Tangente an eine Kurve

Tangente an eine Kurve Übung

• Gib die Bedingungen zur Bestimmung einer Tangente an.

  Tipps

  Die allgemeine Form der Geradengleichung lautet:

  $g(x) = m\cdot x + n$.

  Der $y$-Wert der Funktion und der Tangente müssen in $x_0$ übereinstimmen.

  Ein Berührpunkt zweier Funktionsgraphen ist ein besonderer gemeinsamer Punkt dieser Funktionsgraphen.

  Es gilt insbesondere, dass dort die Steigungen der beiden Funktionsgraphen übereinstimmen.

  Lösung

  Wenn du zu einer gegebenen Funktion $f$ und einer Stelle $x_0$ die Gleichung der Tangente an den Funktionsgraphen in dem Punkt $(x_0|f(x_0))$ bestimmen sollst, gehst du wie folgt vor:

  1. Zunächst einmal ist eine Tangente eine Gerade. Die zugehörige Funktionsgleichung ist eine lineare Funktionsgleichung. Es ist also $t(x)=m\cdot x+n$.
  2. Die Steigung der Tangente ist gleich der Steigung des Funktionsgraphen $f'(x_0)$. Es ist also $t'(x_0)=m=f'(x_0)$. Nun ist die Steigung $m$ der Tangente bereits gefunden.
  3. Nun ermittelst du den $y$-Achsenabschnitt. Dafür nutzt du aus, dass die beiden Funktionen einen gemeinsamen Punkt haben. Es gilt $t(x_0)=f(x_0)$. Dies führt wegen $t(x) = m\cdot x + n$ zu $f(x_0)=f'(x_0)\cdot x_0+n$. Dies kannst du nach $n$ umformen zu $n=f(x_0)-f'(x_0)\cdot x_0$.

  Übrigens: Dies führt zu der folgenden Formel für die Tangentgleichung:

  $t(x)=f'(x_0)\cdot (x-x_0)+f(x_0)$.

• Beschreibe, wie du die Tangentengleichung ermitteln kannst.

  Tipps

  Die Gleichung einer linearen Funktion lautet allgemein:

  $t(x)=m\cdot x+n$.

  Es gelten die folgenden beiden Bedingungen:

  • $t(x_0)=f(x_0)$ und
  • $t'(x_0)=m=f'(x_0)$.

  Lösung

  Du sollst eine Tangentengleichung $t(x)=m\cdot x+n$ bestimmen.

  1. Ermittle zunächst die Steigung $m=f'(x_0)$. Hierfür benötigst du die erste Ableitung von $f$. Diese ist $f'(x)=4x^3$. Setze nun $x_0=2$ in diese Ableitung ein. So erhältst du $m=4\cdot 2^3=4\cdot 8=32$. Tipp: Schreibe die Tangentengleichung schon einmal mit der berechneten Steigung auf. Es gilt $t(x)=32x+n$.
  2. Es gilt $t(2)=f(2)=2^4=16$. Dies führt zu $16=32\cdot 2+n$. Subtrahiere auf beiden Seiten $64$. Dies führt zu $-48=n$.
  3. Schließlich schreibst du die Tangentengleichung auf. Sie lautet $t(x)=32x-48$.

• Ermittle die Tangentengleichung.

  Tipps

  Es ist $t(x)=m\cdot x+n$. Dabei gilt:

  • $m$ ist die Steigung der Tangente.
  • $n$ ist der $y$-Achsenabschnitt der Tangente.

  Für die Ableitung verwendest du die folgenden Regeln.

  • Die Potenzregel: $\left(x^n\right)'=n\cdot x^{n-1}$
  • Die Summenregel: $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$

  Hier siehst du die Ableitung von $f(x) = x^3$:

  $f'(x) = 3x^2$.

  Du kannst zur Kontrolle auch die Tangente einzeichnen.

  Lösung

  In diesem Bild ist die (blaue) Tangente bereits eingezeichnet. Du kannst $m=-2$ mit Hilfe eines Steigungsdreiecks ermitteln. Den $y$-Achsenabschnitt $n=3$ kannst du direkt an der $y$-Achse ablesen.

  Allerdings sind die Werte nicht immer so schön glatt. Das bedeutet insbesondere, dass du die Tangentengleichung rechnerisch herleiten musst.

  Die Steigung

  Es gilt $m=f'(x_0)$. Deshalb benötigst du die erste Ableitung. Diese lautet $f'(x)=2x-4$. Setze $x_0=1$ in diese Ableitung ein:

  $m=f'(1)=2\cdot 1-4=2-4=-2$.

  Damit ist $t(x)=-2x+n$. Es fehlt noch der $y$-Achsenabschnitt.

  Der $y$-Achsenabschnitt

  Hier verwendest du $t(1)=f(1)$. Dies führt zu der Gleichung $-2\cdot 1+n=1$. Forme diese Gleichung nach $n$ um. Dafür addierst du $2$. So erhältst du $n=3$.

  Die Tangentengleichung

  Nun kannst du die Tangentengleichung aufschreiben. Sie lautet:

  $t(x)=-2x+3$.

• Weise nach, dass die beiden Funktionsgraphen eine gemeinsame Tangente besitzen.

  Tipps

  Jeder Punkt der $y$-Achse hat die $x$-Koordinate $0$.

