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Was ist ein Vektor?

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Mathe-Team
Was ist ein Vektor?
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung zum Video Was ist ein Vektor?

Hast du dich schon einmal gefragt, wie man Richtungen in Mathe beschreiben kann? Dazu können Vektoren benutzt werden. Was ein Vektor ist und welche Eigenschaften er hat, erfährst du in diesem Video. Dazu werden dir einige einfache Beispiele von Vektoren gezeigt. Du lernst außerdem, wozu man Vektoren benutzen kann. Das Video wird durch Übungsaufgaben ergänzt. Leg gleich im Anschluss los und teste, ob du alles lösen kannst!

Grundlagen zum Thema Was ist ein Vektor?

Was ist ein Vektor?

Hast du das Wort Vektor schon einmal gehört? Es kommt ursprünglich aus dem Lateinischen und bedeutet so viel wie Träger. In der Physik und Mathematik nutzt man Vektoren und die Vektorrechnung vor allem, um Vorgänge zu beschreiben. Im Folgenden betrachten wir ein Beispiel, um Vektoren besser zu verstehen.

Vektoren – Beispiel

Wir betrachten zwei Flugzeuge, die in entgegengesetzte Richtungen fliegen. Flugzeug $A$ fliegt mit einer Geschwindigkeit von $200~\frac{\text{km}}{\text{h}}$ von links nach rechts. Flugzeug $B$ fliegt mit einer Geschwindigkeit von $400~\frac{\text{km}}{\text{h}}$ von rechts nach links. Wir können Vektoren benutzen, um die Geschwindigkeiten der Flugzeuge darzustellen.

Was ist ein Vektor?

Vektoren werden als Pfeile gezeichnet. Weil wir in diesem Beispiel die Geschwindigkeiten darstellen wollen, zeigen die Pfeile in Richtung der Bewegungen. Für das Flugzeug $A$ haben wir deswegen einen Pfeil gezeichnet, der nach rechts zeigt. Für Flugzeug $B$ zeigt der Pfeil nach links. Der Pfeil für Flugzeug $B$ ist außerdem doppelt so lang wie der Pfeil von Flugzeug $A$. Darin spiegelt sich die doppelte Geschwindigkeit wider: Die Länge des Vektors entspricht der Höhe der Geschwindigkeit. Man nennt die Länge auch den Betrag des Vektors. Diese ersten Erkenntnisse können wir schon zusammenfassen.

Vektor – Eigenschaften

  1. Ein Vektor hat eine feste Länge, Richtung und Orientierung und ist durch diese drei Eigenschaften vollständig bestimmt.
  2. Ein Vektor eignet sich zur Beschreibung einer Verschiebung.
  3. Ein Vektor wird als Pfeil dargestellt.
  4. Zwei Vektoren sind genau dann gleich, wenn sie die gleiche Länge, die gleiche Richtung und die gleiche Orientierung haben.

Vektoren – Bezeichnungen

Vektoren werden in der Mathematik durch Kleinbuchstaben mit einem Pfeil darüber bezeichnet:

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$

Alternativ kann man auch den Anfangs- und Endpunkt mit einem Pfeil überschreiben. Für den Anfangspunkt $A$ und den Endpunkt $B$ sähe das zum Beispiel so aus:

$\vec{a} = \overrightarrow{AB}$

Wenn man anzeigen will, dass man den Betrag eines Vektors meint, setzt man den Vektor in zwei vertikale Striche. Der Betrag eines Vektors ist immer größer oder gleich null.

$|\vec{a}| = |\overrightarrow{AB}| \geq 0$

Hat ein Vektor die gleiche Länge und Orientierung wie ein anderer, aber eine gegensätzliche Richtung, bezeichnet man diese Vektoren als Gegenvektoren. Man kann dies auch durch ein negatives Vorzeichen anzeigen. Wenn beispielsweise die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ Gegenvektoren sind, gilt:

$\vec{a} = - \vec{b}$

Schauen wir uns ein paar weitere Beispiele an, um die Bezeichnungen zu üben:

Vektor Definition

Die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{c}$ haben dieselbe Orientierung, dieselbe Länge und zeigen in dieselbe Richtung. Wir können deswegen schreiben:

$\overrightarrow{AB} = \vec{a} = \vec{c} = \overrightarrow{CD} ~ ~ ~ \text{und} ~ ~ ~ |\vec{a}| = |\vec{c}|$

Die Vektoren $\vec{c}$ und $\vec{e}$ sind zwar parallel, haben also dieselbe Orientierung und haben auch denselben Betrag, zeigen aber in entgegengesetzte Richtungen. Sie sind also Gegenvektoren. Wir schreiben:

