30 Tage kostenlos testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Vereinigungsmenge

Bewertung

Ø 5.0 / 6 Bewertungen

Die Autor/-innen
Avatar
Martin Wabnik
Vereinigungsmenge
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Vereinigungsmenge

Die Vereinigungsmenge der Mengen A und B ist die Menge besteht aus den Elementen, die in A oder in B oder in beiden Mengen vorkommen. Weil es immer wieder Mißverständnisse wegen des Gebrauchs der Wortes "oder" gibt, werden am Anfang des Videos Beispiele gezeigt, an denen du erkennen kannst, was eine Vereinigungsmenge ist. Verwendet wird in der Definition das nicht-auschließende "oder".

Transkript Vereinigungsmenge

Hallo. Der Begriff „Vereinigungsmenge“ ist mathematisch gesehen unproblematisch und er wäre auch ansonsten unproblematisch, wenn es nicht die Wörter „und“ und „oder“ gäbe. Deshalb möchte ich zunächst diese beiden Wörter vermeiden, die Vereinigungsmenge an Beispielen erklären und hinterher zu den Wörtern noch etwas sagen. Wenn A={4; 9}, B={2; 3; 4}, dann ist die Vereinigungsmenge A vereinigt B={2; 3; 4; 9}. Wenn A={x; y}, B={r; s}, dann ist die Vereinigungsmenge A vereinigt B={r; s; x; y}. Wenn A die Menge mit den Elementen {1; 2; 3} ist, B ebenfalls die Menge mit den Elementen {1; 2; 3}, dann ist die Vereinigungsmenge A vereinigt B gleich der Menge mit den Elementen {1; 2; 3}. Wenn A={8; 7} ist, B die leere Menge ist, dann ist A vereinigt B={8; 7}. So und jetzt kommt’s. In der verbalen Definition der Vereinigungsmenge kommt das Wort „oder“ vor. Gemeint ist ein „nicht ausschließendes oder“ und das kommt in der Umgangssprache auch vor, zum Beispiel in folgender Situation: Angenommen du sitzt im Unterricht, du redest viel, obwohl du das nicht sollst und der Lehrer sagt dir dann etwas läppisch: „Also mein Freund, du kannst gerne zuhören, oder auch etwas malen, aber nicht weiter quatschen.“ Dann meint der Lehrer ein „nicht ausschließendes oder“. Er meint nämlich, du kannst zuhören oder malen oder auch beides machen, das wäre ihm dann egal. Er meint nicht das „ausschließende oder“. Das würde bedeuten, du kannst entweder zuhören oder malen, aber nicht beides machen und das hat er ja bestimmt nicht gemeint. Und jetzt sind wir bereit für die verbale Definition der Vereinigungsmenge. Los geht’s! Die Vereinigungsmenge A vereinigt B der Mengen A und B besteht aus den Elementen, die in A oder in B vorkommen. So und um es noch deutlicher zu machen, könnte man hier noch einen Zusatz einfügen „oder in beiden Mengen vorkommen“, aber so ist halt die übliche Definition dazu und man kann sich jetzt an dem „oder“ aufhängen und sich immer wieder überlegen, müsste das nicht „und“ heißen und so, aber man kann dabei auch schnell einen Gehirnkrampf kriegen und das wollen wir ja nicht. So das war’s zur Vereinigungsmenge und zum „nicht ausschließenden oder“. Viel Spaß damit, Tschüss!

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. Danke

    Von Benjamin D., vor mehr als 2 Jahren
  2. Wirklich sehr gut erklärt, hat mir super geholfen :)

    Von Nadine R., vor mehr als 2 Jahren

Vereinigungsmenge Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Vereinigungsmenge kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die fehlenden Begriffe in der Definition der Vereinigungsmenge.

    Tipps

    Schaue dir die Abbildung an: Du kannst erkennen, dass die Vereinigungsmenge zweier Mengen beide Mengen umfasst.

    In der Mathematik versteht man „und“ als ein sowohl als auch auch.

    Das Zeichen $\cap$ wird für eine Schnittmenge verwendet.

    Lösung

    Im abgebildeten Venn-Diagramm siehst du, dass es sich bei der Vereinigungsmenge um den Bereich handelt, den beide Mengen abdecken.

