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Schnittpunkte von Kreisen und Geraden 11:51 min

Textversion des Videos

Transkript Schnittpunkte von Kreisen und Geraden

Hallo. Mein Name ist Frank. In diesem Video werde ich Dir zeigen, wie Du Schnittpunkte von Kreisen und Geraden berechnen kannst und zwar in der Ebene. Und zuerst einmal will ich Dir zeigen, wie ein Kreis und eine Gerade überhaupt zueinander liegen können. Also wir hätten hier einen Kreis und eine Gerade. Und ich tu mal die Gerade da hin und jetzt hätten wir die erste Lage, dass diese Gerade mit dem Kreis keinen gemeinsamen Punkt hat. Die geht sozusagen an dem Kreis vorbei. Und eine solche Gerade nennt man eine Passante. Wenn ich diese Gerade nun ein wenig schiebe, gerade so, dass sie den Kreis berührt, kannst Du jetzt sehen: Diese Gerade hat jetzt einen Punkt mit dem Kreis gemeinsam, also mit dem Kreisrand. Und das heißt, diese Gerade berührt diesen Kreis in diesem Punkt und deswegen nennt man diese Gerade eine Tangente. Und wenn ich nun die Gerade noch ein Stück weiter schiebe, kannst Du erkennen, dass diese Gerade jetzt zwei Punkte mit dem Kreisrand gemeinsam hat. Also diese Gerade schneidet den Kreis. Und deswegen nennt man eine solche Gerade eine Sekante. Und wie Du das jetzt an einem bestimmten Beispiel rechnen kannst, und zwar am Beispiel einer Sekante, wie Du also die Schnittpunkte berechnen kannst, das zeige ich Dir im Folgenden: So, wie ich anfänglich schon gesagt habe, gibt es drei verschiedene Lagemöglichkeiten, die eine Gerade zu einem Kreis haben kann. Und die habe ich hier noch einmal notiert. Die Gerade hat mit dem Kreis keine gemeinsamen Punkte, dann wäre diese Gerade eine Passante. Die Gerade hat einen gemeinsamen Punkt, dann ist sie eine Tangente. Und bei zwei gemeinsamen Punkten, also zwei Schnittpunkten, ist sie eine Sekante. Und genau darum geht es mir in diesem Video auch, um die Berechnung von Schnittpunkten. Das heißt, im Folgenden werde ich jetzt an zwei verschiedenen Beispielen, einmal die Gerade in einer Koordinatengleichung gegeben und folgend die Gerade in der Parametergleichung gegeben, Sekanten betrachten. Also schließlich und endlich Schnittpunkte berechnen. Das erste Beispiel habe ich schon einmal vorbereitet. Also wir hätten einen Kreis mit dem Mittelpunkt M(2|3), also M1 = 2, M2 = 3, und dem Radius r = 3. Und erhalten dadurch die Koordinatengleichung k: x² - 4x + y² - 6y + 4 = 0. Und im ersten Beispiel habe ich eine Gerade in einer Koordinatengleichung y = x + 4. Und diese Gerade setze ich jetzt in k ein. Das heißt, x bleibt ja stehen, y = x + 4, also steht hier x² - 4x + (x+4)² - 6(x+4) + 4 = 0. Noch einmal kurz: x² - 4x + (x+4)² - 6(x+4) + 4=0. Wenn ich jetzt dieses Quadrat auflöse und schon mal zusammenfasse, steht hier x², hier kommt noch ein x², also 2x², und hier steht 8x - 4x sind 4x, -6x sind -2x, und hier kommt +16 - 24 + 4 sind -4 und das soll = 0 sein. 2x² - 2x - 4 = 0. Und um die pq-Formel anzuwenden, muss ich die gesamte Gleichung durch zwei teilen. Und da steht da x² - x - 2 = 0. Und ich erhalte die beiden Nullstellen dieser Gleichung x1 = -1, x2 = 2. Und wenn ich dieses x, also das x1, einsetze hier, bekäme ich den Schnittpunkt 1 mit der x-Koordinate -1 und der y-Koordinate 3, also -1 + 4 = 3. Und den Schnittpunkt 2: 2 und der y-Koordinate 6. S1(1|3), S2(2|6). Also was wir hier schon sehen, wir haben hier eine quadratische Gleichung in x und mit der pq-Formel bekommen wir zwei x raus, heißt wir haben zwei gemeinsame Punkte, zwei Schnittpunkte. Das ist eine Sekante, damit habe ich ja auch angefangen. Und so können wir die Schnittpunkte berechnen. Das kannst Du hier im Koordinatensystem auch noch einmal sehen. Da ist der Kreis mit dem Mittelpunkt M(2|3) und dem Radius r = 3 und die Gerade y = x + 4 siehst Du auch. Und da kannst Du dann sehen, wo die beiden Schnittpunkte S1(-1|3) und S2(2|6) liegen. Im