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Teilmenge

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Martin Wabnik
Teilmenge
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Teilmenge

Eine Teilmenge ist nicht einfach nur ein Teil einer Menge, sondern die genaue Definition lautet: Eine Menge B ist Teilmenge der Menge A genau dann, wenn gilt: Jedes Element von B ist auch Element von A. Das definiert man so genau, damit man Fragen wie: "Kann die leere Menge Teilmenge einer Menge sein?"oder "Kann eine Menge Teilmenge von sich selbst sein?" vernünftig beantworten kann (was im Video gezeigt wird). Außerdem siehst du im Video noch eine bekannte Veranschaulichung von Mengen (die Venn-Diagramme) und die Antwort auf die Frage: "Wozu brauche ich das?"

Transkript Teilmenge

Hallo, eine Teilmenge ist ein Teil einer Menge. Das ist zwar richtig, aber das brauchen wir noch ein bisschen genauer. Wenn du also weißt, was Mengen sind und was Elemente sind, dann können wir uns den Begriff der Teilmenge mal ein bisschen genauer angucken. Am Ende des Films sage ich noch etwas über häufig gestellte Fragen und zur Einordnung und Bedeutung dieses Begriffs. Vereinfacht gesagt kannst du dir eine Menge vorstellen als Sack mit was drin. Schauen wir mal rein, was drin ist. Es sind bunte Bälle, die nummeriert sind und zwar mit den Zahlen von eins bis 40, den natürlichen Zahlen. Und ich werde jetzt mal hier die Primzahlen raussuchen, damit wir gleich ein schönes Beispiel einer Teilmenge haben. Wir haben jetzt zwölf Primzahlen unter den natürlichen Zahlen von eins bis 40 und alle anderen Zahlen hier sind eben keine Primzahlen. Um Mengen bezeichnen zu können, brauchen wir Namen. Und Mengen bekommen nicht irgendwelche fantasievollen oder lustigen Namen, sondern sie bekommen Namen, die nicht von der Sache ablenken, wie zum Beispiel A, B und C und so weiter. Hier haben wir die Menge A, die besteht aus den natürlichen Zahlen von eins bis 40, das sind also die Zahlen, die hier auf dem Tisch liegen. Dann brauchen wir noch einen Namen für die Menge, die die Nummern enthält, die da vorne liegen. Und diese Menge soll mal B heißen und diese Menge besteht aus allen Primzahlen, die kleiner als 40 sind. Jetzt sind wir bereit für die Definition der Teilmenge, man sagt die Menge B ist Teilmenge der Menge A genau dann, wenn jedes Element von B auch Element von A ist. Hier ist das der Fall, wir haben hier die Primzahlen kleiner als 40, diese Primzahlen sind natürliche Zahlen und sie liegen zwischen eins und 40, sind also alle Elemente dieser Menge. Und das müssen wir uns jetzt nochmal vernünftig aufschreiben. Man kann sich Mengen und Teilmengen mit solchen Venn-Diagrammen veranschaulichen. Venn deshalb, weil solche Diagramme nach dem Mathematiker Venn benannt sind. Diese Menge hier, D, enthält irgendwelche lustigen Sachen. Ein Quadrat, einen Stern, ein Dreieck, warum nicht, einen Kreis und einen Kringel. Und man kann sich jetzt eine Teilmenge so vorstellen. Hier in blau ist die Menge E und es gilt, dass jedes Element von E auch Element von D ist, deshalb ist E eine Teilmenge von D. Manchmal schreibt man diese Venn-Diagramme auch ohne Symbole. Das möchte ich auch eben noch zeigen. Dann haben wir hier eine Menge, das soll wieder die Menge D sein vielleicht und wir haben eine Menge, die sich da drin befindet, hier ungefähr, und das ist die Menge E. Und dann sagt man einfach okay, alles was hier schraffiert ist, ist die Teilmenge, die sich in D befindet. Jedes Element von E ist auch Element von D. Dann haben wir noch etwas zur Notation von Teilmengen, also der Schreibweise von Teilmengen. Wenn E Teilmenge der Menge D ist, dann setzt man dieses Zeichen dazwischen. E ist Teilmenge von D. Wenn das so ist, kann man aber auch Folgendes schreiben. Dann ist D Obermenge von E. Also wenn E Teilmenge von D ist, ist D auch immer eine Obermenge von E. So, kommen wir zu ein paar Spezialitäten die Teilmengen betreffend. Hier ist eine Menge F. Die Menge F besteht aus allen natürlichen Zahlen kleiner-gleich 40, das ist das Kleiner-gleich-Zeichen. Die Frage ist, ist F jetzt Teilmenge von A? In A sind die natürlichen Zahlen von eins bis 40. Das bedeutet, jedes Element von F ist auch Element von A und deshalb ist F Teilmenge von A. Umgekehrt gilt allerdings auch, dass jedes Element von A Element von F ist und daher ist auch A eine Teilmenge von F. Wenn zwei Mengen gleich sind, sind sie Teilmengen voneinander. Wenn also A und F gleich sind und gleich sind zwei Mengen, wenn sie gleiche Elemente enthalten, dann ist auch A Teilmenge von F und F Teilmenge von A. Man kann umgekehrt auch so übrigens die Gleichheit