Mengenoperationen – Schnitt, Vereinigung, Differenz

Mengenoperationen – Schnitt, Vereinigung, Differenz Übung

• Gib jeweils die zutreffende Mengenoperation und das passende Signalwort an.

  Tipps

  Jedes Element der Vereinigungsmenge zweier Mengen $A$ und $B$ ist in $A$ oder in $B$ enthalten.

  Jedes Element der Differenzmenge von $A$ und $B$ ist in $A$, aber nicht in $B$, enthalten.

  Folgendes gilt für die mathematische Schreibweise der Mengenoperationen:

  $ \begin{array}{l|l} \text{Symbol} & \text{Interpretation} \\ \hline A \cap B & A\ \text{geschnitten}\ B \\ A \cup B & A\ \text{vereinigt mit}\ B \\ A \setminus B & A\ \text{ohne}\ B \end{array} $

  Lösung

  Hier abgebildet sind die gegebenen Mengen mit den zugehörigen Mengenoperationen sowie den jeweiligen Signalwörtern.

  Alle Elemente der Schnittmenge $A\cap B$ sind in der Menge $A$ UND in der Menge $B$ enthalten.

  Die Elemente der Differenzmenge $A\setminus B$ sind in der Menge $A$, ABER NICHT in der Menge $B$ enthalten.

  Alle Elemente der Vereinigungsmenge $A\cup B$ sind in der Menge $A$ ODER in der Menge $B$ enthalten.

• Bestimme die gesuchten Mengen.

  Tipps

  Folgendes gilt für die mathematische Schreibweise der Mengenoperationen:

  • $A\cap B\quad\rightarrow\quad$ Schnittmenge von $A$ und $B$
  • $A\cup B\quad\rightarrow\quad$ Vereinigungsmenge von $A$ und $B$
  • $A\setminus B\quad\rightarrow\quad$ Differenzmenge von $A$ und $B$

  In der Schnittmenge zweier Mengen sind alle gemeinsamen Elemente dieser beiden Mengen enthalten.

  Bei der Bildung der Differenzmenge spielt die Reihenfolge der Mengen eine wichtige Rolle. Für den Fall $A\neq B$ ist zu beachten, dass Folgendes für die Differenzmengen gilt:

  • $A\setminus B \neq B\setminus A$

  Das bedeutet, dass die Operation $A$ ohne $B$ nicht dieselbe Menge liefert wie die Operation $B$ ohne $A$.

  Lösung

  Folgende Mengen sind uns bekannt:

  • $A=\{$Mann; Brille; Schnurrbart; dunkelblond; dicke Augenbrauen$\}$
  • $B=\{$Mann; Brille; Schnurrbart; blaue Augen; breite Nase$\}$
  • $C=\{$Shorts; Schal; Turnschuhe; Regenjacke; T-Shirt$\}$
  • $D=\{$Shorts; Schal; Sandalen; Uhr$\}$

  Nun möchten wir ausgehend von diesen Mengen Schnitt- und Differenzmengen bestimmen.

  Insbesondere bei der Bestimmung der Differenzmengen müssen wir uns sehr gut konzentrieren. Denn sobald zwei Mengen $A$ und $B$ vorliegen, welche voneinander verschieden sind, ist die Differenzmenge $A$ ohne $B$ eine andere als die Differenzmenge $B$ ohne $A$. Die Reihenfolge der Mengen spielt also eine Rolle.

  Schnittmenge $~ A\cap B$

  Hier sind alle die Elemente gesucht, die in $A$ UND in $B$ enthalten sind. Es folgt:

  $A\cap B=\{$Brille; Mann$\}$

  Differenzmenge $~ A\setminus B$

  Hier sind alle die Elemente gesucht, die in $A$, ABER NICHT in $B$ enthalten sind. Es folgt:

  $A\setminus B=\{$Schnurrbart; dunkelblond; dicke Augenbrauen$\}$

  Schnittmenge $~ C\cap D$

  Hier sind alle die Elemente gesucht, die in $C$ UND in $D$ enthalten sind. Es folgt:

  $C\cap D=\{$Shorts; Schal$\}$

  Differenzmenge $~ D\setminus C$

  Hier sind alle die Elemente gesucht, die in $D$, ABER NICHT in $C$ enthalten sind. Es folgt:

  $D\setminus C=\{$Sandalen; Uhr$\}$

• Ermittle die Lösung der gegebenen Mengenoperationen.

  Tipps

  Folgende Bedeutung haben die gegebenen Operationen:

  $ \begin{array}{l|l} \text{Verwendung} & \text{Interpretation} \\ \hline A \cap B & A\ \text{geschnitten}\ B \\ A \setminus B & A\ \text{ohne}\ B \end{array} $

  Schaue dir folgendes Beispiel an:

  Sei $A=\{5;\ 2;\ 10\}$ und $B=\{2;\ 11;\ 8\}$ gegeben, so gilt:

  $A\setminus B=\{5;\ 10\}$

  Lösung

  Folgende Mengen sind uns bekannt:

  • $L=\{13;\ 4;\ 81;\ 22;\ 0,8\}$
  • $M=\{11;\ 4;\ 81;\ 19;\ 0,9\}$
  • $J=\{11;\ 6;\ 81;\ 22;\ 0,9\}$

  Diese enthalten diejenigen Lösungen, die Lisa, Maria und Julia in ihren Klassenarbeiten berechnet haben. Um festzustellen, wie viele Lösungen sie gemeinsam haben, berechnen wir einige Schnitt- und Differenzmengen:

  Schnittmenge $L\cap M$

  Wir suchen alle Zahlen, die in $L$ UND in $M$ enthalten sind. So ermitteln wir folgende Schnittmenge:

  $L\cap M=\{4;\ 81\}$

  Demnach ist die Auswahl $L\cap M=\{4;\ 0,9\}$ falsch.

