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Vektoren kennenlernen – Spiegelungen

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Ø 3.0 / 9 Bewertungen

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Martin Wabnik
Vektoren kennenlernen – Spiegelungen
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Vektoren kennenlernen – Spiegelungen

Auch Spiegelungen können mittels Vektoren dargestellt werden. Überhaupt kannst du mit dem abstrakten Konzept der Vektoren vieles, was visuell passiert (aus der Elementargeometrie), beschreiben. In diesem Video wird dir zunächst gezeigt, wie man ein Dreieck an einer Spiegelachse mit Hilfe einer Folie spiegeln kann. Danach werden Vektoren eingezeichnet, zu denen du dir selbst Gedanken machen sollst und dir wird erklärt, warum man mit Vektoren spiegelt. Im zweiten Teil siehst du eine Punktspiegelung. Zunächst wird mit Hilfe einer Folie erklärt, was Punktsymmetrie bei einem Graphen bedeutet. Wie man diese mit Hilfe von Vektoren erkennt, wird kurz angedeutet. Danach siehst du, wie ein Dreieck am Punkt gespiegelt wird.

Transkript Vektoren kennenlernen – Spiegelungen

Hallo! Wir kennen viele Sachen aus der Elementargeometrie, die man auch mit Vektoren darstellen kann. Zum Beispiel Spiegelungen: Achsenspiegelungen, Punktspiegelungen, etc. Achsenspiegelungen hast du mal gemacht, als du klein warst. Ich zeig noch mal, was das ist, vielleicht hat der eine oder andere das vergessen. Ich male irgendein Dreieck hier hin. Das soll jetzt wirklich ein Irgendwie-Dreieck sein ohne weitere Eigenschaften. Und ich könnte dieses Dreieck an einer Achse spiegeln. Zum Beispiel hier an - ich mach das mal senkrecht zum Rand - da soll die Achse sein und daran möchte ich dieses Dreieck spiegeln. Ich hab hier schon eine Folie aufgelegt, warum? Weil man mit solchen Folien eben sehr gut sich noch mal ins Gedächtnis zurückrufen kann, was es bedeutet, Achsenspiegelungen durchzuführen. Ich mal das jetzt hier einfach einmal nach durch die Folie und kann dann hier an dieser Achse umklappen und bekomme also hier das neue Bild und auch das kann man mit Vektoren darstellen. Dazu müssten die natürlich jetzt hier einfach so rüber laufen diese Vektoren und die können dann die einzelnen Punkte dann abbilden. Du kannst dir ja Gedanken machen: Woher weiß man, wie lang diese Vektoren sind? Haben die noch irgendwelche Eigenschaften? Zum Beispiel: Sind die alle parallel oder nicht? Wenn ja, wenn sie parallel sind, müssen sie parallel sein? Warum sind sie parallel? Und ich könnte z. B. hier noch einmal eine Spiegelung ausführen hier an der nächsten Achse, wenn ich das will, und dann entsteht diese Figur und auch da kann man sich fragen: Was ist da eigentlich passiert? Hätte man das auch anders machen können, als zweimal zu spiegeln? Wo sind die Vektoren und welche Eigenschaften haben sie? Das kannst du ganz elementar dir aufmalen und z. B. mal nachmessen oder so. Das ist natürlich kein Beweis dieses Messen, aber es trägt dazu bei, dass du die Vektoren ganz einfach und ganz elementar kennenlernen kannst und dir ein bisschen vorstellen kannst, was damit so los ist. Die Frage erhebt sich hier natürlich auch wieder: Warum macht man solche Sachen mit Vektoren, wenn es doch anders einfacher geht? Naja, wenn du etwas auf deinem Computer siehst, z. B. und sich da etwas spiegelt oder sich da etwas dreht und so, dann sind das nicht wirklich kleine Menschen, die da in dem Bildschirm irgendwas machen. Naja, das wusstest du, also Spaß beiseite. Es sind Pixel. Einzelne Punkte, Farbpunkte, denen man sagen muss, was sie wann zu tun haben. Und die einzige Sprache, die diese Pixel verstehen, ist vektoriell. Sollte sich da irgendetwas drehen oder spiegeln in deinem Computer, dann hat sich einer hingesetzt und hat vektoriell den Punkten