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Vektoren kennenlernen – Kantenmodelle

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Martin Wabnik
Vektoren kennenlernen – Kantenmodelle
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Vektoren kennenlernen – Kantenmodelle

Was ist ein Vektor in einem dreidimensionalen Raum? Anhand von Kantenmodellen werden wir 3D Vektoren kennenlernen. Hier kannst du auch ein wenig mithilfe der Anleitungen in diesem Videos ein paar Modelle bauen, um das Thema besser verstehen zu können. Vor allem ist es sehr hilfreich, wenn du Schwierigkeit mit dem dreidimensionalen Denken hast. Dann wollen wir uns mal überlegen, wie viele oder was für Vektoren wir in unserem Kantenmodell haben. Natürlich kann man auch viele anderen Figuren bauen. Viel Spaß!

Transkript Vektoren kennenlernen – Kantenmodelle

Hallo, Vektoren kannst du auch an dreidimensionalen Objekten sehen. Ich habe hier mal ein paar vorbereitet, also geometrische Körper, das sind ja so diese dreidimensionalen Objekte. Hier habe ich jetzt einfach mal Kantenmodelle vorbereitet, weil das eben ganz praktisch ist. Also du siehst nur die Eckpunkte und die Kanten, deshalb heißt das Kantenmodell. Und man könnte sich z. B. fragen, wie viele Vektoren kann ich hier an einem solchen Würfel erkennen? Übrigens solche Kantenmodelle kannst du dir sehr einfach und schnell selbst bauen. Diese Kanten sind Schaschlikstäbchen, kostet fast nichts. Ich glaube, 100 Schaschlikstäbchen kosten 1,50 Euro. Hier, das ist übrigens Presswatte. Die Presswatte muss man anbohren und hinterher mit den Schaschlikstäbchen verleimen, sonst hält das nicht. Das hier ist jetzt ein permanentes Ding, aber du kannst es auch mit Knete machen oder wie ich es hier gemacht habe, mit Knetwachs. Gibt es im Bastelshop und so, Knetwachs ist auch nicht teuer und man kann die Objekte gleich wieder auseinandernehmen. Man kann sie verschieben und verbiegen und alles mögliche. Also wenn du ein bisschen Schwierigkeiten hast, dir dreidimensionale Objekte so richtig vorzustellen, dort Linien hineinzudenken, kauf dir so ein Zeug, baue dir das selber, kann nichts passieren, es ist fast keine Investition und es bringt unheimlich viel, um sich solche Sachen vorstellen zu können. Wir werden viel mit solchen dreidimensionalen Dingen in der Vektorrechnung machen, von daher kannst du auch gleich zu Anfang da mal so einsteigen. Wie viele Vektoren kann man hier an einem solchen Kantenmodell sehen? Wir können uns natürlich einmal vorstellen, dass dieser Punkt von hier nach da gewandert ist und diesen Schweif hier hinterlassen hat, wie ein Komet quasi, und wir können dann hier in dieser Bewegung, also von da nach da, einen Vektor erkennen. Der hat diesen Punkt abgebildet oder einfach hier Länge und Richtung im Raum. Dann muss der Würfel natürlich so stehen bleiben, wenn ich immer drehe, dann ist das die andere Richtung. Also, ich lasse den jetzt so stehen, und du kannst es dir vielleicht so vorstellen, das jetzt hier diese Richtung und diese Länge dieser Vektor ist. Und da, na ja, da ist derselbe Vektor, denn von hier nach da ist es die gleiche Länge, ist auch die gleiche Richtung bzw. dieselbe Richtung kann man hier sogar sagen: dieselbe Länge, dieselbe Richtung, damit ist das derselbe Vektor, der jetzt hier zweimal vorhanden ist. Und der ist hier auch noch einmal das dritte, und das vierte Mal auch noch einmal vorhanden. Das heißt, diese 4 Kanten machen quasi einen Vektor, wenn  man diese Richtung betrachtet. Man kann aber auch die andere Richtung betrachten und dann läuft der Vektor von hier nach da. Von hier nach da, von da nach da, 2 Richtungen (ich weiß jetzt nicht mehr, wie herum ich das gezeigt habe, das ist ja so schon verwirrend.). Also 2 verschiedene Richtungen pro Kante. D. h. pro Kante kriegen wir 2 Vektoren, aber bei Kanten, die dieselbe Länge und dieselbe Richtung haben, gibt es dann jeweils keinen neuen Vektor hinzu. Das gilt jetzt für diese 4 Kanten, für die anderen gilt ja natürlich auch das gleiche noch einmal, und für die hier nicht zu vergessen. Und so kannst du dir dann überlegen, wie viele da wohl existieren. Du kannst das auch an einem Quader machen, das ist ja ein Würfel. Das ist ein Quader, übrigens, das ist auch ein Quader. Da kann man auch noch einmal überlegen, wie sind denn so die Definitionen von Quader und Würfel. Du kannst das gerne nachgucken, ich muss das ja nicht alles wiederholen hier, aber es wäre schon wichtig, dass du das weißt für dein weiteres Fortkommen innerhalb der Vektorrechnung. Die Frage ist: Hat man hier genau so viele Vektoren in diesen Kanten, oder sind es weniger oder mehr? Das ist übrigens Schaumstoff, das geht auch, kann man auch verwenden. Du kannst dich auch fragen, und das ist auch so ein Test z. B., ob du dir so etwas gut vorstellen kannst. Du solltest in der Lage sein, hier z. B. in solche Objekte Raumdiagonalen hineinzudenken. Solche Raumdiagonalen oder andere Diagonalen, das geht auch, das ist hier eine andere Diagonale, die hier eine Seite diagonalisiert, und diese anderen, gestrichelten gehen durch den Raum, wie viele gibt es davon, wie viele unterschiedliche sind das? Also, wenn du da Schwierigkeiten hast, dir das ohne das Objekt zu sehen, vorzustellen, ist kein Problem, du kannst dir ja eins bauen. Aber das wäre schon wichtig, dass du das irgendwann kannst, dass du dir das auch vorstellen kannst. Wenn du mal welche gebaut hast und das einmal ausprobiert hast, ist das auch überhaupt kein Problem mehr. Das gleiche gilt jetzt hier natürlich für solche Pyramiden, das ist jetzt eine Pyramide mit einem Quadrat als Grundfläche. Auch hier gibt es verschiedene Vektoren. Pro Kante hat man 2 Vektoren, also man muss dann natürlich gucken, ob es Kanten gibt, die die gleiche Länge und die gleiche Richtung haben, bzw. dieselbe Länge und dieselbe Richtung und dann hat man hier z. B. wieder nur einen einzigen Vektor, wenn man diese Richtung betrachtet. Ja, und so weiter. Das geht auch beim Tetraeder. Ja, was ist ein Tetraeder, Vierflach nennt sich das, also ein Körper aus 4 gleichseitigen Dreiecken, wo sind da die Diagonalen, hat er überhaupt welche? Ist auch so eine Frage. Was passiert, wenn man diesen Tetraeder ein bisschen verschiebt und einfach nur so eine Pyramide hat? Pro Kante hat man 2 Vektoren, also man muss dann natürlich gucken, ob es Kanten gibt, die die gleiche Länge und die gleiche Richtung haben, bzw. dieselbe Länge und dieselbe Richtung und dann hat man hier z. B. wieder nur einen einzigen Vektor, wenn man diese Richtung betrachtet. Sind es mehr als dort, sind es mehr als dort? Ruhig mal miteinander vergleichen. Ja, da kannst du ein bisschen herumexperimentieren und ich hoffe, dann kriegst du ein gutes dreidimensionales Verständnis der Mathematik. Viel Spaß, tschüss  

