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Strecke vektoriell angeben 07:38 min

Textversion des Videos

Transkript Strecke vektoriell angeben

Hallo. Wenn Du weißt, wie wir Geraden vektoriell angeben können, dann können wir uns jetzt mal überlegen, wie wir Strecken vektoriell angeben können. Wir betrachten erst den klassischen Fall, wir haben hier zwei Punkte gegeben und Suchen diese Strecke, die diese beiden miteinander verbindet. Und dann überlegen wir uns noch, wie wir ohne solche Vorgaben auskommen können. Wir haben zwei Punkte gegeben, A und B. A hat die Koordinaten (-1|-5|-2). B hat die Koordinaten (2|4|5). Wir definieren zunächst eine Gerade, die durch diese beiden Punkte geht. Das ist die Gerade g, die besteht aus allen Vektoren x, die folgende Darstellung haben: Wir brauchen einen „Stützvektor“, das ist also ein Vektor, der zu einem Punkt der Geraden führt, naja, das ist ein Punkt der Geraden, dann nehmen wir den zugehörigen Vektor doch einfach und der hat die Koordinaten (-1, -5, -2). Dann brauchen wir noch einen „Richtungsvektor“, und da können wir den Vektor nehmen, der von A nach B führt, so schreibt man das auf, der Vektor von A nach B. Und den erhalten wir, wenn wir den Ortsvektor zu B nehmen und dann den Ortsvektor zu A subtrahieren. Ja, das kann einem schon mal komisch vorkommen, weil man vielleicht meint, es müsse A – B heißen, gut, so ist es aber nicht, aber das soll in diesem Video auch nicht weiter thematisiert werden. Also wir rechnen B – A und das Ergebnis ist (3, 9, 7). Und das ist unser Richtungsvektor. Dann brauchen wir noch einen Parameter und der soll jetzt mal r heißen, klein r. Und so haben wir jetzt eine Gerade, die durch die Punkte A, B führt. So, jetzt haben wir eine Gerade, wir wollen aber eine Strecke haben. Und die erhalten wir, indem wir den Parameter einschränken. Wenn r nicht irgendeine reelle Zahl sein darf, sondern wenn r eingeschränkt wird auf das Intervall, auf das abgeschlossene Intervall von 0 bis 1, dann wird durch dieses Ganze hier eine Strecke beschrieben, und zwar die Strecke zwischen A und B. Wir können uns das mal graphisch, optisch anschauen. Wir haben hier einen Vektor, der zu A führt, einen Vektor, der zu B führt. A und B sind hier nicht diese Punkte A und B, die sind ja auch dreidimensional, die sind zweidimensional, weil man das Dreidimensionale im Video etwas schlecht erkennen kann, deshalb jetzt zweidimensional. Also irgendwelche Punkte A und B. Wenn wir jetzt eine Strecke angeben wollen, die zwischen A und B, dann können wir uns das folgendermaßen vorstellen: Wir nehmen einen Stützvektor, und zwar den Vektor, der zu A führt, und setzen dann, als Richtungsvektor, den Vektor von A nach B dran. Wenn wir jetzt für r 0 einsetzen, dann landen wir hier bei A. Wenn wir für r 1 einsetzen, dann rechnen wir Vektor zu A plus Vektor von A nach B und landen hier bei B. Wenn wir eine Zahl zwischen 0 und 1 einsetzen, zum Beispiel 0,5, würden wir genau hier auf der Hälfte landen. Oder wenn wir 0,3 nehmen, sind wir dann hier. Und so weiter. Die Einschränkung des Parameters r auf das Intervall von 0 bis 1 funktioniert in diesem Fall hier, weil der Vektor zum Punkt A unser Stützvektor und der Vektor von A nach B unser Richtungsvektor ist. Wir können uns einen anderen Fall kurz vorstellen, in dem das nicht so ist. Wir haben hier zum Beispiel eine x-Achse. Ich zeige das wieder zweidimensional. Da ist die y-Achse. Wir haben einen Vektor, der zum Punkt A führt und wir haben einen Vektor, der zum Punkt B führt. Wir können eine Gerade definieren, die durch diese beiden Punkte geht, indem wir B als Stützvektor nehmen. Oder genauer gesagt, den „Ortsvektor“ zum Punkt B als Stützvektor und wir nehmen den Vektor von A zu B als Richtungsvektor. Den können wir jetzt also, diesen Vektor können wir hier dransetzen, das ist der Vektor von A zu B. Und wenn wir diese Strecke jetzt haben wollen, zwischen den beiden Punkten, dann müssen wir diesen Parameter r nicht auf das Intervall [0;1] einschränken, denn dann bekämen wir nur Punkte, die hier liegen, nicht die zwischen diesen beiden Punkten A und B liegen. Wir müssten einschränken auf das abgeschlossene Intervall [-1;0]. Denn dann bekämen wir die Punkte, die hier liegen, wenn wir hier -1 einsetzen, zum Beispiel gehen wir erst zu B und kehren diesen Vektor dann um, kommen dann hier zum Punkt A, wenn wir 0 einsetzen sind wir bei B. Und sonst, bei den Werten dazwischen, kommen wir eben auch zu den Punkten, die sich hier dazwischen befinden. So, damit sind wir fast fertig. Wir haben gesehen, wie wir eine Strecke zwischen zwei gegebenen Punkten vektoriell angeben können. Und jetzt kommt noch der allgemeine Fall. Also, wie können wir eine Strecke ohne gegebene Punkte angeben? Also, wenn wir eine Gerade gegeben haben und schränken den Parameter auf irgendein abgeschlossenes Intervall ein, erhalten wir immer eine Strecke. Denn dadurch können wir nicht alle Punkte der Geraden erreichen, sondern nur die Punkte in einem bestimmten Bereich, inklusive der Endpunkte. Und das ist eine Strecke. Das war es dazu, viel Spaß damit. Tschüss.

