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Zentrische Streckung einer Strecke

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Zentrische Streckung einer Strecke
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Zentrische Streckung einer Strecke

Eine Strecke können wir zentrisch strecken. Dazu brauchen wir ein Streckzentrum. Das kann irgendein Punkt sein. Mathematisch besteht eine Strecke aus vielen Punkten, die alle hintereinander liegen. Theoretisch strecken wir eine Strecke, indem wir jeden Punkt strecken. Das geht aber praktisch nicht, weil eine Strecke dafür viel zu viele Punkte hat. Wir können aber die Endpunkte einer Strecke strecken und diese dann zu einer Strecke verbinden. Dadurch entsteht die gleiche Strecke wie die, die entstanden wäre, wenn wir jeden Punkt gestreckt hätten. Im Video kannst du das Strecken einer Strecke an zwei Beispielen sehen. Einmal ist der Streckfaktor ½, das andere Mal ist der Streckfaktor -2.

Transkript Zentrische Streckung einer Strecke

Hey. Wenn du weißt, wie man Punkte zentrisch streckt, dann können wir uns jetzt angucken, wie man eine Strecke zentrisch streckt. In diesem Video geht es nur darum, wie das gemacht wird, ohne die Methode formal zu beweisen. Wir überlegen uns erst, was eine Strecke mathematisch eigentlich ist. Dann strecken wir diese Strecke mit dem Streckfaktor 1/2 und dann mit dem Faktor -2. Wenn wir eine Strecke zentrisch strecken möchten, brauchen wir ein Streckzentrum Z und wir brauchen eine Strecke. Mathematisch gesehen, besteht eine Strecke aus lauter Punkten, die hintereinander aufgereiht sind und hier beim Heranzoomen kannst du sehen, wie du dir das vorstellen kannst. Theoretisch könnten wir eine Strecke strecken, indem wir jeden einzelnen Punkt strecken. Das wäre aber sehr, sehr aufwändig. Viel einfacher ist es, wenn wir einfach die beiden Endpunkte der Strecke strecken, um die gestreckte Strecke zu erhalten. Wir haben ein Streckzentrum Z und wir haben eine Strecke AB und wir haben einen Streckfaktor k = 1/2 und fangen jetzt mit A an. Wir verbinden Z und A zu der Strecke AZ. Wir messen die Länge dieser Strecke und das sind, wenn ich das richtig sehe, 11,8 cm. Diese Länge multiplizieren wir mit dem Streckfaktor k, also mit 1/2 und erhalten dann 5,9. Und diese Länge 5,9 cm tragen wir jetzt von Z aus auf der Strecke AZ ab. Dann haben wir hier einen Punkt. Und das ist der durch zentrische Streckung entstandene Punkt A1. Das Gleiche machen wir jetzt mit B. Wir verbinden Z und B zu der Strecke BZ. Wir messen die Länge dieser Strecke und das sind hier 17,6. Wir multiplizieren diese Länge mit dem Streckfaktor k = 1/2 und erhalten 8,8. Wir tragen die Länge 8,8 von Z aus auf der Strecke BZ ab und das ist hier. Und das ist jetzt unser Punkt B1. Und jetzt kommt’s. Und wenn wir jetzt A1 und B1 verbinden, dann haben wir die Strecke A1 B1 und die ist aus der Strecke AB durch zentrische Streckung mit dem Streckfaktor k = 1/2 hervorgegangen. Und so schnell kann’s gehen. Jetzt kommt noch die Streckung mit dem Streckfaktor -2. Wir haben wieder die Strecke AB und unser Streckzentrum Z und wir haben einen neuen Streckfaktor, nämlich k2 und der ist gleich -2. Weil dieser Streckfaktor negativ ist, strecken wir jetzt nicht von Zentrum aus in diese Richtung, also zu A hin, sondern von A weg. Und da der Streckfaktor eben -2 ist, verlängern wir die Strecke AZ über Z hinaus und zwar um die doppelte Länge der Strecke AZ. Das haben wir gerade schon nachgemessen. Das sind 11,8 cm und das Doppelte sind dann 23,6. Und das ist dann die Länge dieser Strecke. Damit haben wir dann den gestreckten Punkt A2 erhalten, denn wir haben ja A mit dem Streckzentrum Z um -2 gestreckt und haben so A2 erhalten. Mit B können wir das Gleiche machen. Also wir verlängern die Strecke BZ über Z hinaus um die doppelte Länge der Strecke BZ. Und wir haben ja gerade schon nachgemessen, dass diese Streckenlänge hier 17,6 cm ist. Die doppelte Länge ist dann 35,2. Das kann ich hier mal direkt so anlegen. Dann haben wir, ist nicht ganz gelungen, da ist das Streckzentrum, wir haben B2, also der Punkt, der durch zentrische Streckung von B entstanden ist. Und wenn wir jetzt die beiden Punkte verbinden, erhalten wir die Strecke A2B2. Und das ist die Strecke, die durch zentrische Streckung mit dem Streckfaktor -2 aus der Strecke AB entstanden ist. So, dann sind wir fertig. Wir haben gesehen, wie wir eine Strecke zentrisch strecken und das machen wir, indem wir die Endpunkte der Strecke zentrisch strecken. Ciao

