Sinussatz – Erklärung und Herleitung
Der Sinussatz ermöglicht die Berechnung von Winkeln und Seitenlängen in Dreiecken. Lerne die Herleitung und Anwendung. Lust auf mehr? Lies weiter!

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Sinussatz – Erklärung und Herleitung Übung
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Gib an, welche Aussagen zu Sinus und Sinussatz richtig sind.
TippsDer Sinus ist definiert als das Längenverhältnis von Gegenkathete des betrachteten Winkels zur Hypotenuse. Die Hypotenuse ist die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck.
LösungDer Sinus kann nur in rechtwinkligen Dreiecken angewendet werden. Dies erschließt sich auch aus seiner Definition: $\sin (\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete von~} \alpha}{\text{Hypotenuse}}$
Die Begriffe Gegenkathete und Hypotenuse gibt es nur im rechtwinkligen Dreieck. Die Hypotenuse liegt gegenüber des rechten Winkels und die Gegenkathete von $\alpha$ liegt gegenüber von $\alpha$.Der Sinus ist als Längenverhältnis im rechtwinkligen Dreieck definiert. Wir können ihn nicht herleiten.
Der Sinussatz hingegen kann in beliebigen Dreiecken angewendet werden. Er lautet: $\dfrac{a}{\sin (\alpha)} = \dfrac{b}{\sin (\beta)} = \dfrac{c}{\sin (\gamma)}$
Den Sinussatz in beliebigen Dreiecken können wir hingegen mithilfe des Sinus herleiten. Dazu teilen wir das beliebige Dreieck durch Einzeichnen einer Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke, in denen wir den Sinus anwenden können.
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Vervollständige die Herleitung des Sinussatzes.
TippsDer Sinus im rechtwinkligen Dreieck ist wie folgt definiert:
$\sin (\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}}$Du kannst eine Gleichung umformen, indem du auf beiden Seiten der Gleichung mit demselben Wert multiplizierst.
LösungWir können das Dreieck $ABC$ durch Einzeichnen der Höhe auf der Seite $c$ in zwei Dreiecke unterteilen. Da die Höhe senkrecht auf der Seite $c$ stehen muss, sind die beiden Dreiecke rechtwinklig.
Wir können also in beiden Dreiecken den Sinus anwenden. Dieser ist wie folgt definiert:
$\sin (\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}}$- Für das Dreieck $1$ gilt: $\quad\sin(\alpha) =\frac{h}{b}$
- Für das Dreieck $2$ gilt: $\quad\sin(\beta) = \frac{h}{a}$
- bei Dreieck $1$: $\quad h=\sin(\alpha) \cdot b$
- bei Dreieck $2$: $\quad h=\sin(\beta) \cdot a$
$\sin(\alpha) \cdot b = \sin(\beta) \cdot a$
Dies können wir umformen, indem wir durch $\sin(\alpha)$ und $\sin(\beta)$ teilen, und erhalten:
$\begin{array}{rrrrr} \sin(\alpha) \cdot b& = & \sin(\beta) \cdot a & |: \sin(\beta) \\ \dfrac{\sin(\alpha) \cdot b}{\sin(\beta)}& = & a & |: \sin(\alpha)& \\ \dfrac{b}{\sin(\beta)} & = & \dfrac{a}{\sin(\alpha)} && \\ \end{array}$
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Formuliere den Sinussatz.
TippsDu kannst den Sinussatz durch Äquivalenzumformungen umschreiben.
Die Umkehrrechnung zum Multiplizieren ist das Dividieren und umgekehrt. Auch ein Bruch stellt eine Division dar:
$\dfrac{a}{\sin (\alpha)} = a : \sin (\alpha)$LösungWir kennen den Sinussatz in der Form:
$\dfrac{a}{\sin (\alpha)} = \dfrac{b}{\sin (\beta)}$
Wir können diese Gleichung durch Äquivalenzumformungen auch in anderer Form darstellen:$\begin{array}{rrlr} \dfrac{a}{\sin (\alpha)} & = & \dfrac{b}{\sin (\beta)} & |\cdot \sin (\alpha) \\ a & = & \dfrac{b}{\sin (\beta)} \cdot \sin (\alpha) &|\cdot \sin (\beta) \\ a \cdot \sin(\beta) & = & b \cdot \sin(\alpha) & \\ \end{array}$
Und wir formen weiter um:
$\begin{array}{rrlr} a \cdot \sin(\beta) & = & b \cdot \sin(\alpha) & | : \sin(\alpha) \\ \dfrac{a \cdot \sin(\beta)}{\sin(\alpha)} &=& b & | : a \\ \dfrac{\sin(\beta)}{\sin(\alpha)} &=& \dfrac{b}{a} & | : a \\ \end{array}$
Folgende Gleichungen stellen jedoch nicht den Sinussatz dar:
- $a \cdot \sin (\alpha) = b \cdot \sin (\beta)$
- $\sin (\alpha) \cdot \sin (\beta) = a \cdot b$
- $\sin (\alpha) - \sin (\beta) = a - b$
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Leite den zweiten Teil des Sinussatzes her.