Folgenden zeige ich Dir an Hand einer anderen Geraden, die in Parametergleichung gegeben ist, wie man das auch machen kann. So, nun schau ich mir noch mal zu guter Letzt eine Gerade an, die in Parametergleichung gegeben ist. Die siehst Du hier. Also g: (x y) = (2 1) + t * (1 1). Das entsprechende Bild kannst Du links schon sehen. Und auch da wieder, ich betrachte den gleichen Kreis wie vorhin, überprüfe ich, also ich weiß, dass es eine Sekante ist, würde es auch bei der Berechnung herauskommen, ob das eine Sekante ist und berechne die Schnittpunkte. Und das mache ich wie folgt: Wenn Du hier hin schaust, lautet ja die x-Koordinate 2 + t * 1, also 2 + t. Und die y-Koordinate 1 + t * 1, also 1 + t. Also setze ich diese x- und y-Koordinate in der Kreisgleichung ein. Da steht da x², also (2 + t)², -4x, also 4 * (2 + t). Also hier in der Koordinatengleichung. +y², y ist dann (1 + t), also (1 + t)², -6 * y, also 6* (1 + t) + 4 = 0. (2 + t)² - 4(2 + t) + (1 + t)² - 6(1 + t) + 4 = 0. Also Du siehst hier wieder, Du hast eine Gleichung in t, nur noch t steht drin. Und t liegt quadratisch vor. Das wird wieder auf eine pq-Formel hinauslaufen, wie vorhin bei dem Beispiel auch. Wenn Du das jetzt ausrechnest, t² + t² = 2t² und insgesamt haben wir die Gleichung 2t² - 4t - 5 = 0. Einfach nach der Binomischen Formel diese Terme auflösen und diese hier ausklammern und Du erhältst diese quadratische Gleichung. Hier wieder durch zwei teilen, um die pq-Formel anzuwenden. Also siehst Du das: t² - 2t - 2,5 = 0. Und das liefert tatsächlich auch wieder zwei t. Also t1 ≈ -0,87, t2 ≈ 2,87. Und wenn Du jetzt wieder dieses t, also wieder dieses t, einsetzt hier, 2 - 0,87, käme für die x-Koordinate des Schnittpunktes 1: 1,13 raus. Und die y-Koordinate wäre dann 0,13, also 1 - 0,87. S1(1,13|0,13). Und der Schnittpunkt 2, also wir haben zwei Schnittpunkte, wir haben eine Sekante, wäre dann 2 + 2,87, also 4,87. Und 1 + 2,87 = 3,87. S2(4,87|3,87). Und auch hier diese beiden Schnittpunkte kannst Du in dem Koordinatensystem sehen. Also das sind natürlich jetzt ungefähre Lagen. Also das hoffe ich, dass Du das erkennen kannst, dass der Schnittpunkt 1 hier unten bei x etwas mehr als eins liegt und knapp über der x-Achse. Und entsprechend der Schnittpunkt 2. Gut, dann fasse ich nochmal zusammen, was ich in diesem Video hier gemacht habe: Ich habe geschaut, wie man Schnittpunkte von Kreisen und Geraden berechnen kann und zwar in der Ebene. Dafür habe ich mir zuerst einmal angeschaut, wie können ein Kreis und eine Gerade überhaupt zueinander liegen. Die können keine gemeinsamen Punkte haben, das wäre eine Passante. Einen gemeinsamen Punkt könnten sie haben, dann wäre es eine Tangente, die Gerade. Bei zwei gemeinsamen Punkten, also Schnittpunkten, das habe ich in den letzten beiden Beispielen gemacht, wäre es eine Sekante. Und bei beiden Beispielen hast Du ja gesehen, es kommt jedes Mal eine quadratische Gleichung mit der Unbekannten raus. Im ersten Beispiel ein x, in diesem Beispiel ein t. Und wenn Du dann die pq-Formel aufstellst, kommt hier hinten der Wurzelterm, die sogenannte Diskriminante, (p/2)² - q. Und in Abhängigkeit von dieser Diskriminante kannst Du schon feststellen, wenn es nur um die Lagebeziehung geht, welche Gerade vorliegt. Wenn diese Diskriminante negativ wäre, dann gibt es keine Lösung für die Gleichung. Also keine gemeinsamen Punkte heißt Passante. Wenn die Diskriminante gerade null wäre, dann sind die beiden Lösungen identisch, also es gibt nur eine Lösung, einen gemeinsamen Punkt, heißt Tangente. Und wenn die Diskriminante größer ist als null und das war in den beiden Beispielen der Fall, dann haben wir eine Sekante. Zwei gemeinsame Punkte, zwei Schnittpunkte. Nun hoffe ich, dass Du alles gut verstehen konntest und danke Dir für Deine Aufmerksamkeit. Wie immer freue ich mich über Fragen und Anregungen. Bis zum nächsten Mal. Dein Frank.

