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Vektoren kennen lernen – Geschwindigkeiten

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Ø 3.8 / 16 Bewertungen

Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Vektoren kennen lernen – Geschwindigkeiten
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Grundlagen zum Thema Vektoren kennen lernen – Geschwindigkeiten

Mit Vektoren können wir Geschwindigkeiten darstellen. Geschwindigkeiten setzen sich aus Tempo und Richtung zusammen. So kann dann ein Vektor das Tempo mit seiner Länge darstellen und die Richtung der Geschwindigkeit entspricht der Richtung des Vektors. Richtig praktisch wird der Umgang mit Vektoren, wenn wir aus zwei sich überlagernden Geschwindigkeiten die resultierende Geschwindigkeit errechnen wollen. Dann brauchen wir bloß die Vektoren koordinatenweise addieren.

Transkript Vektoren kennen lernen – Geschwindigkeiten

Wenn wir mit Geschwindigkeiten rechnen wollen, brauchen wir Vektoren, denn Geschwindigkeiten sind vektorielle Größen. Diese setzen sich zusammen aus Tempo und Richtung. Das können wir uns jetzt mal an einer Spielzeuglokomotive ansehen und dann rechnen wir noch zwei Beispiele dazu. Wir haben hier zwei selbstfahrende Spielzeuglokomotiven. Und wenn eine solche Lokomotive fährt, dann hat sie eine Geschwindigkeit. Und eine Geschwindigkeit ist eine vektorielle Größe, die sich aus Richtung und Tempo zusammensetzt und so eine vektorielle Größe kann durch einen Vektor angegeben werden, der jetzt hier durch diesen Pfeil repräsentiert wird. Ja, wenn die Lokomotive in diese Richtung fährt, dann zeigt der Pfeil auch in diese Richtung. Wenn die Lokomotive in die andere Richtung fährt, dann zeigt der Pfeil in diese Richtung. Also durch den Pfeil wird die Richtung der Geschwindigkeit angegeben. Und jetzt geht es so weiter. Jetzt haben wir hier also zwei Spielzeuglokomotiven, von denen die eine offenbar schneller ist als die andere. Und dieses höhere Tempo wird dann mit einem längeren Pfeil angegeben. Je länger der Pfeil, desto höher das Tempo. Und in die andere Richtung geht das natürlich auch, weil es so schön war. So und jetzt ist sie wieder zuhause. Nun können sich Geschwindigkeiten auch überlagern. Zum Beispiel könnte diese Lok in diese Richtung fahren mit diesem Tempo. Und die Schienen könnten sich rechtwinklig dazu in diese Richtung bewegen mit diesem Tempo. Dann erhalten wir eine resultierende Geschwindigkeit, die hier durch diesen grünen Pfeil dargestellt wird. Auf diesen grünen Pfeil kommt man jetzt grafisch optisch, wenn man diesen Pfeil hier parallel ansetzt und diesen Pfeil hier nochmal parallel ansetzt, dann ist dieser Pfeil auf der Diagonalen des so entstandenen Parallelogramms. Das können wir uns jetzt mal in Bewegung anschauen. Geht mal ein bisschen aus dem Weg hier. Und dann werden wir sehen, dass die Lokomotive jetzt sich in diese Richtung bewegt. So und das geht natürlich auch wieder zurück, weil es so schön war. Nochmal also in der anderen Richtung, dann kommen wir wieder nach hause hier. Wenn ein Luftschiff bei Seitenwind fährt, wenn ein Flugzeug bei Seitenwind fliegt, wenn man in einem