Was sind römische Zahlen?

Was sind römische Zahlen? Übung

• Gib die Regeln für römische Zahlen wieder.

  Tipps

  Das Zahlzeichen $\text{X}$ steht für $10$ und $\text{I}$ für $1$. Mit diesen kannst du zum Beispiel folgende Zahlen kombinieren:

  • $9=\text{IX}$
  • $11=\text{XI}$
  • $12=\text{XII}$
  • $13=\text{XIII}$

  Lösung

  Die Römer hatten ein anderes Prinzip, Zahlen darzustellen. Allerdings lassen sich römische Zahlen mit einigen Regeln einfach in die uns bekannten arabischen Zahlen umschreiben. Diese Regeln lauten wie folgt:

  • Stehen rechts neben einem Zahlzeichen kleinere oder gleiche Zahlzeichen, dann werden die beiden Zahlzeichen addiert.

  Beispiel: $\text{VI}=6$
  Hier werden die Fünf, also $\text{V}$, und die Eins, also $\text{I}$, zu Sechs addiert.

  • Ein kleineres Zahlzeichen links neben einem größeren Zahlzeichen wird vom größeren subtrahiert.

  Beispiel: $\text{IX}=9$
  Hier wird die Eins, also $\text{I}$, von der Zehn, also $\text{X}$, subtrahiert.

  • Allgemein dürfen auch nie mehr als drei gleiche Zahlzeichen nebeneinander stehen. Die einzige Ausnahme ist dabei die Vier, die man in zwei verschiedenen Schreibweisen, also $\text{IIII}$ oder $\text{IV}$, schreiben kann.

  Klassischerweise steht links neben einem größeren höchstens ein kleineres Zahlzeichen.

• Bestimme die arabischen Zahlen für die gegebenen römischen Zahlen.

  Tipps

  Stehen rechts neben einem Zahlzeichen kleinere oder gleiche Zahlzeichen, dann werden die beiden Zahlzeichen addiert.

  Ein kleineres Zahlzeichen links neben einem größeren Zahlzeichen wird vom größeren subtrahiert.

  Lösung

  Möchtest du römische Zahlen in arabische Zahlen umwandeln, musst du folgende Regeln beachten:

  • Stehen rechts neben einem Zahlzeichen kleinere oder gleiche Zahlzeichen, dann werden die beiden Zahlzeichen addiert.
  • Ein kleineres Zahlzeichen links neben einem größeren Zahlzeichen wird vom größeren subtrahiert.

  Damit erhalten wir folgende Umwandlungen:

  1. Beispiel

  $\text{VI}$

  In diesem Beispiel steht rechts neben dem Zahlzeichen $\text{V}$ (Fünf) das kleinere Zahlzeichen $\text{I}$ (Eins). Also addieren wir $5$ und $1$ wie folgt:

  $\text{VI}=6$

  2. Beispiel

  $\text{IX}$

  In diesem Beispiel steht links neben dem Zahlzeichen $\text{X}$ (Zehn) das kleinere Zahlzeichen $\text{I}$ (Eins). Also subtrahieren wir von $10$ die $1$ und erhalten:

  $\text{IX}=9$

  3. Beispiel

  $\text{MCXXXI}$

  Hier haben wir eine etwas längere Zahl. Rechts neben dem Zahlzeichen $\text{M}$ (Tausend) steht das kleinere Zahlzeichen $\text{C}$ (Hundert). Also addieren wir zunächst $1 000$ und $100$ zu $1 100$. Rechts neben $\text{C}$ steht dreimal das kleinere Zahlzeichen $\text{X}$ (Zehn), damit folgt mit $110+10+10+10=1 130$. Rechts neben $\text{X}$ (Zehn) steht wieder ein kleineres Zahlzeichen, nämlich $\text{I}$ (Eins). Wir addieren demnach noch die $1$ und erhalten insgesamt folgende Zahl:

  $\text{MCXXXI}=1 131$

  4. Beispiel

  $\text{MCMXCIII}$

  Nun haben wir als Erstes das Zahlzeichen $\text{M}$ (Tausend) und daneben das kleinere Zahlzeichen $\text{C}$ (Hundert). Aber beachte, dass rechts neben $\text{C}$ wieder das größere Zahlzeichen $\text{M}$ steht. Das heißt, dass wir $1 000-100=900$ rechnen müssen. Erst jetzt können wir die beiden Werte $1 000$ und $900$ addieren zu $1 900$. Jetzt folgt rechts das Zahlzeichen $\text{X}$ (Zehn) und direkt rechts daneben das größere Zahlzeichen $\text{C}$ (Hundert). Also haben wir wieder ein kleineres Zahlzeichen links von einem größeren, wir müssen demnach subtrahieren: $100-10=90$. Am Ende haben wir noch dreimal das Zahlzeichen $\text{I}$ (Eins). Darum addieren wir abschließend noch $3$ und erhalten:

  $\text{MCMXCIII}=1 993$

• Leite die zugehörigen arabischen Zahlen ab.

