Vektoren kennen lernen – Geschwindigkeiten

Vektoren kennen lernen – Geschwindigkeiten Übung

• Gib Beispiele für überlagerte Geschwindigkeiten an.

  Tipps

  Damit sich Geschwindigkeiten überlagern können, müssen mindestens zwei Geschwindigkeiten vorliegen.

  Wenn du eine nach unten fahrende Rolltreppe hinunterläufst, so summiert sich deine Geschwindigkeit mit der Geschwindigkeit der Rolltreppe.

  Geschwindigkeiten mit unterschiedlichen Richtungen können sich ebenfalls überlagern. Du kannst zum Beispiel eine nach unten fahrende Rolltreppe hinauflaufen. Du wirst merken, dass du viel langsamer hinauf kommst als bei einer ruhigen oder nach oben fahrenden Rolltreppe.

  Lösung

  Möchten wir mit Geschwindigkeiten rechnen, so brauchen wir Vektoren, denn Geschwindigkeiten sind vektorielle Größen. Sie setzen sich nämlich aus Tempo und Richtung zusammen. Zudem können sich Geschwindigkeiten auch überlagern. Hierzu kannst du dir Folgendes vorstellen:

  • Du läufst mit einer konstanten Geschwindigkeit eine Treppe hinunter. Handelt es sich hierbei um eine Rolltreppe, die sich in dieselbe Richtung bewegt wie du, so kommst du viel schneller vorwärts als bei einer normalen Treppe. Würdest du gegen die Bewegungsrichtung der Rolltreppe mit einem höheren Tempo als die Rolltreppe laufen, so würdest du langsamer vorwärts kommen als bei einer normalen Treppe.

  Und genau diese Überlegung führt uns zu überlagerten Geschwindigkeiten. Natürlich können diese Geschwindigkeiten auch unterschiedliche Richtungen besitzen. In so einem Fall resultiert nicht nur ein neues Tempo, sondern eventuell auch eine neue Bewegungsrichtung. Folgende sind Beispiele für überlagerte Geschwindigkeiten:

  • Die Geschwindigkeit eines bei Seitenwind fahrenden Luftschiffs. Hier überlagert sich die ursprüngliche Geschwindigkeit des Luftschiffs mit der Geschwindigkeit, die dadurch entsteht, dass das Schiff vom Wind zur Seite gedrückt wird.
  • Die Geschwindigkeit eines bei Seitenwind fliegenden Flugzeugs. Das Prinzip ist hier dasselbe wie beim Luftschiff.
  • Die Geschwindigkeit eines Springers beim Stabhochsprung. Hier überlagern sich die Geschwindigkeit, mit der der Stabhochspringer läuft, und die Geschwindigkeit, mit der er sich nach oben abdrückt.

  Bei den folgenden Beispielen handelt es sich hingegen nicht um überlagerte Geschwindigkeiten, da hier jeweils nur ein Geschwindigkeitsvektor einfließt und dieser nicht von einem weiteren, wie zum Beispiel dem Windvektor, überlagert wird:

  • Die Geschwindigkeit eines auf der Straße geradeaus fahrenden Autos.
  • Die Geschwindigkeit eines Marathonläufers an einem Tag ohne Wind.

• Bestimme den resultierenden Vektor aus zwei Geschwindigkeitsvektoren.

  Tipps

  Gehe wie folgt vor:

  $\begin{pmatrix} v_{x1} \\ v_{y1} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} v_{x2} \\ v_{y2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} v_{x1}+v_{x2} \\ v_{y1}+v_{y2} \end{pmatrix}$

  Achte auf die Vorzeichen der Koordinaten.

  Lösung

  Möchten wir gleich große Vektoren addieren, so addieren wir jeweils die sich entsprechenden Koordinaten. Dabei müssen wir die Vorzeichen der Einträge beachten. Wir gehen also wie folgt vor:

  • $\begin{pmatrix} v_{x1} \\ v_{y1} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} v_{x2} \\ v_{y2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} v_{x1}+v_{x2} \\ v_{y1}+v_{y2} \end{pmatrix}$

  So erhalten wir die folgenden resultierenden Geschwindigkeiten für die gegebenen Geschwindigkeitsvektoren:

  Beispiel 1

  $\\ \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+0 \\ 0+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\\ $

  Beispiel 2

  $\\ \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+4 \\ -1+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}\\ $

• Skizziere die gegebenen Vektoren in ein Koordinatensystem.

  Tipps

  Um den Vektor $\begin{pmatrix} 1 \\ -5 \end{pmatrix}$ zu zeichnen, gehst du von einem Punkt im Koordinatensystem

  • einen Schritt nach rechts (positive $x$-Richtung) und
  • fünf Schritte nach unten (negative $y$-Richtung).

  Lösung

  Um den Vektor $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ zu zeichnen, gehst du von einem Punkt im Koordinatensystem

  • $x$ Schritte nach rechts, falls die $x$-Koordinate positiv ist, oder nach links, falls die $x$-Koordinate negativ ist und
  • $y$ Schritte nach oben, falls die $y$-Koordinate positiv ist, oder nach unten, falls die $y$-Koordinate negativ ist.

