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Zuordnung – Zeit zu Füllhöhe

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Zuordnung – Zeit zu Füllhöhe
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Zuordnung – Zeit zu Füllhöhe

Dir wird erklärt, wie man das Prinzip, Größen zueinander in Beziehung zu setzen, verstehen kann. Der alltägliche Vorgang „Wasser in ein Gefäß gießen“ soll als Graph im Koordinatensystem dargestellt werden. Wie verläuft der Graph, wenn man in ein Gefäß gleichmäßig Wasser eingießt? Im Koordinatensystem werden die mathematischen Größen Füllhöhe und Zeit zueinander in Beziehung gesetzt. Du siehst drei verschiedene Gefäße, für die die jeweiligen Zuordnungen verschieden aussehen. Wie man auf die entsprechenden Graphen kommt und wieso die drei Graphen ganz unterschiedlich aussehen, wird dir genau erklärt. Nachdem du das Video gesehen hast, weißt du, wie du zwei verschiedene Größen in ein Koordinatensystem einträgst und wie du diese mit Hilfe einer Zuordnung in Beziehung setzen kannst.

Transkript Zuordnung – Zeit zu Füllhöhe

Hallo. Eine Möglichkeit Grafen zu bekommen, die erhält man, wenn man in solche Behälter Flüssigkeiten reingießt, und zwar gleichmäßig hineingießt. Das möchte ich hier mal mit diesem Koordinatensystem darstellen, das ist wieder schnell gemacht. Hier soll also die Zeit eingetragen werden wieder. Das ist die Zeit und das ist die Füllhöhe. Zeit und Füllhöhe, das ist geboten. Wenn ich jetzt hier also in dieses Gefäß gleichmäßig eine Flüssigkeit einfüllen würde, was schätzt Du, wie der Graf dann verlaufen würde, wie würde sich die Füllhöhe auswirken? Also ich meine, es müsste folgendermaßen sein: Die Füllhöhe steigt gleichmäßig an, ich versuche das mal so gleichmäßig wie irgend möglich zu machen. Hier ist der Behälter dann voll und so müsste also der Graf aussehen. Wenn man ein anderes Gefäß nimmt, das hier zum Beispiel, dann können wir erst mal feststellen, dass der Querschnitt hier unten, also die Fläche, größer ist als hier. Das bedeutet, wenn man hier Wasser einfüllt, dann steigt es langsam, langsamer als hier. Wenn man ein anderes Gefäß nimmt, das hier zum Beispiel, dann können wir erst mal feststellen, dass der Querschnitt hier unten, also die Fläche, größer ist als hier. Und hier oben kommt noch etwas Interessantes hinzu, denn ich hoffe du kannst das gut und richtig sehen. Ich versuch das mal gegen mehrere Hintergründe zu halten, das es irgendwo besser wird. Ich weiß nicht. Hier oben wird das Glas auf jeden Fall kleiner, die Fläche, die Querschnittsfläche wird kleiner und wir erwarten dann auch, dass hier also das Wasser dann schneller steigt, als es hier steigt, wenn man es immer gleichmäßig hineingießt. Und das möchte ich hier mal darstellen. Wir fangen wieder bei 0 an und die Füllhöhe steigt natürlich langsamer, weil hier das Glas auch einen größeren Querschnitt hat als dieser Behälter hier. Dann kommt diese Verjüngung dazu, das Glas wird also kleiner und dann hinterher steigt es viel steiler an als vorher. Und da ist es dann voll und dann passt nichts mehr rein, wenns voll ist. Das ist hier also, dieser Bereich ist also dieser etwas lang gezogene Flaschenhals hier, da ist die Querschnittsfläche sehr klein. Wenn ich weiter gieße, wie vorher auch, steigt die Flüssigkeitm steigt der Wasserstand viel viel schneller an. So und jetzt hab ich noch diese Halbkugel hier. Ich hoffe Du kannst sie auch gut bemerken, das ist eine Halbkugel. Da könnte ich jetzt auch Flüssigkeit reingießen, was würde passieren? Zunächst ist hier die Kugel, die Halbkugel hat eine kleine Grundfläche, das bedeutet der Wasserstand, die Füllhöhe würde zunächst stark ansteigen, dann wird hier die Querschnittsfläche immer größer, dann steigt auch die Füllhöhe nicht mehr so schnell an. Also müsste dann die Funktion, also dieser Graf, den man dann bekommt, der müsste dann so aussehen. Erst steigt es ziemlich schnell und dann aber immer langsamer, es müsste eine gleichmäßige Kurve sein hier. So und dann ist das voll. So ungefähr müsste das aussehen. Ja ist nicht immer ganz leicht das so aus der Hand zu machen. So schätze ich den Verlauf ein hier ungefähr, erst steigt der Wasserspiegel sehr schnell und dann immer langsamer, weil ja auch die Querschnittsfläche immer größer wird. Es geht hier nicht darum, es hier auf den Millimeter genau zu machen, sondern darum, dass Du das Prinzip dahinter verstehst, dass Du verstehst, wie Du Größen einander zuordnen kannst und das kann man eben auch mit diesen Behältern machen und in Füllhöhen, wenn man mit gleicher Geschwindigkeit Wasser hinzugießt. Dann viel Spaß damit, bis bald. Tschüss.