1 Kommentar
  1. Der ☆☆☆KING☆☆☆ Martin ist gewöhnungsbedürftig, die "Fröhlichkeit" kam erst am Ende auf, ein bisserl

    Von Mariarudolf, vor mehr als 2 Jahren

Strecke vektoriell angeben Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Strecke vektoriell angeben kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, wie man eine Strecke mit Hilfe von Vektoren darstellen kann.

    Tipps
    • Wenn $r\in\mathbb{R}$ beliebig wählbar ist, erhältst du die gesamte Gerade.
    • Für $r=0$ erhältst du $\vec x=\vec a+0\cdot\vec{AB}=\vec a$, also den Vektor, der auf $A$ zeigt.

    Du erhältst den Verbindungsvektor $\vec{AB}$, indem du von dem Ortsvektor des Endpunktes, $\vec a$, den des Anfangspunktes, $\vec b$, subtrahierst:

    $\vec{AB}=\vec b-\vec a$

    Lösung

    Die allgemeine Geradengleichung in Parameterform lautet:

    $g:\vec x=\vec a+r\cdot \vec b$

    Dabei ist $\vec a$ der Stützvektor. Dieser zeigt auf einen Punkt der Geraden. Der Vektor $\vec b$ ist der Richtungsvektor. Diesen erkennst du daran, dass er mit dem Parameter $r$ multipliziert wird.

    Eine Zweipunktgleichung einer Geraden bei zwei gegebenen Punkten $A$ und $B$ lässt sich wie folgt aufschreiben:

    $g:\vec x=\vec a+r\cdot \vec{AB}$

    Der Stützvektor $\vec a$ ist der Ortsvektor des Punktes $A$, zeigt also auf diesen Punkt. Der Vektor, der von diesem Punkt $A$ aus zu dem Punkt $B$ führt, der Verbindungsvektor $\vec{AB}$, ist der Richtungsvektor.

    Dann ist die Strecke $\overline{AB}$ gegeben durch die obige Zweipunktgleichung mit der Einschränkung $r\in[0;1]\subset \mathbb{R}$.