$\vec{c} = - \vec{e}$

Die Vektoren $\vec{g}$ und $\vec{e}$ haben zwar denselben Betrag, aber unterscheiden sich in Orientierung und Richtung. Sie sind also weder Gegenvektoren noch gleich:

$\vec{e} \neq \vec{g} ~ ~ ~ \text{und} ~ ~ ~ \vec{e} \neq -\vec{g} ~ ~ ~ \text{und} ~ ~ ~ |\vec{e}| = |\vec{g}|$

Die Vektoren $\vec{g}$ und $\vec{i}$ stimmen zwar in Orientierung und Richtung überein, haben aber unterschiedliche Beträge: Der Vektor $\vec{i}$ ist doppelt so lang wie der Vektor $\vec{g}$:

$\vec{g} \neq \vec{i} ~ ~ ~ \text{und} ~ ~ ~ |\vec{i}| = 2 \cdot |\vec{g}|$

Der Nullvektor

Ein besonderer Vektor ist der Nullvektor. Sein Betrag und seine Länge sind null. Er ist damit, genau wie die Zahl Null, das neutrale Element der Vektoraddition. Das bedeutet, wenn man einen Vektor $\vec{a}$ um den Nullvektor verlängert, bleibt der Vektor gleich.

Vektoren – Anwendung Beispiel

Mithilfe von Vektoren können wir geometrische Objekte beschreiben, wie zum Beispiel Prismen. Sieh dir dieses Prisma an:

Prisma aus Vektoren, Beispiel

Alle Seiten, die parallel sind und die gleiche Länge haben, können durch einen Vektor beschrieben werden. Das Prisma kann also durch vier unterschiedliche Vektoren $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ und $\vec{d}$ beschrieben werden.

Transkript Was ist ein Vektor?

Was ist ein Vektor?

Hallo und herzlich willkommen zum Video “ Was ist ein Vektor ?". Vektoren beschreiben Vorgänge und werden als Pfeile dargestellt, die durch die Angaben Länge, Richtung, und Orientierung charakterisiert werden.

Stellen wir uns ein Flugzeug vor. Es soll mit 200 Kilometer pro Stunde in horizontaler Richtung von links nach rechts fliegen. Seine Bewegung wird durch einen Vektor mit den folgenden drei Angaben beschrieben: Die erste Angabe ist die Länge des Vektors. Sie gibt die Größe der Geschwindigkeit, hier 200 Kilometer in der Stunde an. Die zweite Angabe ist die horizontale Richtung und die dritte Angabe ist die Orientierung von links nach rechts.

Fliegt ein Düsenjet mit 400 Kilometer pro Stunde in genau die entgegengesetzte Richtung, so können wir dessen Geschwindigkeit durch einen doppelt so langen Pfeil darstellen, der genau in die entgegengesetzte Richtung zeigt.

In der Mathematik verwenden wir Vektoren in der analytischen Geometrie. Mit ihrer Hilfe lassen sich komplizierte geometrisch Aufgabenstellungen rechnerisch lösen. Vektoren beschreiben Verschiebungen von Figuren in der Ebene oder von Körpern im Raum.

Vektoren beschreiben als Pfeil eine Verschiebung in Ebene oder Raum

Unser Flugzeug verringert seine Höhe um zu landen. Seine Bewegung betrachten wir jetzt als Verschiebung. Die Verschiebungen der Punkte A, B, C und D werden durch Vektoren beschrieben. Die Punkte A, B, C und D werden durch den jeweiligen Vektor auf die Bildpunkte A’, B’, C’ und D’ abgebildet.

Wann sind zwei Vektoren genau gleich?

Alle Vektoren, die zur gleichen Verschiebung gehören, haben die gleiche Länge, die gleiche Richtung und die gleiche Orientierung.

Ich fasse zusammen: 1) Ein Vektor hat eine feste Länge, Richtung und Orientierung und ist durch diese drei Eigenschaften vollständig bestimmt. 2) Er eignet sich zur Beschreibung einer Verschiebung. 3) Er wird als Pfeil dargestellt. Zwei Vektoren sind genau dann gleich, wenn sie die gleiche Länge, die gleiche Richtung und die gleiche Orientierung haben.

