Zentrische Streckung einer Strecke

Zentrische Streckung einer Strecke Übung

• Ergänze den Text über die zentrische Streckung einer Strecke.

  Tipps

  Für eine zentrische Streckung benötigt man eine Strecke, einen Punkt und einen Faktor. Erinnere dich an die genauen Bezeichnungen.

  Der Abstand zwischen den beiden Endpunkten einer Strecke wird auch als Länge der Strecke bezeichnet.

  Lösung

  • Um eine zentrische Streckung durchzuführen, benötigt man eine Strecke $\overline{AB}$, ein Streckzentrum $Z$ und einen Streckfaktor $k$.

  • Unser Ziel ist es, eine neue Strecke $\overline{A_1B_1}$ zu erhalten.

  Bei $k=\frac{1}{2}$ soll die neue Strecke halb so lang sein wie die ursprüngliche Strecke $\overline{AB}$.

  Bei $k=2$ soll die neue Strecke doppelt so lang sein wie die ursprüngliche Strecke $\overline{AB}$.

  • Für die Konstruktion nutzen wir die beiden Endpunkte $A$ und $B$. Dazu verbinden wir zunächst $A$ mit dem Streckzentrum $Z$ und messen die Länge der Strecke $\overline{AZ}$. Diese multiplizieren wir mit $k$.

  • Die dadurch berechnete Länge tragen wir von $Z$ aus auf der Strecke $\overline{AZ}$ ab und erhalten dort unseren Punkt $A_1$. Auf die gleiche Weise erhalten wir unseren Punkt $B_1$.

  • Im letzten Schritt verbinden wir die Punkte $A_1$ und $B_1$ und erhalten die rot markierte Strecke, die um den Faktor $k=\frac{1}{2}$ gestreckt wurde.

  Bei einem negativen Streckfaktor wird die Strecke zusätzlich an $Z$ gespiegelt. Wir erhalten die grün markierte Strecke.

• Entscheide, bei welchen Streckfaktoren die Strecke $\overline{A_1B_1}$ entsteht.

  Tipps

  Beachte das Vorzeichen des Streckfaktors.

  Ist der Betrag des Streckfaktors größer als $1$, liegt die Strecke $\overline{A_1B_1}$ weiter entfernt vom Streckzentrum $Z$. Ist er jedoch kleiner als $1$, liegt $\overline{A_1B_1}$ näher an $Z$.

  Lösung

  Die Strecke $\overline{A_1B_1}$ ist genau halb so lang wie $\overline{AB}$. Außerdem liegt $\overline{A_1B_1}$ näher an $Z$ als $\overline{AB}$, genauer gesagt ist die Entfernung ebenfalls genau die Hälfte.

  Da $\overline{A_1B_1}$ links von $Z$ liegt, wir also die Strecke $\overline{AZ}$ über das Streckzentrum hinaus verlängert haben, muss $k$ negativ sein.

  Daher ergibt sich $k=-\frac{1}{2}=-0.5$

• Bestimme die Lage der gestreckten Strecke abhängig vom Streckfaktor.

  Tipps

  Ein negativer Streckfaktor sorgt für eine Spiegelung an $Z$.

  Bei einem Streckfaktor größer als 1 wird die Strecke länger.

  Liegt der Streckfaktor $k$ zwischen $0$ und $1$, wird die Strecke verkürzt.

  Lösung

  1) Bei einem Streckfaktor $k=1/2$ ist die gestreckte Strecke (gelb) halb so lang wie $\overline{AB}$ und liegt mittig zwischen der Strecke $\overline{AB}$ und dem Streckzentrum.

  2) Bei einem Streckfaktor $k=1$ entspricht die gestreckte Strecke $\overline{AB}$ (rot). Eine Multiplikation mit $1$ bewirkt, dass sich die Strecke weder vergrößert noch verkleinert.

  3) Bei einem Streckfaktor $k=-2$ liegt die gestreckte Strecke (blau) auf der anderen Seite von $Z$ und ist doppelt so lang wie $\overline{AB}$. Ein negativer Streckfaktor bewirkt stets eine Spiegelung an $Z$. Da der Betrag des Streckfaktors $2$ beträgt, wird die Strecke verdoppelt.

  4) Bei einem Streckfaktor $k=2$ ist die gestreckte Strecke (hellgrün) doppelt so lang wie $\overline{AB}$ und befindet sich daher weiter entfernt von $Z$ als die ursprüngliche Strecke $\overline{AB}$.

• Bestimme die Längen der Streckung.

  Tipps

  $k$ ist das Verhältnis zwischen der Länge vom Streckzentrum zum ursprünglichen Punkt und der Länge zum gestreckten Punkt.

  Lösung

  Du kannst die Aufgabe lösen, indem du die Darstellungen abzeichnest und dann selber nachmisst und ausrechnest oder nur rechnerisch:

  $k$ ist das Verhältnis zwischen der Länge vom Streckzentrum zum ursprünglichen Punkt und der Länge zum gestreckten Punkt. Wir wissen, dass wir die ursprüngliche Länge mit dem Betrag von $k$ multiplizieren, um die Länge der neuen Streckung zu erhalten.

