Trigonometrische Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck

Trigonometrische Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck Übung

• Zeige auf, was bei trigonometrischen Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck wichtig ist.

  Tipps

  Die Kathete, die dem Winkel gegenüberliegt, heißt Gegenkathete.

  Die Kathete, die am Winkel anliegt, heißt Ankathete.

  Die längste Seite des Dreiecks heißt Hypotenuse.

  Lösung

  Die Seitenverhältnisse in einem rechtwinkligen Dreieck werden immer in Bezug auf einen bestimmten Winkel angegeben (hier: $\alpha$).

  • Die Kathete, die dem Winkel gegenüberliegt, heißt Gegenkathete (hier: $a$).
  • Die Kathete, die am Winkel anliegt, heißt Ankathete (hier: $b$).
  • Die längste Seite heißt Hypotenuse (hier: $c$), sie liegt immer dem rechten Winkel gegenüber.

  Damit ergeben sich die folgenden Verhältnisse:

  • Der Sinus des Winkels ist das Verhältnis von Gegenkathete und Hypotenuse: $\sin{\alpha}=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac a c$
  • Der Cosinus des Winkels ist das Verhältnis von Ankathete und Hypotenuse: $\cos{\alpha}=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac b c$
  • Der Tangens des Winkels ist das Verhältnis von Gegenkathete und Ankathete: $\tan{\alpha}=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}=\frac a b$

• Berechne die Höhe eines Berges mithilfe von Seitenverhältnissen in rechtwinkligen Dreiecken.

  Tipps

  Beachte, dass dein Taschenrechner sich im DEG Modus befindet.

  Sind zum Beispiel die Ankathete und der Winkel gegeben und die Hypotenuse ist gesucht, kann der Cosinus genutzt und nach der Hypotenuse umgestellt werden.

  $\cos{\alpha}=\frac {\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$

  $\text{Hypotenuse}=\frac{\text{Ankathete}}{\cos{\alpha}}$

  Lösung

  Elly misst mit einem Nivelliergerät den Winkel zwischen der Horizontlinie und dem Gipfel, da Seitenverhältnisse immer in Bezug auf einen Winkel angegeben werden. Dieser beträgt: $19^\circ$. Sie weiß auch, dass sie sich $d=9,5\text{ km}$ vom Berg entfernt befindet, diese Strecke entspricht der Ankathete. Gesucht ist die Höhe $h$, diese entspricht der Gegenkathete.

  Gegeben ist also:

  • $\alpha=19^\circ$
  • $d=9,5\text{ km}$

  Gesucht ist:

  • $h$

  Also verwendet Elly den Tangens, denn dieser beschreibt das Verhältnis von Gegenkathete und Ankathete. Wir nutzen:

  • $\tan{\alpha}=\frac {\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

  Für unseren Fall gilt:

  • $\tan{\alpha}=\frac h d$.

  Diese Gleichung stellen wir nach der gesuchten Größe um:

  $\begin{array}{rll} \tan{\alpha}&=\frac h d &|\cdot d \\ h&=d\cdot \tan{\alpha}\\ \end{array}$

  Wenn wir die Zahlen einsetzen, erhalten wir:

  • $h=d\cdot \tan{\alpha}=9,5\text{ km}\cdot \tan{19^\circ}\approx 9,5\text{ km}\cdot 0,344=3,268\text{ km}$

  Beachte, dass dein Taschenrechner sich immer im DEG Modus befindet, wenn die Winkel in Grad gegeben sind.

• Berechne die fehlenden Seitenlängen und -verhältnisse.

  Tipps

  Die längste Seite, also die, die dem rechten Winkel gegenüber liegt, ist die Hypotenuse.

  Hier gilt immer: $a$ ist die Gegenkathete, $b$ die Ankathete und $c$ die Hypotenuse.

  Lösung

  Hier gilt immer: $a$ ist die Gegenkathete, $b$ die Ankathete und $c$ die Hypotenuse.

