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Vektoren – anschauliche Erklärung (2)

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Vektoren – anschauliche Erklärung (2)
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Vektoren – anschauliche Erklärung (2)

Ein Vektor ist nicht nur ein Ganzes aus Länge und Richtung, sondern auch ein Zahlentripel. Anhand eines Modells eines dreidimensionalen Koordinatensystems wird noch einmal kurz wiederholt, was ein Vektor ist. Ein Startpunkt (Koordinatenursprung) und ein Endpunkt (A) definieren den Vektor, den du im Bild siehst und der im Video betrachtet wird. Dieser hat Koordinaten, welche du bekommst, indem die Koordinaten des Punktes A aufgeschrieben werden. Diese Koordinaten werden schließlich als Vektor umgeformt. Wie dies aufgeschrieben wird, erfährst du hier. Anschließend wird erklärt, was ein Zahlentripel ist und warum ein Vektor ein Zahlentripel ist und gleichzeitig eine Einheit aus Länge und Richtung sein kann und somit zwei Definitionen hat.

Transkript Vektoren – anschauliche Erklärung (2)

Hallo, wir haben ein dreidimensionales Koordinatensystem. In diesem Koordinatensystem befinden sich zurzeit zwei Punkte. Einmal der Koordinatenursprung, das ist der Nullpunkt, an dem sich alle Achsen schneiden. Und noch einen Punkt, den ich markiert habe. Wir hatten schon durchgenommen, dass zwei Punkte einen Vektor definieren, wenn wir wissen, was der Startpunkt und was der Endpunkt ist. Wenn wir uns nun vorstellen, dass der Nullpunkt der Anfangspunkt ist und der andere markierte Punkt der Endpunkt ist und in Gedanken von dem einen Punkt zum anderen gehen, dann haben wir eine Bewegung. Es ist eine Einheit aus Länge und Richtung und somit ist es ein Vektor. Das, was wir hier sehen, ist ein Vektor. Doch wenn wir das nun als Bewegung auffassen, dann kann man das durch diesen Pfeil darstellen und diese Bewegung ist überall hier im Raum dieselbe. Wie z. B. im Ballettsaal, wenn der Ballettmeister vorne steht und eine Bewegung vormacht und der Schüler muss sie nachmachen. Der Meister geht hierzu auch nicht auf die Position des Schülers und macht dort die Bewegung vor, sondern er steht vorne und der Schüler soll an seinem Platz dieselbe Bewegung, die dann räumlich unterschiedlich ist, nachmachen. Und genauso ist das mit unserer Bewegung hier. Einmal ist sie hier, dann hier, dann hier und dort ist sie überall dieselbe Bewegung. Warum sage ich das Ganze. Das sage ich deshalb, weil wir dadurch, wenn wir das hier nun als Vektor sehen, eine interessante Situation bekommen. Also zunächst einmal ist das hier ein Punkt A und dieser Punkt hat Koordinaten. Ich versuche, das hier einmal eben herauszufinden. Das ist hier 3 auf der positiven x1 Richtung. Dann haben wir hier die Koordinate 5 und nach unten -1,5 in der dritten Achse. Das sind die Koordinaten: A(3/5/-1,5). Und wenn ich das nun als Vektor sehe, dann habe ich den Vorteil, dass ich diesen Vektor durch diese drei Punkte beschreiben kann. Das schreibt man dann aber anders auf: Das ist der Vektor a, den man dann so schreibt: a^-> ein kleines a mit einem Pfeil darüber. Ich mache immer so halbe Pfeile, das ist auch in Ordnung. Und den schreibt man dann anders auf, den schreibt man untereinander und das hat den Vorteil, dass man dann damit besser rechnen kann. Natürlich braucht man eine andere Schreibweise, denn es ist ein