erzählt, was sie machen sollen. So mal ein bisschen folkloristisch erklärt. Aber das ist mit der Vektorrechnung passiert. Zum Beispiel alle Computerspiele, alle Animationsfilme werden ja nicht mehr einzeln gezeichnet, Blatt für Blatt, sondern sie werden im Computer erstellt und das passiert vektoriell. Nur mal so zum Thema: Wozu macht man das, und wo kann man das anwenden? Ich möchte noch eine weitere Sache zeigen. Nämlich Punktspiegelungen. Ich glaube das hast du in der 5. Klasse gemacht, wie gesagt, als du noch klein warst. Du hast aber etwas gemacht, was noch nicht so lange her ist. Nämlich die Punktsymmetrie, und zwar hatten wir die bei Funktionen. Dazu brauche ich noch einmal ein Koordinatensystem und eine punktsymmetrische Funktion, die z. B. so aussehen könnte. Das könnte irgendwie so eine Funktion sein 1,5×x3 oder so ähnlich. Wie war das mit der Punktspiegelung. Einmal kurz zur Wiederholung. Auch das kann man mit so einer Folie machen. Ich hab jetzt hier einfach mal so eine Klarsichtfolie genommen. Also wenn du hier eine Punktspiegelung machen willst am Koordinatenursprung, dann kannst du einfach diese Funktion hier nachmalen und das Koordinatensystem auch kurz andeuten, nämlich hier und hier und hier. Und dann kannst du das Ganze einfach drehen. Und zwar solange bis diese entsprechenden Andeutungen des Koordinatensystems wieder auf den entsprechenden Stellen sind und siehe da, wir haben wirklich eine punktsymmetrische Funktion, zumindest fast genau. Also in dem Rahmen, wie es mit den dicken Stiften möglich ist, denke ich, ist es sehr gut gelungen. Du kannst es auch wieder zurück spiegeln. Das ist die Punktsymmetrie und du kannst dir natürlich auch zwischendurch überlegen: Was passiert denn, wenn ich nur ein bisschen drehen will? Kann ich das dann vektoriell machen? Du kannst natürlich eine gesamte Punktspiegelung auch vektoriell machen, indem du jedem Punkt hier erzählst, wo er hin muss. Du kannst dir auch überlegen, wie lang der Pfeil sein muss, der jetzt z. B. von hier nach da führt oder der von hier nach da führt. Gehen die alle durch den Nullpunkt oder nicht? Und was passiert, wenn ich eben nur ein bisschen drehen will? Zum Beispiel nur bis hier. Welcher Punkt, da kannst du sehr sehen mit einer solchen Folie: Wo ist dieser Punkt, wenn ich z. B. mit 45° drehe? Vielleicht hätte man den vorher hier unten auch bezeichnen sollen, kein Problem und das müssten ungefähr 45° gewesen sein. Dann kannst du hier den Vektor finden und dann kannst du dir vielleicht auch überlegen: Wo sind die anderen Vektoren? Wie sehen die alle aus? Haben die alle die gleiche Richtung? Und ruhig mal ein bisschen damit herumexperimentieren. Das funktioniert übrigens auch mit irgendwelchen Dreiecken oder mit irgendwelchen anderen Figuren, die an einem Punkt gespiegelt werden. Hier ist wieder irgendein Dreieck und wir nehmen mal einen Punkt, hier, an dem dieses Dreieck gespiegelt werden soll. Wenn man jetzt an diesem Punkt spiegeln will, dann kann man sich auch hier so zwei Hilfslinien dazu malen, die jetzt hier mit dem Punkt eine Gerade bilden. Das Dreieck kann man abmalen und diese Hilfslinien auch, diesen Punkt. Dann dreh ich einfach um diesen Punkt, z. B. um 180°, und erhalte das gespiegelte Objekt und kann mir jetzt auch vorstellen, wo der Vektor hinmuss, der diesen Punkt auf diesen Punkt abbildet. Ich hoffe, wenn du das dann zeichnest, erinnert dich das an zentrische Streckungen. Hast du mal in der 9. Klasse oder so gemacht. Das heißt also wir haben hier in der Vektorrechnung die gesamte Elementargeometrie in den Vektoren selber versammelt und brauchen nur noch ein theoretisches Konzept um das Ganze hier auszuführen und dann zum Beispiel auch auf Computer zu bringen und dort schöne Sachen machen zu können. Viel Spaß damit. Tschüss.

