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Tangente an eine Kurve 03:48 min

Textversion des Videos

Transkript Tangente an eine Kurve

Guten Tag und herzlich willkommen. In diesem Video geht es um die Berührungstangente an eine Kurve. Im ersten Teil möchte ich etwas zur Theorie sagen, und im zweiten Teil möchte ich diese an einem Beispiel erläutern.   Nehmen wir zunächst an, wir haben den Graph einer Funktion, der mit f bezeichnet wird. Nun soll es möglich sein, an einer bestimmten Stelle dieser Funktion x0 eine Tangente an den Graph dieser Funktion anzulegen. Diese Tangente, die man auch Berührungstangente nennt, wird hier mit t bezeichnet. Die Tangente ist eine Gerade und muss daher auch einer Gleichung für eine Gerade genügen. Wir schreiben daher: t(x) = mx + n   Wir kennen dann die Berührungstangente an die Kurve, wenn wir m und n bestimmt haben. Zur Erinnerung: m ist die Steigung der Geraden und n ist die Schnittstelle der Geraden mit der y-Achse. An der Stelle x0 muss nun gelten: f'(x0) = t'(x0) = m   Die Steigungen der Funktion f und der Geraden t an der Stelle x0 sind gleich, und das ist ja gleich die Steigung unserer Geradengleichung t(x) = mx + n. Somit haben wir eine einfache Möglichkeit, m zu bestimmen. Die entsprechende Gleichung bezeichne ich als Gleichung 1.   Nun bestimmen wir n. Wir kennen die Stelle x0, für die wir die Geradengleichung bestimmen wollen. Es gilt: t(x0) = m × x0 + n Wir subtrahieren m × x0 und erhalten die Gleichung 2: t(x0) - m × x0 = n   Die Theorie möchte ich an einem kleinen Beispiel demonstrieren. Bestimme die Berührungstangente der Funktion f(x) = x ^4 an der Stelle x0 = 2. Berechnung der Steigung m. Wir leiten f von x ab: f'(x) = 4x³ f'(2) = 4 × 2³ = 32 m ist gleich 32.   Wir bestimmen nun n. Die Grundidee ist, dass die Funktionswerte von t und f an der Stelle x0 gleich sind: t(x0) = f(x0) f(2) = 24 = 16 Wir nutzen die Gleichung 2 und erhalten: t(2) = 16 = 32 × 2 + n n= -48 Wir haben somit die Werte für m und n.   Die Gleichung der Tangente lautet somit: t(x) = 32x - 48   Ich wünsche euch alles Gute und auf Wiedersehen.  

1 Kommentar
  1. Gut erklärt! Top!

    Von Panny22288, vor etwa 5 Jahren

Tangente an eine Kurve Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Tangente an eine Kurve kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die Bedingungen zur Bestimmung einer Tangente an.

    Tipps

    Die allgemeine Form der Geradengleichung lautet:

    $g(x) = m\cdot x + n$.

    Der $y$-Wert der Funktion und der Tangente müssen in $x_0$ übereinstimmen.

    Ein Berührpunkt zweier Funktionsgraphen ist ein besonderer gemeinsamer Punkt dieser Funktionsgraphen.

    Es gilt insbesondere, dass dort die Steigungen der beiden Funktionsgraphen übereinstimmen.

    Lösung

    Wenn du zu einer gegebenen Funktion $f$ und einer Stelle $x_0$ die Gleichung der Tangente an den Funktionsgraphen in dem Punkt $(x_0|f(x_0))$ bestimmen sollst, gehst du wie folgt vor:

    1. Zunächst einmal ist eine Tangente eine Gerade. Die zugehörige Funktionsgleichung ist eine lineare Funktionsgleichung. Es ist also $t(x)=m\cdot x+n$.
    2. Die Steigung der Tangente ist gleich der Steigung des Funktionsgraphen $f'(x_0)$. Es ist also $t'(x_0)=m=f'(x_0)$. Nun ist die Steigung $m$ der Tangente bereits gefunden.
    3. Nun ermittelst du den $y$-Achsenabschnitt. Dafür nutzt du aus, dass die beiden Funktionen einen gemeinsamen Punkt haben. Es gilt $t(x_0)=f(x_0)$. Dies führt wegen $t(x) = m\cdot x + n$ zu $f(x_0)=f'(x_0)\cdot x_0+n$. Dies kannst du nach $n$ umformen zu $n=f(x_0)-f'(x_0)\cdot x_0$.
    Übrigens: Dies führt zu der folgenden Formel für die Tangentgleichung:

    $t(x)=f'(x_0)\cdot (x-x_0)+f(x_0)$.