TippsDu kannst den Sinussatz mitilfe des Sinus herleiten. Dazu musst du zuerst rechtwinklige Dreiecke erzeugen, da der Sinus nur im rechtwinkligen Dreieck gilt.
Ziel ist es, die Seiten $b$ und $c$ und die Winkel $\beta$ und $\gamma$ miteinander in Beziehung zu setzen.
LösungWir können das Dreieck $ABC$ durch Einzeichnen der Höhe auf der Seite $a$ in zwei Dreiecke unterteilen. Da die Höhe senkrecht auf der Seite $a$ stehen muss, sind die beiden Dreiecke rechtwinklig.
Wir können also in beiden Dreiecken den Sinus anwenden. Dieser ist wie folgt definiert:
$\sin (\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete von} ~\alpha}{\text{Hypotenuse}}$- Für das obere Dreieck gilt: $\quad\sin(\gamma) =\frac{h}{b}$
- Für das untere Dreieck gilt: $\quad\sin(\beta) = \frac{h}{c}$
- beim oberen Dreieck: $\quad h=\sin({\gamma}) \cdot b$
- beim unteren Dreieck: $\quad h=\sin({\beta}) \cdot c$
$\sin({\gamma}) \cdot b = \sin({\beta}) \cdot c$
Dies können wir noch umformen und erhalten:
$\dfrac{c}{\sin (\gamma)} = \dfrac{b}{\sin (\beta)}$
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Gib den Sinussatz an.
TippsVersuche dir die Struktur der Formel zu erschließen.
Gegenüber von der Seite $a$ liegt der Winkel $\alpha$.
Gegenüber von der Seite $b$ liegt der Winkel $\beta$.
Gegenüber von der Seite $c$ liegt der Winkel $\gamma$.LösungDer Sinussatz darf in beliebigen Dreiecken angewendet werden. Er lautet:
$\dfrac{a}{\sin (\alpha)} = \dfrac{b}{\sin (\beta)} = \dfrac{c}{\sin (\gamma)}$
Es ist also stehts das Verhältnis zwischen einer Dreiecksseite und dem Sinus des gegenüberliegenden Winkels gleich.
Wir können mithilfe des Sinussatzes in einem Dreieck eine fehlende Seitenlänge oder auch einen fehlenden Winkel berechnen.
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Berechne die Seite $a$ mithilfe des Sinussatzes.
TippsÜberlege dir, welche der drei Winkel du verwenden musst.
Auf dem Taschenrechner gibt es eine Taste (sin), mit welcher du den Sinus eines bestimmten Winkels bestimmen kannst.
Achte darauf, richtig zu runden. Betrachte dazu die Stelle hinter der Rundungsstelle: Ist diese $5$ oder größer, so wird aufgerundet. Andernfalls wird abgerundet.
LösungDer Sinussatz lautet:
$\dfrac{a}{\sin (\alpha)} = \dfrac{c}{\sin (\gamma)}$Der Winkel $\alpha$ liegt gegenüber der Seite $a$. In unserem Dreieck gilt $\alpha = 48^\circ$. Außerdem gilt: $c=15$ und $\gamma = 92^\circ$.
Wir schreiben den Sinussatz um:
$a \cdot \sin (\gamma) = c \cdot \sin (\alpha)$
und setzen wie oben zugeordnet ein:
$a \cdot \sin (92^\circ) =15\cdot \sin (48^\circ)\quad |: \sin (92^\circ) $
$a = 15 \cdot \sin (48^\circ): \sin (92^\circ) $
Wir geben den Term in den Taschenrechner ein und erhalten für $a$ auf eine Stelle nach dem Komma gerundet:
$a= 14,7842483... \approx 14,8$
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