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Wurzeln veranschaulichen mit Quadraten

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Martin Wabnik
Wurzeln veranschaulichen mit Quadraten
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Wurzeln veranschaulichen mit Quadraten

Quadrate. Was haben Quadrate mit Wurzeln zu tun? Du kannst Wurzeln auf dem Zahlenstrahl darstellen. Wir werden dir im Video zeigen, wie du die Wurzel aus 2 veranschaulichen kannst. Wir wissen bereits, dass die Wurzel aus 2 eine irrationale Zahl ist. Irrationale Zahlen sind nicht abbrechende und nicht periodische Dezimalzahlen. Wie kann man eine solche Zahl auf dem Zahlenstrahl veranschaulichen? Macht das einen Sinn? Wir werden zunächst ein Einheitsquadrat ( Seitenlänge 1 ) flächenmäßig verdoppeln. Wie sieht ein Quadrat aus, welches den Flächeninhalt 2 besitzt und was hat dies mit der Veranschaulichung einer irrationalen Zahl zu tun? Finde es heraus!

Transkript Wurzeln veranschaulichen mit Quadraten

Hallo, das hier ist ein blaues Quadrat. Ich weiß nicht, ob es in der Kameraperspektive gut zu sehen ist, aber es ist wirklich ein Quadrat. Dieses Quadrat könnte ich als Einheit nehmen und mir das so am Zahlenstrahl vorstellen. Dann ist hier die 0 und da ist die 1. Außerdem kann ich dieses Quadrat verdoppeln. Ich bin schon groß, ich darf das. Viele Menschen verstehen unter der Verdopplung eines Quadrates ein Quadrat mit doppelter Seitenlänge. Wenn ich das mache hier, kann ich mir das wieder auf dem Zahlenstrahl vorstellen. Dann ist hier also die 2. Aber wenn ich es bis hierhin mache, ist es natürlich kein Quadrat. Ich muss dann noch eins draus machen und dann ist es wieder ein Quadrat. Aber wir sehen der Flächeninhalt des ursprünglichen Quadrates hat sich jetzt ja nicht verdoppelt, sondern er hat sich vervierfacht. Das kommt immer darauf an, was man unter einer Verdopplung verstehen will, wenn man also sagt, Verdopplung bedeutet den Flächeninhalt verdoppeln dann wäre das jetzt nicht richtig. Wenn man unter Verdopplung versteht, doppelte Seitenlänge dann ist das jetzt hier das doppelte Quadrat. Meistens versteht man aber den Flächeninhalt hier runter und das möchte ich jetzt mal zeigen. Rein zufällig habe ich das ja vorbereitet hier. Das ist ein Quadrat mit doppeltem Flächeninhalt. Wenn wir das mal mit so einem Quadrat vergleichen. Diese Seitenlänge hier, die Seitenlänge des gelben Quadrates, das ist die ?2 denn ?2 × ?2 = 2. Das ist der Flächeninhalt. Also kann man auf dem Zahlenstrahl eintragen hier ist die ?2 also ca. 1,41. Und wenn wir schon mal dabei sind (warum nicht) wir haben ein blaues Quadrat, wir haben ein Quadrat mit doppelt so großer Fläche, wir haben ein großes blaues Quadrat mit 4 × so viel Fläche wie das kleine blaue Quadrat. Jetzt fehlt natürlich noch ein Quadrat mit 3 facher Fläche und das ist dieses hier. Dieses Quadrat hat die 3fache Fläche des blauen Quadrates. Ja, ich zeige das nur mal, damit man das gesehen hat. Die Seitenlänge dieses hier etwas feurigen Quadrates ist ?2. Denn die Fläche ist 3, d.h. eine Seite × eine Seite ist 3. Das bedeutet die Seite muss ?3 sein denn ?3 × ?3 = 3. Dann kann ich hier auf meinem Zahlenstrahl die ?3 eintragen das ist ca. 1,73. So können wir also mit unserer Hände Arbeit mit klarem Verstand und heißem Herzen die Mathematik voranbringen. Das kann ich hier auch nach vorne holen und so kann man sich die Wurzeln auch vorstellen und veranschaulichen. So können wir also mit unserer Hände Arbeit mit klarem Verstand und heißem Herzen die Mathematik voranbringen. War das zu dick aufgetragen? Nein, es ist richtig so, tschüss.