Vektoren und deren Teile benennen

Wir stellen Vektoren durch Pfeile dar. Die beschriften wir mit kleinen Buchstaben mit einem Pfeil darüber. In unserem Beispiel nennen wir sie Vektor a, Vektor b, Vektor c, Vektor d und Vektor e. Unser Vektor a verschiebt den Punkt A auf den Punkt B. Aus diesem Grund kann man auch vom Vektor von A nach B oder kürzer vom Vektor AB sprechen. Entsprechend heißt der Vektor c auch Vektor CD und der Vektor d Vektor FE. Die Vektoren a und c haben die gleiche Länge, Richtung und Orientierung. Sie sind gleich. Wir schreiben Vektor a = Vektor c oder auch Vektor AB gleich Vektor CD.

Die Länge eines Vektors heißt sein Betrag. Wir schreiben ihn wie den Betrag von Zahlen mit zwei senkrechten geraden Strichen. Der Betrag eines Vektors ist eine Zahl größer oder gleich Null. Denn eine Länge kann nicht negativ werden. Der Betrag vom Vektor a ist gleich dem Betrag des Vektors c bzw. der Betrag vom Vektor AB ist gleich dem Betrag von Vektor CD.

Vektor und Gegenvektor

Der Vektor d hat die gleiche Länge wie der Vektor a und die gleiche Richtung. Nur seine Orientierung ist entgegengesetzt. Wir nennen ihn den Gegenvektor zum Vektor a. Gegenvektoren unterscheiden sich in ihrem Vorzeichen. Vektor d ist gleich minus Vektor a. Vektor d ist auch ein Gegenvektor zum Vektor c, da Vektor a und Vektor c gleich sind. Genauso sind die Vektoren a und c Gegenvektoren zu dem Vektor d. Wir schreiben Vektor d gleich minus Vektor a gleich minus Vektor c. Und umgekehrt Vektor a gleich Vektor c gleich Vektor minus d. Außerdem ist auch e der Gegenvektor zu dem Vektor b und umgekehrt.

Sind die Koordinaten des Anfangspunktes A und des Endpunktes B eines Vektors gleich, so hat er die Länge Null. Einen solchen Vektor können wir nicht als Pfeil zeichnen. Aber wir geben ihm einen Namen. Wir nennen ihn den Nullvektor und schreiben eine Null mit einem Pfeil darüber.

Zum Abschluss betrachten wir dieses Dreiecksprisma. Wir können seine neun Kanten durch vier verschiedene Vektoren beschreiben. Gleiche Vektoren haben gleiche Farbe und den gleichen Namen. Vektor a bildet die vorderen zwei waagerechten Kanten. Vektor b bildet die senkrechten Kanten. Die rechten beiden Kanten bildet Vektor c, die linken Kanten Vektor d.

Schluss

Du hast jetzt erfahren, was Vektoren sind. Mit ihrer Hilfe kannst du zum Beispiel geometrische Körper beschreiben. Das war’s nun auch schon wieder von mir. Vielen Dank für deine Aufmerksamkeit und bis bald! Tschüss!

17 Kommentare
17 Kommentare
  1. sehr gute erklärung !

    Von Jonas V., vor fast 3 Jahren
  2. nichtso krass aber gut

    Von Verena I., vor fast 3 Jahren
  3. ich kann nichts außer schwarz sehen

    Von Yannic 1, vor fast 4 Jahren
  4. sehr gut erklärt,nur das mit der Übung geht manchmal nicht:d

    Von Benjamin M., vor fast 4 Jahren
  5. SEHR GUT ERKLÄRT ABER NOCH BESSER EÄHRE ES MIT EINEM KOORDINATENSYSTEM 👍🏻👌🏼

    Von Annika W., vor etwa 4 Jahren
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Was ist ein Vektor? Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Was ist ein Vektor? kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib wieder, was ein Vektor ist.

    Tipps

    Können Längen von Vektoren negativ sein?

    Welche Orientierung haben Gegenvektoren?

    Wie lang ist eine Strecke mit gleichem Anfangs- und Endpunkt?

    Lösung

    Der Betrag eines Vektors gibt seine Länge an. Das könnte z.B. bei einem Geschwindigkeitsvektor die Geschwindigkeit eines Flugzeuges sein. Diese ist immer größer oder gleich null, also niemals negativ. Spezielle Vektoren sind der Gegenvektor und der Nullvektor. Beim Gegenvektor sind Anfangs- und Endkoordinaten vertauscht wie z.B. beim Geschwindigkeitsvektor eines Autos, das in die genau entgegengesetzte Richtung mit der gleichen Geschwindigkeit fährt. Beim Nullvektor hingegen stimmen Anfangs- und Endkoordinaten überein wie z.B. beim Geschwindigkeitsvektor eines Autos, das im Stau steht und sich nicht weiter fortbewegt.

  • Gib an, welche Vektoren des Dreiecksprismas gleich sind.