  Erstes Dreieck

  Gegeben sind $a=3 \text{ cm}$, $b=4 \text{ cm}$ und $\sin{\alpha}=0,6$ .

  Wir können den Tangens von $\alpha$ berechnen:

  $\tan{\alpha}=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}=\frac a b= \frac{3 \text{ cm}}{4 \text{ cm}}= \frac34=0,75$

  Mithilfe von $\sin{\alpha}=0,6$ und der Gegenkathete bestimmen wir die Hypotenuse. Es gilt:

  $\sin{\alpha}=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

  Diese Gleichung stellen wir nach der Hypotenuse, also $c$, um und setzen ein:

  $\text{Hypotenuse}=\frac{\text{Gegenkathete}}{\sin{\alpha}}=\frac{a}{\sin{\alpha}} =\frac{3 \text{ cm}}{0,6}= 5\text{ cm}$

  Mit der Hypotenuse können wir nun auch den Cosinus bestimmen, indem wir die Werte einsetzen:

  $\cos{\alpha}=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{b}{c}=\frac{4 \text{ cm}}{5 \text{ cm}}= \frac45=0,8$

  Zweites Dreieck

  Gegeben sind $b=12 \text{ cm}$, $c=13 \text{ cm}$ und $\tan{\alpha}\approx 0,42$.

  Mit dem Tangens und der Ankathete berechnen wir die Gegenkathete:

  $\tan{\alpha}=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

  Diese stellen wir nach der Gegenkathete um und setzen die Werte ein:

  $a=\text{Gegenkathete}=\text{Ankathete} \cdot \tan{\alpha} \approx 12 \text{ cm}\cdot 0,42\approx 5 \text{ cm}$

  Mit der Ankathete und der Hypotenuse können wir den Cosinus bestimmen:

  $\cos{\alpha}=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{b}{c}=\frac{12 \text{ cm}}{13 \text{ cm}}= \frac{12}{13}\approx 0,92$

  Mit der Gegenkathete und der Hypotenuse können wir den Sinus bestimmen:

  $\sin{\alpha}=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{a}{c}=\frac{5 \text{ cm}}{13 \text{ cm}}= \frac{5}{13}\approx 0,38$

• Ermittle die fehlenden Seitenlängen.

  Tipps

  Es gilt: $\tan{\alpha}=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

  Für den Sinus nutzt du: $\sin{\alpha}=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$.

  Lösung

  In allen Dreiecken $\Delta ABC$ gibt es die Katheten $a$ und $b$ und die Hypotenuse $c$.

  Dreieck 1:

  Gegeben: $a=20$ und $\alpha=30^\circ$

  $a$ ist die Gegenkathete von $\alpha$, wir können also mit dem Tangens die andere Kathete und mit dem Sinus die Hypotenuse berechnen. Wir nutzen:

  $\begin{array}{rll} \tan{\alpha}&=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} \\ \tan{\alpha}&=\frac a b &|\cdot b \\ \tan{\alpha}\cdot b&=a &|: \tan{\alpha}\\ b&=\frac a {\tan{\alpha}} \\ \end{array}$

  Nun können wir $a$ und $\alpha$ einsetzen, um $b$ zu bestimmen:

  $b=\frac a {\tan{\alpha}}= \frac {20} {\tan{30^\circ}}\approx 34,64$

  Ebenso gilt:

  $\begin{array}{rll} \sin{\alpha}&=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} \\ \sin{\alpha}&=\frac a c &|\cdot c \\ \sin{\alpha}\cdot c&=a &|: \sin{\alpha}\\ c&=\frac a {\sin{\alpha}} \\ c&=\frac {20} {\sin{30^\circ}} \\ c&=40 \end{array}$

  Dreieck 2:

  Gegeben: $a=10$ und $\beta=30^\circ$

  • $b=a\cdot \tan{\beta}=10\cdot \tan{30^\circ}\approx 5,77$
  • $c=\frac {a}{ \cos{\beta}}=\frac {10} {\cos{30^\circ}}\approx 11,55$

