Tangente an eine Kurve

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Grundlagen zum Thema Tangente an eine Kurve
Guten Tag und herzlich willkommen. In diesem Video geht es um die Berührungstangente an eine Kurve. Im ersten Teil werde ich dir erst einmal ganz theoretisch erklären, was eine Tangente ist. Dann werden wir uns Gedanken darüber machen, wie die Gleichung einer Tangente der Form t(x) = mx + n berechnet wird. Das Gelernte kannst du dann auch gleich am Beispiel, dass wir im Anschluss rechnen, anwenden.Ich wünsche dir viel Spaß mit meinem Video und hoffe, wir sehen uns bald wieder.
Transkript Tangente an eine Kurve
Guten Tag und herzlich willkommen. In diesem Video geht es um die Berührungstangente an eine Kurve. Im ersten Teil möchte ich etwas zur Theorie sagen, und im zweiten Teil möchte ich diese an einem Beispiel erläutern. Nehmen wir zunächst an, wir haben den Graph einer Funktion, der mit f bezeichnet wird. Nun soll es möglich sein, an einer bestimmten Stelle dieser Funktion x0 eine Tangente an den Graph dieser Funktion anzulegen. Diese Tangente, die man auch Berührungstangente nennt, wird hier mit t bezeichnet. Die Tangente ist eine Gerade und muss daher auch einer Gleichung für eine Gerade genügen. Wir schreiben daher: t(x) = mx + n Wir kennen dann die Berührungstangente an die Kurve, wenn wir m und n bestimmt haben. Zur Erinnerung: m ist die Steigung der Geraden und n ist die Schnittstelle der Geraden mit der y-Achse. An der Stelle x0 muss nun gelten: f'(x0) = t'(x0) = m Die Steigungen der Funktion f und der Geraden t an der Stelle x0 sind gleich, und das ist ja gleich die Steigung unserer Geradengleichung t(x) = mx + n. Somit haben wir eine einfache Möglichkeit, m zu bestimmen. Die entsprechende Gleichung bezeichne ich als Gleichung 1. Nun bestimmen wir n. Wir kennen die Stelle x0, für die wir die Geradengleichung bestimmen wollen. Es gilt: t(x0) = m × x0 + n Wir subtrahieren m × x0 und erhalten die Gleichung 2: t(x0) - m × x0 = n Die Theorie möchte ich an einem kleinen Beispiel demonstrieren. Bestimme die Berührungstangente der Funktion f(x) = x ^4 an der Stelle x0 = 2. Berechnung der Steigung m. Wir leiten f von x ab: f'(x) = 4x³ f'(2) = 4 × 2³ = 32 m ist gleich 32. Wir bestimmen nun n. Die Grundidee ist, dass die Funktionswerte von t und f an der Stelle x0 gleich sind: t(x0) = f(x0) f(2) = 24 = 16 Wir nutzen die Gleichung 2 und erhalten: t(2) = 16 = 32 × 2 + n n= -48 Wir haben somit die Werte für m und n. Die Gleichung der Tangente lautet somit: t(x) = 32x - 48 Ich wünsche euch alles Gute und auf Wiedersehen.
Tangente an eine Kurve Übung
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Gib die Bedingungen zur Bestimmung einer Tangente an.
TippsDie allgemeine Form der Geradengleichung lautet:
$g(x) = m\cdot x + n$.
Der $y$-Wert der Funktion und der Tangente müssen in $x_0$ übereinstimmen.
Ein Berührpunkt zweier Funktionsgraphen ist ein besonderer gemeinsamer Punkt dieser Funktionsgraphen.
Es gilt insbesondere, dass dort die Steigungen der beiden Funktionsgraphen übereinstimmen.
LösungWenn du zu einer gegebenen Funktion $f$ und einer Stelle $x_0$ die Gleichung der Tangente an den Funktionsgraphen in dem Punkt $(x_0|f(x_0))$ bestimmen sollst, gehst du wie folgt vor:
- Zunächst einmal ist eine Tangente eine Gerade. Die zugehörige Funktionsgleichung ist eine lineare Funktionsgleichung. Es ist also $t(x)=m\cdot x+n$.
- Die Steigung der Tangente ist gleich der Steigung des Funktionsgraphen $f'(x_0)$. Es ist also $t'(x_0)=m=f'(x_0)$. Nun ist die Steigung $m$ der Tangente bereits gefunden.
- Nun ermittelst du den $y$-Achsenabschnitt. Dafür nutzt du aus, dass die beiden Funktionen einen gemeinsamen Punkt haben. Es gilt $t(x_0)=f(x_0)$. Dies führt wegen $t(x) = m\cdot x + n$ zu $f(x_0)=f'(x_0)\cdot x_0+n$. Dies kannst du nach $n$ umformen zu $n=f(x_0)-f'(x_0)\cdot x_0$.