  Tipps

  Die Zahlzeichen sind wie folgt definiert:

  $\begin{array}{c|c} \text{arabische Zahl}&\text{römische Zahl}\\ \hline 1&\text{I}\\ \hline 5&\text{V}\\ \hline 10&\text{X}\\ \hline 50&\text{L}\\ \hline 100&\text{C}\\ \hline 500&\text{D}\\ \hline 1 000&\text{M} \end{array}$

  • Steht rechts neben einem Zahlzeichen ein kleineres oder gleiches Zahlzeichen, dann werden die beiden Zahlzeichen addiert.

  Beispiel: $\text{VI}=6$
  Hier werden die Fünf, also $\text{V}$, und die Eins, also $\text{I}$, addiert zu Sechs.

  • Ein kleineres Zahlzeichen links neben einem größeren Zahlzeichen wird vom größeren subtrahiert.

  Beispiel: $\text{IX}=9$.
  Hier wird die Eins, also $\text{I}$, von der Zehn, also $\text{X}$, subtrahiert zu Neun.

  Lösung

  Um die römischen Zahlen in arabische Zahlen umzuwandeln, müssen wir die folgenden Regeln beachten:

  • Stehen rechts neben einem Zahlzeichen kleinere oder gleiche Zahlzeichen, dann werden die beiden Zahlzeichen addiert.
  • Ein kleineres Zahlzeichen links neben einem größeren Zahlzeichen wird vom größeren subtrahiert.

  Wir erhalten damit folgende Zahlen:

  $\begin{array}{rcl} \text{MDCCCLXXII}&=&1 000+500\\ &&+~100+100+100\\ &&+~50+10+10\\ &&+~1+1\\ &=&1 872 \end{array}$

  $\begin{array}{rcl} \text{MMCMXXII}&=&1 000+1 000\\ &&+~(1 000-100)\\ &&+~10+10+1+1\\ &=&2 922 \end{array}$

  $\begin{array}{rcl} \text{DCCXCIX}&=&500+100+100\\ &&+~(100-10)\\ &&+~(10-1)\\ &=&799 \end{array}$

  $\begin{array}{rcl} \text{MMMCMXCIX}&=&1 000+1 000+1 000\\ &&+~(1 000-100)\\ &&+~(100-10)\\ &&+~(10-1)\\ &=&3 999 \end{array}$

• Vergleiche die römischen Zahlen miteinander.

  Tipps

  Stehen rechts neben einem Zahlzeichen kleinere oder gleiche Zahlzeichen, dann werden die Zahlzeichen addiert.

  Beispiele:

  $\begin{array}{rcl} \text{MM}&=&1 000+1 000\\ &=&2 000 \end{array}$

  $\begin{array}{rcl} \text{MCXI}&=&1 000+100+10+1\\ &=&1 111 \end{array}$

  Ein kleineres Zahlzeichen links neben einem größeren Zahlzeichen wird vom größeren subtrahiert.

  Beispiele:

  $\begin{array}{rcl} \text{CM}&=&1 000-100\\ &=&900 \end{array}$

  $\begin{array}{rcl} \text{CMXCIX}&=&(1 000-100)\\ &&+~(100-10)+(10-1)\\ &=&999 \end{array}$

  Sieh dir folgende Beispiele an:

  $\begin{array}{rcl} \text{DCCLXIX}&=&500+100+100\\ &&+~50+10+(10-1)\\ &=&769 \end{array}$

  $\begin{array}{rcl} \text{MMCM}&=&1 000+1 000\\ &&+~(1 000-100)\\ &=&2 900 \end{array}$

  Lösung

  Die Zahlzeichen sind wie folgt festgelegt:

  $\begin{array}{c|c} \text{arabische Zahl}&\text{römische Zahl}\\ \hline 1&\text{I}\\ \hline 5&\text{V}\\ \hline 10&\text{X}\\ \hline 50&\text{L}\\ \hline 100&\text{C}\\ \hline 500&\text{D}\\ \hline 1 000&\text{M} \end{array}$

  Die Anordnung dieser Zahlzeichen ist ausschlaggebend für die Zahl, die man darstellen möchte:

  • Stehen rechts neben einem Zahlzeichen kleinere oder gleiche Zahlzeichen, dann werden die Zahlzeichen addiert.
  • Ein kleineres Zahlzeichen links neben einem größeren Zahlzeichen wird vom größeren subtrahiert.