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. Wer ist das im Intro

    Von Quyenlinhdao, vor etwa einem Jahr

Zentrische Streckung einer Strecke Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zentrische Streckung einer Strecke kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze den Text über die zentrische Streckung einer Strecke.

    Tipps

    Für eine zentrische Streckung benötigt man eine Strecke, einen Punkt und einen Faktor. Erinnere dich an die genauen Bezeichnungen.

    Der Abstand zwischen den beiden Endpunkten einer Strecke wird auch als Länge der Strecke bezeichnet.

    Lösung

    • Um eine zentrische Streckung durchzuführen, benötigt man eine Strecke $\overline{AB}$, ein Streckzentrum $Z$ und einen Streckfaktor $k$.
    • Unser Ziel ist es, eine neue Strecke $\overline{A_1B_1}$ zu erhalten.
    Bei $k=\frac{1}{2}$ soll die neue Strecke halb so lang sein wie die ursprüngliche Strecke $\overline{AB}$.

    Bei $k=2$ soll die neue Strecke doppelt so lang sein wie die ursprüngliche Strecke $\overline{AB}$.

    • Für die Konstruktion nutzen wir die beiden Endpunkte $A$ und $B$. Dazu verbinden wir zunächst $A$ mit dem Streckzentrum $Z$ und messen die Länge der Strecke $\overline{AZ}$. Diese multiplizieren wir mit $k$.
    • Die dadurch berechnete Länge tragen wir von $Z$ aus auf der Strecke $\overline{AZ}$ ab und erhalten dort unseren Punkt $A_1$. Auf die gleiche Weise erhalten wir unseren Punkt $B_1$.
    • Im letzten Schritt verbinden wir die Punkte $A_1$ und $B_1$ und erhalten die rot markierte Strecke, die um den Faktor $k=\frac{1}{2}$ gestreckt wurde.
    Bei einem negativen Streckfaktor wird die Strecke zusätzlich an $Z$ gespiegelt. Wir erhalten die grün markierte Strecke.

  • Entscheide, bei welchen Streckfaktoren die Strecke $\overline{A_1B_1}$ entsteht.

    Tipps

    Beachte das Vorzeichen des Streckfaktors.

    Ist der Betrag des Streckfaktors größer als $1$, liegt die Strecke $\overline{A_1B_1}$ weiter entfernt vom Streckzentrum $Z$. Ist er jedoch kleiner als $1$, liegt $\overline{A_1B_1}$ näher an $Z$.

    Lösung

    Die Strecke $\overline{A_1B_1}$ ist genau halb so lang wie $\overline{AB}$. Außerdem liegt $\overline{A_1B_1}$ näher an $Z$ als $\overline{AB}$, genauer gesagt ist die Entfernung ebenfalls genau die Hälfte.