$t(x)=f'(x_0)\cdot (x-x_0)+f(x_0)$.
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Beschreibe, wie du die Tangentengleichung ermitteln kannst.
TippsDie Gleichung einer linearen Funktion lautet allgemein:
$t(x)=m\cdot x+n$.
Es gelten die folgenden beiden Bedingungen:
- $t(x_0)=f(x_0)$ und
- $t'(x_0)=m=f'(x_0)$.
LösungDu sollst eine Tangentengleichung $t(x)=m\cdot x+n$ bestimmen.
- Ermittle zunächst die Steigung $m=f'(x_0)$. Hierfür benötigst du die erste Ableitung von $f$. Diese ist $f'(x)=4x^3$. Setze nun $x_0=2$ in diese Ableitung ein. So erhältst du $m=4\cdot 2^3=4\cdot 8=32$. Tipp: Schreibe die Tangentengleichung schon einmal mit der berechneten Steigung auf. Es gilt $t(x)=32x+n$.
- Es gilt $t(2)=f(2)=2^4=16$. Dies führt zu $16=32\cdot 2+n$. Subtrahiere auf beiden Seiten $64$. Dies führt zu $-48=n$.
- Schließlich schreibst du die Tangentengleichung auf. Sie lautet $t(x)=32x-48$.
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Ermittle die Tangentengleichung.
TippsEs ist $t(x)=m\cdot x+n$. Dabei gilt:
- $m$ ist die Steigung der Tangente.
- $n$ ist der $y$-Achsenabschnitt der Tangente.
Für die Ableitung verwendest du die folgenden Regeln.
- Die Potenzregel: $\left(x^n\right)'=n\cdot x^{n-1}$
- Die Summenregel: $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$
$f'(x) = 3x^2$.
Du kannst zur Kontrolle auch die Tangente einzeichnen.
LösungIn diesem Bild ist die (blaue) Tangente bereits eingezeichnet. Du kannst $m=-2$ mit Hilfe eines Steigungsdreiecks ermitteln. Den $y$-Achsenabschnitt $n=3$ kannst du direkt an der $y$-Achse ablesen.
Allerdings sind die Werte nicht immer so schön glatt. Das bedeutet insbesondere, dass du die Tangentengleichung rechnerisch herleiten musst.
Die Steigung
Es gilt $m=f'(x_0)$. Deshalb benötigst du die erste Ableitung. Diese lautet $f'(x)=2x-4$. Setze $x_0=1$ in diese Ableitung ein:
$m=f'(1)=2\cdot 1-4=2-4=-2$.
Damit ist $t(x)=-2x+n$. Es fehlt noch der $y$-Achsenabschnitt.
Der $y$-Achsenabschnitt
Hier verwendest du $t(1)=f(1)$. Dies führt zu der Gleichung $-2\cdot 1+n=1$. Forme diese Gleichung nach $n$ um. Dafür addierst du $2$. So erhältst du $n=3$.
Die Tangentengleichung
Nun kannst du die Tangentengleichung aufschreiben. Sie lautet:
$t(x)=-2x+3$.
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Weise nach, dass die beiden Funktionsgraphen eine gemeinsame Tangente besitzen.
TippsJeder Punkt der $y$-Achse hat die $x$-Koordinate $0$.
Verwende die folgenden Ableitungen:
- $f'(x)=2x$ und
- $g'(x)=-3x^2$.
Die Steigung einer Tangente an den Funktionsgraphen von $f$ für $x=x_0$ ist gegeben durch $m=f'(x_0)$.
LösungWenn du weißt, wie du Tangentengleichungen bestimmen kannst, lernst du nun, wie du prüfen kannst, ob zwei Funktionsgraphen sich berühren.
Es müssen die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sein:
- $f(x_0)=g(x_0)$ und
- $f'(x_0)=g'(x_0)$.
In dieser Aufgabe ist $x=x_0$ bereits vorgegeben. Die Aufgabe lautet „... sich auf der $y$-Achse berühren ...“. Das bedeutet, dass der Berührpunkt auf der $y$-Achse liegt. Insbesondere ist $x_0=0$. Denn jeder Punkt auf der $y$-Achse hat diese $x$-Koordinate.
Nun kannst du die Bedingungen überprüfen.
- Es gilt $f(0)=0^2+1=1$ und $g(0)=1-0^3=1$. Diese Bedingung ist also erfüllt. Übrigens: Dies ist auch der $y$-Achsenabschnitt der Tangente.