fahrenden Zug umher läuft, beim Stabhochsprung, beim Ballwurf aus dem Lauf heraus, immer wieder erhalten wir aus zwei überlagerten Geschwindigkeiten eine resultierende Geschwindigkeit. Wenn wir solche resultierenden Geschwindigkeiten berechnen wollen, können wir das wie in der Mittelstufe machen: also Satz des Pythagoras oder Kosinus Satz oder wir addieren Vektoren. Wir haben die Vektoren zwei, null und null, drei. Die können wir uns eben in einem Koordinatensystem vorstellen. Mache ich mal eben schnell aus der Hand. Zwei Schritte nach rechts und null nach oben ist hier ungefähr. Das ist zwei, null. Null Schritte nach rechts und drei nach oben, das sieht dann ungefähr so aus. Wenn sich dieser Punkt mit diesen beiden Geschwindigkeiten bewegt, dann haben wir hier eine resultierende Geschwindigkeit. Dann kann man hier parallel verschieben da parallel verschieben, dann bekommen wir so ein Parallelogramm, was in diesem Fall auch ein Rechteck ist und das ist die resultierende Geschwindigkeit. Wie können wir das mit Vektoren machen? Wir können die beiden addieren. Das machen wir koordinatenweise. Hier haben wir also 2 + 0 das ist 2. 0 + 3 ist 3 und das ist der resultierende Vektor, die resultierende Geschwindigkeit. Das funktioniert auch mit anderen Geschwindigkeiten. Zum Beispiel haben wir hier 2 - 1. Und wir haben vier, drei. Auch das können wir uns eben im Koordinatensystem vorstellen, was ich jetzt auch eben mal aus der Hand hier raus haue. Das ist nur der erste Quadrant, der dargestellt wird hier. Also wir haben hier einen Punkt, der bewegt sich mit dieser Geschwindigkeit, also zwei Schritte nach rechts, ein Schritt nach unten. Ist hier ungefähr. Und der bewegt sich auch mit dieser Geschwindigkeit, vier Schritte nach rechts und drei nach oben ist da ungefähr. Und naja die resultierende Geschwindigkeit erhalten wir, wenn wir hier parallel verschieben und da parallel verschieben. Das können wir auch nachrechnen mit Vektoren und zwar addieren wir die beiden Vektoren. Das machen wir koordinatenweise. Die beiden ersten Koordinaten werden addiert 2 + 4 ist 6 und -1 + 3 ist 2. Und das ist die resultierende Geschwindigkeit, die uns durch diesen Vektor hier angegeben wird. Wir können hier eben schauen, ob das ungefähr hinhaut. Sechs, zwei heißt sechs Schritte nach rechts, zwei nach oben und wir sehen, so ungefähr klappt das wohl. Wir können auch die Länge dieses Vektors bestimmen, also das Tempo. Und die Länge eines Vektors ist die Wurzel aus der Summe der Koordinatenquadrate. Die erste Koordinate ist sechs. Also rechnen wir sechs zum Quadrat. Die zweite Koordinate ist zwei. Wir rechnen zwei zum Quadrat und ziehen daraus die Quadratwurzel. Das ist also dann die Wurzel aus 40. Und da kann man teilweise die Wurzel ziehen. Dann haben wir 2 mal Wurzel 10. Und wir können natürlich auch eine Näherungslösung angeben und die ist 6,325 ungefähr. So wir haben gesehen, wie Vektoren Geschwindigkeiten darstellen können und wie wir komfortabel Geschwindigkeiten addieren können. Das ist auf jeden Fall viel einfacher als bei nicht rechtwinklig zueinander liegenden Geschwindigkeiten mit dem Kosinus Satz herumzukaspern.

