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Vektoren kennenlernen – Punkte abbilden

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Ø 4.9 / 10 Bewertungen

Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Vektoren kennenlernen – Punkte abbilden
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Vektoren kennenlernen – Punkte abbilden

Nachdem wir die Vektoren kennengelernt haben, können wir uns nun mal überlegen, was wir mit den Vektoren alles so machen können. In diesem Video wollen wir ein wenig mit den Vektoren und den Punkten spielen. Wir können die Punkte mit den Vektoren verschieben oder abbilden. Was bekommen wir als Ergebnisse? Zum Beispiel ein Parallelogramm. Wir können auch gerne ein paar andere Figuren bilden. Hier siehst du einige ausführlichen und interessanten Beispiele. Hab Spaß dabei!

Transkript Vektoren kennenlernen – Punkte abbilden

Hallo. Nachdem wir nun wissen, was Vektoren sind, können wir uns mal überlegen, was diese Vektoren denn alles so können. Zum Beispiel können diese Vektoren Punkte verschieben. Dieser Punkt ist jetzt hier und jetzt ist der Punkt, durch diesen Vektor, wird der jetzt verschoben, und jetzt ist er da. Das ist eine Verschiebung oder eine Abbildung, wie man so sagt. Der Vektor hat den Punkt abgebildet und das kann der gleiche Vektor beziehungsweise, nein das wollte ich ja nicht sagen, das ist derselbe Vektor, nicht nur der gleiche Vektor, derselbe Vektor gleicht sich zwar aber auch, aber es ist derselbe Vektor, der sich jetzt hier befindet, an einem anderen Ort und macht mit diesem Punkt, der sich natürlich auch an einen anderen Ort befindet dieselbe Bewegung, die er gerade auch schon gemacht hat und derselbe Vektor macht dieselbe Bewegung an verschiedenen Orten 2-mal. Und das kannst du dir auch vernünftig aufmalen alles, zum Beispiel kannst du dir einfach mal vorstellen, was würde denn passieren, wenn  du hier einen Punkt hast, da zum Beispiel, und möchtest diesen Punkt abbilden, vielleicht durch einen Vektor, das ist aber ein bisschen langweilig. Du kannst zum Beispiel 4 Vektoren nehmen, die alle gleich groß sind, aber verschiedene Richtungen haben und die jetzt auf diesen Punkt hier anwenden, so zum Beispiel, und dann mal gucken was da passiert und rein zufällig habe ich das jetzt Mal so hingelegt, ja irgendwie verführt das dazu, wenn man das so auffächert. Das jetzt hier, die Winkel zwischen den Vektoren, die 3 Winkel sind gleich, oder ziemlich gleich zumindest. Hier gibt es dann, also dieser Punkt wird durch diesen Vektor nach dahin abgebildet, dieser Punkt, derselbe Punkt wird durch einen anderen Vektor gleicher Länge hierhin abgebildet und so weiter, das Ganze eben 4-mal. Und dann kann man einfach mal gucken, was denn da raus kommt, wenn man jetzt diese 4 Bildpunkte miteinander verbindet. Und ich würde sagen das sieht so aus wie ein symmetrisches Trapez. Habe ich nicht ganz genau gezeichnet, ist jetzt hier auch nicht nötig. Ein symmetrisches Trapez, ein Trapez muss nicht symmetrisch sein, du kannst dich vielleicht noch daran erinnern, wie ist denn so eine Trapez überhaupt definiert. Na ja, es ist ein Viereck mit 2 parallelen Seiten. Und das Gleiche kannst du noch an einen weiteren Punkt machen und mal gucken was passiert, wenn du jetzt diese 4 Vektoren hier, gleiche Länge, verschiedene Richtung mal anders anordnest, zum Beispiel könntest du sie auch so anordnen. Jetzt haben sie auch gleiche Winkel, oder so vielleicht. Die Winkel zwischen denen sind jetzt auch gleich und es entsteht ein Quadrat. Ich glaub das muss ich nicht zeichnen, das kannst du so sehen, dass, wenn ich jetzt diese Endpunkte verbinde, dass es dann ein Quadrat ist. Frage nebenbei, ist dieses Quadrat auch ein Trapez? Ja, denn auch ein Quadrat hat 2 parallele Seiten. Es hat auch 2 Paare parallele Seiten, aber es ist ja immer so gemeint, dass die Bedingung mindestens gelten soll. Also wenn 2 Paare paralleler Seiten existieren, dann sind auch 2 Seiten parallel. Ja, das ist so ein bisschen Wiederholung aus der Elementarmathematik, aus der Unterstufe. Du kannst dir auch überlegen was passiert, wenn nur die gegenüberliegenden Winkel gleich sind, jeweils, das muss nicht sein du kannst sie dir zum Beispiel auch so hinpacken, dann entsteht einfach irgendein beliebiges Viereck, aber, wenn jetzt diese, oder man kann auch sagen, wenn jeweils 2 dieser Vektoren einen 180°-Winkel bilden, ja wie kann man sich das vorstellen, wie so 2 Strecken eigentlich, die man verschieben kann, dann hat man hier Scheitelwinkel und die sind dann gleich groß, was entsteht dann? Na ja, es ist dann wohl ein Rechteck. Vielleicht kannst du beweisen, dass es ein Rechteck ist. Du kannst das auch mit mehr Vektoren machen oder mit weniger, diesen Punkt der abgebildet wurde mit hinzunehmen bei dem, was du dann zeichnest hinterher. Wichtig ist, dass du dir vorstellen kannst, dass halt Vektoren Punkte abbilden und durch dieses Abbilden von Punkten entstehen Figuren, geometrische Figuren, die du alle schon mal behandelt hast. Und so kannst du dir eben als zusätzliche Dimension für das was du vorher kanntest, als du einfach nur so platt auf die Figuren drauf geguckt hast, kannst du dir jetzt vorstellen, wie könnten solche Figuren durch Verschieben von Punkten, durch Abbilden von Punkten, entstanden sein. Was auch möglich ist, du kannst einen Punkt mehrfach abbilden mit demselben Vektor und dir dann vielleicht mal einen anderen Vektor dazunehmen und diesen Punkt noch mal abbilden. Und ich glaube, es ist ganz gut sichtbar, was dann entsteht, ja, wenn du diese Zwischenräume hier verbindest, jeweils, dann kriegst du ähnliche Dreiecke, dann bekommst du eine typische Strahlensatzfigur. Vielleicht lassen sich Strahlensätze auch vektoriell begründen, schon in diesem Stadium. Probier es einfach aus, das ist der Sinn der Sache, dass du Vektoren einfach ein bisschen kennen lernst und dich damit wohlfühlen kannst. Viel Spaß damit. Tschüss