Schnittpunkte von Kreisen und Geraden Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Schnittpunkte von Kreisen und Geraden kannst du es wiederholen und üben.

  • Berechne die Schnittpunkte von Kreis und Geraden mit der Geradengleichung $y=x+4$.

    Tipps

    Die Gleichung des Kreises ist gegeben durch

    $(x-2)^2+(y-3)^2=3^2$.

    Verwende die zweite binomische Formel und forme die Gleichung um.

    Die Gleichung, welche du durch Einsetzen von $y=x+4$ in die Kreisgleichung erhältst, kannst du so umformen:

    $x^2-4x+x^2+8x+16-6x-24+4=0$.

    Verwende zur Lösung der quadratischen Gleichung $x^2+px+q=0$ die p-q-Formel

    $x_{1,2}=-\frac{p}2\pm\sqrt{\left(\frac{p}2\right)^2-q}$.

    Lösung

    Hier sind sowohl der Kreis als auch die Gerade zu sehen. Die Gerade ist eine Sekante. Die beiden gemeinsamen Punkte sind $S_1(-1|3)$ sowie $S_2(2|6)$. Wie kommt man zu diesen Punkten?

    Die Gleichung des Kreises ist gegeben durch

    $(x-2)^2+(y-3)^2=3^2$.

    Durch Anwendung der zweiten binomischen Formel gelangt man zu

    $x^2-4x+4+y^2-6y+9=9$.

    Subtraktion von $9$ auf beiden Seiten führt zu der Kreisgleichung

    $x^2-4x+y^2-6y+4=0$.

    Nun kann $y=x+4$ in diese Gleichung eingesetzt werden:

    $x^2-4x+(x+4)^2-6(x+4)+4=0$.

    Wieder wird eine binomische Formel (hier die erste) angewendet und die Terme werden zusammengefasst:

    $\begin{array}{crclll} &x^2-4x+(x+4)^2-6(x+4)+4&=&0\\ \Leftrightarrow&x^2-4x+x^2+8x+16-6x-24+4&=&0\\ \Leftrightarrow&2x^2-2x-4&=&0&|&:2\\ \Leftrightarrow&x^2-x-2&=&0 \end{array}$.

    Dies ist eine quadratische Gleichung in $x$, welche mit Hilfe der p-q-Formel gelöst werden kann:

    $\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&-\frac{-1}2\pm\sqrt{\left(\frac{-1}2\right)^2+2}\\ &=&\frac12\pm\sqrt{\frac94}\\ x_1&=&\frac12-\frac32=-1\\ x_2&=&\frac12+\frac32=2 \end{array}$.

    Durch Einsetzen dieser x-Koordinaten in der Geradengleichung erhält man die zugehörige y-Koordinate:

    • zu $x_1=-1$ gehört $y_1=-1+4=3$, also $S_1(-1|3)$ sowie
    • zu $x_2=2$ gehört $y_2=2+4=6$, also $S_2(2|6)$.
  • Gib die Schnittpunkte der Geraden mit dem Kreis an.

    Tipps

    Setze die Koordinaten eines allgemeinen Punktes der Geraden in die Kreisgleichung $x^2-4x+y^2-6y+4=0$ ein.

    Verwende die erste binomische Formel $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

    Verwende zur Lösung der quadratischen Gleichung $x^2+px+q=0$ die p-q-Formel

    $x_{1,2}=-\frac{p}2\pm\sqrt{\left(\frac{p}2\right)^2-q}$.

    Beachte, dass du die Werte für $t$ noch einmal in den jeweiligen Koordinaten einsetzen musst.

    Lösung

    Wenn man die Vektoren addiert, erhält man $x=2+t$ und $y=1+t$.