6 Kommentare

6 Kommentare
  1. 👍🏻

    Von Katjastanger, vor etwa 2 Jahren
  2. Danke.:)

    Von Deleted User 405612, vor etwa 5 Jahren
  3. Eine Beispielaufgabe wäre wirklich sehr wichtig! Gibt es die schon?

    Von Stephanie♥, vor etwa 8 Jahren
  4. vektorielle ****

    Von yasmine a., vor mehr als 8 Jahren
  5. Danke, Dude! Die Beispielaufgabe kommt noch...

    Von Martin Wabnik, vor mehr als 11 Jahren
Mehr Kommentare

Vektoren kennenlernen – Spiegelungen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Vektoren kennenlernen – Spiegelungen kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die richtigen Spiegelungsvektoren an.

    Tipps

    Die Vektoren verbinden jeweils die Eckpunkte des Ursprungsdreiecks mit den Eckpunkten des gespiegelten Dreiecks.

    Die Vektoren verlaufen senkrecht zu der Achse an der gespiegelt werden soll.

    Die Vektoren werden von der Spiegelachse in der Hälfte ihrer Länge geteilt.

    Lösung

    Bei einer Achsenspiegelung eines Objektes an einer Achse mit Hilfe von Vektoren muss folgendes beachtet werden:

    • Die Vektoren verbinden jeweils die Eckpunkte des Ursprungsdreiecks mit den Eckpunkten des gespiegelten Dreiecks.
    • Die Vektoren verlaufen senkrecht zu der Achse an der gespiegelt werden soll.
    • Die Vektoren werden von der Spiegelachse in der Hälfte ihrer Länge geteilt.
  • Beschreibe den Vorgang einer zweifachen Spiegelung eines Dreiecks.

    Tipps

    Um eine Spiegelung durchzuführen, brauchen wir stets eine Achse an der wir ein Objekt spiegeln können.

    Wenn wir ein Objekt zweimal an zwei unterschiedlichen, aber parallelen Spiegelachsen spiegeln, erhalten wir das verschobene Ursprungsobjekt.

    Lösung

    In dieser Aufgabe wollen wir ein beliebiges Dreieck ohne weitere Eigenschaften zweifach an zwei parallelen Achsen spiegeln.

    1. Zunächst zeichnen wir uns ein beliebiges Dreieck.
    2. Um das Dreieck an einer Achse spiegeln zu können, zeichnen wir uns als nächstes eine Spiegelachse (hier gekennzeichnet in Rot) ein, an der wir das Dreieck spiegeln wollen.
    3. Nun spiegeln wir das Dreieck an der Spiegelachse mit Hilfe von Vektoren. Um ein Dreieck zu spiegeln, benötigen wir drei Vektoren, ausgehend jeweils von einem Eckpunkt. Die Vektoren verlaufen senkrecht zur Spiegelachse und werden durch die Achse in der Hälfte der Länge geteilt. Sobald alle drei Eckpunkte gespiegelt wurden, können diese verbunden werden und wir erhalten das gespiegelte Dreieck.
    4. Um das gespiegelte Dreieck abermals zu spiegeln, zeichnen wir uns eine zweite Spiegelachse ein. (Hier auch wieder in Rot gekennzeichnet und parallel zur ersten Spiegelachse)
    5. Schließlich spiegeln wir das gespiegelte Dreieck an der zweiten Spiegelachse und erhalten eine zweifache Spiegelung des ursprünglichen Dreiecks. Auch hier spiegeln wir wir wieder mit Hilfe von Vektoren über die Eckpunkte des Dreiecks.
    Die zweifache Spiegelung des Dreiecks an zwei voneinander unterschiedlichen, aber parallelen Achsen, ist nichts anderes als eine Parallelverschiebung des ursprünglichen Dreiecks.

  • Beschreibe die Eigenschaften bei Punkt- und Achsenspiegelungen.

    Tipps

    Bei der Punktspiegelung wird die Verbindungsstrecke von Punkt zu Bildpunkt vom Symmetriezentrum halbiert.