    Dennoch kannst du, um die Vereinigungsmenge zu bestimmen, nicht einfach beide Mengen addieren. Du musst alle Elemente einmal aussortieren, die in beiden Mengen jeweils vorkommen. Dazu ein Beispiel: Die Menge $A$ besteht aus den Zahlen $1$, $2$, $3$, $4$ sowie $5$ und die Menge $B$ aus den Zahlen $4$, $5$, $6$ und $7$:

    $A=\{ 1, 2; 3; 4; 5\}$ $B=\{ 4; 5; 6; 7\}$

    Die Vereinigungsmenge $A \cup B$ enthält die sieben Elemente $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ und $7$. Die Elemente $4$ und $5$ dürfen also nicht doppelt verwendet werden:

    $A \cup B={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}$

    Übrigens: Das in der Definition verwendete „oder” ist kein ausschließendes „oder”, wie oft im alltäglichen Sprachgebrauch verwendet, wie z.B. bei „Bleib stehen oder ich schieße.”. Stattdessen meint es beides, also ein „oder” im Sinne von „oder auch”, wie z.B. bei „Mein Lieblingsessen ist Spagetti Bolognese oder Carbonara.”

  • Entscheide, welche Aussagen in Bezug auf die Vereinigungsmenge zutreffen.

    Tipps

    Die Vereinigungsmenge zweier Mengen, von denen genau eine die leere Menge ist, entspricht der nichtleeren Menge.

    Du kannst immer zunächst die Elemente zweier Mengen zusammenpacken und dann die Elemente, die mehrfach vorkommen, wieder aussortieren.

    Lösung

    Um die Vereinigungsmenge zweier Mengen zu bestimmen, packst du einfach alle Elemente der einen Menge mit den Elementen der anderen Menge zusammen. Dann entfernst du alle Elemente, die mehrfach vorkommen, denn kein Element darf in der Vereinigungsmenge mehrfach auftreten:

    • Die Vereinigungsmenge $A \cup B$ enthält also die Elemente $r$, $s$, $x$ und $y$; also insgesamt vier Elemente.
    • Die Mengen $C$ und $D$ sind identisch: Die Vereinigungsmenge fällt also „zusammen” und entspricht jeder einzelnen Menge. Bei zwei identischen Mengen musst du also alle Elemente einer der beiden Mengen wieder aussortieren, nachdem diese „zusammengepackt” worden sind: Somit bleiben nur die Elemente einer Menge erhalten.
    • Die Vereinigung der Mengen $A$ und $E$ stellt einen Sonderfall dar: Die leere Menge $E$ besteht ja aus keinem Element, so dass die Vereinigungsmenge dann dem Inhalt der Menge $A$ entspricht.
  • Entscheide, welche Aussagen in Bezug auf die Vereinigungsmenge zutreffen.

    Tipps

    Du kannst auch ein Venn-Diagramm, auch Mengendiagramm genannt, nutzen. Die Vereinigungsmenge besteht aus allen Elementen, die in $F$ oder in $G$ oder in $H$ vorkommen. Hierbei ist ein nicht ausschließendes Oder gemeint.

    Die Vereinigungsmenge darf keine Elemente mehrfach enthalten, muss aber alle Elemente der einzelnen Mengen beinhalten, also die Elemente der Mengen $F$, $G$ und $H$.

    Lösung

    Anschaulich kannst du dir die Vereinigungsmenge $F\cup G\cup H$ folgendermaßen vorstellen: Du packst alle Elemente von $F$, $G$ und $H$ zusammen und entfernst alle Elemente, die mehrfach vorkommen, denn kein Element darf in der Vereinigungsmenge mehrfach vorkommen.

    Die Vereinigungsmenge $F \cup G \cup H$ enthält also die Elemente 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 und 10, also insgesamt zehn Elemente.

  • Ermittle die Anzahl der Möglichkeiten aus einem Skatblatt ein rote Karte oder eine Lusche zu ziehen.

    Tipps

    Um die Vereinigungsmenge zu bestimmen, musst du alle Elemente, die doppelt sind, „aussortieren”.

    Du kannst auch erst die Anzahl aller roten Elemente bestimmen, dazu die Anzahl aller Luschen addieren und anschließend die Anzahl der Karten, die beide Merkmale in sich vereinigen, von dieser Summe abziehen.

    Die Anzahl der Luschen ergibt sich aus den drei Luschen Karten jeder Farbe.

    Die Anzahl der roten Karten entspricht der Summe von Herz- und Karokarten.