10 Kommentare

10 Kommentare
  1. Hallo Bosswiss,
    danke für deinen Kommentar. Wir arbeiten stetig an der Verbesserung unserer Inhalte und freuen uns immer über Feedback. Die Aufgabe wurde verändert und ist jetzt hoffentlich verständlicher.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas D., vor etwa 2 Jahren
  2. In der Übung drei gibt es einen Fehler. es sollte heissen ``jedoch steigt der Wassepegelund der Graph wird dann immer langsamer.`` ich hatte es am Anfang nicht verstanden.

    Von Bosswiss, vor etwa 2 Jahren
  3. super danke hatte eine 1 in physik meggaaaaaaaaaaaaaa cool

    Von Ar Emmerling, vor fast 4 Jahren
  4. Weitere Beispiele fehlen, z.Bsp. Kugel, konische Verengung der gezeigten Flasche

    Von Tachenrechner, vor etwa 4 Jahren
  5. @Murat N.: Es handelt sich hier ja um eine Skizze: Es kommt nicht darauf an, dass alles perfekt gezeichnet wird. Wichtig ist nur, dass der Anstieg des Graphens umso stärker ist, je schmaler das Gefäß ist. Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

    Von Martin B., vor mehr als 4 Jahren
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Zuordnung – Zeit zu Füllhöhe Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zuordnung – Zeit zu Füllhöhe kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib den passenden Graphen an.

    Tipps

    Die Querschnittsfläche des Zylinders ist bei jeder Höhe gleich.

    Je größer oder kleiner eine Querschnittsfläche ist, desto langsamer oder schneller steigt das Wasser an dieser Stelle.

    Lösung

    Wenn man Gefäße gleichmäßig mit Wasser befüllt, dann hängt die Geschwindigkeit, mit der das Wasser steigt, von der Form des Gefäßes ab.

    Ist das Gefäß wie hier ein Zylinder, dann ist die Querschnittsfläche bei jeder Höhe gleich groß.

    Damit verändert sich bei gleichmäßigem Gießen auch die Geschwindigkeit, mit der das Wasser steigt, nicht.

    Also muss der Graph ebenso gleichmäßig ansteigen (Bild).

  • Definiere die Graphen zu jedem Gefäß.

    Tipps

    Die Größe der Querschnittsfläche bestimmt bei jedem Gefäß die Geschwindigkeit, mit der das Wasser steigt.

    An schmalen Stellen steigt das Wasser schneller als an breiten Stellen.

    Dies ist der Graph zum ersten Bild.

    So müsste der Graph bei der Schale aussehen.

    Lösung

    Betrachten wir die Flasche. Erinnere dich daran, dass die Größe der Querschnittsfläche die Geschwindigkeit beeinflusst, mit der das Wasser ansteigt.

    Bei gleichmäßigem Eingießen steigt das Wasser in der Flasche zunächst konstant, da sie im unteren Teil die Form eines Zylinders hat.

    Später wird sie nach oben immer spitzer, wodurch die Füllhöhe schneller ansteigt – hier wird der Graph wesentlich steiler.

    Bei der Schüssel ist es genau umgekehrt: Unten ist die Querschnittsfläche relativ klein. Deshalb steigt die Füllhöhe zu Beginn sehr schnell. Später, wenn die Schüssel voller und die Querschnittsfläche größer wird, steigt das Wasser immer langsamer und der Graph wird somit flacher.