definieren. Man kann sagen, wenn A Teilmenge von F ist und F Teilmenge von A ist, dann sind beide Mengen gleich, das funktioniert auch. So, und jetzt denkst du dir vielleicht Moment, das geht ja nicht, eine Teilmenge kann ja nicht die ganze Menge sein, sonst wäre es ja keine Teilmenge. Aber in der Mathematik hat man sich so darauf geeinigt, dass das geht. Wenn wir eine Menge A haben zum Beispiel, ist diese Menge A immer auch Teilmenge von sich selbst. A ist Teilmenge von A. Denn jedes Element von A kommt ja in A vor und deshalb ist jede Menge immer auch Teilmenge von sich selbst. Das mag komisch klingen, man hat sich aber darauf geeinigt in der Mathematik, weil man so bequem rechnen kann, weil es gut funktioniert und in dem Fall geht es da nicht so sehr um die mathematische Wahrheit, sondern um das, was praktisch ist. Kommen wir jetzt zu einer weiteren Spezialität und zwar dieser Menge hier. Die Menge, das ist die leere Menge. Und die Frage ist jetzt natürlich, ist die leere Menge Teilmenge der Menge A. Man könnte jetzt sagen okay, jedes Element von G muss dann auch Element von A sein, aber in G sind ja gar keine Elemente. Aber um die Sache klar zu machen, wie man sich das überlegt hat, möchte ich mal diese Menge hier präsentieren. Die Menge H besteht aus drei, vier, fünf und 41. Ist die Menge H Teilmenge der Menge A? Nein, ist sie nicht, weil nämlich die 41 der Menge H nicht in A ist. Damit also eine Menge nicht Teilmenge der anderen Menge ist, muss es in dieser Menge ein Element geben, was nicht in dieser Menge ist. So, und jetzt kommen wir nochmal zurück zu der Frage, ist G Teilmenge von A. Wenn G nicht Teilmenge von A wäre, wäre die Frage, welches Element aus G ist denn nicht in A. Siehst du, gar keins. Und deshalb hat man sich darauf geeinigt, die leere Menge ist Teilmenge nicht nur der Menge A, sondern die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge. Übrigens auch ist die leere Menge Teilmenge der leeren Menge. Kommen wir noch zu den häufig gestellten Fragen, da sind insbesondere zwei zu nennen. Erstens, muss man überhaupt genau erklären, was Teilmengen sind? Naja, grundsätzlich kann man verstehen was Teilmengen sind, aber wir haben hier doch ein paar Spezialfälle gehabt, die nicht so selbsterklärend sind und deshalb braucht man auch eine vernünftige und belastbare Definition von Teilmengen, damit man eben solche Spezialfälle auch behandeln kann. Zweite Frage, wozu brauche ich das? Also, wir haben ja jetzt nichts gerechnet und da ergibt sich die Frage, warum muss ich überhaupt dann wissen, was Teilmengen sind. Naja, Teilmengen sind grundsätzliche Denkweisen in der Mathematik. Zwei Beispiele dazu, wir haben die ganzen Zahlen, die rationalen Zahlen und die natürlichen Zahlen. Also die natürlichen Zahlen sind die Zahlen eins, zwei, drei, vier, fünf und so weiter, die ganzen Zahlen sind die Zahlen null, ein, minus eins, zwei, minus zwei, drei, minus drei und so weiter. Jetzt wird oft gesagt, dass die natürlichen Zahlen und die ganzen Zahlen so getrennte Zahlenmengen sind. Also von Schülern höre ich das schon mal, ist aber nicht richtig. Denn die Menge der natürlichen Zahlen ist eine Teilmenge der Menge der ganzen Zahlen. Jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl. So ähnlich ist es mit rationalen Zahlen, rationale Zahlen sind alle Brüche. Die natürlichen Zahlen gehören auch zu den rationalen Zahlen. Also die Menge der natürlichen Zahlen ist eine Teilmenge der Menge der rationalen Zahlen. Also hier ist es nicht ausschließend zu sehen, sondern es ist eine Teilmengen-Relation. Ein anderes Beispiel aus der Geometrie, wir haben Vierecke, wir haben bestimmte Vierecke, zum Beispiel Trapeze, Rechtecke und Quadrate. Ein Trapez ist ein Viereck mit zwei parallelen Seiten, ein Rechteck ist ein rechtwinkliges Viereck. Wir wissen von den Rechtecken, dass sie zwei Paare paralleler Seiten haben, also haben sie auch zwei parallele Seiten. Damit ist jedes Rechteck auch ein Trapez. Das heißt, die Menge der Rechtecke ist Teilmenge der Menge der Trapeze. Viele Schüler, weiß ich, wollen das so auseinanderhalten, ein Rechteck kann kein Trapez sein und umgekehrt, ist aber nicht richtig, jedes Rechteck ist auch ein Trapez. So ähnlich ist es mit den Quadraten, ein Quadrat ist ein gleichseitiges Rechteck. Damit ist jedes Quadrat auch ein Rechteck. Das bedeutet, die Menge der Quadrate ist eine Teilmenge der Rechtecke und weil die Menge der Rechtecke eine Teilmenge der Trapeze ist, ist auch jedes Quadrat ein Trapez und die Menge der Quadrate ist eine Teilmenge der Menge der Trapeze. So sieht das aus und deshalb haben wir das so genau definiert. Viel Spaß damit, tschüss!

