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Wachstum – Wertetabellen von Wachstumsfunktionen 06:33 min

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Transkript Wachstum – Wertetabellen von Wachstumsfunktionen

Ich möchte erklären, wie man aus der Wertetabelle eine Wachstumsfunktion bzw. Abnahmefunktion erkennen kann, ob es sich um eine exponentielle oder um eine lineare Funktion handelt, oder um keines von beiden.Danach wollen wir uns anschauen, wie man die Kenngrößen der Funktion aus der Wertetabelle bestimmen kann. Fall es sich um lineares oder exponentielles Wachstum handelt. Und schließlich, wenn wir die Kennwerte haben, wollen wir die Funktionsgleichung der Funktion aufschreiben, die das Wachstum beschreibt.Legen wir also gleich los.Mit der Wertetabelle, die wir hier schon stehen haben, hier oben stehen nochmal die drei Aufgaben die wir uns stellen, und dann fragen wir uns als erstes, welche Art von Wachstum vorliegt. Wir prüfen zuerst auf exponentielles Wachstum. Exponentielles Wachstum zeichnet sich dadurch aus, dass der Bestand pro Zeiteinheit mit demselben Faktor multipliziert wird. Um also herauszufinden, ob das bei den vorliegenden Werten wirklich der Fall ist, muss man die Probe machen, ob der Faktor überall der gleiche war.Dies macht man, in dem man jeweils den Quotienten bildet, aus jedem Funktionswert und seinem Vorgänger. Man teilt also jeden Wert durch seinen Vorgänger. Das Probieren wir hier gleich mal aus. Ich fange rechts an, 8 / 4 = 2. Das nächste Pärchen ist 4 / 2 = 2. Dann kommst 2 / 1 = 2. Und als letztes 1 / 1/2 = 2. Tatsächlich ist der Quotient überall der gleiche. Wenn das der Fall ist liegt exponentielles Wachstum vor.Und den Wachstumsfaktor haben wir gerade auch schon bestimmt, der ist nämlich 2. Damit haben wir die erste Frage geklärt, und sogar schon einen Teil der zweiten. Was uns hier noch fehlt ist der Anfangswert. Es ist wirklich wichtig, dass alle Quotienten gleich sind. Wäre auch nur einer in unserem Beispiel ungleich zwei gewesen, so läge kein exponentielles Wachstum vor. Um die Funktionsgleichung aufzuschreiben, brauchen wir nun noch den Anfangswert der Exponentialfunktion. Den lesen wir einfach bei x = 0 ab. Für x = 0 ist der Funktionswert 1/2. Das ist der Anfangswert. Damit können wir die Funktionsgleichung, die zu dieser Wertetabelle gehört aufschreiben. f(x) = 1/2 * 2x. Und schon sind wir fertig.Schauen wir uns das nächste Beispiel an.Ich fange rechts an, 12 /10 = 1,2. 10 / 8 = 1,25. Und da sehen wir schon 1,25 ist ungleich 1,2. Und deswegen ist das kein exponentielles Wachstum. Prüfen wir also auf lineares Wachstum. Lineares Wachstum zeichnet sich dadurch aus, dass der Bestand pro Zeiteinheit um die gleiche Zahl wächst. Das heißt wir müssen prüfen, ob der Zuwachs jedes Mal der gleiche war, ob jedes Mal der gleiche Summand addiert wurde. Dazu bilden wir die Differenzen aus jedem Funktionswert und seinem Vorgänger. Ich fange wieder rechts an, 12 - 10 = 2, 10 - 8 = 2 , 8 - 6 = 2, 6 - 4 = 2. Die Differenz ist überall gleich. Ist das der Fall liegt lineares Wachstum vor, und die berechnete Differenz, die überall gleich ist, ist die Steigung der linearen Funktion. Alle Differenzen müssen gleich sein. Wenn es einen Ausreißer gibt, dann liegt kein lineares Wachstum vor. Damit wir die Gleichung vollständig aufschreiben können, brauchen wir jetzt noch den y-Achsenabschnitt. Den lesen wir bei x = 0 ab, 4 ist der y-Achsenabschnitt. Also ist die Funktionsgleichung, die das Wachstum beschreibt f(x) = 2x + 4. Und wir haben alles erledigt.Schauen wir uns noch ein letztes Beispiel an, die Funktionswerte sind: 8, 6, 4, 2, 1. Wir prüfen, und bilden alle Quotienten. 1 / 2 = 1/2, 2 /4 = 1/2, 4 / 6 = 2/3.2/3 ist aber nicht dasselbe wie 1/2, und deswegen handelt es sich nicht um exponentielles Wachstum. Dann prüfen wir jetzt auf lineares Wachstum. Wir bilden die Differenzen. 1 - 2 = -1, 2 - 4 = -2. Diese beiden Werte sind nicht gleich. Es liegt also auch kein lineares Wachstum vor.Das kann auch mal passieren. Nicht jede Funktion hat so schöne Eigenschaften wie lineare oder Exponentialfunktionen. Die Frage haben wir jedenfalls geklärt, und mit unserem bisherigen Wissen können wir auch nicht mehr über die Funktion aussagen.Das heißt wir sind hier schon fertig. Dann hoffe ich, dass ihr alles verstanden habt, und wünsche euch viel Erfolg.

4 Kommentare
  1. Default

    eine gute Darstellung, chapeau!

    Von Mariarudolf, vor mehr als 3 Jahren
  2. Default

    Dankeschön! Wären hier nur alle Videos so gut wie dieses.

    Von Nana Aliewa, vor fast 4 Jahren
  3. Default

    Leider wurden das Quadratische Wachstum vergessen, das habe ich vermisst, sonst aber klasse Video!

    Von Ykessler96, vor mehr als 5 Jahren
  4. Default

    Ein unverschämt gutes Video! 1000 Dank, Steve!!!

    Von Green Spirit, vor etwa 6 Jahren