Schnittpunkte von Kreisen und Geraden

Schnittpunkte von Kreisen und Geraden Übung

• Berechne die Schnittpunkte von Kreis und Geraden mit der Geradengleichung $y=x+4$.

  Tipps

  Die Gleichung des Kreises ist gegeben durch

  $(x-2)^2+(y-3)^2=3^2$.

  Verwende die zweite binomische Formel und forme die Gleichung um.

  Die Gleichung, welche du durch Einsetzen von $y=x+4$ in die Kreisgleichung erhältst, kannst du so umformen:

  $x^2-4x+x^2+8x+16-6x-24+4=0$.

  Verwende zur Lösung der quadratischen Gleichung $x^2+px+q=0$ die p-q-Formel

  $x_{1,2}=-\frac{p}2\pm\sqrt{\left(\frac{p}2\right)^2-q}$.

  Lösung

  Hier sind sowohl der Kreis als auch die Gerade zu sehen. Die Gerade ist eine Sekante. Die beiden gemeinsamen Punkte sind $S_1(-1|3)$ sowie $S_2(2|6)$. Wie kommt man zu diesen Punkten?

  Die Gleichung des Kreises ist gegeben durch

  $(x-2)^2+(y-3)^2=3^2$.

  Durch Anwendung der zweiten binomischen Formel gelangt man zu

  $x^2-4x+4+y^2-6y+9=9$.

  Subtraktion von $9$ auf beiden Seiten führt zu der Kreisgleichung

  $x^2-4x+y^2-6y+4=0$.

  Nun kann $y=x+4$ in diese Gleichung eingesetzt werden:

  $x^2-4x+(x+4)^2-6(x+4)+4=0$.

  Wieder wird eine binomische Formel (hier die erste) angewendet und die Terme werden zusammengefasst:

  $\begin{array}{crclll} &x^2-4x+(x+4)^2-6(x+4)+4&=&0\\ \Leftrightarrow&x^2-4x+x^2+8x+16-6x-24+4&=&0\\ \Leftrightarrow&2x^2-2x-4&=&0&|&:2\\ \Leftrightarrow&x^2-x-2&=&0 \end{array}$.

  Dies ist eine quadratische Gleichung in $x$, welche mit Hilfe der p-q-Formel gelöst werden kann:

  $\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&-\frac{-1}2\pm\sqrt{\left(\frac{-1}2\right)^2+2}\\ &=&\frac12\pm\sqrt{\frac94}\\ x_1&=&\frac12-\frac32=-1\\ x_2&=&\frac12+\frac32=2 \end{array}$.

  Durch Einsetzen dieser x-Koordinaten in der Geradengleichung erhält man die zugehörige y-Koordinate:

  • zu $x_1=-1$ gehört $y_1=-1+4=3$, also $S_1(-1|3)$ sowie
  • zu $x_2=2$ gehört $y_2=2+4=6$, also $S_2(2|6)$.

• Gib die Schnittpunkte der Geraden mit dem Kreis an.

  Tipps

  Setze die Koordinaten eines allgemeinen Punktes der Geraden in die Kreisgleichung $x^2-4x+y^2-6y+4=0$ ein.

  Verwende die erste binomische Formel $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

  Verwende zur Lösung der quadratischen Gleichung $x^2+px+q=0$ die p-q-Formel

  $x_{1,2}=-\frac{p}2\pm\sqrt{\left(\frac{p}2\right)^2-q}$.

  Beachte, dass du die Werte für $t$ noch einmal in den jeweiligen Koordinaten einsetzen musst.

  Lösung

  Wenn man die Vektoren addiert, erhält man $x=2+t$ und $y=1+t$.

  Diese beiden Koordinaten eines allgemeinen Punktes auf der Geraden können in die Kreisgleichung $x^2-4x+y^2-6y+4=0$ eingesetzt werden:

  $(2+t)^2-4(2+t)+(1+t)^2-6(1+t)+4=0$.

  Nun wird die erste binomische Formel zweimal angewendet. Dann werden die Terme zusammengefasst:

  $\begin{array}{crclll} &(2+t)^2-4(2+t)+(1+t)^2-6(1+t)+4&=&0\\ \Leftrightarrow&4+4t+t^2-8-4t+1+2t+t^2-6-6t+4&=&0\\ \Leftrightarrow&2t^2-4t-5&=&0&|&:2\\ \Leftrightarrow&t^2-2t-2,5&=&0 \end{array}$.

