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Gegenseitige Lage Kreis-Kreis 11:38 min

Textversion des Videos

Transkript Gegenseitige Lage Kreis-Kreis

Hallo. Mein Name ist Frank. Ich werde Dir in diesem Video zeigen, wie zwei Kreise in der Ebene zueinander liegen können. Ich betrachte dafür die beiden Kreise k1 mit dem Mittelpunkt M1, dem Radius r1 und k2 mit dem Mittelpunkt M2 und dem Radius r2. Ich nehme an, dass der Radius r1 ≥ dem Radius r2 ist und das ist auch keine Einschränkung, weil ich das Ganze ansonsten tauschen würde. Zunächst einmal berechne ich den Abstand der beiden Mittelpunkte zueinander und den bezeichne ich mit d. Und nun erhalte ich drei verschiedene Fälle bezüglich der Lagebeziehung. Also das erste wäre dieses klein d, also der der Abstand, ist gerade die Summe der beiden Radien. Das siehst Du hier links. Wenn dieser Fall vorliegt, dann berühren sich die Kreise, so wie Du es hier sehen kannst, da der Abstand der der Mittelpunkte gleich der Summe ist. Der Abstand der Mittelpunkte kann auch gerade die Differenz der beiden Radien sein. Dafür tu ich das erste Bild wieder weg. Und wir haben das zweite Bild. Da kannst Du sehen, da berührt der kleinere Kreis, in dem Fall k2, den größeren, in dem Fall k1, von innen. Auch das tu ich schon mal weg. Beiden Fällen gemeinsam ist, dass die beiden Kreise sich berühren. Nun kommen wir zum zweiten Fall: Zuerst einmal sei der Abstand größer der Summe der beiden Radien. Auch das siehst Du hier wieder links. Wenn die Mittelpunkte weiter voneinander entfernt sind als die Summe der Radien, ist glaube ich anschaulich klar, dass die beiden Kreise keine gemeinsamen Punkte haben. So wie Du es hier in dem Bild sehen kannst. Tu ich wieder zusammen und schiebe es hier rüber. Oder aber der Abstand ist kleiner als die Differenz der beiden Radien. Diesen Fall siehst Du hier. Diesmal liegt der kleinere Kreis, also k2, innerhalb des größeren Kreises k1. Und sie haben keine gemeinsamen Punkte. Tu ich wieder zusammen und schiebe es hier rüber. Und hätte also den Fall, die beiden Kreise haben keine gemeinsamen Punkte. Und jetzt kommen wir noch zu dem letzten Fall: Und das wäre der Fall, dass d genau zwischen diesen beiden Termen liegt. Also r1 - r2 < d < r1 + r2. Und diesen Fall kannst Du hier links sehen. In diesem Fall schneiden sich die beiden Kreise. Und das heißt, sie haben zwei gemeinsame Punkte. Das tu ich auch wieder zusammen und schiebe es hier rüber. Das heißt, die Kreise haben zwei gemeinsame Punkte, also zwei Schnittpunkte. Hier oben habe ich, berühren sich, das heißt, die hätten einen gemeinsamen Punkt. Gut, das wäre erst einmal allgemein die Lage zweier Kreise zueinander in der Ebene. Und für diesen letzten Fall werde ich jetzt im folgenden Beispiel zeigen, wie Du die gemeinsamen Punkte, also die beiden Schnittpunkte berechnen kannst. So, nachdem wir im ersten Teil schon mal hier gesehen haben, welche verschiedene Lagen zwei Kreise zueinander haben können, schaue ich mir mal konkret ein Beispiel an. Und zwar den Kreis k1 mit Mittelpunkt M1(3, 4) und dem Radius r1 = 2. Und den Kreis k2 mit dem Mittelpunkt M2(2, 2) und dem Radius r2 = 1. Die beiden Kreise kannst Du hier schon mal sehen. Ich habe hier oben schon mal beide Kreise in der Koordinatenform aufgeschrieben. Weil ich die jetzt für die folgenden Rechnungen brauche. Zuerst einmal schau ich mir den Abstand der beiden Mittelpunkte, also d = d(M1, M2). Und der Abstand ist gerade die Wurzel aus Differenz der beiden x-Koordinaten, 3 - 2 = 1 zum Quadrat