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. @Vkimyon:
    Welche Zahlen meinst du genau?

    Von Jenny Marq, vor mehr als 2 Jahren
  2. wie kommt man auf diese zahlen bei den vektoren

    Von Vkimyon, vor mehr als 2 Jahren

Vektoren kennen lernen – Geschwindigkeiten Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Vektoren kennen lernen – Geschwindigkeiten kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib Beispiele für überlagerte Geschwindigkeiten an.

    Tipps

    Damit sich Geschwindigkeiten überlagern können, müssen mindestens zwei Geschwindigkeiten vorliegen.

    Wenn du eine nach unten fahrende Rolltreppe hinunterläufst, so summiert sich deine Geschwindigkeit mit der Geschwindigkeit der Rolltreppe.

    Geschwindigkeiten mit unterschiedlichen Richtungen können sich ebenfalls überlagern. Du kannst zum Beispiel eine nach unten fahrende Rolltreppe hinauflaufen. Du wirst merken, dass du viel langsamer hinauf kommst als bei einer ruhigen oder nach oben fahrenden Rolltreppe.

    Lösung

    Möchten wir mit Geschwindigkeiten rechnen, so brauchen wir Vektoren, denn Geschwindigkeiten sind vektorielle Größen. Sie setzen sich nämlich aus Tempo und Richtung zusammen. Zudem können sich Geschwindigkeiten auch überlagern. Hierzu kannst du dir Folgendes vorstellen:

    • Du läufst mit einer konstanten Geschwindigkeit eine Treppe hinunter. Handelt es sich hierbei um eine Rolltreppe, die sich in dieselbe Richtung bewegt wie du, so kommst du viel schneller vorwärts als bei einer normalen Treppe. Würdest du gegen die Bewegungsrichtung der Rolltreppe mit einem höheren Tempo als die Rolltreppe laufen, so würdest du langsamer vorwärts kommen als bei einer normalen Treppe.
    Und genau diese Überlegung führt uns zu überlagerten Geschwindigkeiten. Natürlich können diese Geschwindigkeiten auch unterschiedliche Richtungen besitzen. In so einem Fall resultiert nicht nur ein neues Tempo, sondern eventuell auch eine neue Bewegungsrichtung. Folgende sind Beispiele für überlagerte Geschwindigkeiten:

    • Die Geschwindigkeit eines bei Seitenwind fahrenden Luftschiffs. Hier überlagert sich die ursprüngliche Geschwindigkeit des Luftschiffs mit der Geschwindigkeit, die dadurch entsteht, dass das Schiff vom Wind zur Seite gedrückt wird.
    • Die Geschwindigkeit eines bei Seitenwind fliegenden Flugzeugs. Das Prinzip ist hier dasselbe wie beim Luftschiff.
    • Die Geschwindigkeit eines Springers beim Stabhochsprung. Hier überlagern sich die Geschwindigkeit, mit der der Stabhochspringer läuft, und die Geschwindigkeit, mit der er sich nach oben abdrückt.
    Bei den folgenden Beispielen handelt es sich hingegen nicht um überlagerte Geschwindigkeiten, da hier jeweils nur ein Geschwindigkeitsvektor einfließt und dieser nicht von einem weiteren, wie zum Beispiel dem Windvektor, überlagert wird:

    • Die Geschwindigkeit eines auf der Straße geradeaus fahrenden Autos.
    • Die Geschwindigkeit eines Marathonläufers an einem Tag ohne Wind.
  • Bestimme den resultierenden Vektor aus zwei Geschwindigkeitsvektoren.

    Tipps

    Gehe wie folgt vor:

    $\begin{pmatrix} v_{x1} \\ v_{y1} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} v_{x2} \\ v_{y2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} v_{x1}+v_{x2} \\ v_{y1}+v_{y2} \end{pmatrix}$

    Achte auf die Vorzeichen der Koordinaten.

    Lösung

    Möchten wir gleich große Vektoren addieren, so addieren wir jeweils die sich entsprechenden Koordinaten. Dabei müssen wir die Vorzeichen der Einträge beachten. Wir gehen also wie folgt vor:

    • $\begin{pmatrix} v_{x1} \\ v_{y1} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} v_{x2} \\ v_{y2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} v_{x1}+v_{x2} \\ v_{y1}+v_{y2} \end{pmatrix}$
    So erhalten wir die folgenden resultierenden Geschwindigkeiten für die gegebenen Geschwindigkeitsvektoren:

    Beispiel 1

    $\\ \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+0 \\ 0+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\\ $

    Beispiel 2

    $\\ \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+4 \\ -1+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}\\ $

  • Skizziere die gegebenen Vektoren in ein Koordinatensystem.

    Tipps

    Um den Vektor $\begin{pmatrix} 1 \\ -5 \end{pmatrix}$ zu zeichnen, gehst du von einem Punkt im Koordinatensystem

    • einen Schritt nach rechts (positive $x$-Richtung) und
    • fünf Schritte nach unten (negative $y$-Richtung).
    Lösung

    Um den Vektor $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ zu zeichnen, gehst du von einem Punkt im Koordinatensystem

    • $x$ Schritte nach rechts, falls die $x$-Koordinate positiv ist, oder nach links, falls die $x$-Koordinate negativ ist und
    • $y$ Schritte nach oben, falls die $y$-Koordinate positiv ist, oder nach unten, falls die $y$-Koordinate negativ ist.
    Damit können wir den Graphen folgende Vektoren zuordnen:

    Graph 1

    Der Vektor verläuft zwei Einheiten nach links und zwei Einheiten nach unten. Damit sind beide Koordinaten negativ und haben den Betrag $2$:

    • $\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \end{pmatrix}$
    Graph 2

    Auch diesmal verläuft der Vektor zwei Einheiten nach links, allerdings geht es nun um zwei Einheiten nach unten. Damit ist die $x$-Koordinate negativ und die $y$-Koordinate positiv und beide haben jeweils den Betrag $2$:

    • $\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix}$
    Graph 3

    Der Vektor verläuft nun zwei Einheiten nach rechts (positive $x$-Richtung) und zwei Einheiten nach unten (negative $y$-Richtung). Somit ist die $x$-Koordinate positiv und die $y$-Koordinate negativ und beide haben den Betrag $2$:

    • $\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix}$
    Graph 4

    Der Vektor verläuft zwei Einheiten nach rechts und zwei Einheiten nach oben. Damit sind beide Koordinaten positiv und haben den Betrag $2$:

    • $\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$
  • Ermittle den resultierenden Geschwindigkeitsvektor sowie dessen Länge.

