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Tangente am Kreis berechnen 10:47 min

Textversion des Videos

Transkript Tangente am Kreis berechnen

Hallo! Mein Name ist Frank. In diesem Video zeige ich dir, wie du die Gleichung einer Tangente an einen Kreis bestimmen kannst. Zuerst einmal zeige ich dir nochmal, welche verschiedenen Lagen ein Kreis und eine Gerade zueinander haben können.  Hier siehst du schonmal einen Kreis und eine Gerade und in dem ersten Bild hier kannst du sehen, diese Gerade und der Kreis haben keine gemeinsamen Punkte. Eine solche Gerade nennt man eine Passante. Wenn ich nun die Gerade nehme und einfach so ein Stück schiebe, siehst du, die Gerade hat jetzt zwei gemeinsame Punkte mit dem Kreis, schneidet also den Kreis. Diese Gerade nennt man eine Sekante und wenn ich hier die Gerade jetzt noch weiter schiebe, siehst du irgendwann kommt sie genau an den Kreisrand, das heißt, diese Gerade hat nur noch einen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis, berührt also den Kreis, und dann nennt man eine solche Gerade eine Tangente. Und genau diesen Fall der Tangente werde ich dir jetzt zeigen, also bei gegebenen Kreisen mit gegebenem Mittelpunkt und Radius und einem Punkt P, der dann auf dem Kreisrand lieg. Und das werde ich jetzt im Folgenden machen. So, nun werde ich in einem ersten Beispiel zeigen, wie du eine Tangentengleichung in Koordinatenform angeben kannst. Das habe ich hier nochmal angeschrieben, also y gleich mt mal x, das mt ist die Steigung, plus nt und nt ist der y-Achsenabschnitt. Bei einem gegebenen Kreis mit dem Mittelpunkt (1|3) im Radius 5 und dem Punkt (2|1). Das Bild des Kreises kannst du hier links schonmal sehen. Und jetzt werde ich zuerst einmal schauen, ob P überhaupt auf dem Kreis liegt, das heißt der Abstand des Punktes P zum Mittelpunkt muss berechnet werden und das ist gerade die Differenz der beiden x, 2-1=1, das zum Quadrat, plus die Differenz der beiden y, 1-3=-2 und das Ganze zum Quadrat, und das ist Wurzel 5. Und wenn der Abstand des Punktes zum Mittelpunkt gerade dem Radius ist, und das ist hier der Fall, dann liegt der Punkt auf dem Kreisrand. Und das kannst du hier in dem Bild auch schon mal  sehen, da ist der Punkt P(2|1) eingezeichnet. Und jetzt komme ich zu den beiden folgenden Punkten. Ich bestimme die Steigung der Tangente und auch den y-Achsenabschnitt. Ich beginne mit der Steigung. Wenn du den Mittelpunkt mit dem Punkt P verbindest, siehst du, du erhältst eine Gerade. Die ist hier auch eingezeichnet. Und wenn du jetzt die Tangente an den Kreis k, mit dem Mittelpunkt M(1|3) und r=5, in dem Punkt (2|1) zeichnest, kannst du erkennen, diese Tangente steht senkrecht auf dieser Gerade durch den Mittelpunkt und den Punkt P. Dann berechne ich zuerst einmal die Steigung dieser Geraden durch den Mittelpunkt und im Punkt P und das ist gerade die Differenz der y, also eins minus drei, durch die Differenz der x, zwei minus eins, und das ist gerade minus zwei. Und wenn die beiden Geraden senkrecht zueinander stehen, heißt das, die Steigung der Tangente muss gerade minus eins geteilt durch die Steigung der Geraden sein. Und in dem Fall ist das  minus eins geteilt durch minus zwei, also 1/2. Damit hätten wir die Steigung schon bestimmt und im Folgenden schauen wir uns an, wie der y-Achsenabschnitt bestimmt wird und um den zu berechnen, setze ich den Punkt (2|1) in der Tangentengleichung ein, also y=1 ist gleich die Steigung ,die haben wir schon, 1/2, mal das x, das ist in dem Fall zwei, plus das noch nicht bekannte nt. 1/2 mal zwei ist eins, wenn ich also jetzt auf beiden Seiten eins abziehe und ich drehe dann die Gleichung um, dann steht da: nt=0 und wir haben insgesamt die Tangentengleichung: y gleich mt, also in dem