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. Danke.. gute Prüfung wegen dir geschrieben ...

    Von Paul B., vor fast 9 Jahren

Vektoren kennenlernen – Punkte abbilden Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Vektoren kennenlernen – Punkte abbilden kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die geometrische Figur, welche entsteht, wenn ein Punkt mit vier Pfeilen verschoben wird.

    Tipps

    Betrachtet wird die Figur, welche von den Bildpunkten bestimmt wird.

    Überlege dir zunächst, wie viele Ecken die Figur hat.

    Hat die Figur spezielle Eigenschaften?

    Lösung

    Was passiert, wenn ein Punkt durch vier gleich große Vektoren mit verschiedenen Richtungen abgebildet wird.

    Die (drei!) Winkel zwischen den Vektoren seien identisch.

    Man erhält vier Bildpunkte. Wenn man diese miteinander verbindet, erhält man ein Trapez. Dieses Trapez ist blau in dem Bild eingezeichnet.

    Dies ist der Fall, da

    • alle Vektoren verschiedene Richtungen haben und
    • die gleiche Länge.
    • die drei eingeschlossenen Winkel identisch sind.

  • Gib an, wie die Vektoren zueinander liegen müssen, damit die Bildpunkte ein Quadrat bilden?

    Tipps

    Ein Punkt kann auf einen anderen durch Vektoren abgebildet werden.

    Wenn ein Punkt durch drei Vektoren mit verschiedenen Richtungen abgebildet werden, entsteht ein Dreieck.

    Lösung

    Die Lösung ist hier in dem Bild zu sehen:

    • Es werden vier Vektoren benötigt,
    • welche alle die gleiche Länge aber verschiedene Richtungen haben.
    • Die von den Vektoren eingeschlossenen Winkel betragen $90^\circ$.