  Schnittmenge $L\cap J$

  Nun suchen wir alle Einträge, die in $L$ UND in $J$ enthalten sind. So ermitteln wir folgende Schnittmenge:

  $L\cap J=\{81;\ 22\}$

  Differenzmenge $M\setminus J$

  Gesucht sind alle Elemente, die in $M$, aber nicht in $J$ enthalten sind. Wir ermitteln dann folgende Differenzmenge:

  $M\setminus J=\{4;\ 19\}$

  Differenzmenge $J\setminus L$

  Gesucht sind alle Zahlen, die in $J$, aber nicht in $L$ enthalten sind. Wir ermitteln dann folgende Differenzmenge:

  $J\setminus L=\{11;\ 6;\ 0,9\}$

  Demnach ist die Auswahl $J\setminus L=\{13;\ 4;\ 0,8\}$ falsch.

• Bestimme die Schnitt- und Differenzmengen.

  Tipps

  Schaue dir folgendes Beispiel an:

  $R_3\setminus L=\{$Milch; Stärke$\}$

  Wenn zwei Mengen kein gemeinsames Element haben, so entspricht ihre Schnittmenge der leeren Menge $\{\}$.

  Lösung

  Chefkoch Luigi hat folgende Zutaten:

  • $L=\{$Mehl; Zucker; Butter; Backpulver; Puderzucker$\}$

  Und je folgende Zutaten braucht er für die vier Rezepte:

  • $R_1=\{$Mehl; Butter; Zucker; Vanillezucker$\}$
  • $R_2=\{$Mehl; Milch; Eier; Zucker$\}$
  • $R_3=\{$Mehl; Milch; Stärke; Zucker$\}$
  • $R_4=\{$Milch; Stärke; Vanillezucker$\}$

  Wir möchten schauen, welche Zutaten dem Chefkoch für diese Rezepte fehlen. Dafür bestimmen wir einige Schnitt- und Differenzmengen:

  • $R_1\setminus L=\{$Vanillezucker$\}\ \rightarrow$ Für dieses Rezept fehlt dem Koch Vanillezucker.
  • $R_2\setminus L=\{$Eier; Milch$\}\ \rightarrow$ Hier fehlen ihm sogar zwei Zutaten.
  • $R_3\cap L=\{$Mehl; Zucker$\}\ \rightarrow$ Für dieses Rezept hat er nur Mehl und Zucker in seinem Vorrat.
  • $R_4\cap L=\{\}\ \rightarrow$ Für dieses Rezept fehlen ihm alle Zutaten.

  Die Mengen $R_4$ und $L$ sind nämlich elementfremd. Das bedeutet, dass sie kein gemeinsames Element haben. Daher entspricht ihre Schnittmenge der leeren Menge.

  Demnach eignet sich das erste Rezept am besten.

• Gib die mathematische Schreibweise der Mengenoperationen an.

  Tipps

  Schaue dir folgendes Beispiel an:

  Sei $A=\{1;\ 2;\ 3\}$ und $B=\{2;\ 4\}$. Dann gilt:

  $A\cap B=\{2\}$.

  Die Differenzmenge $A\setminus B$ enthält alle Elemente, die in $A$, aber nicht in $B$ enthalten sind.

  Ist eine Menge $B$ Teilmenge einer Menge $A$, so schreiben wir $B\subseteq A$.

  Lösung

  Die Bezeichnungen der Mengenoperationen sowie ihre mathematischen Schreibweisen kannst du der nachfolgenden Tabelle entnehmen:

  $ \begin{array}{l|l} \text{mathematische Schreibweise} & \text{Bezeichnung} \\ \hline A \cap B & A\ \text{geschnitten}\ B \\ A \cup B & A\ \text{vereinigt mit}\ B \\ A \setminus B & A\ \text{ohne}\ B \\ B \setminus A & B\ \text{ohne}\ A \end{array} $

  Handelt es sich bei einer Menge $B$ um die Teilmenge einer Menge $A$, schreiben wir $B\subseteq A$. Ist $A$ hingegen die Teilmenge von $B$, schreiben wir $A\subseteq B$.

• Bilde die gesuchte Menge.

  Tipps

  Gehe in dieser Aufgabe Schritt für Schritt vor. Bestimme zunächst die Schnittmenge $A\cap B$. Diese enthält alle Elemente, die in $A$ UND in $B$ enthalten sind.

  Im nächsten Schritt betrachtest du die gesuchte Differenzmenge. Du ziehst von der Schnittmenge $A\cap B$ alle Elemente ab, die in $C$ enthalten sind.

  Lösung

  Doktor Evil muss folgende Menge $E$ finden:

  • $A=\{3;\ 8;\ 12;\ 18;\ 23;\ 31;\ 52\}$
  • $B=\{3;\ 7;\ 11,5;\ 18;\ 23;\ 30;\ 52\}$
  • $C=\{1;\ 5;\ 12;\ 18;\ 21;\ 31;\ 50\}$
  • $D=A\cap B$
  • $E=D\setminus C$

  Hierzu rechnen wir Schritt für Schritt. Wir bestimmen zunächst die Schnittmenge:

  $D=A\cap B=\{3;\ 18;\ 23;\ 52\}$

  Danach bestimmen wir die gesuchte Differenzmenge:

  $E=D\setminus C=\{3;\ 23;\ 52\}$