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Was ist ein Vektor? 07:04 min

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Transkript Was ist ein Vektor?

Was ist ein Vektor?

Hallo und herzlich willkommen zum Video “ Was ist ein Vektor ?". Vektoren beschreiben Vorgänge und werden als Pfeile dargestellt, die durch die Angaben Länge, Richtung, und Orientierung charakterisiert werden.

Stellen wir uns ein Flugzeug vor. Es soll mit 200 Kilometer pro Stunde in horizontaler Richtung von links nach rechts fliegen. Seine Bewegung wird durch einen Vektor mit den folgenden drei Angaben beschrieben: Die erste Angabe ist die Länge des Vektors. Sie gibt die Größe der Geschwindigkeit, hier 200 Kilometer in der Stunde an. Die zweite Angabe ist die horizontale Richtung und die dritte Angabe ist die Orientierung von links nach rechts.

Fliegt ein Düsenjet mit 400 Kilometer pro Stunde in genau die entgegengesetzte Richtung, so können wir dessen Geschwindigkeit durch einen doppelt so langen Pfeil darstellen, der genau in die entgegengesetzte Richtung zeigt.

In der Mathematik verwenden wir Vektoren in der analytischen Geometrie. Mit ihrer Hilfe lassen sich komplizierte geometrisch Aufgabenstellungen rechnerisch lösen. Vektoren beschreiben Verschiebungen von Figuren in der Ebene oder von Körpern im Raum.

Vektoren beschreiben als Pfeil eine Verschiebung in Ebene oder Raum

Unser Flugzeug verringert seine Höhe um zu landen. Seine Bewegung betrachten wir jetzt als Verschiebung. Die Verschiebungen der Punkte A, B, C und D werden durch Vektoren beschrieben. Die Punkte A, B, C und D werden durch den jeweiligen Vektor auf die Bildpunkte A’, B’, C’ und D’ abgebildet.

Wann sind zwei Vektoren genau gleich?

Alle Vektoren, die zur gleichen Verschiebung gehören, haben die gleiche Länge, die gleiche Richtung und die gleiche Orientierung.

Ich fasse zusammen: 1) Ein Vektor hat eine feste Länge, Richtung und Orientierung und ist durch diese drei Eigenschaften vollständig bestimmt. 2) Er eignet sich zur Beschreibung einer Verschiebung. 3) Er wird als Pfeil dargestellt. Zwei Vektoren sind genau dann gleich, wenn sie die gleiche Länge, die gleiche Richtung und die gleiche Orientierung haben.

Vektoren und deren Teile benennen

Wir stellen Vektoren durch Pfeile dar. Die beschriften wir mit kleinen Buchstaben mit einem Pfeil darüber. In unserem Beispiel nennen wir sie Vektor a, Vektor b, Vektor c, Vektor d und Vektor e. Unser Vektor a verschiebt den Punkt A auf den Punkt B. Aus diesem Grund kann man auch vom Vektor von A nach B oder kürzer vom Vektor AB sprechen. Entsprechend heißt der Vektor c auch Vektor CD und der Vektor d Vektor FE. Die Vektoren a und c haben die gleiche Länge, Richtung und Orientierung. Sie sind gleich. Wir schreiben Vektor a = Vektor c oder auch Vektor AB gleich Vektor CD.

Die Länge eines Vektors heißt sein Betrag. Wir schreiben ihn wie den Betrag von Zahlen mit zwei senkrechten geraden Strichen. Der Betrag eines Vektors ist eine Zahl größer oder gleich Null. Denn eine Länge kann nicht negativ werden. Der Betrag vom Vektor a ist gleich dem Betrag des Vektors c bzw. der Betrag vom Vektor AB ist gleich dem Betrag von Vektor CD.

Vektor und Gegenvektor

Der Vektor d hat die gleiche Länge wie der Vektor a und die gleiche Richtung. Nur seine Orientierung ist entgegengesetzt. Wir nennen ihn den Gegenvektor zum Vektor a. Gegenvektoren unterscheiden sich in ihrem Vorzeichen. Vektor d ist gleich minus Vektor a. Vektor d ist auch ein Gegenvektor zum Vektor c, da Vektor a und Vektor c gleich sind. Genauso sind die Vektoren a und c Gegenvektoren zu dem Vektor d. Wir schreiben Vektor d gleich minus Vektor a gleich minus Vektor c. Und umgekehrt Vektor a gleich Vektor c gleich Vektor minus d. Außerdem ist auch e der Gegenvektor zu dem Vektor b und umgekehrt.