  Verwende die folgenden Ableitungen:

  • $f'(x)=2x$ und
  • $g'(x)=-3x^2$.

  Die Steigung einer Tangente an den Funktionsgraphen von $f$ für $x=x_0$ ist gegeben durch $m=f'(x_0)$.

  Lösung

  Wenn du weißt, wie du Tangentengleichungen bestimmen kannst, lernst du nun, wie du prüfen kannst, ob zwei Funktionsgraphen sich berühren.

  Es müssen die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sein:

  • $f(x_0)=g(x_0)$ und
  • $f'(x_0)=g'(x_0)$.

  Wenn diese Gleichungen gelten haben die Funktionsgraphen in dem Punkt $(x_0 \vert f(x_0)$ eine gemeinsame Tangente.

  In dieser Aufgabe ist $x=x_0$ bereits vorgegeben. Die Aufgabe lautet „... sich auf der $y$-Achse berühren ...“. Das bedeutet, dass der Berührpunkt auf der $y$-Achse liegt. Insbesondere ist $x_0=0$. Denn jeder Punkt auf der $y$-Achse hat diese $x$-Koordinate.

  Nun kannst du die Bedingungen überprüfen.

  • Es gilt $f(0)=0^2+1=1$ und $g(0)=1-0^3=1$. Diese Bedingung ist also erfüllt. Übrigens: Dies ist auch der $y$-Achsenabschnitt der Tangente.
  • Außerdem gilt $f'(x)=2x$ und damit $f'(0)=0$ sowie $g'(x)=-3x^2$, was zu $g'(0)=0$ führt. Du siehst, auch die Ableitugen stimmen überein. Du kennst nun auch die Steigung $m=0$ der Tangente.

  Die gemeinsame Tangente ist eine zur $x$-Achse parallele Gerade mit der Gleichung $t(x)=1$. Das kannst du hier in der Grafik sehen.

  Hinweis: Die vollständige Gleichung lautet $t(x) = 0\cdot x + 1$.

• Benenne die Bedeutung der Parameter in der Tangentengleichung $t(x) = m\cdot x + n.$

  Tipps

  Schau dir die Gleichung genau an. Wenn du $x=0$ einsetzt, erhältst du $t(0)=m\cdot 0+n=n$.

  Alle Punkte mit der $x$-Koordinate $x=0$ liegen auf der $y$-Achse.

  Wenn du $x$ veränderst, verändert sich $t(x)$ abhängig vom Faktor $m$.

  Lösung

  Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Kurve in einem Punkt berührt.

  Die allgemeine Tangentengleichung lautet $t(x) = m\cdot x + n$.

  Hier siehst du die Bedeutung der Parameter $m$ und $n$:

  • Der Parameter $m$ entspricht der Steigung der Tangente. Dies kannst du dir klarmachen, indem du verschiedene Werte für $x$ einsetzt. Der Funktionswert ändert sich dann entsprechend.
  • Der Parameter $n$ gibt an, an welcher Stelle die Tangente die $y$-Achse schneidet. Setze doch einmal $x=0$ in die Tangentengleichung ein. Du erhältst dann $t(0)=m\cdot 0+n=0+n=n$. Der Punkt $(0|n)$ liegt sowohl auf der $y$-Achse als auch auf der Tangente. $n$ wird häufig auch als $y$-Achsenabschnitt der Tangente bezeichnet.

• Ermittle die beiden Stellen, wo die entsprechenden Tangenten des Graphen Ursprungsgeraden sind.

  Tipps

  Beachte, dass dieses Mal $x_0$ gesucht ist. Du stellst also Gleichungen auf.

  Es ist $m=2x_0$ die Steigung der Tangente.

  Da die Tangente eine Ursprungsgerade sein soll, gilt $t(x)=2x_0\cdot x$.

  Verwende $f(x_0)=t(x_0)$. Dies führt zu der Gleichung $x_0^2+1=2x_0\cdot x_0$.

  Beachte die Symmetrie.

  Lösung

  Hier siehst du die beiden Tangenten.

  Du kannst nun bereits erkennen, dass $x_0=-1$ oder $x_0=1$ gilt.

  Wie kommst du rechnerisch auf dieses Ergebnis?

  Bestimme die Steigung der Tangente

  Da $x_0$ unbekannt ist, hängt die Steigung von dieser Unbekannten ab. Es gilt $f'(x) = 2x$ und deshalb $f'(x_0) = 2x_0$. Dieses Ergebnis führt zu:

  $m=2x_0$.

  Die Tangente ist eine Ursprungsgerade

  Du kennst nun bei unbekanntem $x_0$ die Tangentengleichung. Sie lautet:

  $t(x)=2x_0\cdot x$.

  Die Funktionswerte müssen übereinstimmen.

  Es muss also gelten $f(x_0)=t(x_0)$. Dies führt zu der Gleichung $x_0^2+1=2x_0\cdot x_0$. Dies führt zu:

  $x_0^2+1=2x_0^2$.

  Diese Gleichung lösen wir nun.

  • Subtrahiere $x_0^2$ zu $x_0^2=1$.
  • Ziehe nun die Wurzel. Dies führt zu $x_0=\pm 1$.

  Die beiden Tangentengleichungen lauten:

  • $t^{(1)}(x)=-2x$: Dies ist die fallende Gerade.
  • $t^{(2)}(x)=2x$: Dies ist die steigende Gerade.