  Dreieck 3:

  Gegeben: $c=15$ und $\alpha=60^\circ$

  • $a=c\cdot \sin{\alpha}=15\cdot \sin{60^\circ}\approx 12,99$
  • $b=c\cdot \cos{\alpha}=15\cdot \cos{60^\circ}= 7,5$

  Dreieck 4:

  Gegeben: $c=10$ und $\beta=45^\circ$

  • $a=c\cdot \cos{\beta}=10\cdot \cos{45^\circ}\approx 7,07$
  • $b=c\cdot \sin{\beta}=10\cdot \sin{45^\circ}\approx 7,07$

• Gib wieder, wie du Seitenverhältnisse in einem rechtwinkligen Dreieck angeben kannst.

  Tipps

  Es gilt: $\sin{\alpha}=\dfrac{\text{grüne Seite}}{\text{gelbe Seite}}$

  Es gilt: $\cos{\alpha}=\dfrac{\text{rote Seite}}{\text{gelbe Seite}}$

  Die Hypotenuse ist hier gelb markiert.

  Lösung

  Die Seitenverhältnisse in einem rechtwinkligen Dreieck werden immer in Bezug auf einen bestimmten Winkel angegeben (hier: $\alpha$).

  • Dem rechten Winkel mit $90^\circ$ liegt die Hypotenuse gegenüber.
  • Die Kathete, die dem Winkel gegenüberliegt, heißt Gegenkathete.
  • Die Kathete, die am Winkel anliegt, heißt Ankathete.

  Damit ergeben sich die folgenden Verhältnisse:

  • Der Sinus des Winkels ist das Verhältnis von Gegenkathete und Hypotenuse: $\sin{\alpha}=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
  • Der Cosinus des Winkels ist das Verhältnis von Ankathete und Hypotenuse: $\cos{\alpha}=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
  • Der Tangens des Winkels ist das Verhältnis von Gegenkathete und Ankathete: $\tan{\alpha}=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

• Bestimme die Lösung der Textaufgabe.

  Tipps

  Der Tangens ist das Verhältnis zwischen Gegenkathete und Ankathete.

  Berechne zunächst die Höhen in den beiden Jahren und danach die Differenz.

  Lösung

  Wenn du die Aufgabe noch einmal in Ruhe liest, erkennst du schnell, was gesucht ist: Die Höhe der Tanne. Dabei sind zwei unterschiedliche Beobachtungswinkel angegeben: Letztes Jahr betrug der Beobachtungswinkel $\alpha_1=38^\circ$ und dieses Jahr beträgt er $\alpha_2=39^\circ$. Der Abstand zur Tanne ist ebenfalls bekannt mit $80$ Metern.

  Da die Tanne gewachsen ist, rechnest du zunächst die Höhe der Tanne letztes Jahr mithilfe des Beobachtungswinkels $\alpha_1=38^\circ$ und die Höhe der Tanne dieses Jahr mit $\alpha_2=39^\circ$ aus. Das machst du wieder mithilfe der Formel zum Tangens von $\alpha$.

  $\tan{\alpha}=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Ankathete von }\alpha}$

  Die Gleichung stellst du entsprechend um und setzt dann die Werte für $\alpha_1$ und $\alpha_2$ ein.

  $\text{Gegenkathete von }\alpha= \tan{\alpha} \cdot \text{Ankathete von }\alpha $

  • Für $\alpha_1$: $~\text{Gegenkathete von }\alpha=\tan{38^\circ}\cdot 80\text{ m}\approx 64,3\text{ m}$
  • Für $\alpha_2$: $~\text{Gegenkathete von }\alpha=\tan{39^\circ}\cdot 80\text{ m}\approx 66,58\text{ m}$

  Dann ermittelst du die Differenz zwischen diesen beiden Werten und erhältst $2,28\text{ m}$