Umkreisradius berechnen

Hallo, liebe Freundinnen und Freunde der Mathematik, in “Teil zwei - der Umkreisradius” hatten wir die Konstruktion des Umkreises besprochen. Heute zeige ich das Video "Der Umkreisradius - Teil drei", zu dem ihr alle herzlich willkommen seid. Unterthema des Videos lautet "Sinussatz und Umkreisradius". Für die Darstellung dieses Zusammenhanges habe ich schon einmal ein Dreieck mit einem Umkreisradius und dem Mittelpunkt desselben vorbereitet. Ich möchte jetzt noch die Eckpunkte dieses Dreiecks mit den großen Buchstaben A, B und C bezeichnen. Der erste Schritt auf dem Weg der Generierung einer geeigneten Gleichung ist die Konstruktion eines Hilfsdreiecks ABC‘. Dafür zeichnen wir die Halbgerade von A in Richtung M bis zur Kreislinie. Und erhalten den Punkt C‘. Wir verbinden nun die Punkte C‘ und B und erhalten das Dreieck ABC‘. Wir treffen nun folgende Festlegung: Der Winkel AC’B soll γ‘ heißen. Drittens: γ = γ‘. Zur Begründung: Für die Begründung verwenden wir den Peripheriewinkelsatz. Peripheriewinkel über der gleichen Sehne AB sind gleich groß. Also sind die Winkel γ und γ‘ gleich. Viertens: Der Winkel ABC‘ beträgt 90°. Zur Begründung: Dies gilt nach dem Satz des Thales. Jeder Peripheriewinkel über einem Durchmesser ist ein rechter Winkel. Der Durchmesser ist hier die Strecke AC‘. Der Peripheriewinkel über diesem Durchmesser ist ABC‘. Demzufolge ist ABC‘ = 90°. Fünftens: Definition des Sinus. Da wir ein rechtwinkliges Dreieck ABC‘ haben, können wir dafür den Sinus des Winkels γ‘ definieren. Dafür benenne ich die Seite AB mit c und kennzeichne die Strecke AC‘ durch 2r, denn es ist ja gerade der Durchmesser, also der zweifache Radius. Also nochmal: AB = c und AC‘ = 2r. Der Sinus eines Winkels wird definiert als der Quotient aus Gegenkathete und Hypotenuse. Also c/2r = sinus(γ‘). So, ich schaffe unten etwas Platz und wir machen weiter. Sechstens: Aus fünftens folgt unter der Berücksichtigung der Beziehung drei: c/2r = sinus(γ). Analog könnten wir erhalten b/2r = sinus(β) und genauso a/2r = sinus(α). Siebentens: Sinussatz. Wir verwenden nun den Sinussatz, um die gewünschte Gleichungskette zu erhalten. Nach dem Sinussatz gilt: a/sinus(α) = b/sinus(β) = c/sinus(γ). Und wenn wir die Gleichung rechts unten nehmen und nach c/sinus(γ) umformen, erhalten wir hier oben =2r. Damit haben wir eine wunderschöne Beziehung zwischen der Seitenlänge eines Dreiecks, dem gegenüberliegenden Winkel und dem Umkreisradius. Wenn ihr wollt und es benötigt, könnt ihr diese Gleichung nach r umstellen und könnt mithilfe einer Seite und des gegenüberliegenden Winkels r bestimmen. So, das wärs schon wieder für heute. Den Mathematikfreundinnen und -freunden wünsche ich viel Erfolg, Gesundheit bis zum Wiedersehen und Wiederhören. Alles Gute, Tschüss!