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Vektoren – anschauliche Erklärung

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Martin Wabnik
Vektoren – anschauliche Erklärung
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Vektoren – anschauliche Erklärung

Ein Vektor ist eine Einheit aus Länge und Richtung. Verschieben wir z.B. ein Papierdreieck auf einem Tisch von einem Ort zu einem anderen, wird jeder Punkt des Dreiecks - z.B. jede Ecke - um eine bestimmte Länge in eine bestimmte Richtung verschoben. Somit wurde das Dreieck um einen Vektor verschoben. Wir können uns Vektoren wie Pfeile vorstellen. Pfeile haben auch eine bestimmte Länge und eine bestimmte Richtung. Ein Vektor ist aber kein Pfeil, sondern wird nur durch einen solchen dargestellt. Auch hat ein Vektor keinen Ort, an dem er sich befindet; ein Pfeil hingegen befindet sich aber immer an einem bestimmten Ort. Im Video werden diese Unterschiede anschaulich herausgearbeitet. Außerdem sehen wir noch eine Möglichkeit, einen Vektor ohne die Verwendung von Pfeilen anzugeben.

Vektoren – anschauliche Erklärung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Vektoren – anschauliche Erklärung kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie du einen Vektor anschaulich erklären kannst.

    Tipps

    Bei diesem Vektor gehst du zwei Schritte nach rechts und drei Schritte nach oben.

    Einen Vektor, der einen Punkt um zwei Schritte nach rechts und drei Schritte nach oben verschiebt, kannst du wie folgt beschreiben:

    • $\vec{v} =\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

    Wenn du etwas verschiebst, ist es wichtig zu wissen, wie weit und wo entlang.

    Lösung

    Ein Vektor ist eine Einheit aus Länge und Richtung. Mit diesen beiden Eigenschaften kannst du eine Verschiebung eindeutig charakterisieren, denn dabei musst du dich immer nur fragen: Wie weit und wo entlang?

    Mit einem Vektor kannst du also geometrische Objekte verschieben wie zum Beispiel ein Dreieck. Dabei verschiebst du zwar jeden Punkt, also sowohl die Eckpunkte, die Punkte auf einer Geraden als auch die im Inneren. Für die Beschreibung reicht aber ein einzelner Vektor, da jeder Punkt auf die gleiche Weise verschoben wird. Ein Vektor kann durch einen Pfeil dargestellt werden.

    Wenn wir nun die abgebildete Verschiebung konkret angeben wollen, brauchen wir ein Koordinatensystem. Wir gehen im Bild $3$ Schritte nach links und $2$ nach oben. Wir schreiben:

    $\vec{v} =\begin{pmatrix} \text{Verschiebung } x\text{-Achse} \\ \text{Verschiebung } y\text{-Achse} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix}$

  • Zeige auf, wobei es sich um Repräsentationen von Vektoren handelt.

    Tipps

    Ein Vektor ist eine Einheit aus Richtung und Länge.

    Ein Vektor gibt an, wie weit und wo entlang du einen Punkt oder ein anderes Objekt verschiebst.

    Ein Strahl hat keine feste Länge und kann somit keinen Vektor beschreiben.

    Lösung

    Ein Vektor ist eine Einheit aus Länge und Richtung. Du kannst damit angeben, wie weit und wo entlang du einen Punkt oder ein anderes Objekt verschiebst. Die Länge erkennst du daran, wie lang der Vektor ist, anhand des Pfeils kannst du die Richtung erkennen.

    Der rote, blaue und grüne Pfeil repräsentieren Vektoren.

    An der gelben Strecke kannst du keine Richtung ablesen, sie bezeichnet also keinen Vektor.

    An der violetten Geraden kannst du weder eine Länge noch eine Richtung ablesen, sie kennzeichnet also keinen Vektor.

    An dem schwarzen Doppelpfeil kannst du keine eindeutige Richtung ablesen, er beschreibt also keinen Vektor.

  • Bestimme die Vektoren anhand der Pfeile.

    Tipps

    Überlege dir, wie viele Schritte du vom Anfangspunkt zum Endpunkt des Vektorpfeils entlang der $x$- bzw. $y$-Achse gehst.