6 Kommentare

6 Kommentare
  1. Wie berechnet man die Raumdiagonalen in solchen Körpern mit Vektoren aus?

    Von Sahra A., vor mehr als 2 Jahren
  2. @Dpmuc: Sag mir mal, welche Übungsaufgabe für dich verwirrend ist. Dann kann ich dir das genauer erklären. Ich hoffe, dass ich dir helfen kann.

    Von Martin B., vor mehr als 4 Jahren
  3. Wenn ich im Quadrat zum Beispiel jeden Vektor mit einer anderen Richtung annehme, habe ich die doppelte Anzahl an Vektoren ????

    Von Dpmuc, vor mehr als 4 Jahren
  4. Die Übungsaufgabe ist sehr verwirrend.

    Von Dpmuc, vor mehr als 4 Jahren
  5. Hallo,
    Martin unterscheidet in diesem Video die Vektoren nach ihrer Richtung. Jede Richtung zählt also als ein neue, eigenständige Raumdiagonale. Versuche doch mal, ob die Antwort richtig ist, wenn du die Anzahl der Raumdiagonalen, die du rausbekommst, einfach verdoppelst.

    Von Sebastian W., vor mehr als 9 Jahren
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Vektoren kennenlernen – Kantenmodelle Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Vektoren kennenlernen – Kantenmodelle kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe anhand eines Kantenmodells, was ein Vektor ist.

    Tipps

    Ein Vektor ist durch seine Länge und Richtung gegeben.

    Ein Vektor kann auch als Bewegung von einem Punkt zu einem anderen verstanden werden.

    Lösung

    Vier parallele Kanten des Würfels bilden, wenn sie in die gleiche Richtung zeigen, einen Vektor. Jede Kante verläuft von einem Eckpunkt zu einem anderen. Ein Vektor, der in die andere Richtung zeigt, beschreibt zwar dieselbe Kante, ist aber aufgrund der unterschiedlichen Ausrichtung ein anderer Vektor.

    Bei verschiedenen Richtungen erhält man verschiedene Vektoren.

