Zehnerpotenzen und Dezimalzahlen

Inhalt

• Wie rechnet man mit Zehnerpotenzen?
• Was sind Zehnerpotenzen?
• Zehnerpotenzen und Dezimalzahlen
• Dezimalzahlen potenzieren – Beispiele
• Kurze Zusammenfassung zum Video Zehnerpotenzen und Dezimalzahlen

Wie rechnet man mit Zehnerpotenzen?

In der Mathematik hast du bestimmt schon mit Potenzen gerechnet. In diesem Video gehen wir einen Schritt weiter und potenzieren Dezimalzahlen. In Dezimalzahlen sind nämlich immer Zehnerpotenzen versteckt. Um Kommazahlen potenzieren zu können, schreiben wir sie zuerst als Brüche mit Zehnerpotenzen im Nenner. Diese können wir dann multiplizieren. Als Einstieg schauen wir uns Zehnerpotenzen an.

Was sind Zehnerpotenzen?

In der Mathematik verwendet man Zehnerpotenzen zum Beispiel, um Aufgaben zu vereinfachen oder Schreibweisen abzukürzen. Auch unser Zahlsystem beruht auf dem Rechnen mit Zehnerpotenzen. Wir beginnen mit einer kleinen Liste von Zehnerpotenzen:

$ 10^{1} = 10 \newline 10^{2} = 10\cdot 10 = 100 \newline 10^{3} = 10\cdot 10 \cdot 10 = 1.000 \newline 10^{4} = 10\cdot 10 \cdot 10\cdot 10 = 10.000 $

Fällt dir etwas auf? Die Anzahl der Nullen einer Zehnerpotenz ist dasselbe wie der Exponent. Schreibst du die Zehnerpotenz $10^{7}$ als Zahl aus, so erhältst du also eine $1$ mit sieben Nullen – das ist die Zahl $10$ Millionen.

Wir schauen uns auch Zehnerpotenzen mit negativem Exponenten an. Diese sind die Kehrwerte der Zehnerpotenzen mit positiven Exponenten. Solche Zehnerpotenzen kommen bei den Nachkommastellen von Dezimalzahlen vor.

$ 10^{-1} = \frac{1}{10} \newline 10^{-2} = \frac{1}{100} \newline 10^{-3} = \frac{1}{1.000} \newline 10^{-4} = \frac{1}{10.000} $

Zehnerpotenzen und Dezimalzahlen

Um Dezimalzahlen zu potenzieren, überlegen wir uns, wie eine Dezimalzahl aufgebaut ist. Wir wählen als Beispiel die Zahl $1.234,5678$. Die erste Stelle vor dem Komma ist die Einerstelle, die zweite die Zehnerstelle. Davor kommt die Hunderterstelle, davor die Tausenderstelle und so weiter. Die erste Stelle nach dem Komma zählt die Zehntel, die zweite Stelle nach dem Komma die Hundertstel. Danach kommen die Tausendstel, dann die Zehntausendstel und so weiter.

Nachdem wir uns klar gemacht haben, dass jede Stelle einer Dezimalzahl für eine Zehnerpotenz steht, können wir die Dezimalzahl mit Zehnerpotenzen aufschreiben:

$1.234,5678 \newline = 1\cdot 10^{3} + 2 \cdot 10^{2} + 3 \cdot 10^{1} + 4 \cdot 10^{0} \newline ~ ~ + 5 \cdot 10^{-1} + 6 \cdot 10^{-2} + 7 \cdot 10^{-3} + 8 \cdot 10^{-4}$

Um diese Dezimalzahl als Bruch zu schreiben, orientieren wir uns an der kleinsten Zehnerpotenz, die in der Dezimalzahl vorkommt. Hier ist es die Zehntausendstelstelle. Schreiben wir ein Zehntausendstel als Bruch, so haben wir $\frac{1}{10.000}$. Diesen Nenner $10.000$ wählen wir auch, um die Dezimalzahl als Bruch zu schreiben. Der Zähler des Bruchs ist dann die Dezimalzahl selbst, nur ohne Komma:

$1.234,5678 = \frac{12.345.678}{10.000}$

Dezimalzahlen potenzieren – Beispiele

Um die Zahl $1,2$ zu potenzieren, schreiben wir die Zahl als Bruch: $1,2 = \frac{12}{10}$. Wir berechnen die zweite Potenz der Dezimalzahl, indem wir den Bruch potenzieren. Dazu müssen wir den Bruch mit sich selbst malnehmen, also Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner:

$(1,2)^{2} = \left(\frac{12}{10}\right)^{2} = \frac{12}{10} \cdot \frac{12}{10} = \frac{12^{2}}{10^{2}} = \frac{144}{100}$

Nun wandeln wir den Bruch wieder in eine Dezimalzahl um. Dazu schreiben wir den Zähler in Hundertern, Zehnern und Einern, sodass wir leicht die Stellenwerte der Dezimalzahl ablesen können:

$\frac{144}{100} = \frac{100 + 40+4}{100} = 1,44$

Nach diesem Prinzip kannst du jede Dezimalzahl potenzieren. Wir schauen uns ein weiteres Beispiel an. Um die dritte Potenz von $0,5$ zu berechnen, schreiben wir $0,5$ als Bruch mit einer Zehnerpotenz im Nenner: $0,5 = \frac{5}{10}$. Nun rechnen wir die dritte Potenz aus und verwandeln zurück in eine Dezimalzahl:

$0,5^{3} = \left(\frac{5}{10}\right)^{3} = \frac{5^{3}}{10^{3}} = \frac{125}{1.000}$

Um diesen Bruch wieder in eine Dezimalzahl umzuwandeln, kannst du den Zähler übernehmen und an der richtigen Stelle das Komma setzen: Für jede $0$ der Zehnerpotenz im Nenner setzt du das Komma um eine Stelle nach links. Da im Nenner $1.000$ steht, hat die Dezimalzahl drei Nachkommastellen:

$\frac{125}{1.000} = 0,125$

Wir schauen uns noch ein drittes Beispiel an und berechnen die zweite Potenz von $-1,01$. Wir schreiben die Dezimalzahl zuerst als Bruch mit einer Zehnerpotenz im Nenner und berechnen dann die zweite Potenz:

$(-1,01)^{2} = \left(-\frac{101}{100}\right)^{2}$

Nun berechnen wir die Potenzen im Zähler und im Nenner. Das Minuszeichen hebt sich auf, denn minus mal minus ergibt plus. Wir erhalten also:

$ \left(-\frac{101}{100}\right)^{2} = \frac{101^{2}}{100^{2}} = \frac{10.201}{10.000} = 1,0201$

Kurze Zusammenfassung zum Video Zehnerpotenzen und Dezimalzahlen

In diesem Video wird dir verständlich erklärt, wie man Dezimalzahlen potenziert. Dies ist eine wichtige Anwendung von Zehnerpotenzen. Zu dem Video gibt es interaktive Übungen, in denen du dein neues Wissen gleich testen kannst.