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Zehnerpotenzen – Namen für kleine Zahlen

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik

Zehnerpotenzen – Namen für kleine Zahlen

lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Zehnerpotenzen – Namen für kleine Zahlen

Herzlich Willkommen zum Video „ Zehnerpotenzen - Namen für kleine Zahlen “. Was erwartet dich in diesem Lehrvideo und was lernst du heute hinzu? Wir werden in den folgenden Minuten kleine Zahlen erstellen. Was meinen wir damit? Kleine Zahlen schreibt man meist mit Zehnerpotenzen. Wir werden dir in dem vorliegenden Video zeigen, wie man mit Zehnerpotenzen sehr kleine Zahlen herstellen kann. Du solltest hierfür den Begriff der Potenz kennen. Welchen Zahlennamen besitzen die Zehnerpotenzen? Schau dir das Video an und finde es heraus!

Transkript Zehnerpotenzen – Namen für kleine Zahlen

Hallo! Im letzten Film gab es die großen Zahlen und jetzt kommen wir zu den kleinen Zahlen. Ich fange wieder mit der 1 an. 1=100, habe ich im letzten Film schon was drüber gesagt. Hat man sich drauf geeinigt, gibt viele Möglichkeiten zu erklären, warum das vernünftig ist. Auf jeden Fall, das ist der Stand der Dinge, so macht man das heute. 1=100. 0,1=1/10, das kann man als Bruch schreiben. Man kann aber auch schreiben 10^-1. Ja, das ist jetzt vielleicht neu für Dich. Wir haben 3 verschiedene Schreibweisen für eine einzige Zahl. Es gibt natürlich noch mehr davon, aber das sind hier die 3 gängigen Schreibweisen und die haben alle so ihre Vor- und Nachteile. Deshalb werden sie nämlich alle benutzt. Die nächstkleinere Einheit, die ich hier zeigen möchte, ist 0,01 das ist also 1/100 und das schreibt man als Zehnerpotenz mit 10^-2. Denn, 100 ist ja 102, 1÷102, das ist laut Definition der negativen Exponenten, hier ist so eine Definition, ist das also 10^-2. So, das wollte ich sagen. Dann haben wir 0,001 das ist 1/1000 und das kann man auch schreiben als 10^-3. Und jetzt komme ich langsam mit dem Platz nicht mehr aus. Wir haben noch 0,0001=1/10000, das ist 10^-4 und 10^-5 kriege ich auch noch hin. 0,00001=1/100000. Ich weiß nicht, ob Du das noch sehen kannst, das ist 10^-5. Ich halte das eben hoch. Es wird jetzt sowieso immer nerviger, diese ganzen Nullen hinzuschreiben, deshalb gibt es ja auch diese viel kürzere Potenzschreibweise. 10^-5 ist schnell hingeschrieben. 0,0000 weiß ich nicht, hab ich es richtig gezählt, 1 ist ja auch egal. Ist schwieriger zu schreiben und es ist auch langweilig das zu schreiben und deshalb schreibt man das normalerweise so. Worauf ich noch hinweisen möchte, ist die Anzahl der Nullen. Da vertut man sich schon mal. Ich fange mal hier oben an. 10^-1 hat  eine 0 und zwar keine 0 nach dem Komma, sondern nur eine 0 vor dem Komma. 10^-2 hat eine 0 nach dem Komma und eine 1 nach dem Komma und eine 0 vor dem Komma. Insgesamt also 2 Nullen. Eine 0 vor dem Komma, eine 0 nach dem Komma. 10^-5 beispielsweise, hat 4 Nullen nach dem Komma, hat insgesamt 5 Stellen nach dem Komma. 4 davon sind Nullen, eine ist eine 1. Eine 0 steht vor dem Komma. Insgesamt sind es 5 Nullen. Ja, ich packe das jetzt alles mal so hier zusammen, um klar zumachen, dass man sich da schon mal vertun kann und schon mal durcheinander kommen kann. Man muss sich da selber am besten irgendein System überlegen, wie man da durchsteigt. Am besten, man merkt sich eine Sache und den Rest leitet man dann davon ab. Wie Du das machst, ist mir egal. Da gibt es viele Möglichkeiten, da kannst Du dir selbst was ausdenken. Es kommt eine nächstkleinere Zahl, 0,000001=1/1000000. Also hier 1 Million, eine 1 mit 6 Nullen. Das nennt sich 10^-6 und das ist 1 Millionstel. So, das passt gerade noch hin. 1 Millionstel, hier wieder wichtig, insgesamt 6 Nullen nach dem Komma. Stellenanzahl nach dem Komma 6, denn 5 davon sind Nullen, eine 1 ist dabei. Und so, wie es bei den großen Zahlen ist, ist es auch bei den kleinen Zahlen. Wie haben noch 0,00000, das wäre jetzt 1 Millionstel, wenn ich jetzt hier eine 1 hinschreiben würde. 1 Zehnmillionstel, 1 Hundertmillionstel und das ist 1 Milliardstel. Das schreibe ich jetzt hier nicht mehr ganz aus. Das ist 10^-9, ein Milliardstel hat 1,2,3,4,5,6,7, Entschuldigung, 8 Nullen nach dem Komma. 1,2,3,4,5,6,7,8, richtig 8 Nullen nach dem Komma, danach folgt noch eine 1. Insgesamt sind es 9 Nullen. Das ist also ein, ich muss das hier eben abtrennen, 1 Milliardstel, und wenn man mit solchen Zahlen umgeht und die oft nennen muss, dann lässt man das mit den Zahlbezeichnungen, wenn jetzt hier noch mehrere Stellen durcheinander wären, dann würde das auch immer komplizierter werden das auszusprechen. Deshalb hat sich also diese Potenzschreibweise durchgesetzt. Man schreibt einfach 10^-9 und das ist dann viel einfacher und dann weiß jeder Bescheid und das kann man auch gut aussprechen. Was dann passiert, wenn hier noch mehrere Stellen stehen, das kommt in den nächsten Filmen. Dann viel Spaß, bis dahin. Tschüss.