4 Kommentare

4 Kommentare
  1. 11 min OK

    Von Silke Schaeffeler, vor 7 Monaten
  2. Super

    Von Waegnerevelyn, vor 11 Monaten
  3. cooles video

    Von Melanie Obach, vor 12 Monaten
  4. soos

    Von Liff, vor etwa 4 Jahren

Teilmenge Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Teilmenge kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Definition einer Teilmenge und einer Obermenge an.

    Tipps

    Schaue dir das gegebene Venn-Diagramm, auch Mengendiagramm genannt, einmal genauer an: Du kannst so erkennen, in welchem Verhältnis die Mengen zueinander stehen.

    Jede Teilmenge hat auch eine Obermenge. Ausgehend von der Obermenge lässt sich die Definition sprachlich variieren.

    Bildlich kannst du dir das folgendermaßen vorstellen: Die Obermenge „schluckt” also die Teilmenge. Oder: Die Teilmenge wird von der Obermenge „geschluckt”.

    Lösung

    Eine Menge B ist Teilmenge der Menge A bzw. eine Menge A ist die Obermenge einer Menge B, wenn gilt: Jedes Element von B ist auch Element von A.

    Im gegebenen Venn-Diagramm kannst du erkennen, dass alle Elemente der Teilmenge B auch in A enthalten sind.

    Die Teilmenge B könnte sogar so weit „anschwellen” bis diese deckungsgleich mit der Obermenge A wäre. Im sprachlichen Sinne wäre dies zwar dann kein Teil mehr, aber in der Mathematik wir dieser Begriff weiterhin benutzt.