Unterschied, ob man den Punkt oder den Vektor meint. Den Vektor kannst du dir nun also so vorstellen: Das, was hier beschrieben wird, ist diese Bewegung, die von diesem Ursprung des Koordinatensystems (von diesem Nullpunkt) zu diesem Punkt hinführt, diese Einheit aus Länge und Richtung. Das ist dieser Vektor, der aber dann auch überall sonst in diesem Koordinatensystem sein kann. Daraus ergibt sich dann eine weitere wundersame Sache in der Mathematik. Das hier sind drei Zahlen, ein Zahlentripel. Zahlentripel bedeutet drei Zahlen, die geordnet sind. Geordnet heißt in dem Fall, es macht einen Unterschied, ob hier die 3 und da die 5 oder ob da oben die 5 und in der Mitte die 3 steht. Das wäre dann ein anderer Vektor, das wäre dann auch ein anderer Punkt, wenn man die beiden Zahlen vertauschen würde. Von daher ist das hier ein Zahlentripel und A(3/5/-1,5) auch. Also drei Zahlen, die geordnet sind. Wenn man jetzt viel mit diesen Vektoren herumrechnet, dann kann man auf die Idee kommen, dass diese Vektoren einfach diese Zahlen sind. Und genauso macht man das auch in der Mathematik. Man kann eben auch definieren: Ein Vektor (ein dreidimensionaler Vektor, um genauer zu sein) ist ein Zahlentripel. Drei Zahlen mit Ordnung. Da wird sich jetzt mancher sagen: Einmal haben wir gesagt, ein Vektor ist Einheit aus Richtung und Länge und jetzt sagen wir, ein Vektor ist ein Zahlentripel. Ist das nicht seltsam? Nein! Vektoren sind ganz normal wie du und ich und wir sind für verschiedene Menschen auch unterschiedlich. Ich habe einmal ein Hörspiel von einem gehört, der sich Pinökel Superstar nannte. Und der sagte von sich etwas ganz Besonderes zu sein und er kam darauf, weil andere Leute ihm das gesagt haben. Seine Mutter sagte, er sei etwas besonders Anstrengendes, sein Vater sagte, er sei etwas besonders Teueres, seine Schwester sagte, er sei etwas besonders Ekeliges, seine Lehrer sagten, er sei etwas besonders Freches, usw. Also aus verschiedenen Sichtweisen war dieser Mensch immer etwas Unterschiedliches. Und das geht uns ganz genauso. Wenn verschiedene Leute auf uns schauen, dann immer etwas anderes sehen. Und so ist das bei den Vektoren auch, das ist ganz normal. Wenn wir uns das vorstellen wollen im dreidimensionalen Raum, dann können wir uns eine Bewegung vorstellen, wir können uns eine Einheit aus Bewegung und Richtung vorstellen, und wenn wir damit rechnen, können wir uns einfach vorstellen, dass der Vektor dieses Zahlentripel ist. Das ist nicht weiter schlimm, das ist ganz normal.  

5 Kommentare

5 Kommentare
  1. Cooles Video! Die Tatsache, dass du kopfüber schreiben kannst, ist sehr beeinduckend :D

    Von Muellers, vor mehr als einem Jahr
  2. Hallo Vanessa L.,
    Vektoren werden normalerweise mit einem Pfeil über einem kleinen Buchstaben geschrieben, z.B. a. Ist a jedoch ein Vektor zwischen zwei festen Punkten A und B, kannst du den Vektor auch als AB (mit Großbuchstaben) und einem Pfeil darüber schreiben. In diesem Falle wäre a = AB (natürlich mit einem Pfeil über den Buchstaben).
    Ich hoffe, wir konnten dir weiterhelfen.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas D., vor mehr als 2 Jahren
  3. Ist es egal ob man den Vektorbuchstaben klein oder groß schreibt? Ich hab das mit großen Buchstaben gelernt.

    Von Torsten L., vor mehr als 2 Jahren
  4. Dankeschön, das Video hat mir beim Lernen geholfen.