    Tipps

    Welche Richtung haben Vektoren, die gleich sind?

    Gleiche Vektoren haben die gleiche Orientierung.

    Lösung

    Gleiche Vektoren haben immer die gleiche Länge, die gleiche Richtung und die gleiche Orientierung. Du kannst diese Aufgabe mit dem Ausschlussverfahren angehen. Alle Vektoren, die eine falsche Richtung haben, fallen zunächst einmal weg. Bei den übrigen Vektoren achte darauf, dass die Orientierung stimmt. Gehen die Vektoren von links nach rechts oder von rechts nach links, von unten nach oben oder von oben nach unten, von vorne nach hinten oder von hinten nach vorne?

  • Beschreibe, wie sich ein Flugzeug vom Start bis zur Landung verhält.

    Tipps

    Flugzeuge sind in der Luft am schnellsten.

    Die Geschwindigkeit kannst du an der Länge des Vektors ablesen.

    Lösung

    Die Geschwindigkeit kann als vektorielle Größe aufgefasst werden. Der Geschwindigkeitsvektor legt die Geschwindigkeit des Flugzeugs im Betrag, in der Richtung und in der Orientierung eindeutig fest. Beim Landen und Starten ist das Flugzeug langsamer als in der Luft selbst, was durch relativ kurze Pfeile veranschaulicht wird. Auch die Richtung ändert sich im Laufe des Fluges von unten nach schräg oben (beim Starten) über horizontal (in der Luft) bis von oben nach schräg unten (beim Landen).

  • Bestimme, welche Vektoren des Würfels zu den Vektoren $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ und $\vec{AE}$ gleich sind.

    Tipps

    Welche Richtung haben Vektoren, die gleich sind?

    Gleiche Vektoren haben die gleiche Orientierung.

    Lösung

    Gleiche Vektoren haben immer die gleiche Länge, die gleiche Richtung und die gleiche Orientierung. Mit dem Ausschlussverfahren kannst du die Aufgabe angehen. Bei einem Würfel haben alle Kanten die gleiche Länge, sodass wir uns die Richtung und Orientierung genauer anschauen müssen. Alle Vektoren, die eine falsche Richtung haben, fallen zunächst einmal weg. Bei den übrigen Vektoren achte darauf, dass die Orientierung stimmt. Gehen die Vektoren von links nach rechts oder von rechts nach links, von unten nach oben oder von oben nach unten, von vorne nach hinten oder von hinten nach vorne?

  • Ergänze die Eigenschaften eines Vektors.

    Tipps

    Was muss bei zwei Vektoren übereinstimmen, damit sie durch Verschiebung deckungsgleich werden?

    Lösung

    Vektoren sind Pfeile, die zur Beschreibung von Verschiebungen geeignet sind. Sie sind eindeutig durch ihre Länge, Richtung und Orientierung charakterisiert. Ein spezieller Vektor ist der Gegenvektor, der die gleiche Länge, die gleiche Richtung, aber die entgegengesetzte Orientierung wie der ursprüngliche Vektor hat. In der Skizze wird das Dreieck $ABC$ durch Parallelverschiebung in das Dreieck $A'B'C'$ überführt. Die Verschiebungsvektoren $\vec{AA'}$, $\vec{BB'}$ und $\vec{CC'}$ sind alle gleich, da sie jeweils die gleiche Länge, gleiche Richtung und die gleiche Orientierung aufweisen. Der Vektor $\vec{DE}$ ist ein Gegenvektor zu den Verschiebungsvektoren.

  • Nenne Beispiele für Dinge, die den gleichen Geschwindigkeitsvektor wie ein 80 km/h schneller Zug haben könnten.

    Tipps

    Der Gepard ist eines der schnellsten Tiere auf der Erde.

    Wie schnell kann ein Marathonläufer sein?

    Raketen starten immer nach oben und besitzen im Weltraum sehr hohe Geschwindigkeiten.

    Lösung

    Bei Multiple-Choice-Fragen kann man gut mit dem Ausschlussverfahren beantworten. Dazu schauen wir uns die Dinge an, die wir auf jeden Fall ausschließen können. Die startende Rakete fliegt in vertikaler Richtung und besitzt im Weltraum eine sehr hohe Geschwindigkeit, die viel größer ist, als die des Zuges. Der Marathonläufer ist einfach zu langsam. Sein Geschwindigkeitsvektor ist also kürzer als der Vektor vom Zug. Gepard, Auto und LKW können sich wenigstens zeitweilig in der gleiche Richtung mit der gleichen Geschwindigkeit wie ein fahrender Zug fortbewegen.