Sinussatz - Erklärung und Herleitung

Sinussatz - Erklärung und Herleitung Übung

• Gib den Sinussatz an.

  Tipps

  Der Sinussatz stellt ein Verhältnis zwischen den Winkeln eines allgemeinen Dreiecks und den gegenüberliegenden Seiten her.

  Der Winkel $\beta$ liegt in der Regel der Seite $b$ gegenüber.

  Lösung

  Der Sinussatz lautet:

  $\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}$.

  Mit diesem Satz erhalten wir drei verschiedene Sätze auf einmal:

  $ (\text{I}) \ \frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta} \quad \quad \quad (\text{II}) \ \frac{a}{\sin \alpha}=\frac{c}{\sin \gamma} \quad \quad \quad (\text{III}) \ \frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}$.

  Beispiel: Sind die Seite $b$ und die Winkel $\alpha$ und $\beta$ gegeben, kann die Gleichung $(\text{I})$ entsprechend umgestellt und die Seite $a$ berechnet werden.

• Beschreibe die Herleitung des Sinussatzes.

  Tipps

  $\begin{array}{rcll} c & = & \frac{a}{b} & |\cdot b \\ a & = & c \cdot b \end{array}$

  In rechtwinkligen Dreiecken gilt stets:

  $\sin \alpha=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

  Lösung

  Herleitung Sinussatz:

  • Um den Sinussatz herleiten zu können, benötigen wir zuerst die Höhe $h_{c}$.

  $\quad$ Die Höhe $h_{c}$ teilt das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke, für die folgende Gleichungen gelten:

  $\quad \sin (\alpha)= \frac{h_{c}}{b} \quad \sin (\beta)=\frac{h_{c}}{a}$.

  • Dann formen wir die Gleichungen nach $h_{c}$ um und erhalten:

  $\quad h_{c}=\sin (\alpha) \cdot b \\ \quad h_{c}=\sin (\beta) \cdot a$.

  • Die Gleichsetzung dieser Gleichungen führt zu:

  $\quad \sin (\alpha) \cdot b =\sin (\beta) \cdot a$.

  • Nun teilen wir durch $\sin (\alpha)$ und $\sin (\beta)$ und erhalten:

  $\quad (\text{I}) \ \frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}$.

  Das ist der erste Teil unserer Herleitung des Sinussatzes.

  Die anderen beiden Teile

  $\quad (\text{II}) \ \frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{c}{\sin(\gamma)} \\ \quad (\text{III}) \ \frac{b}{\sin(\beta)}=\frac{c}{\sin(\gamma)}$

  erhalten wir durch analoge Beweisführung – nur nicht mit $h_c$, sondern mit $h_a$ bzw. $h_b$.

  Schließlich schreibt man alle Gleichungen hintereinander und erhält den Sinussatz:

  $\quad \frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}=\frac{c}{\sin(\gamma)}$.

• Berechne die fehlenden Größen mit dem Sinussatz.

  Tipps

  Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck beträgt 180°.

  Nach dem Sinussatz gilt:

  $a=\frac{c \ \cdot \ \sin \alpha}{\sin \gamma}$

  Lösung

  Wir berechnen zuerst $\alpha$. Nach Innenwinkelsummensatz gilt:

  $\begin{array}{rcll} 180° & = & 105°+40°+\alpha & \quad | -105°{,} - 40° \\ \alpha & = & 180°-105°-40° \\ \alpha & = & 35° \end{array}$

  Um die Seite $a$ zu berechnen, rechnen wir:

  $\begin{array}{rcll} \frac{a}{\sin (35°)} & = & \frac{10}{\sin (105°)} & \quad | \cdot \sin (35°) \\ a & = & \frac{10 \ \cdot \ \sin (35°)}{\sin (105°)} \\ a & \approx & 5,9 \end{array}$

  Nun berechnen wir $b$:

  $\begin{array}{rcll} \frac{b}{\sin (40°)} & = & \frac{10}{\sin (105°)} & \quad |\cdot \sin (40°) \\ b & = & \frac{10 \ \cdot \ \sin (40°)}{\sin (105°)} \\ b & \approx & 6,7 \end{array}$

• Berechne die fehlenden Größen der Dreiecke mit Hilfe des Sinussatzes.