    Von Schanon S., vor mehr als 3 Jahren
  5. Danke hat mir sehr geholfen. Habe das jetzt kapiert!!! :)

    Von Hendrik Huehn, vor mehr als 5 Jahren

Vektoren – anschauliche Erklärung (2) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Vektoren – anschauliche Erklärung (2) kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Erklärung zu einem Vektor.

    Tipps

    Ein Vektor wird oft als ein Pfeil dargestellt.

    Schau dir das Beispiel eines Verkehrsschildes an. Dieses kann irgendwo an der Straße stehen und den Weg nach Berlin mit der gleichen Entfernung anzeigen.

    Lösung

    Wie kann man einen Vektor erklären?

    Wenn man in einem dreidimensionalen Koordinatensystem den Koordinatenursprung $O$ und einen weiteren Punkt betrachtet, so kann ein Vektor verstanden werden als

    • die Bewegung vom Koordinatenursprung zu diesem Punkt oder
    • als eine Einheit aus Länge und Richtung.
    Die Lage eines Vektors ist nicht eindeutig. Dies kann man sich recht gut mit der Deutung als Bewegung klarmachen: Eine Bewegung wird durchgeführt unabhängig von dem Ort, an welchem sie durchgeführt wird.

    Man stelle sich verschiedene Menschen vor, die von verschieden Punkten aus die gleich lange Strecke in die gleiche Richtung gehen.

  • Zeige den Unterschied zwischen einem Punkt und einem Vektor auf.

    Tipps

    Ein Vektor kann verstanden werden als eine Bewegung von einem Punkt zu einem anderen.

    Vektoren werden im Gegensatz zu Punkten mit Kleinbuchstaben geschrieben.

    Bei der Vektorschreibweise wird ein Gleichheitszeichen verwendet, bei einem Punkt nicht.

    Lösung

    Ein Vektor kann verstanden werden als eine Bewegung von einem Punkt zu einem anderen.

    Wenn man im dreidimensionalen Koordinatensystem den Koordinatenurspung $O(0|0|0)$ sowie den Punkt $A(3|5|-1,5)$ betrachtet, so führt ein Vektor von dem Koordinatenursprung zu dem Punkt $A$.

    Dieser Vektor ist

    $\vec a=\begin{pmatrix} 3 \\ 5\\ -1,5 \end{pmatrix}$.

    Punkte werden mit Großbuchstaben und in Zeilenschreibweise geschrieben.

    Vektoren werden mit Kleinbuchstaben mit einem Pfeil geschrieben und in Spaltenschreibweise. Dazwischen steht ein Gleichheitszeichen.

  • Entscheide, ob eine Vektor oder ein Punkt vorliegt.

    Tipps

    Zwei der Elemente sind weder ein Vektor noch ein Punkt.

    Es gibt drei Punkte und zwei Vektoren.

    Lösung

    Wie kann man Punkte und Vektoren unterscheiden?

    • Ein Punkt wird mit einem Großbuchstaben geschrieben und in Zeilenschreibweise. Bei Punkten wird kein Gleichheitszeichen verwendet.
    • Ein Vektor wird mit einem Kleinbuchstaben und einem Pfeil geschrieben. Er wird mit einem Gleichheitszeichen und spaltenweise geschrieben.
    Somit sind durch $A(1|2|3)$, $B(3|-1|2)$ und $C(3|-4|3)$ Punkte und durch $\vec b$ sowie $\vec c$ Vektoren gegeben.

  • Überlege, ob die folgende Beschreibung durch einen Vektor dargestellt werden kann.

    Tipps

    Überlege dir, ob die entsprechenden Bewegungen den Kriterien für einen Vektor entsprechen.

    Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten ist die Gerade, welche die beiden Punkte verbindet.

    Lösung

    Vektoren können als Bewegung von einem Punkt zu einem anderen verstanden werden. Diese Bewegung ist linear.

