihren Stellenwerten zu.

    Die $2\,353$ hat eine Drei an der Einerstelle (E), eine Fünf an der Zehnerstelle (Z), eine Drei an der Hunderterstelle (H) und eine Zwei an der Tausenderstelle (T). Die Zehntausenderstelle (ZT) bleibt leer.

    Die $40\,821$ hat eine Eins an der Einerstelle (E), eine Zwei an der Zehnerstelle (Z), eine Acht an der Hunderterstelle (H), eine Null an der Tausenderstelle (T) und eine Vier an der Zehntausenderstelle (ZT).

    Beim Vergleichen der beiden Zahlen wird deutlich, dass die $2\,353$ keine Zehntausenderstelle (ZT) besitzt. Sie ist also kleiner als die $40\,821$:

    $2\,353 < 40\,821$

    Es entsteht folgende Stellentafel:

    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline &\text{ZT} &\text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E}\\ \hline \text{kleinere Zahl} & & 2 & 3 & 5 & 3 \\ \hline \text{größere zahl} & 4 & 0 & 8 & 2 & 1 \\ \hline\end{array}$

  • Leite aus den Angaben die Zahl her.

    Tipps

    Eine Stellenwerttafel hilft dir, die Angaben wie im nachfolgenden Beispiel in Zahlen umzuformen:

    $8$ZT $0$T $6$H $1$Z $3$E

    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} & \text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 8& 0 & 6 & 1 & 3 \\ \hline\end{array}$

    $8$ZT $0$T $6$H $1$Z $3$E $= 80\,613$

    Achte auf die Reihenfolge der Stellenwerte:

    $8$Z $0$T $6$E $1$ZT $3$H

    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} & \text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 1& 0 & 3 & 8 & 6 \\ \hline\end{array}$

    $8$Z $0$T $6$E $1$ZT $3$H $= 10\,386$

    Überprüfe, ob Angaben einzelner Stellenwerte über $10$ sind: Unser Dezimalsystem führt dazu, dass die Werte in die nächsthöhere Stelle übernommen werden müssen.

    Beispiel:

    $10$E $=$ $1$Z

    $19$E $=$ $1$Z $9$E

    $8$ZT $0$T $6$H $1$Z $\color{#99CC00}{19}$E $=$ $8$ZT $0$T $6$H $\color{#99CC00}{2}$Z $\color{#99CC00}{9}$E

    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} & \text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 8 & 0 & 6 & \color{#99CC00}{2} & \color{#99CC00}{9} \\ \hline\end{array}$

    $8$ZT $0$T $6$H $1$Z $19$E $= 80\,629$

    Lösung

    Hier waren die Angaben in unserem Stellenwertsystem der passenden Zahl zuzuordnen.
    Es kann dafür hilfreich sein, eine Stellenwerttafel aufzuzeichnen und die einzelnen Ziffern in die richtige Stelle einzutragen.

    Für die verschiedenen Aufgaben würde das folgendermaßen aussehen:

    Aufgabe 1:

    $5$ZT $0$T $4$H $0$Z $5$E

    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} & \text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 5& 0 & 4 & 0 & 5 \\ \hline\end{array}$

    $5$ZT $0$T $4$H $0$Z $5$E $=50\,405$

    Aufgabe 2:

    $4$E $0$Z $4$ZT $5$T $5$H

    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} & \text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 4& 5 & 5 & 0 & 4 \\ \hline\end{array}$

    $4$E $0$Z $4$ZT $5$T $5$H $=45\,504$

    Aufgabe 3:

    $0$ZT $4$T $5$H $3$Z $\color{#99CC00}{15}$E $=0$ZT $4$T $5$H $\color{#99CC00}{4}$Z $\color{#99CC00}{5}$E

    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} & \text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 0 & 4 & 5 & 4 & 5 \\ \hline\end{array}$

    $0$ZT $4$T $5$H $3$Z $15$E $=4\,545$

    Aufgabe 4:

    $4$E $5$Z $5$H $0$T $4$ZT

    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} & \text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 4& 0 & 5 & 5 & 4 \\ \hline\end{array}$

    $4$E $5$Z $5$H $0$T $4$ZT $=40\,554$

    Aufgabe 5:

    $0$ZT $0$T $0$H $4$Z $\color{#99CC00}{14}$E $=0$ZT $0$T $0$H $\color{#99CC00}{5}$Z $\color{#99CC00}{4}$E

    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} & \text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 0 & 0 & 0 & 5 & 4 \\ \hline\end{array}$

    $0$ZT $0$T $0$H $4$Z $14$E $=54$

    Aufgabe 6:

    $4$E $0$Z $5$H $0$T $0$ZT

    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{ZT} & \text{T} & \text{H} & \text{Z} & \text{E} \\ \hline 0 & 0 & 5 & 0 & 4 \\ \hline\end{array}$

    $4$E $0$Z $5$H $0$T $0$ZT $=504$