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. Mal wieder mein gehirn aufgeräumt

    Von Thaothanh, vor fast 7 Jahren

Zehnerpotenzen – Namen für kleine Zahlen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zehnerpotenzen – Namen für kleine Zahlen kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib zu der jeweiligen Dezimalzahl die zugehörige Zehnerpotenz an.

    Tipps

    Schreibe die jeweilige Dezimalzahl als Bruch.

    Der Nenner des entsprechenden Bruches kann durch die Stelle hinter dem Komma bestimmt werden.

    Die erste Stelle hinter dem Komma sind die Zehntel, die zweite die Hundertstel, die dritte die Tausendstel, ...

    Lösung

    Die Potenzwerte von Zehnerpotenzen $10^{-n}$ können als Dezimalzahl $0,0...01$ aufgeschrieben werden. Dabei steht die $1$ an der $n$-ten Stelle:

    • $10^0=1$, in Worten „Eins“.
    • $10^{-1}=\frac1{10}=0,1$, in Worten „Zehntel“.
    • $10^{-2}=\frac1{100}=0,01$, in Worten „Hundertstel“.
    • $10^{-3}=\frac1{1000}=0,001$, in Worten „Tausendstel“.
    • $10^{-4}=\frac1{10000}=0,0001$, in Worten „Zehntausendstel“.
    • $10^{-5}=\frac1{100000}=0,00001$, in Worten „Hunderttausendstel“.
    Man kann sich die Schreibweise auch so merken, dass in jeder der Dezimalzahlen ebenso viele Nullen, die vor dem Komma eingeschlossen sind, vorkommen, wie die Zahl $n$ im Exponenten.

  • Benenne die Zahlen.

    Tipps

    Die Zahl $1000000=10^6$ heißt Million.

    Die Zahl $1000000000=10^9$ heißt Milliarde.

    Die Zahl $\frac1{10}$ heißt Zehntel.

    Lösung

    Eine Dezimalzahl mit fünf Nullen hinter dem Komma

    $0,000001=\frac1{1000000}=10^{-6}$

    heißt Millionstel. Diese Dezimalzahl hat also insgesamt sechs Nullen, eine vor dem Komma und fünf hinter dem Komma. Die $1$ steht an der sechsten Stelle hinter dem Komma.

    Eine Dezimalzahl mit acht Nullen hinter dem Komma

    $0,000000001=\frac1{1000000000}=10^{-9}$

    heißt Milliardstel. Diese Dezimalzahl hat also insgesamt neun Nullen, eine vor dem Komma und acht hinter dem Komma. Die $1$ steht an der neunten Stelle hinter dem Komma.

  • Stelle die jeweilge Zahl als Bruch dar.

    Tipps

    Schreibe jede der Dezimalzahlen als $2\cdot 0,0...01$.

    Die Stelle der $1$ hinter dem Komma ist der Exponent der Zählerpotenz im Nenner.

    Lösung

    Zehnerpotenzen mit negativem Exponenten können als Dezimalzahlen geschrieben werden:

    $10^{-n}=0,0...01$.