  Tipps

  Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck beträgt 180°.

  Nach dem Sinussatz gilt:

  $a=\frac{b \ \cdot \ \sin \alpha}{\sin \beta}$

  Lösung

  Alle gegebenen Dreiecke können mit Hilfe des Sinussatzes gelöst werden.

  Wir wollen nun den Lösungswegs eines der Dreiecke berechnen:

  In dem abgebildeten Dreieck sei gegeben:

  $c = 9 \quad \gamma = 99° \quad \beta = 57°$

  Gesucht: $a, b, \alpha$

  • Mit den gegebenen Größen können wir bereits $b$ berechnen:

  $\begin{array}{rcll} \frac{b}{\sin (57°)} & = & \frac{9}{\sin (99°)} & \quad | \cdot \sin (57°) \\ b & = & \frac{99 \ \cdot \ \sin (57°)}{\sin (99°)} \\ b & \approx & 7,6 \end{array}$

  • Wir erhalten $a$, indem wir zuerst $\alpha$ berechnen. Nach Innenwinkelsummensatz gilt:

  $\begin{array}{rcll} 180° & = & 99°+57°+\alpha & \quad | -99°{,} -57° \\ \alpha & = & 180°-99°-57° \\ \alpha & = & 24° \end{array}$

  $\begin{array}{rcll} \frac{a}{\sin (24°)} & = & \frac{9}{\sin (99°)} & \quad | \cdot \sin (24°) \\ a & = & \frac{9 \ \cdot \ \sin (24°)}{\sin (99°)} \\ a & \approx & 3,7 \end{array}$

  Alle anderen Dreieck können analog berechnet werden:

  $~$1. Dreieck: geg.: $b = 3,0 \ $ $\gamma = 82° \ $ $\beta = 45° \quad$ Lösung: $a \approx 3,4 \ $ $c \approx 4,2 \ $ $\alpha = 53°$

  $~$2. Dreieck: geg.: $c = 6,5 \ $ $\gamma = 68° \ $ $\alpha = 73° \quad$ Lösung: $a \approx 6,7 \ $ $c \approx 4,4 \ $ $\alpha = 39°$

  $~$3. Dreieck: geg.: $b = 6,1 \ $ $\gamma = 45° \ $ $\alpha = 58° \quad$ Lösung: $a \approx 5,3 \ $ $c \approx 4,4 \ $ $\alpha = 77°$

• Gib die Formeln der trigonometrischen Funktionen zur Berechnung von Seiten und Winkeln in rechtwinkligen Dreiecken an.

  Tipps

  Die Hypotenuse ist die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, also die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite.

  Die Gegenkathete liegt einem gegebenen Winkel gegenüber. Die Ankathete ist die Seite, die an dem gegebenen Winkel anliegt, aber nicht die Hypotenuse ist.

  Lösung

  Rechtwinkliges Dreieck

  In einem rechtwinkligen Dreieck gibt es folgende Bezeichnungen:

  • Hypotenuse: Die Hypotenuse ist die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber.

  • Ankathete: Die Ankathete befindet sich direkt an dem gegebenen Winkel, daher der Name Ankathete.

  • Gegenkathete: Die Gegenkathete liegt hingegen gegenüber dem gegebenen Winkel, daher der Name Gegenkathete. $\\$

  Sinus, Cosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck

  • Der Sinuswert eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist der Quotient aus der Länge der Gegenkathete dieses Winkels sowie der Länge der Hypotenuse.

  $\sin (\alpha)= \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}= \frac{a}{c}$

  • Der Cosinuswert eines spitzen Winkels ist definiert als der Quotient aus der Länge der Ankathete dieses Winkels sowie der Länge der Hypotenuse.