  Dies ist eine quadratische Gleichung in dem Parameter $t$. Diese Gleichung kann mit der p-q-Formel gelöst werden:

  $\begin{array}{rcl} t_{1,2}&=&-\frac{-2}2\pm\sqrt{\left(\frac{-2}2\right)^2+2,5}\\ &=&1\pm\sqrt{3,5}\\ t_1&=&1-\sqrt{3,5}\approx-0,87\\ t_2&=&1+\sqrt{3,5}\approx2,87 \end{array}$.

  Diese Werte für $t$ können nun bei $x$ und $y$ eingesetzt werden:

  $t_1=-0,87$ führt zu

  • $x=2-0,87=1,13$ sowie
  • $y=1-0,87=0,13$ und somit
  • $S_1(1,13|0,13)$.

  $t_2=2,87$ führt zu

  • $x=2+2,87=4,87$ sowie
  • $y=1+2,87=3,87$ und somit
  • $S_2(4,87|3,87)$.

• Bestimme die Schnittpunkte der Geraden mit dem Kreis.

  Tipps

  Einsetzen von $y=-2x+1$ in die Kreisgleichung führt zu

  $x^2-4x+(-2x+1)^2-6(-2x+1)+4=0$.

  Du musst die quadratische Gleichung $x^2+0,8x-0,2=0$ lösen. Verwende hierzu die p-q-Formel.

  Es gibt zwei Schnittpunkte.

  Lösung

  Zunächst wird $y=-2x+1$ in diese Gleichung eingesetzt:

  $x^2-4x+(-2x+1)^2-6(-2x+1)+4=0$.

  Nun werden die Klammern aufgelöst

  • $(-2x+1)^2=4x^2-4x+1$ sowie
  • $-6(-2x+1)=12x-6$

  und eingesetzt. Wir erhalten dann:

  $x^2-4x+4x^2-4x+1+12x-6+4=0$.

  Die Terme können jetzt zusammengefasst werden:

  $5x^2+4x-1=0$.

  Nun wird noch durch $5$ dividiert und man erhält die quadratische Gleichung

  $x^2+0,8x-0,2=0$,

  welche mit der p-q-Formel gelöst werden kann:

  \begin{align} x_{1,2}&=-0,4\pm\sqrt{0,4^2+0,2}\\ x_1&=0,2\\ x_2&=-1 \end{align}.

  Damit können die Schnittpunkte berechnet werden:

  • $x_1=0,2$ führt zu $y_1=-0,4+1=0,6$, also $S_1(0,2|0,6)$ sowie
  • $x_2=-1$ zu $y_2=2+1=3$, also $S_2(-1|3)$.

• Bestimme, wo die Schnittpunkte liegen.

  Tipps

  Die Kreisgleichung lautet $(x-3)^2+(y-1)^2=2$.

  Die x-Koordinate eines beliebigen Punktes der Geraden lautet $x=t$ und die y-Koordinate $y=4-t$.

  Setze diese Koordinaten in die Kreisgleichung ein.

  Du erhältst eine quadratische Gleichung in $t$. Diese kannst du so vereinfachen, dass du die Lösung ohne die p-q-Formel ermitteln kannst.

  Lösung

  Zunächst stellt man die Kreisgleichung auf:

  $(x-3)^2+(y-1)^2=\sqrt 2^2$.

  Wie lauten die Koordinaten eines beliebigen Punktes der Geraden?

  • $x=t$ sowie
  • $y=4-t$.

  Diese werden in die Kreisgleichung eingesetzt:

  $(t-3)^2+(4-t-1)^2=2$.

  Weil der Term $(-t+3)^2$ äquivalent zu $(t-3)^2$ ist, können wir schreiben:

  $2(t-3)^2=2$.

  Zunächst wird durch $2$ dividiert und dann die Wurzel gezogen. So erhält man

  • $t_1=1+3=4$ sowie
  • $t_2=-1+3=2$

  und damit die beiden Schnittpunkt $S_1(4|0)$ sowie $S_2(2|2)$.