  Wir erhalten mit diesen Regeln folgende Umwandlungen und absteigende Reihenfolge:

  $\begin{array}{rcl} \text{MMMCMXCIX}&=&1 000+1 000\\ &&+~1 000+(1 000-100)\\ &&+~(100-10)+(10-1)\\ &=&3 999 \end{array}$

  
  $\begin{array}{rcl} \text{MMM}&=&1 000+1 000+1 000\\ &=&3 000 \end{array}$

  
  $\begin{array}{rcl} \text{MMCCCXXXIII}&=&1 000+1 000\\ &&+~100+100+100\\ &&+~10+10+10\\ &&+~1+1+1\\ &=&2 333 \end{array}$

  
  $\begin{array}{rcl} \text{DCCCXVIII}&=&500+100\\ &&+~100+100+10\\ &&+~5+1+1+1\\ &=&818 \end{array}$

  
  $\begin{array}{rcl} \text{CDXLIV}&=&(500-100)\\ &&+~(50-10)+(5-1)\\ &=&444 \end{array}$

• Gib die jeweiligen römischen Zahlen an.

  Tipps

  Hier siehst du, wie du die Zahlen $1$ und $5$ mit deiner Hand zeigen kannst.

  Die Zahlzeichen für Hundert und Tausend stammen von den lateinischen Begriffen „centum“ und „mille“.

  Lösung

  Die Römer haben für ihre Zahlen folgende Regeln aufgestellt:

  • Stehen rechts neben einem Zahlzeichen kleinere oder gleiche Zahlzeichen, dann werden die beiden Zahlzeichen addiert.
  • Ein kleineres Zahlzeichen links neben einem größeren Zahlzeichen wird vom größeren subtrahiert.
  • Allgemein dürfen auch nie mehr als drei gleiche Zahlzeichen nebeneinander stehen. Die einzige Ausnahme ist dabei die Vier, die man in zwei verschiedenen Schreibweisen, also $\text{IIII}$ oder $\text{IV}$, schreiben kann.

  Aber bevor du diese Regeln anwenden kannst, musst du zunächst alle Zahlzeichen kennen. Diese sind:

  $\begin{array}{c|c} \text{arabische Zahl}&\text{römische Zahl}\\ \hline 1&\text{I}\\ \hline 5&\text{V}\\ \hline 10&\text{X}\\ \hline 50&\text{L}\\ \hline 100&\text{C}\\ \hline 500&\text{D}\\ \hline 1 000&\text{M} \end{array}$

• Ermittle die gesuchten römischen Zahlen.

  Tipps

  Wandle die Summanden zunächst in arabische Zahlen um und bilde dann die Summe. Wandle diese anschließend wieder in eine römische Zahl um.

  Lösung

  Da wir aus dem täglichen Leben (und dem Unterricht) arabische Zahlen gewohnt sind, ist es am einfachsten, die römischen Zahlen zuerst in arabische umzuschreiben. Dann werden mit den arabischen Zahlen die Rechnungen durchgeführt.

  So erhalten wir dfolgende Zuordnungen:

  Summe: $~\text{MMMDCCLXV}=3 765$

  • $\text{MMDXLI}+\text{MCCXXIV}=2 541+1 224$
  • $\text{MCXI}+\text{MMDCLIV}=1 111+2 654$
  • $\text{MDLV}+\text{MMCCX}=1 555+2 210$

  Summe: $~\text{MMDLV}=2 555$

  • $\text{MCCXXXIV}+\text{MCCCXXI}=1 234+1 321$
  • $\text{DLXVII}+\text{MCMLXXXVIII}=567+1 988$

  Summe: $~\text{MDCCLXXXVI}=1 786$

  • $\text{DCLXVI}+\text{MCXX}=666+1 120$
  • $\text{DCCXLV}+\text{MXLI}=745+1 041$