  $\cos (\alpha)= \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}= \frac{b}{c}$

  • Der Tangenswert eines spitzen Winkels ist definiert als der Quotient aus der Länge der Gegenkathete sowie der Länge der Ankathete dieses Winkels.

  $\tan (\alpha)= \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}= \frac{a}{b}$ $\\$

  Diese Angaben gelten nur in Bezug auf den Winkel $\alpha$.

  In Bezug auf $\beta$ wäre die Seite $b$ die Gegenkathete und die Seite $a$ die Ankathete.

• Berechne die fehlenden Größen in dem Dreieck.

  Tipps

  $\alpha$ und $\alpha'$ sind Nebenwinkel.

  Lösung

  Bei dieser Aufgabe sind mehrere Rechnungen durchzuführen, bevor wir $h$ berechnen können. Wir stellen nun schrittweise alle Gleichungen auf, um uns einen Überblick zu verschaffen, welche Größen wie und an welcher Stelle berechnet werden können.

  Erläuterung Lösungsweg

  $\text{(I)}$ Wir beginnen direkt mit $h$ und erhalten $h$ mit dem Sinus in rechtwinkligen Dreiecken:

  $\quad$ $\sin (\alpha)= \frac{h}{m} \quad$ $\rightarrow$ aber: $m$ ist unbekannt.

  $\text{(II)}$ $m$ berechnen wir mit Hilfe des Sinussatzes:

  $\quad$ $\frac{m}{\sin (\beta)}=\frac{c}{\sin (\gamma)} \quad$ $\rightarrow$ aber: $\gamma$ ist unbekannt.

  $\text{(III)}$ Nun berechnen wir $\gamma$ nach dem Innenwinkelsummensatz:

  $\quad$ $\gamma=180°-\alpha'-\beta \quad$ $\rightarrow$ aber: $\alpha'$ ist unbekannt.

  $\text{(IV)}$ Wir berechnen $\alpha'$ mit Hilfe der Eigenschaft von Nebenwinkeln:

  $\quad$ $\alpha'=180-\alpha$.

  $\rightarrow$ Bevor wir also $h$ berechnen können, berechnen wir zuerst $\alpha'$, dann $\gamma$ und danach $m$.

  Berechnung der fehlenden Größen

  Da $\alpha$ und $\alpha'$ Nebenwinkel sind und Nebenwinkel sich stets zu $180°$ ergänzen, berechnen wir $\alpha'$ wie folgt:

  $\begin{array}{rcll} \alpha' & = & 180°-\alpha \\ \alpha' & = & 180°-53°\\ \alpha' & = & 127° \end{array}$

  Nun berechnen wir $\gamma$ mit Hilfe des Innenwinkelsummensatzes:

  $\begin{array}{rcll} 180° & = & 127°+°+45°+\gamma & \quad | -127°{,} - 45° \\ \gamma & = & 180°-127°-45° \\ \gamma & = & 8° \end{array}$

  Um die Seite $m$ zu berechnen, wenden wir den Sinussatz an und erhalten:

  $\begin{array}{rcll} \frac{m}{\sin (\beta)} & = & \frac{c}{\sin (\gamma)} \\ \frac{m}{\sin (45°)} & = & \frac{90,7}{\sin (8°)} & \quad | \cdot \sin (45°) \\ m & = & \frac{90,7 \ \cdot \ \sin (45°)}{\sin (8°)} \\ m & \approx & 460,8 \end{array}$

  Zum Schluss berechnen wir $h$ mit dem Sinus in rechtwinkligen Dreiecken:

  $\begin{array}{rcll} \sin (\alpha) & = & \frac{h}{m} \\ \sin (53°) & = & \frac{h}{460,8} & \quad | \cdot 460,8\\ h & = & \sin (53°) \ \cdot \ 460,8 \\ h & \approx & 368 \end{array}$