    Lösung

    Die Menge $R$ der rote Karten besteht aus 16 Elementen, denn für die Farben Herz und Karo gibt es jeweils 8 Karten.

    Die Menge $L$ der Luschen besteht aus $4\cdot 3=12$ Elementen, denn für jede der vier Farben gibt es die drei Luschen 7, 8 und 9.

    Nun kannst du nicht einfach 16 und 12 addieren, sonst würdest du diejenigen Elemente doppelt zählen, die sowohl in $R$ als auch in $L$ vorkommen. Diese Elemente lauten:

    $R\cap L=\{ \text{Pik 7}, \text{Pik 8}, \text{Pik 9}, \text{Kreuz 7}, \text{Kreuz 8}, \text{Kreuz 9} \}$.

    Damit gibt es also insgesamt $16+12-6=22$ Karten, die rot oder eine Lusche sind.

  • Bestimme die Vereinigungsmenge der Mengen A und B.

    Tipps

    Sortiere zunächst alle Elemente aus, die zu keiner der beiden gegebenen Mengen gehören.

    Die Vereinigungsmenge umfasst alle Zahlen, die sowohl in der Menge A als auch in der Menge B vorkommen.

    Die Vereinigungsmenge darf das gleiche Element nicht mehrfach enthalten.

    Lösung

    Die Zahlen 1 und 7 kannst du „aussortieren”, da diese weder Element von A noch von B sind.

    Die Vereinigungsmenge $A \cup B$ enthält dann nur noch die Elemente 2, 3, 4 und 9, also insgesamt vier Elemente.

    Du kannst die Anzahl der Elemente der Vereinigungsmenge auch folgendermaßen berechnen:

    $\text{Anzahl der Elemente in }A$ $+\text{Anzahl der Elemente in }B$ $-\text{Anzahl der Elemente in } A \cap B$ $=2+3-1=4$.

    Du musst also die Schnittmenge in Abzug bringen, denn die Vereinigungsmenge darf keine doppelten Elemente enthalten: Die Zahl 4 darf also nicht zweimal gezählt werden.

  • Ermittle die Wahrscheinlichkeit $P(E)$ beim einmaligem zufälligen Ziehen aus einem Skatblatt einen König oder eine Herzkarte zu ziehen.

    Tipps

    Das „oder” in der Aufgabenstellung zeigt dir an, dass hier zunächst die Vereinigungsmenge der Menge der Herzkarten mit der Menge der Karten mit Königen bestimmt werden muss.

    Die Wahrscheinlichkeit berechnest du dann wie folgt:

    $P(E)= \frac{|E|}{|\Omega |}$

    $|E|$ steht hier für die Anzahl der Elemente der gefragten Vereinigungsmenge, während $|\Omega |$ die Gesamtzahl aller Karten widerspiegelt.

    Lösung

    Die Menge der vier Karten mit einem König $K$ lässt sich wie folgt beschreiben:

    $K=\big\{\text{König Karo; König Herz; König Pik; König Kreuz}\big\}$

    Die Menge der acht Herzkarten $H$ kann so dargestellt werden:

    $H=\big\{\text{Herz 7; Herz 8; Herz 9; ... ; Herz Ass}\big\}$

    Um nun die Vereinigungsmenge $E$ zu bestimmen, packst du alle Elemente der Mengen $H$ und $K$ zunächst zusammen.

    Dann werden alle doppelten Elemente einfach „aussortiert”:

    $E=\big\{\text{Herz 7; Herz 8; Herz 9; Herz 10; Herz Bube; Herz Dame; Herz König; Herz Ass; König Karo; }$

    $\text{König Pik; König Kreuz}\big\}$

    Es verbleiben letztlich also noch elf Elemente in der Vereinigungsmenge.

    Die Wahrscheinlichkeit berechnest du dann mit $P(E)= \frac{|E|}{|\Omega |}$. $|E|$ steht hier für die Anzahl der Elemente der gefragten Vereinigungsmenge, während $|\Omega |$ die Gesamtzahl aller Karten widerspiegelt.

    Es ist also $P(E)= \frac{11}{32} = 0,34375$.

    Die Chance auf einen König oder eine Herzkarte liegt demnach bei ca. $34~\%$.

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

10.800

Lernvideos

44.109

Übungen

38.757

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer/
-innen

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert/-innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden