Vektoren kennen lernen – Geschwindigkeiten
Vektoren kennen lernen – Geschwindigkeiten
Beschreibung Vektoren kennen lernen – Geschwindigkeiten
Mit Vektoren können wir Geschwindigkeiten darstellen. Geschwindigkeiten setzen sich aus Tempo und Richtung zusammen. So kann dann ein Vektor das Tempo mit seiner Länge darstellen und die Richtung der Geschwindigkeit entspricht der Richtung des Vektors. Richtig praktisch wird der Umgang mit Vektoren, wenn wir aus zwei sich überlagernden Geschwindigkeiten die resultierende Geschwindigkeit errechnen wollen. Dann brauchen wir bloß die Vektoren koordinatenweise addieren.
Vektoren kennen lernen – Geschwindigkeiten Übung
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Gib Beispiele für überlagerte Geschwindigkeiten an.
TippsDamit sich Geschwindigkeiten überlagern können, müssen mindestens zwei Geschwindigkeiten vorliegen.
Wenn du eine nach unten fahrende Rolltreppe hinunterläufst, so summiert sich deine Geschwindigkeit mit der Geschwindigkeit der Rolltreppe.
Geschwindigkeiten mit unterschiedlichen Richtungen können sich ebenfalls überlagern. Du kannst zum Beispiel eine nach unten fahrende Rolltreppe hinauflaufen. Du wirst merken, dass du viel langsamer hinauf kommst als bei einer ruhigen oder nach oben fahrenden Rolltreppe.
LösungMöchten wir mit Geschwindigkeiten rechnen, so brauchen wir Vektoren, denn Geschwindigkeiten sind vektorielle Größen. Sie setzen sich nämlich aus Tempo und Richtung zusammen. Zudem können sich Geschwindigkeiten auch überlagern. Hierzu kannst du dir Folgendes vorstellen:
- Du läufst mit einer konstanten Geschwindigkeit eine Treppe hinunter. Handelt es sich hierbei um eine Rolltreppe, die sich in dieselbe Richtung bewegt wie du, so kommst du viel schneller vorwärts als bei einer normalen Treppe. Würdest du gegen die Bewegungsrichtung der Rolltreppe mit einem höheren Tempo als die Rolltreppe laufen, so würdest du langsamer vorwärts kommen als bei einer normalen Treppe.
- Die Geschwindigkeit eines bei Seitenwind fahrenden Luftschiffs. Hier überlagert sich die ursprüngliche Geschwindigkeit des Luftschiffs mit der Geschwindigkeit, die dadurch entsteht, dass das Schiff vom Wind zur Seite gedrückt wird.
- Die Geschwindigkeit eines bei Seitenwind fliegenden Flugzeugs. Das Prinzip ist hier dasselbe wie beim Luftschiff.
- Die Geschwindigkeit eines Springers beim Stabhochsprung. Hier überlagern sich die Geschwindigkeit, mit der der Stabhochspringer läuft, und die Geschwindigkeit, mit der er sich nach oben abdrückt.
- Die Geschwindigkeit eines auf der Straße geradeaus fahrenden Autos.
- Die Geschwindigkeit eines Marathonläufers an einem Tag ohne Wind.
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Bestimme den resultierenden Vektor aus zwei Geschwindigkeitsvektoren.
TippsGehe wie folgt vor:
$\begin{pmatrix} v_{x1} \\ v_{y1} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} v_{x2} \\ v_{y2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} v_{x1}+v_{x2} \\ v_{y1}+v_{y2} \end{pmatrix}$
Achte auf die Vorzeichen der Koordinaten.
LösungMöchten wir gleich große Vektoren addieren, so addieren wir jeweils die sich entsprechenden Koordinaten. Dabei müssen wir die Vorzeichen der Einträge beachten. Wir gehen also wie folgt vor:
- $\begin{pmatrix} v_{x1} \\ v_{y1} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} v_{x2} \\ v_{y2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} v_{x1}+v_{x2} \\ v_{y1}+v_{y2} \end{pmatrix}$
Beispiel 1
$\\ \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+0 \\ 0+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\\ $
Beispiel 2
$\\ \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+4 \\ -1+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}\\ $
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Skizziere die gegebenen Vektoren in ein Koordinatensystem.
TippsUm den Vektor $\begin{pmatrix} 1 \\ -5 \end{pmatrix}$ zu zeichnen, gehst du von einem Punkt im Koordinatensystem
- einen Schritt nach rechts (positive $x$-Richtung) und
- fünf Schritte nach unten (negative $y$-Richtung).