Sind die Koordinaten des Anfangspunktes A und des Endpunktes B eines Vektors gleich, so hat er die Länge Null. Einen solchen Vektor können wir nicht als Pfeil zeichnen. Aber wir geben ihm einen Namen. Wir nennen ihn den Nullvektor und schreiben eine Null mit einem Pfeil darüber.

Zum Abschluss betrachten wir dieses Dreiecksprisma. Wir können seine neun Kanten durch vier verschiedene Vektoren beschreiben. Gleiche Vektoren haben gleiche Farbe und den gleichen Namen. Vektor a bildet die vorderen zwei waagerechten Kanten. Vektor b bildet die senkrechten Kanten. Die rechten beiden Kanten bildet Vektor c, die linken Kanten Vektor d.

Schluss

Du hast jetzt erfahren, was Vektoren sind. Mit ihrer Hilfe kannst du zum Beispiel geometrische Körper beschreiben. Das war’s nun auch schon wieder von mir. Vielen Dank für deine Aufmerksamkeit und bis bald! Tschüss!

11 Kommentare
  1. Ein gutes Video.
    In Aufgabe 3 ist allerdings nicht zu erkennen welche orientierung der Zug hat.

    Von Hangu, vor 2 Monaten
  2. Sehr gute Einführung in das Thema, hat mir sehr geholfen, danke ^^

    Von Nils v., vor 3 Monaten
  3. Hat mir sehr geholfen 😊

    Von Luciahoefelmayr, vor 6 Monaten
  4. gut gemacht, danke!

    Von Birgitgillmann, vor etwa einem Jahr
  5. gut gemacht :)

    Von Casula Rossy, vor mehr als einem Jahr
  1. Sehr gute ruhige Einführung g

    Von Mariarudolf, vor fast 2 Jahren
  2. Eine sehr gute Erklärung,
    weiter so.

    Von Dpmuc, vor mehr als 2 Jahren
  3. @Judith Hage:
    Du kannst Vektoren in der Zeilen- oder Spaltenform schreiben. Ein Beispiel: (1,3,5) ist ein Vektor in Zeilenform. Willst du den Vektor als Spaltenvektor schreiben, kannst du auch durch die Schreibweise (1,3,5)^t mit dem hochgestellten t veranschaulichen.
    Ich hoffe, dass ich dir weiterhelfen konnte.

    Von Martin B., vor mehr als 4 Jahren
  4. Frage: Bei der Schreibweise als Zeilenvektor findet sich machmal ein hochgestellte t. Steht das für Tupel? Will man durch diese Schreibweise die Koordinaten eines Punktes P = {1, 3, 5} von denen eines Vektors unterscheiden?

    Von Judith Hage 2, vor mehr als 4 Jahren
  5. @Fiona Karl:
    Der Vektor d heißt FE, weil er vom Punkt F zum Punkte E gerichtet ist. Der Gegenvektor -d würde dann EF heißen. Der kleine Buchstabe als Vektor ist frei wählbar. Du könntest beispielsweise auch den Vektor vom Punkte Z zum Punkt Q mit w bezeichnen.
    Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor mehr als 4 Jahren
  6. Wieso heißt der Vektor d FE und nicht DE?
    Ansonsten sehr gutes und verständliches Video!

    Von Fioonaa, vor mehr als 4 Jahren
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Was ist ein Vektor? Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Was ist ein Vektor? kannst du es wiederholen und üben.

  • Ergänze die Eigenschaften eines Vektors.

    Tipps

    Was muss bei zwei Vektoren übereinstimmen, damit sie durch Verschiebung deckungsgleich werden?

    Lösung

    Vektoren sind Pfeile, die zur Beschreibung von Verschiebungen geeignet sind. Sie sind eindeutig durch ihre Länge, Richtung und Orientierung charakterisiert. Ein spezieller Vektor ist der Gegenvektor, der die gleiche Länge, die gleiche Richtung, aber die entgegengesetzte Orientierung wie der ursprüngliche Vektor hat. In der Skizze wird das Dreieck $ABC$ durch Parallelverschiebung in das Dreieck $A'B'C'$ überführt. Die Verschiebungsvektoren $\vec{AA'}$, $\vec{BB'}$ und $\vec{CC'}$ sind alle gleich, da sie jeweils die gleiche Länge, gleiche Richtung und die gleiche Orientierung aufweisen. Der Vektor $\vec{DE}$ ist ein Gegenvektor zu den Verschiebungsvektoren.

  • Gib wieder, was ein Vektor ist.

    Tipps

    Können Längen von Vektoren negativ sein?

