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Wurzeln - Definition 05:31 min

Textversion des Videos

Transkript Wurzeln - Definition

Hi! Jetzt geht es um die Wurzel. Wie schauen uns erst die Definition an, sehen dann noch ein paar Beispiele und überlegen uns danach, warum die Definition genauso ist, wie sie ist. “Die Wurzel einer nichtnegativen Zahl x ist diejenige nichtnegative Zahl, deren Quadrat gleich x ist.” Schauen wir uns das einmal an einem Beispiel an. Die Wurzel von vier ist gleich zwei, weil nämlich zwei2 gleich vier ist. Die Wurzel hat ein bestimmtes Zeichen, nämlich dieses Hier. Das ist das Wurzelzeichen. Und so können wir schreiben, dass √4 = 2. Schauen wir uns eben an, ob das mit der Definition zusammen passt. Die 4 ist eine nichtnegative Zahl. Die 2 ist auch eine nichtnegative Zahl. Und wir haben jetzt, dass √4 = 2, weil nämlich 22 = 4. Das, was unter der Wurzel steht, heißt übrigens “Radikand”. Und der ganze Vorgang hier nennt sich “radizieren” oder wie man auch sagen kann, “Wurzel ziehen”. Schauen wir uns noch ein Beispiel an. Wir haben die 25 und √25 = 5. Weil nämlich fünf2 = 25. Also können wir schreiben, √25 = 5. Und auch hier haben wir noch einmal unsere Rundbegründung. Die Wurzel aus 25 ist fünf, weil fünf Quadrat gleich 25 ist. So, und warum steht hier jetzt, dass es eine nichtnegative Zahl x sein muss? Warum können wir nicht einfach eine negative Zahl nehmen und die Wurzel ziehen? Zum Beispiel. Was ist die Wurzel aus -4? Das ist die Frage. Und, naja. Also zwei ist es nicht. Weil ja zwei2 = 4. Und das ist ungleich -2. Wie suchen ja eine Zahl, deren Quadrat gleich -4 ist. Naja, wir könnten ja -2 nehmen, aber (-2)×(-2) = 4. Und das ist auch ungleich -4. Wir können eine andere Zahl nehmen. Das einmal probieren. 32. Naja, da kommen wir auch nicht zu -4. Sondern drei2 = 9. Und das ist ebenfalls ungleich minus vier. So. Und weil das also so ist, steht hier, dass es eine nicht negative Zahl sein soll. Das heißt, so auf diese Art und Weise können wir aus negativen Zahlen keine Wurzeln ziehen. Der Vollständigkeit halber sei angemerkt, dass es eine Erweiterung der Zahlen gibt. Das sind die komplexen Zahlen. Und da kann man auch die Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen. Nächste Frage ist. Warum steht hier, dass die Wurzel selbst eine nichtnegative Zahl sein soll? Kann denn die Wurzel nicht negativ sein? Wir haben zum Beispiel, dass -52 = 25. Genauso wie eben 52 = 25. Nun könnte man doch sagen, okay. -5 ist doch auch eine Wurzel. Warum nicht? Naja. Das hat historische Gründe. Die positiven Zahlen und oder beziehungsweise die nicht negativen Zahlen sind wesentlich älter als die negativen Zahlen. Man hat also erst Wurzeln aus positiven Zahlen gezogen. Und hinterher, als man die negativen Zahlen entdeckt hat, gesagt, nein, wir wollen die Wurzel eindeutig behalten. Und deshalb ist die Wurzel nur nicht die negative Zahl, deren Quadrat die Ausgangszahl ergibt. Und die negative Zahl, deren Quadrat auch die Ausgangszahl ist, die wollen wir jetzt weiter nicht berücksichtigen. Und noch eine Frage ergibt sich hier. Warum steht hier nichtnegative Zahl? Könnte man nicht einfach schreiben, es soll eine positive Zahl sein? Nun, nein. Kann man nicht. Weil es nämlich die Null gibt. Die Null ist nicht positiv, aber die Null ist nicht negativ. Ja? Und die Null können wir potenzieren mit zwei. Also 02 = 0. Und deshalb ist √0 = 0. Wir können also nicht nur aus positiven Zahlen Wurzeln ziehen, sondern wir können auch aus der Null die Wurzel ziehen. Und deshalb schreiben wir hier, dass es nichtnegative Zahlen sein sollen. Fun Fact am Rande, die Bezeichnung Wurzel ist übrigens ein Übersetzungsfehler. Die alten Griechen kannten das, was wir heute Wurzel nennen. Deren Werke wurden in das Arabische übersetzt. Und da gibt es ein Wort, was sowohl Basis, als auch Wurzel bedeutet. Und als das dann in das Lateinische übersetzt wurde, blieb man an der Wurzel hängen. Hier sind wir jetzt aber erst einmal fertig. Wir haben gesehen, was die mathematische Wurzel ist. Und sind wieder um einen Begriff reicher. Tschau!

6 Kommentare
  1. Hallo Nils Delamotte,
    vielleicht hilft dir dieses Video:
    https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/wurzelausdruecke-addieren-und-subtrahieren
    Viele Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas Dörr, vor 20 Tagen
  2. Wie addiert man Wurzel ?