plus Differenz der beiden y-Koordinaten, 4 - 2 = 2, zum Quadrat, = Wurzel(1² + 2²) = Wurzel(5). Und wenn wir uns das mal anschauen, wir brauchen die Differenz der beiden Radien. Also 2 - 1, also das wäre dann r1 - r2, also 1 ist sicherlich kleiner als Wurzel(5) und das ist sicherlich kleiner 2 + 1, also 3, r1 + r2. r1 - r2 < Wurzel(5) < r1 + r2. Also der Abstand, den ich hier berechnet habe, liegt tatsächlich zwischen der Differenz und der Summe der beiden Radien. Ich habe also diesen Fall hier im Schnittpunkt der beiden Kreise. Und nun berechne ich den. Dafür schaue ich mir die beiden Kreise in Koordinatenform an und bilde die Differenz dieser beiden Koordinatengleichungen. Also ich berechne mal: k2 - k1. Und erhalte dann x² - x² ist weg, -4x - (-6x) = 2x und y² - y² fliegt raus, -4y - (-8y) = 4y und -7 - (-21) = 14. Und wenn ich diese Gleichung umforme, ist die äquivalent dazu, dass x = 7 - 2y ist. Das ist eine Geradengleichung. Und diese Gerade ist eben die sogenannte Trägergerade. Das kannst Du hier jetzt auch sehen. Die Trägergerade heißt, auf dieser Geraden liegen die beiden Schnittpunkte. Und das wiederum heißt, wenn ich diese Gerade jetzt in eine der beiden Kreisgleichungen einsetze, dann bekomme ich die Schnittpunkte dieser Trägergeraden mit den Kreisen. Und das sind gerade die gesuchten Schnittpunkte. Und das mach ich jetzt mal. Ich setze die Trägergerade zum Beispiel in die Gleichung k2 ein. Dann steht da: x ist ja 7 - 2y, also (7 - 2y)² - 4(7 - 2y) + y² - 4y und das soll gerade -7 sein. Also ich habe x = 7 - 2y eingesetzt. Und wenn ich die Gleichung jetzt umforme, bekomme ich 5y² - 24y + 28 = 0. Ich teile die gesamte Gleichung durch 5 und wende die pq-Formel an und erhalte y1 = und y2 =, das kannst Du ja gern noch mal üben. Also ich gebe die jetzt einfach mal an, die Lösung. Also 2,8 für y1 und 2 für y2. Und wenn Du jetzt dieses y1 und das y2 in dieser Gleichung einsetzt, erhältst Du x1 = 7 - 2 * 2,8, also 7 - 5,6 = 1,4. Entsprechend x2 = 7 - 2 * 2 = 7 - 4 = 3. Wir haben also die beiden Schnittpunkte S1 1,4, also die x-Koordinate, und die entsprechende y-Koordinate 2,8. Und den Schnittpunkt S2(3, 2). Und wenn Du hier in der Zeichnung schaust, kannst Du auch erkennen, den Schnittpunkt (3, 2) kann man sehr gut erkennen. Und auch (1,4, 2,8) kann man auch recht gut daran erkennen. Gut. Damit wäre dieses Beispiel fertig. Also der dritte Fall. Und ich fasse dann noch mal zusammen, was ich in diesem Video gemacht habe: Ich habe mir zwei Kreise angeschaut, zwei beliebige Kreise ganz am Anfang und habe geschaut, wie können die Kreise überhaupt zueinander liegen. Und da gibt es drei Fälle. Diesen, diesen und diesen. Und zwar in Abhängigkeit davon, wie die beiden-, wie groß der Abstand der beiden Mittelpunkte zueinander ist. Im Fall, dass der Abstand gleich der Summe der beiden Radien ist oder der Differenz der beiden Radien, dann berühren die beiden Kreise sich. Wenn der Abstand größer ist als die Summe der beiden Radien oder kleiner der Differenz der beiden Radien, dann haben die beiden Kreise keine gemeinsamen Punkte. Und wenn der Abstand gerade zwischen der Differenz und der Summe der beiden Radien liegen, dann haben die Kreise zwei gemeinsame Punkte, also zwei Schnittpunkte. Und genau diesen letzten Fall habe ich hier nochmal vorgeführt anhand eines Beispiels zweier Kreise. Gut. Nun hoffe ich, dass Du alles gut verstehen konntest und danke Dir für Deine Aufmerksamkeit. Wie immer freue ich mich über Fragen und Anregungen. Bis zum nächsten Mal. Dein Frank.