  • Benenne die Bedeutung der Parameter in der Tangentengleichung $t(x) = m\cdot x + n.$

    Tipps

    Schau dir die Gleichung genau an. Wenn du $x=0$ einsetzt, erhältst du $t(0)=m\cdot 0+n=n$.

    Alle Punkte mit der $x$-Koordinate $x=0$ liegen auf der $y$-Achse.

    Wenn du $x$ veränderst, verändert sich $t(x)$ abhängig vom Faktor $m$.

    Lösung

    Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Kurve in einem Punkt berührt.

    Die allgemeine Tangentengleichung lautet $t(x) = m\cdot x + n$.

    Hier siehst du die Bedeutung der Parameter $m$ und $n$:

    • Der Parameter $m$ entspricht der Steigung der Tangente. Dies kannst du dir klarmachen, indem du verschiedene Werte für $x$ einsetzt. Der Funktionswert ändert sich dann entsprechend.
    • Der Parameter $n$ gibt an, an welcher Stelle die Tangente die $y$-Achse schneidet. Setze doch einmal $x=0$ in die Tangentengleichung ein. Du erhältst dann $t(0)=m\cdot 0+n=0+n=n$. Der Punkt $(0|n)$ liegt sowohl auf der $y$-Achse als auch auf der Tangente. $n$ wird häufig auch als $y$-Achsenabschnitt der Tangente bezeichnet.
  • Beschreibe, wie du die Tangentengleichung ermitteln kannst.

    Tipps

    Die Gleichung einer linearen Funktion lautet allgemein:

    $t(x)=m\cdot x+n$.

    Es gelten die folgenden beiden Bedingungen:

    • $t(x_0)=f(x_0)$ und
    • $t'(x_0)=m=f'(x_0)$.
    Lösung

    Du sollst eine Tangentengleichung $t(x)=m\cdot x+n$ bestimmen.

    1. Ermittle zunächst die Steigung $m=f'(x_0)$. Hierfür benötigst du die erste Ableitung von $f$. Diese ist $f'(x)=4x^3$. Setze nun $x_0=2$ in diese Ableitung ein. So erhältst du $m=4\cdot 2^3=4\cdot 8=32$. Tipp: Schreibe die Tangentengleichung schon einmal mit der berechneten Steigung auf. Es gilt $t(x)=32x+n$.
    2. Es gilt $t(2)=f(2)=2^4=16$. Dies führt zu $16=32\cdot 2+n$. Subtrahiere auf beiden Seiten $64$. Dies führt zu $-48=n$.
    3. Schließlich schreibst du die Tangentengleichung auf. Sie lautet $t(x)=32x-48$.
  • Ermittle die beiden Stellen, wo die entsprechenden Tangenten des Graphen Ursprungsgeraden sind.

    Tipps

    Beachte, dass dieses Mal $x_0$ gesucht ist. Du stellst also Gleichungen auf.

    Es ist $m=2x_0$ die Steigung der Tangente.

    Da die Tangente eine Ursprungsgerade sein soll, gilt $t(x)=2x_0\cdot x$.

    Verwende $f(x_0)=t(x_0)$. Dies führt zu der Gleichung $x_0^2+1=2x_0\cdot x_0$.

    Beachte die Symmetrie.

    Lösung

    Hier siehst du die beiden Tangenten.

    Du kannst nun bereits erkennen, dass $x_0=-1$ oder $x_0=1$ gilt.

    Wie kommst du rechnerisch auf dieses Ergebnis?

    Bestimme die Steigung der Tangente

    Da $x_0$ unbekannt ist, hängt die Steigung von dieser Unbekannten ab. Es gilt $f'(x) = 2x$ und deshalb $f'(x_0) = 2x_0$. Dieses Ergebnis führt zu:

    $m=2x_0$.

    Die Tangente ist eine Ursprungsgerade

    Du kennst nun bei unbekanntem $x_0$ die Tangentengleichung. Sie lautet:

    $t(x)=2x_0\cdot x$.

    Die Funktionswerte müssen übereinstimmen.

    Es muss also gelten $f(x_0)=t(x_0)$. Dies führt zu der Gleichung $x_0^2+1=2x_0\cdot x_0$. Dies führt zu:

    $x_0^2+1=2x_0^2$.

    Diese Gleichung lösen wir nun.