    Wenn du auf der $x$-Achse nach links gehst, ist die Verschiebung negativ und wenn du nach rechts gehst, ist die Verschiebung positiv.

    Wenn du auf der $y$-Achse nach unten gehst, ist die Verschiebung negativ und wenn du nach oben gehst, ist die Verschiebung positiv.

    Einen Vektor kannst du so beschreiben: $\begin{pmatrix}\text{Verschiebung }x\text{-Achse}\\ \text{Verschiebung }y\text{-Achse}\end{pmatrix}$

    Lösung

    Um den Vektor zu beschreiben, überlege dir, wie viele Schritte du vom Anfangspunkt zum Endpunkt des Vektorpfeils entlang der $x$- bzw. $y$-Achse gehst.

    • Wenn du auf der $x$-Achse nach links gehst, ist die Verschiebung negativ und wenn du nach rechts gehst, ist die Verschiebung positiv.
    • Wenn du auf der $y$-Achse nach unten gehst, ist die Verschiebung negativ und wenn du nach oben gehst, ist die Verschiebung positiv.
    Einen Vektor kannst du anhand des Pfeils so beschreiben: $\begin{pmatrix}\text{Verschiebung }x\text{-Achse}\\ \text{Verschiebung }y\text{-Achse}\end{pmatrix}$

    Alternativ kannst du auch von den Koordinaten des Endpunkts die Koordinaten des Anfangspunkts abziehen.

    Bild 1: Du gehst $2$ Schritte nach links und $2$ nach unten: $\begin{pmatrix}-2\\-2 \end{pmatrix}$.

    Oder: $\begin{pmatrix}1-3\\1-3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-2 \end{pmatrix}$.

    Bild 2: Du gehst $1$ Schritt nach rechts und $1$ nach oben: $\begin{pmatrix}1\\1 \end{pmatrix}$.

    Bild 3: Du gehst $2$ Schritte nach links und $2$ nach oben: $\begin{pmatrix}-2\\2 \end{pmatrix}$.

    Bild 4: Du gehst $2$ Schritte nach rechts und $1$ nach oben: $\begin{pmatrix}2\\1 \end{pmatrix}$.

  • Ermittle, welche Pfeile zu den Vektoren passen.

    Tipps

    Ein Vektor hat keinen Ort, an dem er sich befindet, lediglich der Pfeil, mit dem wir ihn repräsentieren, befindet sich immer an einem bestimmten Ort. Der Vektor kann aber auch von einem anderen Pfeil derselben Länge und Richtung an einem anderen Ort repräsentiert werden.

    Lösung

    Bei dem Vektor $\begin{pmatrix}2\\2 \end{pmatrix}$ gehen wir vom Anfangs- zum Endpunkt $2$ Schritte nach rechts und $2$ nach oben. Das ist bei den grün markierten Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{v}$ der Fall.

    Bei dem Vektor $\begin{pmatrix}-3\\1 \end{pmatrix}$ gehen wir vom Anfangs- zum Endpunkt $3$ Schritte nach links und $1$ nach oben. Das ist bei den blau markierten Vektoren $\vec{b}$, $\vec{c}$ und $\vec{u}$ der Fall.

    Bei dem Vektor $\begin{pmatrix}2\\0 \end{pmatrix}$ gehen wir vom Anfangs- zum Endpunkt $2$ Schritte nach rechts und $0$ nach oben. Das ist bei den violett markierten Vektoren $\vec{d}$ und $\vec{w}$ der Fall.

  • Gib wieder, was du über Vektoren weißt.

    Tipps

    Hier siehst du einen Vektor.

    Der rosafarbene Pfeil ist kein Vektor, repräsentiert aber einen.

    Lösung

    Ein Vektor ist immer eine Einheit aus Länge und Richtung.