12 Kommentare

12 Kommentare
  1. Deine videos sind so gut :)

    Von Uniwelt1991, vor etwa einem Jahr
  2. Gute ERKLÄRT😉😃😊😁🎈🎉🎊✅✔‼‼‼‼‼‼‼‼‼‼‼‼❗❗❗❗❗❗❗

    Von Luis W., vor fast 2 Jahren
  3. @Cjw73 Falsch! Für die Menschen, die wissen wollen, wie man eine Wurzeln mit Quadraten veranschaulicht, ist es keine Zumutung. Wenn du wissen willst, wie eine Wurzel definiert ist, solltest du dir vielleicht ein Video zur Definition des Begriffs "Wurzel" ansehen (hat den Titel "Wurzel - Definition").

    Von Martin Wabnik, vor mehr als 3 Jahren
  4. Für die Anfänger, die wissen wollen, was Wurzeln sind und wie man die zieht und keine Vorkenntnisse hat ist es eine Zumutung!

    Von Cjw73, vor mehr als 3 Jahren
  5. Cooler Mensch :D

    Von Jockeli .., vor fast 5 Jahren
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Wurzeln veranschaulichen mit Quadraten Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Wurzeln veranschaulichen mit Quadraten kannst du es wiederholen und üben.
  • Vervollständige die Beschreibung der Verdoppelung eines Quadrates.

    Tipps

    Ein Quadrat ist ein spezielles Rechteck: Alle vier Seiten sind gleich lang.

    Du kannst dir die jeweilige Aussage an dem nebenstehenden Bild klarmachen.

    Lösung

    Man kann sich die Verdoppelung wie folgt klarmachen:

    Wenn man sich ein Quadrat mit den Seitenlängen $1$ vorstellt, dann liegt es, wie in dem Bild zu erkennen, auf dem Zahlenstrahl.

    Was versteht man unter der Verdoppelung eines Quadrates? Wenn man ein weiteres Quadrat zufügt, erhält man kein Quadrat mehr. Man muss also zwei weitere Quadrate zufügen. Dann vervierfacht sich der Flächeninhalt des so entstandenen Quadrates. Hierbei wurde die Seitenlänge verdoppelt.

  • Beschreibe den Zusammenhang zwischen dem Vervielfachen einer Fläche und der Wurzel.

    Tipps

    Mache dir die jeweilige Aussage an einem Bild am Zahlenstrahl klar.

    Du kannst dir auch einzelne Quadrate ausschneiden und überlegen, wie groß die Seitenlängen in Relation zueinander sein müssen.

    Es ist

    • $\sqrt 2=1,41...$ und
    • $\sqrt 3=1,73...$.

    Lösung

    Wenn man ein Quadrat der Seitenlänge $1$ betrachtet, so ist der Flächeninhalt

    $A=1^2=1$.

    Durch Verdoppelung der Seitenlänge zu $2$ erhält man den Flächeninhalt

    $A=2^2=4$.

    Das bedeutet, dass der Flächeninhalt vervierfacht wurde.

    Wie muss die Seitenlänge verändert werden, damit der Flächeninhalt verdoppelt wird?

    Die Seitenlänge wird mit dem Faktor $\sqrt 2$ multipliziert.

    Ebenso führt die Multiplikation mit dem Faktor $\sqrt 3$ zu einer Verdreifachung des Flächeninhaltes.

  • Vergleiche die Zahlen miteinander.

    Tipps

    Das Wurzel ziehen ist die Umkehrung des Quadrierens und umgekehrt.

    Seien $a$ und $b$ positive Zahlen und $a$ kleiner als $b$, dann ist auch $\sqrt a$ kleiner als $\sqrt b$.

    Schreibe die Zahlen, welche nicht als Wurzel gegeben sind, als Wurzel aus ihrem eigenen Quadrat.

    Lösung

    Um das Verständnis für verschiedene Wurzelwerte zu erhöhen, kann man sich diese im Vergleich mit anderen Zahlen anschauen.

    Wenn man ausschließlich Wurzelwerte betrachten würde, wäre dies recht klar, da Folgendes gilt:

    Seien $a$ und $b$ positive Zahlen und $a$ kleiner als $b$, dann ist auch $\sqrt a$ kleiner als $\sqrt b$. Wir schreiben jede Zahl als eine Wurzel und vergleichen die Werte, die unter der Wurzel stehen:

    1. $\sqrt {2,25}=1,5$
    2. $\sqrt 3=1,73...$
    3. $\sqrt 4=2$
    4. $\sqrt 5=2,23...$
    5. $\sqrt 6=2,44...$
    6. $\sqrt {6,25}=2,5$

  • Gib Abschätzungen für $\sqrt{30}$ an.

    Tipps

    Du kannst einen Wurzelwert begrenzen, indem du dir obere und untere Grenze für das Quadrat anschaust.