    • Für $r=0$ erhältst du $\vec x=\vec a+0\cdot \vec{AB}=\vec a$. Dieser Vektor zeigt auf den Punkt $A$.
    • Für $r=1$ erhältst du $\vec x=\vec a+1\cdot \vec{AB}=\vec a+\vec b-\vec a=\vec b$. Dieser Vektor zeigt auf den Punkt $B$.
    • Für $0<r<1$ erhältst du alle Punkte, die auf der Geraden zwischen $A$ und $B$ liegen.
    Wenn du den Gegenvektor des obigen Vektors $\vec{AB}$, also $\vec{BA}$, als Richtungsvektor wählst, musst du $r$ auf das Intervall $[-1;0]\subset \mathbb{R}$ einschränken, um die Strecke $\overline{AB}$ darzustellen.

  • Stelle die Strecke $\overline{AB}$ mit Hilfe von Vektoren dar.

    Tipps

    Der Stützvektor einer Geraden ist ein Vektor, welcher auf einen Punkt der Geraden zeigt.

    Der Verbindungsvektor zweier Punkte $A$ und $B$ ist gegeben durch:

    $\vec{AB}=\vec b-\vec a$.

    Du subtrahierst also von dem Ortsvektor des Endpunktes den des Anfangspunktes.

    Zum Beispiel gilt für $r=1$:

    $\vec x=\begin{pmatrix}-1\\-5\\-2\end{pmatrix}+1\cdot \begin{pmatrix}3\\9\\7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}$

    Lösung

    Bei zwei gegebenen Punkten $A(-1|-5|-2)$ sowie $B(2|4|5)$ kann eine Zweipunktgleichung der Geraden aufgestellt werden, auf welcher die beiden Punkte $A$ und $B$ liegen.

    Der Ortsvektor des Punktes $A$ ist der Stützvektor:

    $g:\vec x=\begin{pmatrix}-1\\-5\\-2\end{pmatrix}+r\cdot ...$

    Als Richtungsvektor nimmst du den Verbindungsvektor der beiden Punkte:

    $\vec{AB}=\begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\-5\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\9\\7\end{pmatrix}$

    So lautet die Geradengleichung:

    $g:\vec x=\begin{pmatrix}-1\\-5\\-2\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}3\\9\\7\end{pmatrix}$

    Nun musst du noch $r\in[0;1]\subset\mathbb{R}$ einschränken, so erhältst du die Strecke $\overline{AB}$.

  • Entscheide, zu welchen Werten des Parameters $r$ die Punkte oder Bereiche gehören.

    Tipps

    Beachte, dass der Verbindungsvektor nicht von $A$ nach $B$, sondern von $B$ nach $A$ verläuft.

    Wenn du für $r=1$ einsetzt, erhältst du:

    $g:\vec x=\vec a+\vec{BA}=\vec a+\vec a-\vec b=2\vec a-\vec b$

    Lösung

    Hier siehst du die Gerade durch die beiden Punkte $A$ und $B$. Der Ortsvektor des Punktes $A$, also $\vec a$, ist der Stützvektor der Geraden. Richtungsvektor ist in der folgenden Geradengleichung der Verbindungsvektor $\vec{BA}$. Dieser ist auch dargestellt.

    Wir schauen uns die beiden Endpunkte der Strecke an:

    • Für $r=0$ erhältst du $\vec x=\vec a+0\cdot \vec{BA}=\vec a$, den Ortsvektor des Punktes $A$.
    • Für $r=-1$ erhältst du $\vec x=\vec a- \vec{BA}=\vec a-(\vec a-\vec b)=\vec b$, den Ortsvektor von $B$.
    • Somit sind für alle $-1<r<0$ die Ortsvektoren der Punkte auf der Strecke $\overline{AB}$ gegeben.
    Nun schauen wir uns die Bereiche auf der Geraden aber außerhalb der Strecke an.

    • Da zum Punkt $B$ der Parameterwert $r=-1$ und zum Punkt $A$ der Parameter $r=0$ gehören, gehören zu dem Bereich über $B$ hinaus die Parameter, welche kleiner sind als $-1$.
    • Ebenso kann argumentiert werden, dass zu dem Bereich über $A$ hinaus die Parameter gehören, die größer sind als $0$.
  • Ermittle den Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$.

    Tipps

    Hier siehst du, wie du einen Verbindungsvektor der Punkte $A$ und $B$ bestimmst:

    $\vec{AB}=\vec b-\vec a$.