LösungUm den Vektor $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ zu zeichnen, gehst du von einem Punkt im Koordinatensystem
- $x$ Schritte nach rechts, falls die $x$-Koordinate positiv ist, oder nach links, falls die $x$-Koordinate negativ ist und
- $y$ Schritte nach oben, falls die $y$-Koordinate positiv ist, oder nach unten, falls die $y$-Koordinate negativ ist.
Graph 1
Der Vektor verläuft zwei Einheiten nach links und zwei Einheiten nach unten. Damit sind beide Koordinaten negativ und haben den Betrag $2$:
- $\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \end{pmatrix}$
Auch diesmal verläuft der Vektor zwei Einheiten nach links, allerdings geht es nun um zwei Einheiten nach unten. Damit ist die $x$-Koordinate negativ und die $y$-Koordinate positiv und beide haben jeweils den Betrag $2$:
- $\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix}$
Der Vektor verläuft nun zwei Einheiten nach rechts (positive $x$-Richtung) und zwei Einheiten nach unten (negative $y$-Richtung). Somit ist die $x$-Koordinate positiv und die $y$-Koordinate negativ und beide haben den Betrag $2$:
- $\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix}$
Der Vektor verläuft zwei Einheiten nach rechts und zwei Einheiten nach oben. Damit sind beide Koordinaten positiv und haben den Betrag $2$:
- $\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$
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Ermittle den resultierenden Geschwindigkeitsvektor sowie dessen Länge.
TippsDu addierst zwei Vektoren, indem du die sich entsprechenden Koordinaten jeweils addierst.
Siehe dir folgendes Beispiel an:
$\left| \begin{pmatrix} 0 \\ 7 \end{pmatrix} \right|=\sqrt{0^2+7^2}=\sqrt{49}=7$
LösungBei der Addition zweier Vektoren und der Berechnung einer Vektorlänge gehen wir wie folgt vor:
- $\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_1+x_2 \\ y_1 +y_2 \end{pmatrix}$
- $\left| \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right|=\sqrt{x^2+y^2}$
Beispiel 1
- $\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 5 \\ -4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3+5 \\ 4+(-4) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}$
- $\left| \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} \right|=\sqrt{2^2+0^2}=\sqrt{4+0}=\sqrt{4}=2$
- $\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -7 \\ -4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3+(-7) \\ 1+(-4) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -4 \\ -3 \end{pmatrix}$
- $\left| \begin{pmatrix} -4 \\ -3 \end{pmatrix} \right|=\sqrt{(-4)^2+(-3)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$
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Berechne die Länge des jeweiligen Vektors.
TippsDie Länge eines Vektors bestimmst du wie folgt:
- $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\sqrt {x^2+y^2}$
Du kannst die Wurzel einer Zahl manchmal auch teilweise ziehen. Hierzu zerlegst du die Zahl in zwei Faktoren so, dass einer der Faktoren eine Quadratzahl ist. Siehe dir hierzu folgende Beispiele an:
$\sqrt{50}=\sqrt{2\cdot 25}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{25}=\sqrt{2}\cdot 5=5\sqrt{2}$
LösungDie Länge eines Vektors bestimmen wir wie folgt:
- $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\sqrt {x^2+y^2}$
- $\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}=\sqrt {6^2+2^2}$
- $\sqrt {6^2+2^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}$
- $\sqrt{40}=\sqrt{4\cdot 10}=\sqrt{4}+\sqrt{10}=2\sqrt{10}$
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Bestimme die resultierende Geschwindigkeit des Schwimmers.
TippsStelle zunächst zwei Vektoren auf. Diese beschreiben:
- die Strömungsgeschwindigkeit
- die Schwimmgeschwindigkeit
LösungFolgende Angaben sind uns bekannt:
- Die Strömungsgeschwindigkeit beträgt $4\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$ in positive $x$-Richtung.
- Der Schwimmer schwimmt mit $2\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$ in positive $y$-Richtung senkrecht zum Strom.
- Der Wind weht mit $2\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$ in positive $x$-Richtung und $1\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$ in positive $y$-Richtung.
- Strömungsgeschwindigkeit: $\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}$
- Schwimmgeschwindigkeit: $\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}$
- Windgeschwindigkeit: $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$
- $\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix}$

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2 Kommentare
@Vkimyon:
Welche Zahlen meinst du genau?
wie kommt man auf diese zahlen bei den vektoren