  Diese sind auch in dem Bild zu erkennen.

• Beschreibe die Lagen, die eine Gerade zu einem Kreis haben kann.

  Tipps

  Das Wort „Tangente“ kommt von dem lateinischen „tangere“ und bedeutet „berühren“.

  Passieren ist ein anderes Wort für Vorbeigehen.

  Das Wort „Sekante“ kommt von dem lateinischen „secare“ und bedeutet „schneiden“.

  Lösung

  Hier sind die drei verschiedenen Lagen zu sehen:

  • Entweder hat eine Gerade mit einem Kreis keine gemeinsamen Punkte, sie läuft sozusagen an dem Kreis vorbei. Eine solche Gerade heißt Passante. Dies ist die Gerade ganz rechts.
  • Die Gerade kann den Kreis auch berühren. Dann spricht man von einer Tangente. Eine Tangente hat einen Punkt mit dem Kreis gemeinsam, den Berührpunkt. Dies ist die mittlere der drei Geraden.
  • Eine Gerade kann auch zwei gemeinsame Punkte mit einem Kreis haben; sie schneidet also den Kreis. Eine solche Gerade wird als Sekante bezeichnet. Dies ist die linke der drei Geraden.

• Entscheide, für welche Werte des Parameters $p$ die Gerade eine Passante, Tangente oder Sekante ist.

  Tipps

  Setze $y=x+p$ in der Kreisgleichung $x^2+y^2=16$ ein.

  Du erhältst die Gleichung $x^2+px+\frac12p^2-8=0$.

  Beachte: Die Anzahl der Lösungen hängt von dem Term unter der Klammer in der p-q-Formel ab:

  • ... ist dieser positiv, existieren zwei Lösungen.
  • ... ist dieser gleich $0$, existiert nur eine Lösung.
  • ... ist dieser negativ, existiert keine Lösung.

  • Eine Sekante hat zwei gemeinsame Punkte mit dem Kreis,
  • eine Tangente nur einen und
  • eine Passante keinen.

  Lösung

  Zunächst setzt man $y=x+p$ in die Kreisgleichung $x^2+y^2=16$ ein:

  $x^2+(x+p)^2=16$.

  Mit Hilfe der ersten binomischen Formel wird die Klammer aufgelöst. Dann werden die Terme zusammen gefasst:

  $\begin{array}{crclll} &x^2+(x+p)^2&=&16\\ \Leftrightarrow&x^2+x^2+2px+p^2&=&16&|&-16\\ \Leftrightarrow&2x^2+2px+p^2-16&=&0&|&:2\\ \Leftrightarrow&x^2+px+\frac12p^2-8&=&0 \end{array}$.

  Um diese Gleichung zu lösen, verwendet man die p-q-Formel:

  $\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&-\frac{p}2\pm\sqrt{\left(\frac{p}2\right)^2-\frac12p^2+8}\\ &=&-\frac p2\pm\sqrt{8-\frac14p^2} \end{array}$.

  Nun kann man sich den Term unter der Wurzel anschauen:

  • ... ist dieser positiv, existieren zwei Lösungen, die Gerade ist dann eine Sekante.
  • ... ist dieser gleich $0$, existiert nur eine Lösung, die Gerade ist eine Tangente.
  • ... ist dieser negativ, existiert keine Lösung, die Gerade ist dann eine Passante.

  Wenn man den Graphen dieses Termes darstellt, erhält man eine nach unten geöffnete Parabel. Das bedeutet, dass die Werte zwischen den Nullstellen positiv sind und rechts sowie links davon negativ:

  $8-\frac14p^2=0$.

  Zunächst wird $\frac14 p^2$ addiert und dann mit $4$ multipliziert zu $p^2=32$. Dann wird die Wurzel gezogen und man erhält $p=\pm\sqrt{32}=\pm 4\sqrt2$.

  Man kann also feststellen:

  • Für $p=\pm4\sqrt2$ ist die Gerade eine Tangente,
  • für $-4\sqrt2<p<4\sqrt2$ ist die Gerade eine Sekante und
  • für $p<-4\sqrt2$ oder $p>4\sqrt2$ ist die Gerade eine Passante.