  Damit können wir den Graphen folgende Vektoren zuordnen:

  Graph 1

  Der Vektor verläuft zwei Einheiten nach links und zwei Einheiten nach unten. Damit sind beide Koordinaten negativ und haben den Betrag $2$:

  • $\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \end{pmatrix}$

  Graph 2

  Auch diesmal verläuft der Vektor zwei Einheiten nach links, allerdings geht es nun um zwei Einheiten nach unten. Damit ist die $x$-Koordinate negativ und die $y$-Koordinate positiv und beide haben jeweils den Betrag $2$:

  • $\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix}$

  Graph 3

  Der Vektor verläuft nun zwei Einheiten nach rechts (positive $x$-Richtung) und zwei Einheiten nach unten (negative $y$-Richtung). Somit ist die $x$-Koordinate positiv und die $y$-Koordinate negativ und beide haben den Betrag $2$:

  • $\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix}$

  Graph 4

  Der Vektor verläuft zwei Einheiten nach rechts und zwei Einheiten nach oben. Damit sind beide Koordinaten positiv und haben den Betrag $2$:

  • $\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$

• Ermittle den resultierenden Geschwindigkeitsvektor sowie dessen Länge.

  Tipps

  Du addierst zwei Vektoren, indem du die sich entsprechenden Koordinaten jeweils addierst.

  Siehe dir folgendes Beispiel an:

  $\left| \begin{pmatrix} 0 \\ 7 \end{pmatrix} \right|=\sqrt{0^2+7^2}=\sqrt{49}=7$

  Lösung

  Bei der Addition zweier Vektoren und der Berechnung einer Vektorlänge gehen wir wie folgt vor:

  • $\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_1+x_2 \\ y_1 +y_2 \end{pmatrix}$

  • $\left| \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right|=\sqrt{x^2+y^2}$

  Damit erhalten wir folgende Lösungen:

  Beispiel 1

  • $\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 5 \\ -4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3+5 \\ 4+(-4) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}$

  • $\left| \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} \right|=\sqrt{2^2+0^2}=\sqrt{4+0}=\sqrt{4}=2$

  Beispiel 2

  • $\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -7 \\ -4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3+(-7) \\ 1+(-4) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -4 \\ -3 \end{pmatrix}$

  • $\left| \begin{pmatrix} -4 \\ -3 \end{pmatrix} \right|=\sqrt{(-4)^2+(-3)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$

• Berechne die Länge des jeweiligen Vektors.

  Tipps

  Die Länge eines Vektors bestimmst du wie folgt:

  • $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\sqrt {x^2+y^2}$

  Du kannst die Wurzel einer Zahl manchmal auch teilweise ziehen. Hierzu zerlegst du die Zahl in zwei Faktoren so, dass einer der Faktoren eine Quadratzahl ist. Siehe dir hierzu folgende Beispiele an:

  $\sqrt{50}=\sqrt{2\cdot 25}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{25}=\sqrt{2}\cdot 5=5\sqrt{2}$

  Lösung

  Die Länge eines Vektors bestimmen wir wie folgt:

  • $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\sqrt {x^2+y^2}$

  Damit erhalten wir für den gegeben Vektor folgende Rechnung:

  • $\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}=\sqrt {6^2+2^2}$

  Nun berechnen wir den Ausdruck unter der Wurzel:

  • $\sqrt {6^2+2^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}$

  Die Wurzel von $40$ entspricht keiner natürlichen Zahl. Du kannst manchmal die Wurzel einer Zahl teilweise ziehen. Hierzu zerlegst du die Zahl so in zwei Faktoren, dass einer der Faktoren eine Quadratzahl ist. So erhalten wir:

  • $\sqrt{40}=\sqrt{4\cdot 10}=\sqrt{4}+\sqrt{10}=2\sqrt{10}$

• Bestimme die resultierende Geschwindigkeit des Schwimmers.

  Tipps

  Stelle zunächst zwei Vektoren auf. Diese beschreiben:

  • die Strömungsgeschwindigkeit
  • die Schwimmgeschwindigkeit

  Beachte dabei die jeweiligen Richtungen.

  Lösung

  Folgende Angaben sind uns bekannt:

  • Die Strömungsgeschwindigkeit beträgt $4\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$ in positive $x$-Richtung.
  • Der Schwimmer schwimmt mit $2\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$ in positive $y$-Richtung senkrecht zum Strom.
  • Der Wind weht mit $2\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$ in positive $x$-Richtung und $1\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$ in positive $y$-Richtung.

  Damit erhalten wir die folgenden Geschwindigkeitsvektoren:

  • Strömungsgeschwindigkeit: $\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}$

  • Schwimmgeschwindigkeit: $\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}$

  • Windgeschwindigkeit: $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

  Nun addieren wir diese drei Geschwindigkeitsvektoren, um die resultierende Geschwindigkeit, also die Geschwindigkeit des Schwimmers relativ zum Ufer zu erhalten:

  • $\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix}$