    Sowohl bei dem Anstoßen einer Billardkugel als auch bei dem Drehen des Balls wirken Kräfte, welche nicht durch Vektoren dargestellt werden können.

    Die Steuerung eines Roboterarms ist ein Beispiel dafür, in welchem Zusammenhang Vektoren verwendet werden. Je nachdem, wie ausgereift ein Roboter ist, sehen die Bewegungen mal mehr und mal weniger ruckartig, also nicht ganz rund aus. Dies liegt daran, dass die Bewegung von einem Punkt zu einem anderen entlang einer Geraden erfolgt, zu dem nächsten wieder entlang einer (anderen) Geraden ... Jede dieser Bewegungen kann durch einen Vektor dargestellt werden.

    Wenn eine Raumfähre senkrecht startet, dann liegt eine Bewegung, bis zu einem gewissen Punkt entlang einer Geraden vor. Das bedeutet, dass sich der Start ebenfalls als Vektor darstellen lässt.

  • Gib die verschiedenen Arten an, wie ein Vektor erklärt werden kann.

    Tipps

    Es sind drei verschieden Darstellungen angegeben.

    Ein Zahlentripel ist eine Anordnung von drei Zahlen.

    Man bezeichnet die Anordnung von zwei Zahlen als Paar.

    Lösung

    Man kann einen Vektor auf verschiedene Weise darstellen oder verstehen:

    • Anschaulich ist ein Vektor eine Bewegung von einem Punkt zu einem anderen. Dies ist so zu verstehen, dass man sich an irgendeinem Punkt befindet und einen Weg von bestimmter Länge in eine gegebene Richtung geht. Jeder andere könnte, abgesehen von Hindernissen, auch von einem anderen Punkt aus den gleichen Weg mit der gleichen Länge und der gleichen Richtung gehen.
    • Ein Vektor ist gegeben durch seine Länge und seine Richtung. Diese Beschreibung entspricht verkürzt der Beschreibung als Bewegung.
    • Ein Vektor ist ein geordnetes Zahlentripel, welches spaltenweise aufgeschrieben wird. Zum Beispiel
    $\vec a=\begin{pmatrix} 3 \\ 5\\ -1,5 \end{pmatrix}$.

  • Gib den Vektor an, der von $A$ nach $B$ führt.

    Tipps

    Schau dir jede einzelne Koordinate an.

    Wie kommst du von $A$ zu $B$?

    Alle Koordinaten sind natürliche Zahlen.

    Eine Koordinate ist $0$.

    Lösung

    Ein Vektor kann als

    • eine Bewegung von einem Punkt zu einem anderen verstanden werden.
    • geordnetes Zahlentripel dargestellt werden.
    Die Bewegung von $A(3|4|1)$ zu $B(5|4|2)$ kann als ein Vektor verstanden werden. Wenn sich ein Vektor als Zahlentripel schreiben lässt, wie kann der Vektor von $A$ nach $B$ angegeben werden?

    Man schaut sich die $x$-Koordinate der beiden Punkte an. Um von $3$ zu $5$ zu kommen, muss $2$ addiert werden. Als Bewegung entspricht dies $2$ Einheiten in positiver x-Richtung, also der $x$-Koordinate $2$.

    Da die $y$-Koordinaten bereits übereinstimmen, muss man sich in $y$-Richtung nicht bewegen. Dies entspricht der $y$-Koordinate $0$.

    In der $z$-Koordinate findet wieder eine Bewegung statt und zwar um $2-1=1$ in positiver Richtung. Dies entspricht der $z$-Koordinate $1$.

    Der gesuchte Vektor von $A$ nach $B$ ist also

    $\vec v=\begin{pmatrix} 2 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$.

    Dieser Vektor ist ein spezieller Vektor und hat deshalb auch einen Namen. Er heißt Verbindungsvektor von $A$ nach $B$. Man schreibt diesen:

    $\vec v=\vec{AB}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$.

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