  • Überlege, welche geometrische Figur durch die Bildpunkte bestimmt wird.

    Tipps

    Zeichne die einzelnen Schritte nach.

    Da die Vektoren verschiedene Richtungen haben, entsteht ein Dreieck.

    Welche besondere Eigenschaft hat das so entstandene Dreieck?

    Lösung
    1. Zuerst zeichnet man den Punkt auf ein Blatt Papier.
    2. Von diesem Punkt ausgehend werden die Vektoren gezeichnet. Diese haben die gleiche Länge und schließen den gleichen Vektor ein.
    3. So erhält man entlang jedes Vektors einen Bildpunkt.
    4. Wenn man diese Punkte miteinander verbindet, erhält man ein gleichseitiges Dreieck.
  • Entscheide, welche Bedingungen verändert werden müssen, damit ein gleichschenkliges Dreieck entsteht.

    Tipps

    Mache dir jede der Situationen klar, indem du die entsprechenden Vektoren auf ein Blatt zeichnest.

    In drei der fünf Fälle entsteht ein gleichschenkliges Dreieck.

    Lösung

    Wenn bei der in dem Bild zu erkennenden Situation entweder

    • die Länge eines Vektors verlängert oder verkürzt wird bei gleichbleibenden Winkeln oder
    • die Länge zweier Vektoren im gleichen Maße verlängert oder verkürzt wird bei gleichbleibenden Winkeln oder
    • die eingeschlossenen Winkel so verändert werden, dass zwei Vektoren gleich groß sind bei gleichbleibender Länge der Vektoren,
    entsteht ein gleichschenkliges Dreieck.

    In den anderen Fällen entstehen beliebige Dreiecke.

  • Beschreibe, wie Punkte mittels Vektoren verschoben werden können.

    Tipps

    Ein Vektor kann verstanden werden als eine Bewegung.

    Ein Vektor hat keine feste Lage im Koordinatensystem.

    Ein Vektor ist erklärt durch seine Länge und seine Richtung.

    Lösung

    Vektoren können Punkte verschieben.

    Man kann sich das so vorstellen, dass an einen Punkt ein Vektor angesetzt wird. Der Vektor hat eine Richtung, welche durch einen Pfeil angezeigt wird.

    Der verschobene Punkt befindet sich dann dort, wo der Pfeil des Vektors ist.

    Man kann natürlich auch mehrere Punkte abbilden.

  • Leite her, welche Winkel von den Vektoren eingeschlossen werden müssen, damit regelmäßige Vielecke entstehen.

    Tipps

    Du kannst eine Formel herleiten, mittels welcher du bei gegebener Zahl der Vektoren den Winkel berechnen kannst.

    Ein gleichseitiges Dreieck entsteht durch

    • drei gleich lange Vektoren,
    • welche den identischen Winkel $120^\circ$ einschließen.

    Ein Quadrat entsteht durch

    • vier gleich lange Vektoren,
    • welche den identischen Winkel $90^\circ$ einschließen.

    Lösung

    Die Anzahl der Vektoren gibt nur dann die Anzahl der Ecken der Bildfigur an, wenn alle Vektoren verschiedene Richtungen haben.

    Bereits betrachtet wurden die Fälle

    • gleichseitiges Dreieck und
    • Quadrat, ein gleichseitiges Viereck.
    Beim Dreieck waren die eingeschlossenen Winkel $120^\circ$ und bei einem Quadrat $90^\circ$. Dabei müssen alle Vektoren gleich lang sein.

    Allgemein ist die Größe der eingeschlossenen Winkel gegeben durch die Formel

    $\alpha=\frac{360^\circ}{n}$,

    wobei $n$ die Anzahl der Vektoren ist.

    Bei

    • einem regelmäßigen Fünfeck gilt $\alpha=\frac{360^\circ}{5}=72^\circ$,
    • einem regelmäßigen Sechseck gilt $\alpha=\frac{360^\circ}{6}=60^\circ$,
    • einem regelmäßigen Achteck gilt $\alpha=\frac{360^\circ}{8}=45^\circ$ und
    • einem regelmäßigen Neuneck gilt $\alpha=\frac{360^\circ}{9}=40^\circ$.

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