    Ein schönes Beispiel aus der Astronomie: Die Menge der Himmelskörper unseres Sonnensystems ist eine Teilmenge des Universums.

  • Zeige auf, welche Schreibweisen dem dargestellten Sachverhalt entsprechen.

    Tipps

    Die Zeichen $\cap$ und $\cup$ stehen in der mathematischen Mengenlehre für die Begriffe „Schnittmenge” bzw. „Vereinigungsmenge”.

    Das halbkreisförmige Zeichen für die Teilmenge ist in Richtung der Teilmenge geschlossen und in Richtung der Obermenge geöffnet.

    Lösung

    Dem Mengendiagramm und dem Sachverhalt kannst du entnehmen, dass E eine Teilmenge von D ist, denn alle Elemente von E sind also auch in der Menge D enthalten.

    Die wissenschaftliche Schreibweise, auch Notation genannt, lautet dafür: Teilmenge $\subset$ Obermenge bzw. Obermenge $\supset$ Teilmenge

    Also ergeben sich als richtige Ergebnisse: $E \subset D$, d.h. E ist Teilmenge von D, und $D \supset E$, d.h. D ist Obermenge von E.

    Für unser Sonnensystem als Teil des Universums könnte man also schreiben: „Sonnensystem $\subset$ Universum“ oder „Universum $\supset$ Sonnensystem“.

  • Bestimme, in welchem Verhältnis die Mengen A und F zueinander stehen.

    Tipps

    Notiere dir zunächst die Mengen A und F, um dir einen ersten Überblick zu verschaffen.

    Die Definition der Teilmenge besagt, dass eine Menge dann Teilmenge ist, wenn alle Elemente der Teilmenge in der Obermenge enthalten sind.

    Eine Menge C ist eine Obermenge von B, falls B eine Teilmenge von C ist.

    Lösung

    Die Mengen lauten zunächst $A= \big\{10; 12; 14; 16; 18; 20\big\}$ und $F= \big\{10; 12; 14; 16; 18; 20\big\}$.

    Es ist klar zu erkennen, dass beide Mengen die gleichen Elemente enthalten, also identisch sind.

    Die Definition der Teilmenge besagt, dass eine Menge dann Teilmenge ist, wenn alle Elemente der Teilmenge in der Obermenge enthalten sind.

    Da die Mengen A und F gleich sind, also jeweils Teilmengen voneinander bilden, kann hier jede Menge die Teilmenge bzw. Obermenge darstellen.

    Es gilt: $F \subset A$ und $A \subset F$.

    Merke dir also: Bei identischen Mengen sind die Mengen immer Teilmengen voneinander. Lass dich auch nicht vom Begriff „Teil” verwirren - in der Mathematik spricht man trotzdem von einer Teilmenge, obwohl hier Mengen als Ganzes identisch sind.

    Den Zusammenhang zwischen Teilmenge und Obermenge kannst du folgendermaßen beschreiben: „B ist eine Teilmenge von C“ ist gleichwertig zu „C ist eine Obermenge von B“. In Formel kannst du schreiben:

    $B\subset C \quad \Leftrightarrow \quad C\supset B$.

  • Arbeite heraus, in welchem Verhältnis die Mengen A und G zueinander stehen.

    Tipps

    Notiere dir zunächst alle Elemente der gegebenen Mengen, um dir einen Überblick zu verschaffen.

    Eine Menge ohne Elemente nennt man „leere Menge”. Die Schreibweise dafür lautet $\{ \}$.

    Die leere Menge bildet einen Sonderfall in der Mengenlehre.

    Für das Verständnis der leeren Menge als Teilmenge muss man von der Definition der Teilmenge ausgehen, aus der sich ergibt, dass kein Element der Teilmenge außerhalb der Obermenge liegen darf.

    Somit ist die leere Menge eine Teilmenge einer jeden Menge.

    Lösung

    Die Mengen lauten zunächst $A= \{10; 12; 14; 16; 18; 20\}$ und $G= \{\ \}$.

    Es ist zu erkennen, dass die Menge $G$ keine Elemente enthält, also leer ist.