    Da $\overline{A_1B_1}$ links von $Z$ liegt, wir also die Strecke $\overline{AZ}$ über das Streckzentrum hinaus verlängert haben, muss $k$ negativ sein.

    Daher ergibt sich $k=-\frac{1}{2}=-0.5$

  • Bestimme die Lage der gestreckten Strecke abhängig vom Streckfaktor.

    Tipps

    Ein negativer Streckfaktor sorgt für eine Spiegelung an $Z$.

    Bei einem Streckfaktor größer als 1 wird die Strecke länger.

    Liegt der Streckfaktor $k$ zwischen $0$ und $1$, wird die Strecke verkürzt.

    Lösung

    1) Bei einem Streckfaktor $k=1/2$ ist die gestreckte Strecke (gelb) halb so lang wie $\overline{AB}$ und liegt mittig zwischen der Strecke $\overline{AB}$ und dem Streckzentrum.

    2) Bei einem Streckfaktor $k=1$ entspricht die gestreckte Strecke $\overline{AB}$ (rot). Eine Multiplikation mit $1$ bewirkt, dass sich die Strecke weder vergrößert noch verkleinert.

    3) Bei einem Streckfaktor $k=-2$ liegt die gestreckte Strecke (blau) auf der anderen Seite von $Z$ und ist doppelt so lang wie $\overline{AB}$. Ein negativer Streckfaktor bewirkt stets eine Spiegelung an $Z$. Da der Betrag des Streckfaktors $2$ beträgt, wird die Strecke verdoppelt.

    4) Bei einem Streckfaktor $k=2$ ist die gestreckte Strecke (hellgrün) doppelt so lang wie $\overline{AB}$ und befindet sich daher weiter entfernt von $Z$ als die ursprüngliche Strecke $\overline{AB}$.

  • Bestimme die Längen der Streckung.

    Tipps

    $k$ ist das Verhältnis zwischen der Länge vom Streckzentrum zum ursprünglichen Punkt und der Länge zum gestreckten Punkt.

    Lösung

    Du kannst die Aufgabe lösen, indem du die Darstellungen abzeichnest und dann selber nachmisst und ausrechnest oder nur rechnerisch:

    $k$ ist das Verhältnis zwischen der Länge vom Streckzentrum zum ursprünglichen Punkt und der Länge zum gestreckten Punkt. Wir wissen, dass wir die ursprüngliche Länge mit dem Betrag von $k$ multiplizieren, um die Länge der neuen Streckung zu erhalten.

    Zu $1)$ Wir nutzen die Formel:

    $|\overline{AZ}|\cdot |k|=|\overline{A_1Z}|$

    und setzen die Werte ein:

    $|\overline{A_1Z}|=\frac{2}{3}\cdot 9=6$

    Zu $2)$ Hier möchten wir die Länge von $\overline{A_1B_1}$ berechnen. Da diese aus $\overline{AB}$ durch Streckung mit dem Faktor $k=\frac{1}{2}$ entstanden ist, multiplizieren wir:

    $|\overline{A_1B_1}|=|\overline{AB}|\cdot |k|$.

    Mit dem Einsetzen der Werte ergibt sich:

    $|\overline{A_1B_1}|=4 \cdot \frac{1}{2}=2$.

    Zu $3)$ Nutze die umgestellte Formel aus $1)$: $|\overline{A_1Z}|=|\overline{AZ}|\cdot |k|=3\cdot |-1|=3\cdot 1=3$

    Zu $4)$ Hier wollen wir den Streckfaktor $k$ bestimmen. Dieser beschreibt das Verhältnis zwischen der Länge der neuen Strecke und Ausgangsstrecke $\overline{AB}$, also:

    $|k|=\frac{|\overline{A_1B_1}|}{|\overline{AB}|}=\frac{1}{3}$

    Da wir am Bild erkennen können, dass die Strecke durch Spiegelung an $Z$ entstanden ist, haben wir einen negativen Streckfaktor, sodass gilt:

    $k=-\frac{1}{3}$

  • Beschrifte mit den entspechenden Streckfaktoren.