    Die folgenden Aussagen sind richtig:

    • Ein Vektor kann durch einen Pfeil dargestellt werden.
    Daran können wir die Länge und die Richtung (Pfeilspitze) erkennen, der Vektor ist jedoch kein Pfeil sondern wird nur durch diesen repräsentiert.
    • Einen Vektor bezeichnen wir häufig mit dem mathematischen Ausdruck $\vec{v}$.
    Der Pfeil über dem $v$ steht für den Vektor.
    • Einen Vektor, der einen Punkt um drei Schritte nach links und zwei Schritte nach oben verschiebt, können wir mit $\begin{pmatrix}-3\\2 \end{pmatrix}$ beschreiben.
    Bei einem Vektor schreiben wir: $\vec{v}=\begin{pmatrix}\text{Verschiebung }x\text{-Achse}\\\text{Verschiebung }y\text{-Achse} \end{pmatrix}$

    Die folgenden Aussagen sind falsch:

    • Ein Vektor befindet sich immer an einem bestimmten Ort.
    Ein Vektor hat keinen Ort, an dem er sich befindet, lediglich der Pfeil, mit dem wir ihn repräsentieren, befindet sich immer an einem bestimmten Ort. Der Vektor kann aber auch von einem anderen Pfeil derselben Länge und Richtung an einem anderen Ort repräsentiert werden.
    • Ein Vektor ist eine Einheit aus Geschwindigkeit und Richtung.
    Ein Vektor ist eine Einheit aus Länge und Richtung.

  • Entscheide, welche Aussagen über Vektoren stimmen.

    Tipps

    Die Länge eines Vektors kannst du mit Hilfe des Satzes des Pythagoras bestimmen.

    Lösung

    Die folgenden Aussagen sind korrekt:

    • Die Vektoren $\vec{v}_1=\begin{pmatrix}-2\\1 \end{pmatrix}$ und $\vec{v}_2=\begin{pmatrix}2\\-1 \end{pmatrix}$ haben die gleiche Länge.
    Um bei $\vec{v}_1$ vom Anfangs- zum Endpunkt zu gelangen, gehst du $2$ Schritte nach links und $1$ Schritt nach oben. Bei $\vec{v}_2$ ist es genau andersherum, du gehst $2$ Schritte nach rechts und $1$ Schritt nach unten. Sie unterscheiden sich also nur in der Richtung, die Länge ist aber gleich. Mit dem Satz des Pythagoras kannst du diese sogar bestimmen. Die Schritte nach oben bzw. unten und die Schritte nach rechts bzw. links siehst du als Katheten an und die Länge des Vektors ist die Hypotenuse, damit erhältst du:

    $(\text{Schritte }y\text{-Achse})^2+(\text{Schritte }x\text{-Achse})^2=\text{Vektorl}\ddot{\text{a}}\text{nge}^2$

    $\Rightarrow \text{Vektorl}\ddot{\text{a}}\text{nge}=\sqrt{(\text{Schritte }y\text{-Achse})^2+(\text{Schritte }x\text{-Achse})^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$

    • Die Vektoren $\begin{pmatrix}-2\\0 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix}-1\\0 \end{pmatrix}$ zeigen in die gleiche Richtung.
    Da die Verschiebung auf der $y$-Achse $0$ ist, verschieben beide Vektoren Objekte parallel zur $x$-Achse nach links, nur um unterschiedliche Längen.

    Folgende Aussagen sind falsch:

    • Der Vektor $\begin{pmatrix}-2\\0 \end{pmatrix}$ verläuft parallel zur $y$-Achse.
    Da die Verschiebung entlang der $y$-Achse $0$ ist, verschiebt der Vektor Objekte parallel zur $x$-Achse nach links (da die Verschiebung negativ ist).

    • Ein Vektor befindet sich immer an einem bestimmten Ort.
    Ein Vektor hat keinen Ort, an dem er sich befindet. Lediglich der Pfeil, mit dem wir ihn repräsentieren, befindet sich immer an einem bestimmten Ort. Der Vektor kann aber auch von einem anderen Pfeil derselben Länge und Richtung an einem anderen Ort repräsentiert werden.

    • Ein Vektor ist ein Pfeil.
    Ein Vektor ist kein Pfeil, er ist eine Einheit aus Länge und Richtung, die durch einen Pfeil repräsentiert werden kann.

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