    Dabei ist die Gesamtzahl der Nullen, eingeschlossen der vor dem Komma, in der Dezimalzahl gerade $n$.

    Umgekehrt kann eine Dezimalzahl auch als Potenz mit negativem Exponenten und somit als Bruch geschrieben werden. Der Nenner ergibt sich auf Grund der Anzahl der Stellen hinter dem Komma in der Dezimalzahl.

    • $0,002=2\cdot 0,001=2\cdot \frac1{1000}=\frac2{1000}$
    • $0,02=2\cdot 0,01=2\cdot \frac1{100}=\frac2{100}$
    • $0,000002=2\cdot 0,000001=2\cdot \frac1{1000000}=\frac2{1000000}$
    • $0,00002=2\cdot 0,00001=2\cdot \frac1{100000}=\frac2{100000}$

  • Ordne jeder der Dezimalzahlen die entsprechende Bezeichnung zu.

    Tipps

    Zähle die Anzahl der Nullen hinter dem Komma.

    Fünf Nullen hinter dem Komma $\rightarrow$ Millionstel.

    Acht Nullen hinter dem Komma $\rightarrow$ Milliardstel.

    Du siehst hier auch Zahlen, die weder Millionstel noch Milliardstel sind.

    Lösung
    • Eine Dezimalzahl mit fünf Nullen hinter dem Komma heißt Millionstel. Die erste Zahl ungleich $0$ steht an der sechsten Stelle hinter dem Komma.
    • Eine Dezimalzahl mit acht Nullen hinter dem Komma heißt Milliardstel. Die erste Zahl ungleich $0$ steht an der neunten Stelle hinter dem Komma.
    Die folgenden Zahlen sind Millionstel:
    • $0,00000234$
    • $0,000003141$
    Die folgenden Zahlen sind Milliardstel:
    • $0,00000000234$
    • $0,000000003141$
  • Beschreibe, wie Zehnerpotenzen aufgeschrieben werden können.

    Tipps

    Schaue dir zum Beispiel

    $10^{-5}=0,00001$

    an.

    Du kannst dir auch merken, dass bei negativen Potenzen $10^{-n}$ die $1$ in der Dezimalzahl $0,0...01$ an der $n$-ten Stelle steht.

    Lösung

    Man kann sich bei Zehnerpotenzen $10^{-n}$ mit negativen Exponenten merken, dass diese die Form $0,0...01$ haben. Dabei ist die Gesamtzahl der Nullen in dieser Zahl gerade $n$.

    Zum Beispiel hat

    • $10^{-1}=0,1$ eine Null vor dem Komma.
    • $10^{-2}=0,01$ insgesamt zwei Nullen, eine vor und eine nach dem Komma.
    • $10^{-3}=0,001$ insgesamt drei Nullen, eine vor und zwei nach dem Komma.
    • $10^{-4}=0,0001$ insgesamt vier Nullen, eine vor und drei nach dem Komma.
    • $10^{-5}=0,00001$ insgesamt fünf Nullen, eine vor und vier nach dem Komma.
    Man könnte sich auch merken, dass die $1$ in der Dezimalzahl an der $n$-ten Stelle steht.

  • Ermittle jeweils die wissenschaftliche Schreibweise.

    Tipps

    Wenn ein Taschenrechner die Zahl

    $1,234~E^{-5}$

    anzeigt, ist damit $0,00001234$ gemeint. Die $1$ steht an der fünften Stelle hinter dem Komma.

    Die Zehnerpotenz hat als Exponenten die Stelle hinter dem Komma, an welcher die erste Zahl ungleich $0$ in der Dezimalzahl steht.

    Eine solche Schreibweise gibt es auch für sehr große Zahlen:

    $1,234~E^{5}=123400$.

    Du kannst dir diese Schreibweise jeweils durch Verschiebung des Kommas

    • nach rechts bei negativen Exponenten und
    • nach links bei positiven Exponenten
    klarmachen.

    Lösung

    Die oben angegebene wissenschaftliche Schreibweise findet man häufig, wenn man sehr kleine, nahe bei $0$ liegende, oder sehr große Ergebnisse mit dem Taschenrechner erhält.

    1. $0,003141=3,141\cdot 10^{-3}$. Die $3$ steht an der dritten Stelle hinter dem Komma.
    2. $0,0000271828=2,71828\cdot 10^{-5}$. Die $2$ steht an der fünften Stelle hinter dem Komma.
    3. $0,00000141=1,41\cdot 10^{-6}$. Die $1$ steht an der sechsten Stelle hinter dem Komma.

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