  Zu $1)$ Wir nutzen die Formel:

  $|\overline{AZ}|\cdot |k|=|\overline{A_1Z}|$

  und setzen die Werte ein:

  $|\overline{A_1Z}|=\frac{2}{3}\cdot 9=6$

  Zu $2)$ Hier möchten wir die Länge von $\overline{A_1B_1}$ berechnen. Da diese aus $\overline{AB}$ durch Streckung mit dem Faktor $k=\frac{1}{2}$ entstanden ist, multiplizieren wir:

  $|\overline{A_1B_1}|=|\overline{AB}|\cdot |k|$.

  Mit dem Einsetzen der Werte ergibt sich:

  $|\overline{A_1B_1}|=4 \cdot \frac{1}{2}=2$.

  Zu $3)$ Nutze die umgestellte Formel aus $1)$: $|\overline{A_1Z}|=|\overline{AZ}|\cdot |k|=3\cdot |-1|=3\cdot 1=3$

  Zu $4)$ Hier wollen wir den Streckfaktor $k$ bestimmen. Dieser beschreibt das Verhältnis zwischen der Länge der neuen Strecke und Ausgangsstrecke $\overline{AB}$, also:

  $|k|=\frac{|\overline{A_1B_1}|}{|\overline{AB}|}=\frac{1}{3}$

  Da wir am Bild erkennen können, dass die Strecke durch Spiegelung an $Z$ entstanden ist, haben wir einen negativen Streckfaktor, sodass gilt:

  $k=-\frac{1}{3}$

• Beschrifte mit den entspechenden Streckfaktoren.

  Tipps

  Ist der Streckfaktor $0<k<1$, liegt die getreckte Strecke näher am Streckzentrum als die ursprüngliche Strecke $\overline{AB}$.

  Ist der Betrag des Streckfaktors größer als $1$, wird die Strecke länger.

  Bei einem negativen Streckfaktor befindet sich die gestreckte Strecke auf der anderen Seite des Streckzentrums als die ursprüngliche Strecke $\overline{AB}$.

  Lösung

  Die gestreckte Strecke $\overline{A_1B_1}$ liegt mittig zwischen $\overline{AB}$ und dem Streckzentrum $Z$ und ist halb so lang wie die ursprüngliche Strecke. Damit beträgt der Streckfaktor $k_1=\frac{1}{2}$.

  Die gestreckte Strecke $\overline{A_2B_2}$ ist doppelt so lang wie $\overline{AB}$ und liegt doppelt so weit vom Streckzentrum entfernt. Außerdem liegt sie der entgegengesetzten Seite des Streckzentrums $Z$, wurde also gespiegelt. Damit beträgt der Streckfaktor $k_2=-2$.

• Entscheide, welche Streckung korrekt durchgeführt wurde.

  Tipps

  Ein negativer Streckfaktor bewirkt eine Spiegelung an $Z$.

  Lösung

  Diese Streckungen wurden richtig durchgeführt:

  • Dreieck $DEF$ mit dem Streckfaktor $k=3$:

  Geometrisch: Das gestreckte Dreieck ist größer als das ursprüngliche Dreieck und auf der gleichen Seite vom Streckzentrum $Z$ aus, weshalb $k>1$ sein muss.

  Berechnung: $|k|=\frac{|\overline{ZA_1}|}{|\overline{ZA}|}=\frac{12\text{ cm}}{4 \text{ cm}}=3$

  • Viereck $ABCD$ mit dem Streckfaktor $k= \frac{1}{4}$

  Geometrisch: Das Viereck $A_1B_1C_1D_1$ ist kleiner als $ABCD$ und auf der gleichen Seite vom Streckzentrum, weshalb $0<k<1$ gelten muss.

  Berechnung: $|k|=\frac{|\overline{ZA_1}|}{|\overline{ZA}|}=\frac{2\text{ cm}}{8 \text{ cm}}=\frac{1}{4}$

  Diese Streckungen wurden falsch durchgeführt:

  • Dreieck $ABC$ mit dem Streckfaktor $k=-3$.

  Begründung:

  Der Betrag des Streckfaktors ist $|k|=3$, daher müsste das Dreieck $A_1B_1C_1$ dreifach vergrößert sein.

  Ein negativer Streckfaktor bewirkt eine Spiegelung am Streckzentrum $Z$, im Bild ist diese nicht vorhanden.

  • Dreieck $DEF$ mit den Streckfaktoren $k=\frac{1}{3}$ und $k=5$.

  Begründung:

  Geometrisch: Das Dreieck $D_1E_1F_1$ ist größer als das Dreieck $DEF$, daher kann es nicht durch Streckung mit dem Faktor $k=\frac{1}{3}$ entstanden sein.

  Berechnung: $|k|=\frac{|\overline{ZA_1}|}{|\overline{ZA}|}=\frac{12\text{ cm}}{4 \text{ cm}}=3$, daher ist auch $k=5$ falsch.

  • Viereck $ABCD$ mit dem Streckfaktor $k=-4$.

  Begründung:

  Geometrisch: Das Viereck $A_1B_1C_1D_1$ ist kleiner als $ABCD$. Von daher können wir den Streckfaktor $k=-4$ ausschließen.

  Berechnung: $|k|=\frac{|\overline{ZA_1}|}{|\overline{ZA}|}=\frac{2\text{ cm}}{8 \text{ cm}}=\frac{1}{4}$