    Tipps

    Du addierst zwei Vektoren, indem du die sich entsprechenden Koordinaten jeweils addierst.

    Siehe dir folgendes Beispiel an:

    $\left| \begin{pmatrix} 0 \\ 7 \end{pmatrix} \right|=\sqrt{0^2+7^2}=\sqrt{49}=7$

    Lösung

    Bei der Addition zweier Vektoren und der Berechnung einer Vektorlänge gehen wir wie folgt vor:

    • $\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_1+x_2 \\ y_1 +y_2 \end{pmatrix}$
    • $\left| \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right|=\sqrt{x^2+y^2}$
    Damit erhalten wir folgende Lösungen:

    Beispiel 1

    • $\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 5 \\ -4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3+5 \\ 4+(-4) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}$
    • $\left| \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} \right|=\sqrt{2^2+0^2}=\sqrt{4+0}=\sqrt{4}=2$
    Beispiel 2

    • $\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -7 \\ -4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3+(-7) \\ 1+(-4) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -4 \\ -3 \end{pmatrix}$
    • $\left| \begin{pmatrix} -4 \\ -3 \end{pmatrix} \right|=\sqrt{(-4)^2+(-3)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$
  • Berechne die Länge des jeweiligen Vektors.

    Tipps

    Die Länge eines Vektors bestimmst du wie folgt:

    • $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\sqrt {x^2+y^2}$

    Du kannst die Wurzel einer Zahl manchmal auch teilweise ziehen. Hierzu zerlegst du die Zahl in zwei Faktoren so, dass einer der Faktoren eine Quadratzahl ist. Siehe dir hierzu folgende Beispiele an:

    $\sqrt{50}=\sqrt{2\cdot 25}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{25}=\sqrt{2}\cdot 5=5\sqrt{2}$

    Lösung

    Die Länge eines Vektors bestimmen wir wie folgt:

    • $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\sqrt {x^2+y^2}$
    Damit erhalten wir für den gegeben Vektor folgende Rechnung:

    • $\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}=\sqrt {6^2+2^2}$
    Nun berechnen wir den Ausdruck unter der Wurzel:

    • $\sqrt {6^2+2^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}$
    Die Wurzel von $40$ entspricht keiner natürlichen Zahl. Du kannst manchmal die Wurzel einer Zahl teilweise ziehen. Hierzu zerlegst du die Zahl so in zwei Faktoren, dass einer der Faktoren eine Quadratzahl ist. So erhalten wir:

    • $\sqrt{40}=\sqrt{4\cdot 10}=\sqrt{4}+\sqrt{10}=2\sqrt{10}$
  • Bestimme die resultierende Geschwindigkeit des Schwimmers.

    Tipps

    Stelle zunächst zwei Vektoren auf. Diese beschreiben:

    • die Strömungsgeschwindigkeit
    • die Schwimmgeschwindigkeit
    Beachte dabei die jeweiligen Richtungen.

    Lösung

    Folgende Angaben sind uns bekannt:

    • Die Strömungsgeschwindigkeit beträgt $4\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$ in positive $x$-Richtung.
    • Der Schwimmer schwimmt mit $2\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$ in positive $y$-Richtung senkrecht zum Strom.
    • Der Wind weht mit $2\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$ in positive $x$-Richtung und $1\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$ in positive $y$-Richtung.
    Damit erhalten wir die folgenden Geschwindigkeitsvektoren:

    • Strömungsgeschwindigkeit: $\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}$
    • Schwimmgeschwindigkeit: $\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}$
    • Windgeschwindigkeit: $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$
    Nun addieren wir diese drei Geschwindigkeitsvektoren, um die resultierende Geschwindigkeit, also die Geschwindigkeit des Schwimmers relativ zum Ufer zu erhalten:

    • $\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix}$
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