    Von Nils Delamotte, vor 21 Tagen
  3. Hallo Angelina,
    hast du Zugang zur Lehrerbox oder dem Fach-Chat? Dann könntest du dort um Hilfestellung bei konkreten Fragen oder Aufgaben bitten.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas Dörr, vor 26 Tagen
  4. Da ich mich mit meiner Mutter zur Zeit in der Reha befinde, habe ich leider nicht die Möglichkeit mir das Wurzelrechnen erklären zu lassen. Mein Freundin schickt mir zwar immer Bilder, was im Unterricht gemacht wurde, u. a. Intervallschachtelungsverfahren, allerdings verstehe ich nur Bahnhof und Ihre Videos helfen mir irgendwie auch nicht weiter. Was soll ich bloß tun, damit ich das Verstehe!? Viele Grüße, Angelina

    Von Angelina W., vor 26 Tagen
  5. Sehr gutes Video und sehr gut erklärt Danke :)

    Von Noomi Petsch, vor 4 Monaten
  1. Super Vielen Dank

    Von Niki 35, vor etwa einem Jahr
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Wurzeln - Definition Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Wurzeln - Definition kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib an, welche der folgenden Rechnungen richtig sind.

    Tipps

    Überlege dir, was für eine Zahl unter einer Wurzel stehen darf.

    Denke daran, was für eine Zahl nach Definition das Ergebnis einer Wurzel ist.

    Lösung

    $\mathbf{1)}$ Die erste Rechnung ist hier richtig, da $0 = 0^{2}$ und somit die Wurzel von $0$ auch $0$ ist.

    $\mathbf{2)}$ Diese Rechnung ist nicht korrekt, da die Lösung einer Wurzel immer nichtnegativ sein muss.

    $\mathbf{3)}$ Diese Rechnung ist richtig, da $9 = 3^{2}$ und somit die Wurzel von $9$ auch $3$ ist.

    $\mathbf{4)}$ Diese Rechnung ist richtig, da $25=5^{2}$ und somit die Wurzel von $25$ auch $5$ ist.

    $\mathbf{5)}$ Diese Rechnung ist nicht korrekt, da die Zahl unter der Wurzel immer eine nichtnegative Zahl sein muss und auch das Ergebnis einer Wurzel eine nichtnegative Zahl sein muss.

  • Ergänze die Definition der Wurzel mit den richtigen Begriffen.

    Tipps

    Denke daran, dass nicht jede Zahl unter einer Wurzel stehen darf.

    Denke daran, dass manche Zahlen nach Definition nicht die Lösung einer Wurzel sein können.

    Der Begriff für die Zahl, die unter der Wurzel steht, ähnelt dem Begriff für den gesamten Vorgang.

    Lösung

    Die Wurzel einer nichtnegativen Zahl $x$ ist diejenige nichtnegative Zahl, deren Quadrat gleich $x$ ist.

    Die Zahl, die unter der Wurzel steht, kann keine negative Zahl sein, weil das Quadrat einer Zahl nie negativ sein kann.

    Das Ergebnis einer Wurzel soll eindeutig sein und ist daher auf nichtnegative Zahlen begrenzt.

    Dabei heißt die Zahl, die unter der Wurzel steht, Radikand und der gesamte Vorgang nennt sich radizieren oder auch Wurzelziehen.

    So ist zum Beispiel die Wurzel aus $25$ gleich $5$ (denn $5^{2}=5 \cdot 5 = 25$), da dies die nichtnegative Zahl ist, deren Quadrat $25$ ergibt.

  • Vergleiche die Ausdrücke miteinander.

    Tipps

    Bei der Berechnung von Wurzeln können Quadratzahlen hilfreich sein.

    Je größer der Wert unter der Wurzel ist, desto größer ist auch das Ergebnis der Wurzel.

    Vergiss bei den Rechnungen nicht, zuerst die Wurzel auszurechnen und dann die anderen Operatoren.

    Lösung

    $\mathbf{1)}$ Der kleinste Wert ergibt sich aus der Rechnung von $\sqrt{49} - \sqrt{25}$. Da $7^{2} = 49$ und $5^{2}=25$, ergibt $\sqrt{49} - \sqrt{25} = 7 - 5 = 2$.

    $\mathbf{2)}$ Den nächstgrößten Wert ergibt $\sqrt{225}\div 5$, da $15^{2}=225$ und somit $\sqrt{225}\div 5 = 15 \div 5 = 3$.

    $\mathbf{3)}$ $\sqrt{16} + \sqrt{25}$ ist dann der nächstgrößere Wert, da $4^{2}=16$ und $5^{2}=25$ und somit $\sqrt{16} + \sqrt{25}=4+5=9$.

    $\mathbf{4)}$ $\sqrt{144}$ ist danach gesehen der nächstgrößere Wert, da $12^{2} = 144$ und somit $\sqrt{144}=12$.