Fall 1/2, mal x plus nt, und das ist hier null, also hätten wir hier unsere gesuchte Tangentengleichung in Koordinatenform. Und wenn du hier in dem Bild nochmal schaust, kannst du die Steigung 1/2 erkennen und was du natürlich auch recht gut oder sehr genau erkennen kannst, ist, dass der y-Achsenabschnitt gerade Null ist, denn diese Gerade geht ja durch den Koordinatenursprung . Das wäre jetzt ein erstes Beispiel gewesen, Tangente in Koordinatenform, und im Folgenden zeige ich dir noch, wie du eine Tangente in Vektorform angeben kannst. Gut, nachdem ich jetzt im ersten Beispiel gezeigt hab, wie du die Tangente in Koordinatenform bestimmen kannst, werde ich jetzt ein weiteres Beispiel vorführen und daran zeigen, wie du die Gleichung der Tangente in Vektorform bestimmen kannst. Die sieht dann so aus: Der beliebige Punkt dieser Tangente x ist nichts anderes als der Stützvektor p plus s, das ist ein Parameter aus dem Bereich der reellen Zahlen, mal dem Richtungsvektor n,  in diesem Fall. Und auch hier wieder, wir haben einen Kreis gegeben mit dem Mittelpunkt, in dem Beispiel (2,5|1,5), und einem Radius, in dem Beispiel 6,5, und einen Punkt P, hier (2|4). Das kannst du hier auf dem Bild alles schonmal sehen, den Kreis mit dem Radius und auch den Punkt P. Auf den Nachweis, ob P auf k liegt, verzichte ich diesmal. Und auch hier wieder, wenn du den Punkt P und M, also den Mittelpunkt, und den Punkt P miteinander verbindest, bekommst du eine Gerade, die kannst du hier sehen. Und der Richtungsvektor dieser Geraden ist nichts anderes als der Verbindungsvektor des Mittelpunktes mit dem Punkt P und das ist die Differenz der entsprechenden Ortsvektoren, Endpunkt minus Anfangspunkt, also 2-2,5=-0,5 und 4-1,5=2,5. Das ist dann der Richtungsvektor dieser Geraden hier. Und auch hier wieder, wenn du in dem Punkt P (2|4) die Tangente an den Kreis zeichnest, das siehst du hier, kannst du erkennen, diese Tangente steht senkrecht auf die Gerade durch die beiden Punkte. Das wiederum heißt, der Richtungsvektor n, den wir hier suchen, steht senkrecht auf den Verbindungsvektor, also das was du hier sehen kannst. Und was heißt das? Das heißt, dass das Skalarprodukt der beiden Vektoren n mal MP gerade null ergeben muss. Und wenn ich dieses Skalarprodukt ausrechne, erhalte ich -0,5 mal die erste Komponente von n, also n1, plus 2,5 mal n2 gleich null. Und wenn ich diese Gleichung jetzt umforme äquivalent, also ich bringe diese -0,5n1 auf die rechte Seite, erhalte ich äquivalent 5*n2=n1. Wenn ich also jetzt ein n2 vorgebe, das ist egal welches ich da wähle, weil dieser senkrechte Vektor ist eindeutig bis auf Kolinearität, und ich nehme dann einfach mal n2=1, würde ich zum Beispiel diesen Normalenvektor erhalten. n gleich: n2=1 und wenn n2=1, n1 natürlich 5. Also (5|1) und damit kann ich die Tangentengleichung angeben. Die lautet dann t:  x Vektor ist gleich, der Stützvektor p ist gerade der Punkt P, den wir hier haben, (2|4), plus s mal den Richtungsvektor, den ich gerade hier bekommen habe, (5|1), s eine reelle Zahl. Und damit sind wir auch mit diesem Beispiel fertig. Ich fasse nochmal zusammen, was ich in diesem Video gemacht habe: Zuerst einmal habe ich dir gezeigt, welche verschiedenen Lagen Geraden zu einem Kreis haben können, und habe dann insbesondere den Fall einer Tangente, also die Gerade berührt den Kreis, betrachtet. Bei vorgegeben Mittelpunkten, Radius und einem Punkt der auf dem Kreisrand liegt, habe ich dir gezeigt, wie du eine Tangente in Koordinatenform und in Vektorform angeben kannst, anhand von zwei verschiedenen Beispielen. Nun hoffe ich, dass du alles gut verstehen konntest. Danke dir für deine Aufmerksamkeit und freue mich wie immer über Fragen und Anregungen. Bis zum nächsten Mal. Dein Frank.