    Tipps

    Ist der Streckfaktor $0<k<1$, liegt die getreckte Strecke näher am Streckzentrum als die ursprüngliche Strecke $\overline{AB}$.

    Ist der Betrag des Streckfaktors größer als $1$, wird die Strecke länger.

    Bei einem negativen Streckfaktor befindet sich die gestreckte Strecke auf der anderen Seite des Streckzentrums als die ursprüngliche Strecke $\overline{AB}$.

    Lösung

    Die gestreckte Strecke $\overline{A_1B_1}$ liegt mittig zwischen $\overline{AB}$ und dem Streckzentrum $Z$ und ist halb so lang wie die ursprüngliche Strecke. Damit beträgt der Streckfaktor $k_1=\frac{1}{2}$.

    Die gestreckte Strecke $\overline{A_2B_2}$ ist doppelt so lang wie $\overline{AB}$ und liegt doppelt so weit vom Streckzentrum entfernt. Außerdem liegt sie der entgegengesetzten Seite des Streckzentrums $Z$, wurde also gespiegelt. Damit beträgt der Streckfaktor $k_2=-2$.

  • Entscheide, welche Streckung korrekt durchgeführt wurde.

    Tipps

    Ein negativer Streckfaktor bewirkt eine Spiegelung an $Z$.

    Lösung

    Diese Streckungen wurden richtig durchgeführt:

    • Dreieck $DEF$ mit dem Streckfaktor $k=3$:
    Geometrisch: Das gestreckte Dreieck ist größer als das ursprüngliche Dreieck und auf der gleichen Seite vom Streckzentrum $Z$ aus, weshalb $k>1$ sein muss.

    Berechnung: $|k|=\frac{|\overline{ZA_1}|}{|\overline{ZA}|}=\frac{12\text{ cm}}{4 \text{ cm}}=3$

    • Viereck $ABCD$ mit dem Streckfaktor $k= \frac{1}{4}$
    Geometrisch: Das Viereck $A_1B_1C_1D_1$ ist kleiner als $ABCD$ und auf der gleichen Seite vom Streckzentrum, weshalb $0<k<1$ gelten muss.

    Berechnung: $|k|=\frac{|\overline{ZA_1}|}{|\overline{ZA}|}=\frac{2\text{ cm}}{8 \text{ cm}}=\frac{1}{4}$

    Diese Streckungen wurden falsch durchgeführt:

    • Dreieck $ABC$ mit dem Streckfaktor $k=-3$.
    Begründung:

    Der Betrag des Streckfaktors ist $|k|=3$, daher müsste das Dreieck $A_1B_1C_1$ dreifach vergrößert sein.

    Ein negativer Streckfaktor bewirkt eine Spiegelung am Streckzentrum $Z$, im Bild ist diese nicht vorhanden.

    • Dreieck $DEF$ mit den Streckfaktoren $k=\frac{1}{3}$ und $k=5$.
    Begründung:

    Geometrisch: Das Dreieck $D_1E_1F_1$ ist größer als das Dreieck $DEF$, daher kann es nicht durch Streckung mit dem Faktor $k=\frac{1}{3}$ entstanden sein.

    Berechnung: $|k|=\frac{|\overline{ZA_1}|}{|\overline{ZA}|}=\frac{12\text{ cm}}{4 \text{ cm}}=3$, daher ist auch $k=5$ falsch.

    • Viereck $ABCD$ mit dem Streckfaktor $k=-4$.
    Begründung:

    Geometrisch: Das Viereck $A_1B_1C_1D_1$ ist kleiner als $ABCD$. Von daher können wir den Streckfaktor $k=-4$ ausschließen.

    Berechnung: $|k|=\frac{|\overline{ZA_1}|}{|\overline{ZA}|}=\frac{2\text{ cm}}{8 \text{ cm}}=\frac{1}{4}$

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