- Außerdem gilt $f'(x)=2x$ und damit $f'(0)=0$ sowie $g'(x)=-3x^2$, was zu $g'(0)=0$ führt. Du siehst, auch die Ableitugen stimmen überein. Du kennst nun auch die Steigung $m=0$ der Tangente.
Hinweis: Die vollständige Gleichung lautet $t(x) = 0\cdot x + 1$.
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Benenne die Bedeutung der Parameter in der Tangentengleichung $t(x) = m\cdot x + n.$
TippsSchau dir die Gleichung genau an. Wenn du $x=0$ einsetzt, erhältst du $t(0)=m\cdot 0+n=n$.
Alle Punkte mit der $x$-Koordinate $x=0$ liegen auf der $y$-Achse.
Wenn du $x$ veränderst, verändert sich $t(x)$ abhängig vom Faktor $m$.
LösungEine Tangente ist eine Gerade, die eine Kurve in einem Punkt berührt.
Die allgemeine Tangentengleichung lautet $t(x) = m\cdot x + n$.
Hier siehst du die Bedeutung der Parameter $m$ und $n$:
- Der Parameter $m$ entspricht der Steigung der Tangente. Dies kannst du dir klarmachen, indem du verschiedene Werte für $x$ einsetzt. Der Funktionswert ändert sich dann entsprechend.
- Der Parameter $n$ gibt an, an welcher Stelle die Tangente die $y$-Achse schneidet. Setze doch einmal $x=0$ in die Tangentengleichung ein. Du erhältst dann $t(0)=m\cdot 0+n=0+n=n$. Der Punkt $(0|n)$ liegt sowohl auf der $y$-Achse als auch auf der Tangente. $n$ wird häufig auch als $y$-Achsenabschnitt der Tangente bezeichnet.
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Ermittle die beiden Stellen, wo die entsprechenden Tangenten des Graphen Ursprungsgeraden sind.
TippsBeachte, dass dieses Mal $x_0$ gesucht ist. Du stellst also Gleichungen auf.
Es ist $m=2x_0$ die Steigung der Tangente.
Da die Tangente eine Ursprungsgerade sein soll, gilt $t(x)=2x_0\cdot x$.
Verwende $f(x_0)=t(x_0)$. Dies führt zu der Gleichung $x_0^2+1=2x_0\cdot x_0$.
Beachte die Symmetrie.
LösungHier siehst du die beiden Tangenten.
Du kannst nun bereits erkennen, dass $x_0=-1$ oder $x_0=1$ gilt.
Wie kommst du rechnerisch auf dieses Ergebnis?
Bestimme die Steigung der Tangente
Da $x_0$ unbekannt ist, hängt die Steigung von dieser Unbekannten ab. Es gilt $f'(x) = 2x$ und deshalb $f'(x_0) = 2x_0$. Dieses Ergebnis führt zu:
$m=2x_0$.
Die Tangente ist eine Ursprungsgerade
Du kennst nun bei unbekanntem $x_0$ die Tangentengleichung. Sie lautet:
$t(x)=2x_0\cdot x$.
Die Funktionswerte müssen übereinstimmen.
Es muss also gelten $f(x_0)=t(x_0)$. Dies führt zu der Gleichung $x_0^2+1=2x_0\cdot x_0$. Dies führt zu:
$x_0^2+1=2x_0^2$.
Diese Gleichung lösen wir nun.
- Subtrahiere $x_0^2$ zu $x_0^2=1$.
- Ziehe nun die Wurzel. Dies führt zu $x_0=\pm 1$.
- $t^{(1)}(x)=-2x$: Dies ist die fallende Gerade.
- $t^{(2)}(x)=2x$: Dies ist die steigende Gerade.
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ehre
@Yoon Sojina: Hallo,
du hast recht: Leitet man die Funktion t ab, erhält man den Anstieg m als Konstante. Bei der Bestimmung der Tangentengleichung wird ausgenutzt, dass die Funktion f und die Tangente t im Punkt x_0 den gleichen Anstieg haben. Also ist an dieser Stelle auch ihre Ableitung gleich.
Gern kannst du dich bei weiteren Fragen im Fach-Chat (werktags zwischen 17 und 19 Uhr) melden!
Liebe Grüße aus der Redaktion
Warum brauchen wir t'(x)? Reicht f'(x)=m nicht? Warum sollte t'(x) zwischen f'(x) und m geben? Wie sieht dann die t'(x) genau aus? Ich glaube t'(x) sieht einfach so aus : t'(x)=m, als eine konstante Funktion. Stimmt das? Vielen Dank!
Gut erklärt! Top!