    Diese beiden Koordinaten eines allgemeinen Punktes auf der Geraden können in die Kreisgleichung $x^2-4x+y^2-6y+4=0$ eingesetzt werden:

    $(2+t)^2-4(2+t)+(1+t)^2-6(1+t)+4=0$.

    Nun wird die erste binomische Formel zweimal angewendet. Dann werden die Terme zusammengefasst:

    $\begin{array}{crclll} &(2+t)^2-4(2+t)+(1+t)^2-6(1+t)+4&=&0\\ \Leftrightarrow&4+4t+t^2-8-4t+1+2t+t^2-6-6t+4&=&0\\ \Leftrightarrow&2t^2-4t-5&=&0&|&:2\\ \Leftrightarrow&t^2-2t-2,5&=&0 \end{array}$.

    Dies ist eine quadratische Gleichung in dem Parameter $t$. Diese Gleichung kann mit der p-q-Formel gelöst werden:

    $\begin{array}{rcl} t_{1,2}&=&-\frac{-2}2\pm\sqrt{\left(\frac{-2}2\right)^2+2,5}\\ &=&1\pm\sqrt{3,5}\\ t_1&=&1-\sqrt{3,5}\approx-0,87\\ t_2&=&1+\sqrt{3,5}\approx2,87 \end{array}$.

    Diese Werte für $t$ können nun bei $x$ und $y$ eingesetzt werden:

    $t_1=-0,87$ führt zu

    • $x=2-0,87=1,13$ sowie
    • $y=1-0,87=0,13$ und somit
    • $S_1(1,13|0,13)$.
    $t_2=2,87$ führt zu

    • $x=2+2,87=4,87$ sowie
    • $y=1+2,87=3,87$ und somit
    • $S_2(4,87|3,87)$.
  • Bestimme die Schnittpunkte der Geraden mit dem Kreis.

    Tipps

    Einsetzen von $y=-2x+1$ in die Kreisgleichung führt zu

    $x^2-4x+(-2x+1)^2-6(-2x+1)+4=0$.

    Du musst die quadratische Gleichung $x^2+0,8x-0,2=0$ lösen. Verwende hierzu die p-q-Formel.

    Es gibt zwei Schnittpunkte.

    Lösung

    Zunächst wird $y=-2x+1$ in diese Gleichung eingesetzt:

    $x^2-4x+(-2x+1)^2-6(-2x+1)+4=0$.

    Nun werden die Klammern aufgelöst

    • $(-2x+1)^2=4x^2-4x+1$ sowie
    • $-6(-2x+1)=12x-6$
    und eingesetzt. Wir erhalten dann:

    $x^2-4x+4x^2-4x+1+12x-6+4=0$.

    Die Terme können jetzt zusammengefasst werden:

    $5x^2+4x-1=0$.

    Nun wird noch durch $5$ dividiert und man erhält die quadratische Gleichung

    $x^2+0,8x-0,2=0$,

    welche mit der p-q-Formel gelöst werden kann:

    $\begin{align} x_{1,2}&=-0,4\pm\sqrt{0,4^2+0,2}\\ x_1&=0,2\\ x_2&=-1 \end{align}$.

    Damit können die Schnittpunkte berechnet werden:

    • $x_1=0,2$ führt zu $y_1=-0,4+1=0,6$, also $S_1(0,2|0,6)$ sowie
    • $x_2=-1$ zu $y_2=2+1=3$, also $S_2(-1|3)$.
  • Bestimme, wo die Schnittpunkte liegen.

    Tipps

    Die Kreisgleichung lautet $(x-3)^2+(y-1)^2=2$.

    Die x-Koordinate eines beliebigen Punktes der Geraden lautet $x=t$ und die y-Koordinate $y=4-t$.

    Setze diese Koordinaten in die Kreisgleichung ein.

    Du erhältst eine quadratische Gleichung in $t$. Diese kannst du so vereinfachen, dass du die Lösung ohne die p-q-Formel ermitteln kannst.

    Lösung

    Zunächst stellt man die Kreisgleichung auf:

    $(x-3)^2+(y-1)^2=\sqrt 2^2$.

    Wie lauten die Koordinaten eines beliebigen Punktes der Geraden?

    • $x=t$ sowie
    • $y=4-t$.
    Diese werden in die Kreisgleichung eingesetzt:

    $(t-3)^2+(4-t-1)^2=2$.

    Weil der Term $(-t+3)^2$ äquivalent zu $(t-3)^2$ ist, können wir schreiben:

    $2(t-3)^2=2$.