  • Erläutere den Graphenverlauf zu dem Gefäß.

    Tipps

    Die Größe der Querschnittsfläche bestimmt die Geschwindigkeit, mit der Füllhöhe und Graph ansteigen.

    Lösung

    Wenn wir die Kugel mit Wasser befüllen, dann steigt das Wasser ganz zu Beginn noch schnell, da die Querschnittsfläche unten vergleichsweise klein ist.

    Doch dann wird die Kugel immer breiter, daher wird der Graph hier immer flacher – das Wasser steigt hier immer langsamer.

    Kurz bevor das Gefäß zur Hälfte befüllt ist, steigt der Graph am langsamsten. Das liegt daran, dass die Querschnittsfläche in der Mitte der Kugel maximal ist.

    Ab diesem Punkt wird die Querschnittsfläche jedoch wieder kleiner, weshalb der Graph solange immer schneller steigt, bis das Gefäß voll ist. (Bild)

  • Ermittle die Graphen, die keine Zuordnung von Zeit und Füllhöhe beim Auffüllen des Gefäßes darstellen können.

    Tipps

    Diese Graphen zeigen immer den Wasserstand während des Eingießens an.

    Wenn der Graph steigt, bedeutet das, dass die Füllhöhe steigt.

    Was bedeutet es, wenn der Graph fällt?

    Lösung

    Die Zuordnung

    Zeit $\to$ Füllhöhe

    beschäftigt sich damit, wie schnell der Wasserspiegel in bestimmten Gefäßen steigt, wenn man gleichmäßig Wasser in die Gefäße eingießt.

    Steigt der Graph schnell, steigt auch der Wasserspiegel schnell.

    Ist der Graph flach, dann steigt auch das Wasser nur langsam an.

    Jedoch kann kein Graph einer solchen Zuordnung fallen da es bedeuten würde, dass der Wasserspiegel zwischenzeitlich wieder sinkt, was bei einem konstanten Eingießen von Wasser nicht in Frage kommt.

    Somit können die beiden fallenden Graphen keine Graphen einer solchen Zuordnung sein – gemeint sind die gespiegelte Parabel und die fallende Gerade.

  • Fasse wichtige Aussagen über Zuordnungen dieser Art zusammen.

    Tipps

    Steigt das Wasser gleichmäßig, steigt auch der Graph gleichmäßig.

    An schmalen Stellen ist die Querschnittsfläche kleiner und der Graph steigt schneller.

    Lösung

    Um sich ein besseres Bild von Graphen zu Füllhöhen machen zu können, sieht man hier ein Beispiel.

    Der Graph im Bild gehört zu einem Gefäß, das die Form eines Zylinders hat.

    Da er an allen Stellen gleich dick ist und sich seine Querschnittsfläche somit nie ändert, steigt das Wasser und somit der Graph auch gleichmäßig an. In diesem Fall ist es eine Gerade.

    Weil die Querschnittsfläche die Geschwindigkeit bestimmt, mit der das Wasser steigt, kann man an schmalen Stellen sehr steile und an breiten Stellen sehr flache Graphen beobachten.

  • Ordne dem Graphen das passende Gefäß zu.

    Tipps

    An flachen Stellen des Graphen muss das Gefäß breit sein.

    An steilen Stellen des Graphen muss das Gefäß schmal sein.

    Lösung

    Betrachten wir den Verlauf des Graphen.

    Zu Beginn steigt er sehr flach an und wird dann immer steiler.

    Nach dem steilsten Punkt (etwa bei der Hälfte, also auch ungefähr in der Mitte des gesuchten Gefäßes) wird er wieder flacher.

    Zum Ende hin ist der Graph wieder sehr flach, ähnlich wie am Anfang.

    Wir suchen also ein Gefäß mit diesen Eigenschaften:

    • unten eine breite Querschnittsfläche
    • in der Mitte sehr schmal
    • oben wieder so breit wie unten
    Das Gefäß, das diese Eigenschaften besitzt, ist die Sanduhr.

    Unten ist sie noch sehr breit, weshalb Füllhöhe und Graph dort erst langsam ansteigen.

    Zur Mitte hin wird sie sehr schmal, daher der steile Graph zur Hälfte der Zeit.

    Am Ende wird die Sanduhr wieder breiter, das erklärt den zum Schluss immer flacher werdenden Graphen.

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