    Lösung

    Punkt- und Achsenspiegelungen haben verschiedene Eigenschaften:

    • Eine zweifache Spiegelung um zwei parallele Achsen entspricht einer Verschiebung in Richtung derselben Vektoren.
    • Eine Punktspiegelung um einen Punkt S entspricht einer Drehung um diesen Punkt um 180°.
    • Bei einer Punktspiegelung ist der Abstand zwischen Punkt und Symmetriezentrum gleich zum Abstand zwischen Symmetriezentrum und Bildpunkt. Oder anders ausgedrückt: Die Verbindungsstrecke von Punkt zu Bildpunkt wird vom Symmetriezentrum halbiert.
  • Gib eine Konstruktionsbeschreibung zum Erstellen einer Punktspiegelung eines Vierecks ABCD an einem Punkt Z an.

    Tipps

    Hier ist die Punktspiegelung eines Dreiecks dargestellt.

    Um die Länge des Vektors zu bestimmen, kannst du entweder die Strecke des jeweiligen Punktes zum Symmetriezentrum Z messen und dann verdoppeln oder du benutzt einen Zirkel und ziehst einen Kreis um Z mit dem Radius der Strecke vom jeweiligen Eckpunkt zu Z.

    Lösung
    1. Um ein beliebiges Viereck ABCD an einem Punkt Z zu spiegeln, müssen wir zunächst ein solches Viereck zeichnen und uns überlegen, wo der Punkt liegen soll, an dem gespiegelt wird.
    2. Zeichne anschließend Vektoren, ausgehend von jedem Eckpunkt des Vierecks, die jeweils durch den Punkt Z verlaufen und von diesem halbiert werden. Um die Länge des Vektors zu bestimmen, kannst du entweder die Strecke des jeweiligen Punktes zum Symmetriezentrum Z messen und dann verdoppeln oder du benutzt einen Zirkel und ziehst einen Kreis um Z mit dem Radius der Strecke vom jeweiligen Eckpunkt zu Z.
    3. An den Enden der Vektoren befinden sich die Bildpunkte der Eckpunkte des Vierecks ABCD. Beschrifte diese mit A', B', C' und D'.
    4. Durch Verbinden der Bildpunkte erhälst du das an Punkt Z gespiegelte Viereck A'B'C'D'.
  • Bestimme die Punktspiegelung des angegebenen Dreiecks.

    Tipps

    Bei einer Punktspiegelung verlaufen die Vektoren jeweils von den Eckpunkten des Dreiecks zu den Eckpunkten des Bilddreiecks und werden vom Spieglungszentrum halbiert.

    Eine Punktspiegelung an einem Punkt P in der Ebene ist gleichbedeutend zu einer Drehung von 180° um das Drehzentrum P.

    Lösung

    Wie wollen das Dreieck an Punkt P spiegeln. Dabei verlaufen die Vektoren jeweils von den Eckpunkten des Dreiecks zu den Eckpunkten des Bilddreiecks und werden von P halbiert.

    Eine Punktspiegelung an einem Punkt P in der Ebene ist gleichbedeutend zu einer Drehung von 180° um einen Drehpunkt.

    Mit Hilfe einer Folie kann eine Punktspiegelung durchgeführt werden. Probiere es doch mal mit dem angegebenen Dreieck aus. Du wirst auf die richtige Lösung kommen.

  • Bestimme den Verschiebungsvektor $\vec{v}$.

    Tipps

    Die Spiegelachsen sind jeweils senkrecht zur x-Achse. Somit ist der jeweilige y-Wert von Punkt und Bildpunkt gleich.

    Du erhältst den Verschiebungsvektor durch Subtraktion des Ortsvektors von Bildpunkt und Punkt.

    Lösung

    Wenn man zwei Spiegelungen an zwei parallelen Achsen hintereinander ausführt, dann entspricht dies einer Verschiebung eines jeden Punktes um denselben Vektor. Wir nennen den Vektor in unserem Beispiel $\vec{v}$.

    Um den Betrag des Verschiebungsvektors $\vec{v}$ zu bestimmen, führen wir also eine zweifache Spiegelung des vorgegebenen Dreiecks durch und subtrahieren den Ortsvektor eines beliebigen Bildpunktes des zweiten gespiegelten Dreiecks mit dem des zugehörigen Punktes.

    Zum Beispiel:

    $\vec{v}=\left(\begin{array}{c} 8 \\ -3 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} -4 \\ -3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 12 \\ 0 \end{array}\right)$

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