    Zunächst wird durch $2$ dividiert und dann die Wurzel gezogen. So erhält man

    • $t_1=1+3=4$ sowie
    • $t_2=-1+3=2$
    und damit die beiden Schnittpunkt $S_1(4|0)$ sowie $S_2(2|2)$.

    Diese sind auch in dem Bild zu erkennen.

  • Beschreibe die Lagen, die eine Gerade zu einem Kreis haben kann.

    Tipps

    Das Wort „Tangente“ kommt von dem lateinischen „tangere“ und bedeutet „berühren“.

    Passieren ist ein anderes Wort für Vorbeigehen.

    Das Wort „Sekante“ kommt von dem lateinischen „secare“ und bedeutet „schneiden“.

    Lösung

    Hier sind die drei verschiedenen Lagen zu sehen:

    • Entweder hat eine Gerade mit einem Kreis keine gemeinsamen Punkte, sie läuft sozusagen an dem Kreis vorbei. Eine solche Gerade heißt Passante. Dies ist die Gerade ganz rechts.
    • Die Gerade kann den Kreis auch berühren. Dann spricht man von einer Tangente. Eine Tangente hat einen Punkt mit dem Kreis gemeinsam, den Berührpunkt. Dies ist die mittlere der drei Geraden.
    • Eine Gerade kann auch zwei gemeinsame Punkte mit einem Kreis haben; sie schneidet also den Kreis. Eine solche Gerade wird als Sekante bezeichnet. Dies ist die linke der drei Geraden.
  • Entscheide, für welche Werte des Parameters $p$ die Gerade eine Passante, Tangente oder Sekante ist.

    Tipps

    Setze $y=x+p$ in der Kreisgleichung $x^2+y^2=16$ ein.

    Du erhältst die Gleichung $x^2+px+\frac12p^2-8=0$.

    Beachte: Die Anzahl der Lösungen hängt von dem Term unter der Klammer in der p-q-Formel ab:

    • ... ist dieser positiv, existieren zwei Lösungen.
    • ... ist dieser gleich $0$, existiert nur eine Lösung.
    • ... ist dieser negativ, existiert keine Lösung.
    • Eine Sekante hat zwei gemeinsame Punkte mit dem Kreis,
    • eine Tangente nur einen und
    • eine Passante keinen.
    Lösung

    Zunächst setzt man $y=x+p$ in die Kreisgleichung $x^2+y^2=16$ ein:

    $x^2+(x+p)^2=16$.

    Mit Hilfe der ersten binomischen Formel wird die Klammer aufgelöst. Dann werden die Terme zusammen gefasst:

    $\begin{array}{crclll} &x^2+(x+p)^2&=&16\\ \Leftrightarrow&x^2+x^2+2px+p^2&=&16&|&-16\\ \Leftrightarrow&2x^2+2px+p^2-16&=&0&|&:2\\ \Leftrightarrow&x^2+px+\frac12p^2-8&=&0 \end{array}$.

    Um diese Gleichung zu lösen, verwendet man die p-q-Formel:

    $\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&-\frac{p}2\pm\sqrt{\left(\frac{p}2\right)^2-\frac12p^2+8}\\ &=&-\frac p2\pm\sqrt{8-\frac14p^2} \end{array}$.

    Nun kann man sich den Term unter der Wurzel anschauen:

    • ... ist dieser positiv, existieren zwei Lösungen, die Gerade ist dann eine Sekante.
    • ... ist dieser gleich $0$, existiert nur eine Lösung, die Gerade ist eine Tangente.
    • ... ist dieser negativ, existiert keine Lösung, die Gerade ist dann eine Passante.
    Wenn man den Graphen dieses Termes darstellt, erhält man eine nach unten geöffnete Parabel. Das bedeutet, dass die Werte zwischen den Nullstellen positiv sind und rechts sowie links davon negativ:

    $8-\frac14p^2=0$.

    Zunächst wird $\frac14 p^2$ addiert und dann mit $4$ multipliziert zu $p^2=32$. Dann wird die Wurzel gezogen und man erhält $p=\pm\sqrt{32}=\pm 4\sqrt2$.

    Man kann also feststellen:

    • Für $p=\pm4\sqrt2$ ist die Gerade eine Tangente,
    • für $-4\sqrt2<p<4\sqrt2$ ist die Gerade eine Sekante und
    • für $p<-4\sqrt2$ oder $p>4\sqrt2$ ist die Gerade eine Passante.