Gegenseitige Lage Kreis-Kreis Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Gegenseitige Lage Kreis-Kreis kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, wie man die Lage zweier Kreise zueinander untersuchen kann.

    Tipps

    Schaue dir den Fall $d=r_1+r_2$ an.

    Entferne in diesem Beispiel die Mittelpunkte voneinander, also $d>r_1+r_2$.

    Lösung

    Hier sind zwei Kreise mit den Mittelpunkten $M_1$ und $M_2$ sowie den Radien $r_1$ sowie $r_2$ zu sehen.

    Zunächst wird der Abstand der Mittelpunkte berechnet:

    $d=d(M_1;M_2)$.

    Mit diesem Abstand kann die Lage der Kreise zueinander überprüft werden:

    • $d=r_1+r_2$ bedeutet, dass die beiden Kreise sich von außen berühren, also einen gemeinsamen Punkt haben.
    • $d=r_1-r_2$ bedeutet, dass die beiden Kreise sich von innen berühren, also einen gemeinsamen Punkt haben.
    • $d>r_1+r_2$ bedeutet, dass die beiden Kreise außerhalb voneinander liegen, also keine gemeinsamen Punkte haben.
    • $d<r_1-r_2$ bedeutet, dass der kleinere der beiden Kreise innerhalb des größeren liegt. Die beiden Kreise haben also keine gemeinsamen Punkte.
    Es bleibt nur noch ein Fall, in welchem die beiden Kreis sich in zwei Punkten schneiden: $r_1-r_2<d<r_1+r_2$.

  • Gib an, wie viele gemeinsame Punkte zwei nicht identische Kreise haben können.

    Tipps

    Betrachte die folgenden beiden Fälle:

    • $d=r_1+r_2$ bedeutet, dass die beiden Kreise sich von außen berühren.
    • $d=r_1-r_2$ bedeutet, dass die beiden Kreise sich von innen berühren.

    Hier siehst du einen Fall.

    Lösung

    Wenn man zwei Kreis betrachtet, können diese entweder

    • $0$ (keine) gemeinsame Punkte haben: Das bedeutet, dass sie außerhalb oder der kleinere Kreis innerhalb des größeren liegt.
    • $1$ (einen) gemeinsamen Punkt haben: Das bedeutet, dass die Kreise sich von innen oder außen berühren.
    • $2$ (zwei) gemeinsame Punkte haben. Das bedeutet, dass die Kreise sich schneiden.
    Zwei identische Kreise, mit dem gleichen Mittelpunkt hätten natürlich $\infty$ viele gemeinsame Punkte.

    Nach der Definition, dass alle Punkte des Kreises, vom Mittelpunkt den gleichen Abstand $r$ haben, zählt natürlich der Mittelpunkt des Kreises nicht als Punkt des Kreises.

  • Bestimme die Schnittpunkte der beiden Kreise.

    Tipps

    Zum Beispiel gilt für $k_1$:

    $(x-3)^2+(y-4)^2=2^2$.

    Forme diese Gleichung um.

    Dividiere die quadratische Gleichung erst einmal durch den Faktor vor dem $x^2$ und wende dann die p-q-Formel an:

    Die Gleichung $x^2+px+q=0$ wird gelöst durch

    $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

    Um die x-Koordinate der Schnittpunkte zu erhalten, setzt du den bekannten Wert für $y$ in der linearen Gleichung ein.

    Lösung

    Der Abstand der beiden Mittelpunkte ist

    $d=d(M_1;M_2)=\sqrt{(3-2)^2+(4-2)^2}=\sqrt 5$.