    Welche Orientierung haben Gegenvektoren?

    Wie lang ist eine Strecke mit gleichem Anfangs- und Endpunkt?

    Lösung

    Der Betrag eines Vektors gibt seine Länge an. Das könnte z.B. bei einem Geschwindigkeitsvektor die Geschwindigkeit eines Flugzeuges sein. Diese ist immer größer oder gleich null, also niemals negativ. Spezielle Vektoren sind der Gegenvektor und der Nullvektor. Beim Gegenvektor sind Anfangs- und Endkoordinaten vertauscht wie z.B. beim Geschwindigkeitsvektor eines Autos, das in die genau entgegengesetzte Richtung mit der gleichen Geschwindigkeit fährt. Beim Nullvektor hingegen stimmen Anfangs- und Endkoordinaten überein wie z.B. beim Geschwindigkeitsvektor eines Autos, das im Stau steht und sich nicht weiter fortbewegt.

  • Nenne Beispiele für Dinge, die den gleichen Geschwindigkeitsvektor wie ein 80 km/h schneller Zug haben könnten.

    Tipps

    Der Gepard ist eines der schnellsten Tiere auf der Erde.

    Wie schnell kann ein Marathonläufer sein?

    Raketen starten immer nach oben.

    Lösung

    Bei Multiple-Choice-Fragen kann man gut mit dem Ausschlussverfahren beantworten. Dazu schauen wir uns die Dinge an, die wir auf jeden Fall ausschließen können. Die startende Rakete fliegt in vertikaler Richtung. Der Zug hat eine horizontale Richtung. Das rückwärtsfahrende Auto fährt von rechts nach links. Es hat also die falsche Orientierung im Vergleich zum Zug, der sich von links nach rechts bewegt. Der Marathonläufer ist einfach zu langsam. Sein Geschwindigkeitsvektor ist also kürzer als der Vektor vom Zug. Gepard und LKW können sich wenigstens zeitweilig in der gleiche Richtung mit der gleichen Geschwindigkeit wie ein fahrender Zug fortbewegen.

  • Gib an, welche Vektoren des Dreiecksprismas gleich sind.

    Tipps

    Welche Richtung haben Vektoren, die gleich sind?

    Gleiche Vektoren haben die gleiche Orientierung.

    Lösung

    Gleiche Vektoren haben immer die gleiche Länge, die gleiche Richtung und die gleiche Orientierung. Du kannst diese Aufgabe mit dem Ausschlussverfahren angehen. Alle Vektoren, die eine falsche Richtung haben, fallen zunächst einmal weg. Bei den übrigen Vektoren achte darauf, dass die Orientierung stimmt. Gehen die Vektoren von links nach rechts oder von rechts nach links, von unten nach oben oder von oben nach unten, von vorne nach hinten oder von hinten nach vorne?

  • Beschreibe, wie sich ein Flugzeug vom Start bis zur Landung verhält.

    Tipps

    Flugzeuge sind in der Luft am schnellsten.

    Die Geschwindigkeit kannst du an der Länge des Vektors ablesen.

    Lösung

    Die Geschwindigkeit kann als vektorielle Größe aufgefasst werden. Der Geschwindigkeitsvektor legt die Geschwindigkeit des Flugzeugs im Betrag, in der Richtung und in der Orientierung eindeutig fest. Beim Landen und Starten ist das Flugzeug langsamer als in der Luft selbst, was durch relativ kurze Pfeile veranschaulicht wird. Auch die Richtung ändert sich im Laufe des Fluges von unten nach schräg oben (beim Starten) über horizontal (in der Luft) bis von oben nach schräg unten (beim Landen).

  • Bestimme, welche Vektoren des Würfels zu den Vektoren $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ und $\vec{AE}$ gleich sind.

    Tipps

    Welche Richtung haben Vektoren, die gleich sind?

    Gleiche Vektoren haben die gleiche Orientierung.

    Lösung

    Gleiche Vektoren haben immer die gleiche Länge, die gleiche Richtung und die gleiche Orientierung. Mit dem Ausschlussverfahren kannst du die Aufgabe angehen. Bei einem Würfel haben alle Kanten die gleiche Länge, sodass wir uns die Richtung und Orientierung genauer anschauen müssen. Alle Vektoren, die eine falsche Richtung haben, fallen zunächst einmal weg. Bei den übrigen Vektoren achte darauf, dass die Orientierung stimmt. Gehen die Vektoren von links nach rechts oder von rechts nach links, von unten nach oben oder von oben nach unten, von vorne nach hinten oder von hinten nach vorne?