    • Subtrahiere $x_0^2$ zu $x_0^2=1$.
    • Ziehe nun die Wurzel. Dies führt zu $x_0=\pm 1$.
    Die beiden Tangentengleichungen lauten:

    • $t^{(1)}(x)=-2x$: Dies ist die fallende Gerade.
    • $t^{(2)}(x)=2x$: Dies ist die steigende Gerade.
  • Ermittle die Tangentengleichung.

    Tipps

    Es ist $t(x)=m\cdot x+n$. Dabei gilt:

    • $m$ ist die Steigung der Tangente.
    • $n$ ist der $y$-Achsenabschnitt der Tangente.

    Für die Ableitung verwendest du die folgenden Regeln.

    • Die Potenzregel: $\left(x^n\right)'=n\cdot x^{n-1}$
    • Die Summenregel: $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$
    Hier siehst du die Ableitung von $f(x) = x^3$:

    $f'(x) = 3x^2$.

    Du kannst zur Kontrolle auch die Tangente einzeichnen.

    Lösung

    In diesem Bild ist die (blaue) Tangente bereits eingezeichnet. Du kannst $m=-2$ mit Hilfe eines Steigungsdreiecks ermitteln. Den $y$-Achsenabschnitt $n=3$ kannst du direkt an der $y$-Achse ablesen.

    Allerdings sind die Werte nicht immer so schön glatt. Das bedeutet insbesondere, dass du die Tangentengleichung rechnerisch herleiten musst.

    Die Steigung

    Es gilt $m=f'(x_0)$. Deshalb benötigst du die erste Ableitung. Diese lautet $f'(x)=2x-4$. Setze $x_0=1$ in diese Ableitung ein:

    $m=f'(1)=2\cdot 1-4=2-4=-2$.

    Damit ist $t(x)=-2x+n$. Es fehlt noch der $y$-Achsenabschnitt.

    Der $y$-Achsenabschnitt

    Hier verwendest du $t(1)=f(1)$. Dies führt zu der Gleichung $-2\cdot 1+n=1$. Forme diese Gleichung nach $n$ um. Dafür addierst du $2$. So erhältst du $n=3$.

    Die Tangentengleichung

    Nun kannst du die Tangentengleichung aufschreiben. Sie lautet:

    $t(x)=-2x+3$.

  • Weise nach, dass die beiden Funktionsgraphen eine gemeinsame Tangente besitzen.

    Tipps

    Jeder Punkt der $y$-Achse hat die $x$-Koordinate $0$.

    Verwende die folgenden Ableitungen:

    • $f'(x)=2x$ und
    • $g'(x)=-3x^2$.

    Die Steigung einer Tangente an den Funktionsgraphen von $f$ für $x=x_0$ ist gegeben durch $m=f'(x_0)$.

    Lösung

    Wenn du weißt, wie du Tangentengleichungen bestimmen kannst, lernst du nun, wie du prüfen kannst, ob zwei Funktionsgraphen sich berühren.

    Es müssen die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sein:

    • $f(x_0)=g(x_0)$ und
    • $f'(x_0)=g'(x_0)$.
    Wenn diese Gleichungen gelten haben die Funktionsgraphen in dem Punkt $(x_0 \vert f(x_0)$ eine gemeinsame Tangente.

    In dieser Aufgabe ist $x=x_0$ bereits vorgegeben. Die Aufgabe lautet „... sich auf der $y$-Achse berühren ...“. Das bedeutet, dass der Berührpunkt auf der $y$-Achse liegt. Insbesondere ist $x_0=0$. Denn jeder Punkt auf der $y$-Achse hat diese $x$-Koordinate.

    Nun kannst du die Bedingungen überprüfen.

    • Es gilt $f(0)=0^2+1=1$ und $g(0)=1-0^3=1$. Diese Bedingung ist also erfüllt. Übrigens: Dies ist auch der $y$-Achsenabschnitt der Tangente.
    • Außerdem gilt $f'(x)=2x$ und damit $f'(0)=0$ sowie $g'(x)=-3x^2$, was zu $g'(0)=0$ führt. Du siehst, auch die Ableitugen stimmen überein. Du kennst nun auch die Steigung $m=0$ der Tangente.
    Die gemeinsame Tangente ist eine zur $x$-Achse parallele Gerade mit der Gleichung $t(x)=1$. Das kannst du hier in der Grafik sehen.

    Hinweis: Die vollständige Gleichung lautet $t(x) = 0\cdot x + 1$.