    Die Definition der Teilmenge besagt, dass eine Menge dann Teilmenge ist, wenn alle Elemente der Teilmenge in der Obermenge enthalten sind. Es darf also folglich kein Element „außerhalb” liegen.

    Da die Menge $G$ eine leere Menge ist, die gar keine Elemente beinhaltet, können auch keine Elemente von $G$ außerhalb der Menge $A$ liegen. Es gibt kein Element von $G$, das nicht Element von $A$ ist.

    Es gilt folglich $G \supset A$.

    Merke dir also: Eine leere Menge ist also immer Teilmenge einer anderen Menge. Und somit ist jede andere Menge eine Obermenge zur leeren Menge.

  • Gib an, zu welchem Bereich die Zahlen im Venn-Diagramm gehören.

    Tipps

    Eine Primzahl ist nur durch sich selbst und eins teilbar.

    Es gilt: $A=\{ 1; 2; 3; ... ; 40\}$ und $B=\{ Primzahl<40\}$.

    Lösung

    Bei den Zahlen 2, 7, 29 und 37 handelt es sich um Primzahlen.

    Diese Zahlen sind also Elemente der Teilmenge B und auch zugleich Elemente der Obermenge A, da diese alle natürlichen Zahlen von 1 bis 40 erfasst.

    Im Venn-Diagramm sind diese Primzahlen jedoch der inneren Menge B zuzuordnen. Dass diese auch automatisch zur Menge A gehören, folgt aus der „Mengen-in-Mengen-Anordnung“.

    Alle natürlichen Zahlen von 1 bis 40, die keine Primzahlen sind, gehören zwar zu A aber nicht zu B.

    Und übrigens: Alle Zahlen, die zu keiner der Mengen gehören, stehen außerhalb.

  • Entscheide, welche Aussagen zu den Teilmengenbeziehungen zutreffen.

    Tipps

    Beachte die Definition der Teilmenge:

    Eine Menge ist Teilmenge einer anderen Menge, wenn jedes Element der Teilmenge auch Element der anderen Menge ist.

    So ist die Menge der Parallelogramme eine Teilmenge der Menge der Vierecke, denn alle Parallelogramme haben vier Ecken.

    Die Menge der Parallelogramme ist allerdings keine Teilmenge der Menge der Rechtecke, denn nicht jedes Parallelogramm hat rechtwinklige Ecken.

    Gebrochene Zahlen sind Quotienten natürlicher Zahlen.

    Lösung

    Die Definition besagt, dass alle Elemente der Teilmenge in der Obermenge vorhanden sein müssen:

    • Somit kann die Menge der Trapeze keine Teilmenge der Menge der Rechtecke sein, da Trapeze keine rechtwinkligen Ecken haben müssen. Viele Elemente aus der Menge der Trapeze fallen also nicht in die Menge der Rechtecke, denn nicht jedes Trapez ist ein Rechteck.
    • Umgekehrt funktioniert dies schon: Da alle Rechtecke auch der Definition des Trapezes entsprechen (mindestens zwei parallele Seiten), ist die Menge der Rechtecke eine Teilmenge der Menge der Trapeze.
    • Die Menge der Rechtecke ist auch eine Teilmenge der Menge der Vierecke, da alle Rechtecke auch Vierecke sind. Umgekehrt wäre dies wiederum nicht der Fall, da nicht jedes Viereck rechtwinklig ist.
    • Jedes gleichseitige Dreieck ist auch ein Dreieck. Somit ist die Menge der gleichseitigen Dreiecke in der Menge der Dreiecke enthalten.
    • Die Menge der gebrochenen Zahlen, Quotienten natürlicher Zahlen, ist ebenfalls eine Teilmenge der rationalen Zahlen, da diese komplett in der Menge der rationalen Zahlen enthalten ist.
    • Die Zahl $-2$ ist eine ganze Zahl, aber keine natürliche Zahl. Somit kann die Menge der ganzen Zahlen nicht Teilmenge der Menge der natürlichen Zahlen sein. Umgekehrt wäre dies wiederum korrekt.
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