    • $r_1+r_2=3$ und
    • $r_1-r_2=1$,
    damit ist $r_1-r_2<d<r_1+r_2$. Die beiden Kreise schneiden sich also in zwei Punkten.

    Nun werden die Kreisgleichungen aufgestellt:

    $k_1:(x-3)^2+(y-4)^2=2^2$.

    Diese Gleichung kann ausmultipliziert werden zu

    $k_1:x^2-6x+9+y^2-8y+16=4$

    und umgeformt werden zu

    $k_1:x^2-6x+y^2-8y=-21$.

    Ebenso kann die Kreisgleichung $k_2:x^2-4x+y^2-4y=-7$ aufgestellt werden.

    Durch Subtraktion von $k_1$ von $k_2$ erhält man

    $2x+4y=14$.

    • Es wird $4y$ subtrahiert zu $2x=14-4y$ und
    • durch $2$ dividiert: $x=7-2y$.
    Dies ist die Gleichung einer Geraden. Nun wird dieses $x$ in einer der beiden Kreisgleichungen, zum Beispiel $k_2$ eingesetzt:

    $(7-2y)^2 -4(7-2y)+y^2-4y=-7$.

    Mit Hilfe einer binomischen Formel wird die linke Klammer aufgelöst:

    $49-28y+4y^2-28+8y+y^2-4y=-7$.

    Nun werden alle Terme zusammengefasst und auf die linke Seite gebracht:

    $5y^2-24y+28=0$.

    Division durch $5$ führt zu $y^2-4,8y+5,6=0$.

    Nun kann die p-q-Formel angewendet werden:

    $y_{1,2}=-\frac{4,8}2\pm\sqrt{\left(\frac{4,8}2\right)^2-5,6}$.

    Dies führt zu den beiden Lösungen $y_1=2,8$ und $y_2=2$.

    Damit können die zugehörigen x-Koordinaten berechnet werden:

    $x_1=7-2\cdot 2,8=1,4$ und $x_2=7-2\cdot 3=3$.

    Nun sind die Schnittpunkte berechnet:

    $S_1(1,4|2,8)$ und $S_2(2|3)$.

  • Prüfe, wie die beiden Kreise zueinander liegen und gib gegebenenfalls die Schnittpunkte an.

    Tipps

    Die Kreisgleichungen lauten

    • $k_1:x^2-2x+y^2-2y=2$ sowie
    • $k_2:x^2-2x+y^2+4y=11$.

    Subtrahiere von der Gleichung zu $k_2$ die zu $k_1$.

    Dann steht $y$ alleine.

    Die y-Koordinaten sind bei beiden Punkten gleich.

    Wenn du die y-Koordinate in einer der Kreisgleichungen einsetzt, erhältst du eine quadratische Gleichung in $x$, welche du mit der p-q-Formel lösen kannst.

    Lösung

    Zuerst prüft man, welche Lage die Kreise zueinander haben:

    • $d=d(M_1;M_2)=\sqrt9=3$,
    • $r_1+r_2=6$ und
    • $r_2-r_1=2$.
    Da $r_2-r_1<d<r_1+r_2$ ist, schneiden sich die Kreise in zwei Punkten. Diese können bestimmt werden, indem man die Differenz der beiden Kreisgleichungen bildet. Diese sind:

    • $k_1:x^2-2x+y^2-2y=2$ sowie
    • $k_2:x^2-2x+y^2+4y=11$.
    Subtraktion der Gleichung zu $k_1$ von der zu $k_2$ führt zu $6y=9$.

    Nun wird durch $6$ dividiert und man erhält $y=1,5$.

    Dieses $y$ wird in einer der beiden Kreisgleichungen eingesetzt und man erhält

    $x^2-2x+1,5^2-3=2$.

    Diese Gleichung kann umgeformt werden zu

    $x^2-2x-2,75=0$.

    Nun wird die p-q-Formel angewendet:

    $x_{1,2}=1\pm\sqrt{1+2,75}$,

    also

    $x_1=1+\sqrt{3,75}\approx2,9$

    und

    $x_2=1-\sqrt{3,75}\approx-0,9$.