    Beachte, dass bei der oben angegebenen Darstellung der Geraden die Punkte, welche auf der Strecke $\overline{AB}$ liegen, durch die Beschränkung des Parameters $r$ gegeben sind:

    $0\le r\le 1$

    Du kannst übrigens den Mittelpunkt zweier Punkte auch so bestimmen:

    Seien $A(a_x|a_y|a_z)$ sowie $B(b_x|b_y|b_z)$ die beiden Punkte. Dann ist der Mittelpunkt:

    $M_{\overline{AB}}\left(\frac{a_x+b_x}2\big\vert\frac{a_y+b_y}2\big\vert\frac{a_z+b_z}2\right)$.

    Lösung

    Der Mittelpunkt von zwei Punkten liegt auf der Strecke, welche diese beiden Punkte als Endpunkte hat.

    Wenn die folgende Gleichung betrachtet wird, ist für $r\in[0;1]\subset\mathbb{R}$ die Strecke $\overline{AB}$ gegeben:

    $\vec x=\vec a+r\cdot \vec{AB}$

    Wichtig ist dabei die Orientierung des Verbindungsvektors.

    Wie du hier in dem Bild sehen kannst, ist für $r=\frac12$ der Mittelpunkt dieser Strecke gegeben.

    Nun schauen wir uns für die beiden Punkte $A(3|-2|5)$ sowie $B(1|4|1)$ diese Gleichung an:

    $\vec x=\begin{pmatrix}3\\-2\\5\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}-2\\6\\-4\end{pmatrix}$

    Nun kannst du $r=\frac12$ in diese Gleichung einsetzen:

    $\vec{m_{\overline{AB}}}=\begin{pmatrix}3\\-2\\5\end{pmatrix}+\frac12\cdot \begin{pmatrix}-2\\6\\-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-2\\5\end{pmatrix}+\cdot \begin{pmatrix}-1\\3\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}$

    Also ist der Mittelpunkt $M_{\overline{AB}}(2|1|3)$.

    Übrigens: Du kannst den Mittelpunkt auch direkt bestimmen. Hierfür verwenden wir die folgende Darstellung mit den Punkten $A(a_x|a_y|a_z)$ sowie $B(b_x|b_y|b_z)$:

    $\vec{m_{\overline{AB}}}=\begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\end{pmatrix}+\frac12\cdot \begin{pmatrix}b_x-a_x\\b_y-a_y\\b_z-a_z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_x+\frac12(b_x-a_x)\\a_y+\frac12(b_y-a_y)\\a_z+\frac12(b_z-a_z)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{a_x+b_x}2\\\frac{a_y+b_y}2\\\frac{a_z+b_z}2\end{pmatrix}$

    Somit ist der Mittelpunkt gegeben durch $M_{\overline{AB}}\left(\frac{a_x+b_x}2\big\vert\frac{a_y+b_y}2\big\vert\frac{a_z+b_z}2\right)$.

  • Gib den jeweiligen Wert oder das Intervall für den Parameter $r$ an.

    Tipps

    Setze die gegebenen Werte für $r$ in die Geradengleichung ein und ermittle den Ortsvektor des resultierenden Punkts.

    Zum Beispiel liegt der Punkt, welcher durch $r=\frac 12$ gegeben ist, genau in der Mitte der beiden Punkte.

    Lösung

    Die Strecke $\overline{AB}$ zwischen den Punkten $A$ und $B$ ist gegeben durch diese Gleichung:

    $g:\vec x=\vec a+r\cdot \vec{AB}$

    Dabei wird der Parameter $r$ wie folgt eingeschränkt:

    $r\in[0;1]\subset \mathbb{R}$

    Wir schauen uns nun einmal an, welche Punkte zu welchem Parameter gehören:

    • Für $r=0$ erhältst du $\vec x=\vec a+0\cdot \vec{AB}=\vec a$. Dies ist der Ortsvektor des Punktes $A$.
    • Für $r=1$ erhältst du $\vec x=\vec a+1\cdot \vec{AB}=\vec a+\vec b-\vec a=\vec b$, den Ortsvektor von $B$.
    • Für $0<r<1$ erhältst du Ortsvektoren für alle Punkte, die auf der Geraden zwischen $A$ und $B$ liegen.
    Zum Beispiel erhältst du für $r=\frac12$ den Ortsvektor des Mittelpunkts der Strecke $\overline{AB}$.