    $\mathbf{5)}$ Den insgesamt größten Wert ergibt $2 \cdot \sqrt{81}$, da $9^{2}=81$ und somit $2 \cdot \sqrt{81}=2 \cdot 9=18$

  • Bestimme, welche Ausdrücke jeweils zusammengehören.

    Tipps

    Berechne zunächst die Potenzen, um deren passenden Ausdruck finden zu können.

    Berechne nun die Wurzeln. Erinnere dich daran, dass die Wurzel einer Zahl $x$ immer die nichtnegative Zahl ist, deren Quadrat gleich $x$ ist.

    Lösung

    $\textbf{1)}\\$ $~ \sqrt{4} = 2$, weil $2^2 = 2 \cdot 2 = 4$, also ist das Quadrat von $2$ gerade die Zahl, die unter der Wurzel steht.

    $\textbf{2)}\\$ $~ \sqrt{25} = 5$, weil $5^2 = 5 \cdot 5 = 25$, also ist das Quadrat von $5$ gerade die Zahl, die unter der Wurzel steht.

    $\textbf{3)}\\$ $~ 5^2 = 5 \cdot 5 = 25$

    $\textbf{4)}\\$ $~ 3^2 = 3 \cdot 3 = 9$

    $\textbf{5)}\\$ $~ \sqrt{0} = 0$, weil $0^2 = 0 \cdot 0 = 0$, also ist das Quadrat von $0$ gerade die Zahl, die unter der Wurzel steht.

    $\textbf{6)}\\$ $~ -5$ kann keine Lösung der gegebenen Rechnungen sein, da es eine negative Zahl ist und das Ergebnis einer Quadratwurzel immer nichtnegativ sein muss.

  • Prüfe, ob die folgenden Ausdrücke fehlerfrei sind.

    Tipps

    Beachte die Definition, dass sowohl die Zahl unter der Wurzel als auch das Ergebnis eine bestimmte Zahl sein muss.

    Das Ergebnis der Wurzel ist gerade die Zahl, dessen Quadrat gleich der Zahl unter der Wurzel ist.

    Lösung

    $\mathbf{1)}$ Die erste Rechnung beinhaltet keine Fehler, da $9 \cdot 9$ tatsächlich $81$ ergibt und somit die Lösung der Wurzel ist.

    $\mathbf{2)}$ Hier liegt der Fehler bei dem Radikanden, da dieser nichtnegativ sein muss. $\sqrt{-4}$ ist also nicht möglich, da $-4$ eine negative Zahl ist.

    $\mathbf{3)}$ Die Rechnung ist hier leider nicht korrekt, da nicht das Quadrat verwendet wurde, sondern die Zahl mit $2$ multipliziert wurde. Die richtige Lösung wäre hier $4$.

    $\mathbf{4)}$ Diese Rechnung beinhaltet keinen Fehler, da $0 \cdot 0$ tatsächlich $0$ ergibt und somit die richtige Lösung ist.

    $\mathbf{5)}$ Hier liegt ein Fehler in der Rechnung, da das Ergebnis nach Definition nichtnegativ sein muss und $-11$ eine negative Zahl ist. $-11$ kann also hier keine Lösung sein. Die richtige Lösung wäre $11$.

    $\mathbf{6)}$ In dieser Rechnung befindet sich ein Rechenfehler, denn $17 \cdot 17$ ergibt nicht $324$, sondern $289$. Hier wäre die richtige Lösung $18$.

    $\mathbf{7)}$ Diese Rechnung beinhaltet keinen Fehler, da $a \cdot a$ tatsächlich $a^{2}$ ergibt und somit die richtige Lösung ist. Außerdem ist $a$ mit $a\in\mathbb{N}$ eine positive ganze Zahl. Dies kann als allgemeine Form angesehen werden.

  • Bestimme die Ergebnisse der folgenden Wurzeln.

    Tipps

    Überlege dir, welche Zahl zum Quadrat gleich der Zahl unter der Wurzel ist.

    Je höher die Zahl ist, desto höher ist auch die Zahl unter der Wurzel. So kannst du also ausprobieren und schauen, ob du eine kleinere oder größere Zahl als Lösung benötigst.

    Lösung

    $\mathbf{1)}$ $\sqrt{100}= 10$, da wir wissen, dass $10 \cdot 10 = 100$. Also ist das Quadrat von $10$ gerade die Zahl, die unter der Wurzel steht.

    $\mathbf{2)}$ $\sqrt{64} = 8$, da wir wissen, dass $8 \cdot 8 = 64$. Also ist das Quadrat von $8$ gerade die Zahl, die unter der Wurzel steht.

    $\mathbf{3)}$ $\sqrt{169} = 13$ , da wir wissen, dass $13 \cdot 13 = 169$. Also ist das Quadrat von $10$ gerade die Zahl, die unter der Wurzel steht. Hier wussten wir, dass die Lösung auf jeden Fall größer als $10$ sein muss, da die Zahl unter der Wurzel auch größer als $100$ war.

    $\mathbf{4)}$ $\sqrt{225}= 15$, da wir wissen, dass $15 \cdot 15 = 225$, also ist das Quadrat von $15$ gerade die Zahl, die unter der Wurzel steht.