Zentrische Streckung einer Strecke 06:33 min

Hey. Wenn du weißt, wie man Punkte zentrisch streckt, dann können wir uns jetzt angucken, wie man eine Strecke zentrisch streckt. In diesem Video geht es nur darum, wie das gemacht wird, ohne die Methode formal zu beweisen. Wir überlegen uns erst, was eine Strecke mathematisch eigentlich ist. Dann strecken wir diese Strecke mit dem Streckfaktor 1/2 und dann mit dem Faktor -2. Wenn wir eine Strecke zentrisch strecken möchten, brauchen wir ein Streckzentrum Z und wir brauchen eine Strecke. Mathematisch gesehen, besteht eine Strecke aus lauter Punkten, die hintereinander aufgereiht sind und hier beim Heranzoomen kannst du sehen, wie du dir das vorstellen kannst. Theoretisch könnten wir eine Strecke strecken, indem wir jeden einzelnen Punkt strecken. Das wäre aber sehr, sehr aufwändig. Viel einfacher ist es, wenn wir einfach die beiden Endpunkte der Strecke strecken, um die gestreckte Strecke zu erhalten. Wir haben ein Streckzentrum Z und wir haben eine Strecke AB und wir haben einen Streckfaktor k = 1/2 und fangen jetzt mit A an. Wir verbinden Z und A zu der Strecke AZ. Wir messen die Länge dieser Strecke und das sind, wenn ich das richtig sehe, 11,8 cm. Diese Länge multiplizieren wir mit dem Streckfaktor k, also mit 1/2 und erhalten dann 5,9. Und diese Länge 5,9 cm tragen wir jetzt von Z aus auf der Strecke AZ ab. Dann haben wir hier einen Punkt. Und das ist der durch zentrische Streckung entstandene Punkt A₁. Das Gleiche machen wir jetzt mit B. Wir verbinden Z und B zu der Strecke BZ. Wir messen die Länge dieser Strecke und das sind hier 17,6. Wir multiplizieren diese Länge mit dem Streckfaktor k = 1/2 und erhalten 8,8. Wir tragen die Länge 8,8 von Z aus auf der Strecke BZ ab und das ist hier. Und das ist jetzt unser Punkt B₁. Und jetzt kommt’s. Und wenn wir jetzt A₁ und B₁ verbinden, dann haben wir die Strecke A₁ B₁ und die ist aus der Strecke AB durch zentrische Streckung mit dem Streckfaktor k = 1/2 hervorgegangen. Und so schnell kann’s gehen. Jetzt kommt noch die Streckung mit dem Streckfaktor -2. Wir haben wieder die Strecke AB und unser Streckzentrum Z und wir haben einen neuen Streckfaktor, nämlich k₂ und der ist gleich -2. Weil dieser Streckfaktor negativ ist, strecken wir jetzt nicht von Zentrum aus in diese Richtung, also zu A hin, sondern von A weg. Und da der Streckfaktor eben -2 ist, verlängern wir die Strecke AZ über Z hinaus und zwar um die doppelte Länge der Strecke AZ. Das haben wir gerade schon nachgemessen. Das sind 11,8 cm und das Doppelte sind dann 23,6. Und das ist dann die Länge dieser Strecke. Damit haben wir dann den gestreckten Punkt A₂ erhalten, denn wir haben ja A mit dem Streckzentrum Z um -2 gestreckt und haben so A₂ erhalten. Mit B können wir das Gleiche machen. Also wir verlängern die Strecke BZ über Z hinaus um die doppelte Länge der Strecke BZ. Und wir haben ja gerade schon nachgemessen, dass diese Streckenlänge hier 17,6 cm ist. Die doppelte Länge ist dann 35,2. Das kann ich hier mal direkt so anlegen. Dann haben wir, ist nicht ganz gelungen, da ist das Streckzentrum, wir haben B₂, also der Punkt, der durch zentrische Streckung von B entstanden ist. Und wenn wir jetzt die beiden Punkte verbinden, erhalten wir die Strecke A₂B₂. Und das ist die Strecke, die durch zentrische Streckung mit dem Streckfaktor -2 aus der Strecke AB entstanden ist. So, dann sind wir fertig. Wir haben gesehen, wie wir eine Strecke zentrisch strecken und das machen wir, indem wir die Endpunkte der Strecke zentrisch strecken. Ciao