1 Kommentar
  1. Hab es endlich verstanden

    Von Luis Schnittgard, vor fast 2 Jahren

Tangente am Kreis berechnen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Tangente am Kreis berechnen kannst du es wiederholen und üben.

  • Zeige die besondere Lage einer Tangente.

    Tipps

    In dem Bild befindet sich die Gerade $g$ durch den Mittelpunkt des Kreises und den Punkt $P$. Diese ist blau eingezeichnet.

    Desweiteren kannst du zwei Sekanten, eine Tangente und eine Passante erkennen.

    Eine Tangente hat nur einen Punkt mit dem Kreis gemeinsam, nämlich $P$.

    Die Tangente steht senkrecht auf der Gerade $g$.

    Lösung

    Wenn man eine Gerade $g$ durch den Mittelpunkt des Kreises und einen Randpunkt des Kreis $P$ zeichnet, dann kann man erkennen, dass die Tangente an den Kreis in dem Punkt $P$ senkrecht auf dieser Geraden steht.

    Damit kann die Steigung der Tangente bestimmt werden, wenn die Steigung der Geraden $g$ bekannt ist.

  • Bestimme die Gleichung der Tangente an den Kreis in dem Punkt $P(2|1)$.

    Tipps

    Du möchtest die Steigung der Geraden berechnen. Dividiere dazu die Differenz der y-Koordinaten der beiden Punkte durch die Differenz der x-Koordinaten (in der gleichen Reihenfolge).

    Das klingt kompliziert, ist es aber nicht. Schau' mal in die Abbildung.

    Die Tangente $t$ steht senkrecht auf die Gerade $g$.

    Für die Steigungen zweier senkrechter Geraden $g$ und $t$ gilt $m_t\cdot m_g=-1$.

    Dazu äquivalent ist $m_t=-\frac1{m_g}$.

    Lösung

    Die Tangentengleichung lautet $t:y=m_tx+n_t$.

    Gesucht ist zuerst die Steigung $m_t$ sowie der y-Achsenabschnitt $n_t$.

    Fangen wir mit der Steigung an:

    Die Tangente $t$ steht senkrecht auf der Geraden $g$. Deshalb muss gelten:

    $m_t=-\frac1{m_g}$.

    Die Steigung $m_g$ der Geraden muss noch berechnet werden:

    $m_g=\frac{1-3}{2-1}=-2$.

    Damit kann die Tangentensteigung berechnet werden:

    $m_t=-\frac1{-2}=\frac12$.

    Somit lautet die bisherige Tangentengleichung $y=\frac12x+n_t$.

    Um den y-Achsenabschnitt zu bestimmen, werden die Koordinaten des Punktes $P$ in die Gleichung eingesetzt:

    $1=\frac12\cdot 2+n_t$.

    Subtraktion von $1$ führt zu $n_t=0$.

    Dann lautet die Tangentengleichung $y=\frac12x$. Der zugehörige Graph ist eine Ursprungsgerade. Diese ist rot in dem Bild zu sehen.

  • Ermittle die Geradengleichung der Tangente in Parameterform.

    Tipps

    Nutze die Eigenschaft, dass die Geraden $g$ und die Tangente $t$ senkrecht zueinander sind.

    Das bedeutet, dass das Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren $0$ ist.

    Den Verbindungsvektor zweier Punkte erhältst du, indem du vom dem Ortsvektor des Endpunktes den des Anfangspunktes subtrahierst.

    Der Stützvektor einer Geraden ist ein beliebiger Punkt auf der Geraden.

    Welchen Punkt der Tangente kennst du bereits? $P$ wie Pinguin.

    Lösung

    Die Tangente steht senkrecht auf der Geraden $g$ durch $M(2,5|1,5)$ und $P(2|4)$. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor der Tangente senkrecht zu dem Richtungsvektor der Geraden steht. Der Richtungsvektor der Geraden ist der Verbindungsvektor der beiden Punkte $M$ und $P$. Man zieht von dem Ortsvektor des Endpunktes den des Anfangspunktes ab:

    $\vec{MP}=\begin{pmatrix}-0,5\\2,5\end{pmatrix}$.

    Es muss also gelten:

    $v_x\cdot (-0,5)+v_y\cdot 2,5=0$

    oder äquivalent dazu $v_x=5v_y$. Für $v_y=1$ erhält man somit den Richtungsvektor

    $\vec v=\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}$

    der Tangente. Nun fehlt nur noch der Stützvektor $\vec p$. Dieser ist gerade der Ortsvektor des Punktes $P$, welcher auf der Tangente liegt.

    Somit lautet die Tangentengleichung

    $t:\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}$.

  • Gib die Gleichung der Tangente in Parameterform an.

    Tipps

    Prüfe, ob der Punkt $P(8|0)$ auf der Geraden liegt.

    Der Richtungsvektor der Tangente muss senkrecht zu dem Verbindungsvektor $\vec{MP}$ sein.

    Es ist

    $\vec{MP}=\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}$.

    Lösung

    Die Tangente steht senkrecht auf der Geraden, die durch die Punkte $M$ und $P$ verläuft. Deren Richtungsvektor ist

    $\vec{MP}=\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}$.

    Der Richtungsvektor der Tangente muss senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden stehen. Somit ist

    $\vec v=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$

    ein Richtungsvektor der Tangente.