    Die gesuchten Schnittpunkte sind somit $S_1(-0,9|1,5)$ sowie $S_2(2,9|1,5)$.

  • Stelle die Kreisgleichungen auf.

    Tipps

    Multipliziere in der Gleichung $(x-m_1)^2+(y-m_2)^2=r^2$ aus zu

    $x^2-2m_1x+m_1^2+y^2-2m_2y+m_2^2=r^2$.

    Beachte: Die Hälfte des linearen Terms mit umgekehrtem Vorzeichen ist immer die entsprechende Mittelpunktkoordinate.

    Auf der rechten Seite steht immer $r^2-m_1^2-m_2^2$.

    Lösung

    Um die Lage von Kreisen zueinander zu untersuchen, müssen die jeweiligen Kreisgleichungen aufgestellt werden. Dies ist hier allgemein zu sehen: Gegeben sei der Mittelpunkt $M(m_1|m_2)$ sowie der Radius $r$.

    $k:(x-m_1)^2+(y.m_2)^2=r^2$.

    Nun werden die Klammern aufgelöst:

    $k:x^2-2m_1x+m_1^2+y^2-2m_2y+m_2^2=r^2$.

    Zuletzt wird $m_1^2+m_2^2$ subtrahiert zu

    $k:x^2-2m_1x+y^2-2m_2y=r^2-m_1^2-m_2^2$.

    • $M_1(1|1)$, $r_1=2$, $k_1:x^2-2x+y^2-2y=2$
    • $M_2(1|2)$, $r_2=2$, $k_2:x^2-2x+y^2-4y=-1$
    • $M_3(-1|1)$, $r_3=3$, $k_3:x^2+2x+y^2-2y=7$
    • $M_4(1|-2)$, $r_4=4$, $k_4:x^2-2x+y^2+4y=11$
  • Untersuche die Kreise auf ihre Lage zueinander.

    Tipps

    Berechne jeweils den Abstand der Mittelpunkte zueinander sowie die Differenz und die Summe der Radien.

    Bei der Differenz ziehst du von dem größeren Radius den kleineren ab.

    Untersuche nun die folgenden Fälle, für $r_1\ge r_2$:

    • $d=r_1+r_2$ bedeutet, dass die beiden Kreise sich von außen berühren, also einen gemeinsamen Punkt haben.
    • $d=r_1-r_2$ bedeutet, dass die beiden Kreise sich von innen berühren, also einen gemeinsamen Punkt haben.
    • $d>r_1+r_2$ bedeutet, dass die beiden Kreise außerhalb voneinander liegen, also keine gemeinsamen Punkte haben.
    • $d<r_1-r_2$ bedeutet, dass der kleinere der beiden Kreise innerhalb des größeren liegt. Die beiden Kreise haben also keine gemeinsamen Punkte.

    Ansonsten, die Differenz der Radien ist kleiner als der Abstand und dieser ist kleiner als die Summe der Radien, haben die Kreise zwei gemeinsame Punkte.

    Lösung

    Zunächst können die Abstände der Mittelpunkte berechnet werden:

    • $d_1=d(M_1;M_2)=\sqrt{1}=1$
    • $d_2=d(M_1;M_3)=\sqrt{4}=2$
    • $d_3=d(M_2;M_3)=\sqrt{5}$
    Nun gehts los:

    • $r_1+r_2=5$ und $r_2-r_1=3$: $1=d_1<r_2-r_1$. Das bedeutet, dass die Kreise $k_1$ und $k_2$ keine gemeinsamen Punkte haben.
    • $r_1+r_3=2$ und $r_3-r_1=0$: $2=d_2=r_1+r_3$. Das bedeutet, dass die Kreise $k_1$ und $k_3$ einen gemeinsamen Punkt haben.
    • $r_2+r_3=5$ und $r_2-r_3=3$: $\sqrt{5}=d_3<r_2-r_3$. Das bedeutet, dass die Kreise $k_1$ und $k_2$ keine gemeinsamen Punkte haben.