    Ein Würfel hat insgesamt $12$ Kanten, von denen jeweils $4$ parallel zueinander sind.

    Insgesamt bilden die Kanten also $2\cdot 3=6$ Vektoren. Der Faktor $2$ berücksichtigt, dass es immer zwei Richtungen entlang der Kanten gibt.

  • Gib an, wie Vektoren in einer Pyramide erklärt sind.

    Tipps

    Ein Vektor kann als eine Bewegung verstanden werden.

    Ein Vektor ist gegeben durch seine Länge und seine Richtung.

    Es handelt sich um verschiedene Vektoren, wenn man

    • von $A$ nach $B$ oder
    • von $B$ nach $A$ geht.

    Lösung

    Hier ist eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche zu sehen:

    • Der Mantel dieser Pyramide hat vier Kanten,
    • jede dieser Kanten ergibt zwei Vektoren, da man sowohl von der Spitze der Pyramide zu einem Eckpunkt des Quadrates als auch umgekehrt gelangen kann.
    • Die Grundfläche der Pyramide ist ein Quadrat.
    • Die gegenüberliegenden Seiten sind parallel.
    • Die nicht parallelen Seiten bilden jeweils wieder zwei Vektoren.

  • Bestimme die Anzahl der Vektoren, welche durch die Kanten eines Tetraeders gegeben sind.

    Tipps

    Ein Vektor ist gegeben durch seine Länge und seine Richtung.

    Es liegen zwei verschiedene Vektoren vor, wenn

    • der eine Vektor von $A$ nach $B$ und
    • der andere von $B$ nach $A$ geht.

    Lösung

    Um die Anzahl der Vektoren zu bestimmen, welche durch die Kanten eines Tetraeders zu erkennen sind, kann man sich zunächst anschauen,

    • wie viele Kanten ein Tetraeder hat und
    • ob Kanten des Tetraeders parallel zueinander sind.
    Ein Tetraeder besitzt $6$ Kanten, von welchen keine parallel zueinander sind.

    Da ein Vektor sich von dem Vektor gleicher Länge allerdings mit entgegengesetzter Richtung unterscheidet, können anhand der Kanten eines Tetraeders $6\cdot 2=12$ verschiedene Vektoren benannt werden.

  • Leite die Anzahl aller Vektoren in einem Rechteck her.

    Tipps

    Ein Vektor ist durch seine Länge und seine Richtung gegeben.

    Die Vektoren

    • von $A$ nach $B$ und
    • von $B$ nach $A$
    sind verschieden, da sie verschiedene Richtungen haben.

    Wenn es zueinander parallele Seiten gleicher Länge gibt, so kann jeweils nur eine Seite gezählt werden.

    Lösung

    Ein Rechteck hat vier Eckpunkte.

    • Wenn man die Seiten anschaut, so kann man feststellen, dass die zwei gegenüberliegenden Seiten jeweils parallel sind.
    • Es gibt zwei Seiten, welche nicht parallel zueinander sind, diese stehen senkrecht aufeinander.
    • Darüber hinaus existieren noch zwei Diagonalen.
    • Insgesamt existieren also $4$ nicht parallele Strecken zwischen Punkten.
    • Da jede dieser Strecken zu zwei Vektoren führt, dem Vektor und dem dazugehörigen Gegenvektor, ergeben sich
    • $4\cdot 2=8$ Vektoren.

  • Gib die Anzahl der Raumdiagonalen in einem Quader an.

    Tipps

    Ein Vektor hat keine bestimmte Lage.

    Ein Vektor kann verstanden werden als eine Bewegung von einem Punkt zu einem anderen.

    Ein Vektor ist durch seine Länge und Richtung gegeben.

    Lösung

    Wenn man die Grundseite des Quaders betrachtet, so erkennt man, dass diese vier Eckpunkte besitzt.

    Jeder dieser Eckpunkte bildet mit dem räumlich diagonal gegenüberliegenden Punkt eine Raumdiagonale. Es gibt also $4$ Raumdiagonalen.

    Da ein Vektor und sein Gegenvektor, der Vektor mit der entgegengesetzten Richtung, zwei verschiedene Vektoren sind, ergeben die Raumdiagonalen $4\cdot 2=8$ Vektoren.

  • Ermittle die Anzahl der Vektoren, welche durch die Raumdiagonalen einer Pyramide gegeben sind.

    Tipps

    Überlege dir, wie viele Raumdiagonalen eine Pyramide besitzt.

    Eine Pyramide besteht aus einer Grundfläche, von deren Eckpunkten jeweils eine Kante zu der Spitze der Pyramide führt.

    Zu jeder Raumdiagonalen, welche nicht parallel zu einer anderen Raumdiagonalen ist, existieren zwei Vektoren.

    Lösung

    Da in einer Pyramide keine Raumdiagonalen existieren, können anhand dieser auch keine Vektoren erkannt werden.

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