    Quadriere jeweils die obere und untere Grenze und entscheide, ob $30$ zwischen den beiden Quadraten liegt.

    Lösung

    Das kann ja mal passieren: Mathe-Unterricht und der Taschenrechner liegt zu Hause.

    Und es muss eine Aufgabe gerechnet werden, in welcher ein Wurzelwert vorkommt.

    Es soll die Wurzel aus $30$ berechnet werden.

    Bekannt ist, dass

    • $5^2=25$ und
    • $6^2=36$.
    Das bedeutet, dass $5<\sqrt {30}<6$ ist.

    Also ist $\sqrt {30}=5,???$.

    Nun kann man sich überlegen: Ist die $30$ näher bei $25$ oder $36$? Sie liegt etwas näher bei $25$.

    Was ist $5,4^2$?

    $5,4^2=5,4\cdot 5,4=29,16$.

    Was ist $5,5^2$?

    $5,5^2=5,5\cdot 5,5=30,25$.

    Es gilt $29,16<30<30,25$.

    Damit ist $5,4<\sqrt {30}<5,5$.

    Nun kann man sich also die zweite Stelle hinter dem Komma anschauen:

    $30$ liegt näher bei $30,25$, also muss $\sqrt{30}$ näher bei $5,5$ liegen.

    Zum Beispiel

    • $5,48^2=5,48\cdot 5,48=30,0304$ und
    • $5,47^2=5,47\cdot 5,47=29,92$.
    Der obere der beiden Werte ist wieder genauer, also liegt $\sqrt {30}$ näher bei $5,48$.

    So kann man nun weiter vorgehen.

    Diese Methode basiert auf dem Prinzip: Probieren und überprüfen.

    Der Taschenrechner gibt den folgenden Werte für $\sqrt{30}$ aus:

    $\sqrt{30}=5,47722...$.

  • Gib die ungefähren Werte für $\sqrt 2$ und $\sqrt 3$ an.

    Tipps

    Die Wurzel ist die Umkehrung vom Quadrieren.

    Zum Beispiel ist $3^2=9$ und somit ist

    $\sqrt 9=3$.

    Hier siehst du anschaulich am Zahlenstrahl $\sqrt 2$.

    Du kannst den jeweiligen Wert zur Kontrolle quadrieren.

    Lösung

    Wurzelwerte kann man näherungsweise tatsächlich berechnen.

    Natürlich kann man diese auch in den Taschenrechner eingeben.

    Einige Wurzelwerte benötigt man häufiger wie zum Beispiel $\sqrt 2$ oder $\sqrt 3$, so dass man sich diese auch recht gut merken sollte. Es ist

    $\sqrt 2=1,41...$ und

    $\sqrt 3=1,73...$.

    Übrigens sind beide Zahlen

    • nicht endende und
    • nicht periodische Dezimalzahlen.
    Man nennt solche Zahlen auch irrational.

  • Berechne näherungsweise die Wurzel aus $15$ auf vier Stellen hinter dem Komma.

    Tipps

    Der exakte Wert ist $\sqrt{15}=3,87298...$.

    Verwende das nach dem ersten Iterationsschritt gefundene Ergebnis für den zweiten Iterationsschritt und so weiter.

    Trage den gerundeten Wert ein, rechne jedoch mit dem genauen Wert weiter.

    Nach dem vierten Iterationsschritt hat man den Wert bereits auf sechs Nachkommastellen genau berechnet.

    In unserem Fall ist $a=15$ und $x_0=2$.

    Lösung

    Das Heron-Verfahren ist ein Verfahren, mit welchem man schrittweise Wurzelwerte berechnen kann. Dabei kann man mit einem beliebigen Startwert starten. Dieser muss ungleich $0$ sein.

    • Ist der Startwert positiv, so erhält man den Wurzelwert,
    • andernfalls den Wurzelwert mit einem negativen Wurzelwert.
    1. $x_0=2$
    2. $x_1=\frac{2+\frac{15}{2}}2=4,75$
    3. $x_2=\frac{4,75+\frac{15}{4,75}}2=3,953947368\approx 3,9539$
    4. $x_3=\frac{3,953947368+\frac{15}{3,953947368}}2=3,873812287\approx 3,8738$
    5. $x_4=\frac{3,873812287+\frac{15}{3,873812287}}2=3,872983435\approx 3,8730$.
    Dieser Wert ist schon sehr nahe an dem Wert, welchen man mittels des Taschenrechners erhält: $\sqrt{15}=3,872983346$.

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