  • Prüfe, welche der Punkte auf der Strecke $\overline{AB}$ liegen.

    Tipps

    Stelle zunächst die Gleichung der Strecke auf:

    $g:\vec x=\vec a+r\cdot \vec{AB}$, $r\in[0;1]$

    Wenn du prüfen möchtest, ob ein Punkt auf der Geraden liegt, führst du eine Punktprobe durch:

    • Du setzt den Ortsvektor des Punktes für $\vec x$ ein.
    • Dies führt zu einem linearen Gleichungssystem mit $3$ Gleichungen und einer Unbekannten.
    • Löse eine der Gleichungen. Die Lösung muss auch die beiden anderen Gleichungen erfüllen.

    Beachte:

    • Ein Punkt, welcher nicht auf der Geraden liegt, kann auch nicht auf der Strecke liegen.
    • Ein Punkt liegt auf der Strecke, wenn er auf der Geraden liegt und für den zugehörigen Parameter $r\in[0;1]$ gilt.

    Eine mögliche Geradengleichung der Geraden durch die beiden Punkte $A$ und $B$ lautet

    $g:\vec x=\begin{pmatrix}3\\4\\-7\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}-16\\8\\0\end{pmatrix}$.

    Lösung

    Zunächst stellen wir eine Gleichung der Geraden durch die beiden Punkte $A(3|4|-7)$ und $B(-13|12|-7)$ auf.

    Eine mögliche Gleichung lautet:

    $g:\vec x=\begin{pmatrix}3\\4\\-7\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}-16\\8\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3-16r\\4+8r\\-7\end{pmatrix}$

    Für jeden Punkt auf dieser Geraden gilt: Gehört ein Parameter $r\in[0;1]$ zu diesem Punkt, dann liegt der Punkt auf der Strecke $\overline{AB}$.

    Das bedeutet, dass für jeden der Punkte eine Punktprobe durchgeführt werden muss. Damit prüfst du, ob der Punkt auf der Geraden liegt. Anhand des Parameters $r$ kannst du dann erkennen, ob er auch auf der Strecke liegt. Hierfür setzt du den Ortsvektor der Punktes für $\vec x$ ein. Hinweis: Da der dritte Wert des Richtungsvektors bei dieser Geraden $0$ ist, müssen wir nur die anderen beiden Koordinaten beachten.

    • $(-1|6|3)$: Schaue dir die letzte, also die $z$-Koordinate an. Diese ist für jeden Punkt der Gerade $-7$. Dieser Punkt kann nicht auf der Geraden und damit auch nicht auf der Strecke liegen.
    • $(-9|10|-7)$: Die erste Gleichung ($x$-Koordinate) lautet $3-16r=-9$. Subtrahiere $3$ zu $-16r=-12$ und dividiere nun durch $-16$. Dies führt zu $r=\frac34=0,75$. Setze diesen Wert in die zweite Gleichung ein. Das ergibt $4+8\cdot 0,75=10$ ✓ Dieser Punkt liegt auf der Geraden. Da $r=0,75$ in dem angegebenen Intervall liegt, liegt dieser Punkt auf der Strecke.
    • $(-29|20|-7)$: Hier lautet die erste Gleichung $3-16r=-29$. Subtrahiere zuerst $3$ und dividiere dann durch $-16$. So erhältst du $r=2$. Tatsächlich liegt dieser Punkt auf der Geraden, allerdings nicht auf der Strecke.
    • $(5|7|-7)$: Die erste Gleichung führt zu $r=\frac12=0,5$ und die zweite zu $r=\frac38=0,375\neq 0,5$. Dieses Gleichungssystem ist nicht lösbar. Der Punkt liegt also nicht auf der Geraden und damit auch nicht auf der Strecke.
    • $(22,2|-5,6|-7)$: Dieser Punkt liegt auf der Geraden. Es ist $r=-1,2$. Da $r\not\in[0;1]$ gilt, liegt dieser Punkt nicht auf der Strecke.
    • $(-3,4|7,2|-7)$: Lösen des Gleichungssystems führt zu $r=0,4$. Dieser Punkt liegt auf der Strecke.