    Tipp: Vertausche die Koordinaten und wechsle bei einer Koordinate das Vorzeichen, um einen senkrechten Vektor zu finden.

    Nun fehlt nur noch der Stützvektor $\vec p$. Dieser ist der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Tangente, zum Beispiel $P(8|0)$.

    Somit lautet eine mögliche Tangentengleichung

    $t:\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8 \\ 0 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$.

    Für $r=-8$ erhält man den Ortsvektor des Punktes $Q(0|-24)$, der natürlich ebenso auch Stützvektor der Tangente sein kann:

    $t:\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ -24 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$.

  • Leite die Gleichung der Tangente $t$ in Koordinatenform her.

    Tipps

    Der Berührpunkt der gesuchten Tangente liegt dem Punkt $P$ im Kreis direkt gegenüber.

    Die Steigungen zweier paralleler Geraden stimmen überein.

    Setze den Berührpunkt in die Tangentengleichung ein.

    Lösung

    Wie hier zu sehen, existiert noch eine weitere Tangente, welche parallel zu $t:y=\frac12x$ verläuft.

    Der Berührpunkt ist $Q(0|5)$ und damit lautet die Gleichung der Geraden $t:y=\frac12x+5$.

    Nur wie kann man diesen Berührpunkt berechnen?

    $Q$ liegt auf der Geraden durch $M$ und $P$. Die Steigung dieser Geraden ist $m_g=-2$. Um den y-Achsenabschnitt zu erhalten, werden die Koordinaten von $P$ oder $M$ in die Geradengleichung eingesetzt:

    $1=-2\cdot 2+n_g$.

    Addition von $4$ führt zu $n_g=5$. Die Geradengleichung lautet also $g:y=-2x+5$.

    Der Punkt $Q$ liegt auf der Gerade und auf dem Kreisrand. Man berechnet also die Schnittpunkte der Geraden mit dem Kreis. $P$ kennen wir ja schon, wir suchen also noch $Q$.

    Hierfür setzen wir $g$ in die Kreisgleichung ein:

    $\begin{align} (x-1)^2+(y-3)^2 & =\sqrt5^2\\ (x-1)^2+(-2x+5-3)^2 & =5 \end{align}$.

    Diese Gleichung kann umgeformt und zusammengefasst werden. Dies führt zu $5x^2-10x=0$, was äquivalent zu $5x(x-2)$ ist. Ein Produkt wird $0$, wenn einer der Faktoren $0$ wird, also ist $x=0$ oder $x=2$. Da $x=2$ zu $P$ führt, setzen wir $x=0$ ein und erhalten mit $y=5$ den Punkt $Q(0|5)$.

    Da die beiden Tangenten parallel zueinander sind (die Steigung mit $m_t=\frac12$ also identisch), lautet die Gleichung der oberen Tangente

    $t:y=\frac12x+n_t$.

    Einsetzen der Koordinaten von $Q$ führt zu

    $5=n_t$.

    Damit lautet die Tangentengleichung

    $t:y=\frac12x+5$.

  • Stelle die Tangentengleichung auf.

    Tipps

    Die Steigung einer Geraden durch die Punkte $P(p_1|p_2)$ sowie $Q(q_1|q_2)$ ist gegeben durch

    $m=\frac{q_2-p_2}{q_1-p_1}$.

    Achte darauf, dass die Reihenfolge in Zähler und Nenner gleich ist.

    Wenn du die Steigung $m_g$ einer Geraden $g$ kennst, erhältst du die Steigung $m_t$ einer dazu senkrechten Geraden $t$ durch

    $m_t=-\frac{1}{m_g}$.

    Sei die Geradengleichung $y=3x+n$ gegeben sowie der Punkt $P(5|7)$ auf dieser Geraden, dann erhältst du den y-Achsenabschnitt wie folgt:

    • Setze $y=7$ auf der linken Seite und
    • $x=5$ für $x$ auf der rechten Seite in die Gleichung ein.
    Das ergibt $7=3\cdot 5+n$. Forme nun diese Gleichung nach $n$ um, indem du $15$ subtrahierst: $n=-8$.

    Die Geradengleichung lautet dann $y=3x-8$.

    Lösung

    Die Steigung der blauen Geraden ist gegeben durch

    $m_g=\frac{1-0}{5-2}=\frac13$.

    Damit ist die Steigung der roten Tangente

    $m_t=-\frac{1}{\frac13}=-3$.

    Damit lautet die Tangentengleichung $y=-3x+n_t$.

    Nun muss noch der y-Achsenabschnitt ermittelt werden. Hierfür werden die Koordinaten des Punktes $P$ in die Tangentengleichung eingesetzt:

    $0=-3\cdot 2+n_t$.

    Addition von $6$ führt zu $n_t=6$ und somit zu der Tangentengleichung

    $y=-3x+6$.