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Schnittmenge

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Schnittmenge
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Schnittmenge

Im Alltag bilden wir oft Schnittmengen, ohne diesen Vorgang mit diesem Fachbegriff zu bezeichnen, z.B. beim Planen einer Urlaubsreise oder bei der Berufswahl. Die Schnittmenge zweier Mengen A und B ist die Menge der Elemente, die in A und auch in B vorkommen. Bildet man z.B. die Schnittmenge der Mengen A = { 2; 3; 5; 7 } und B = { 1; 3; 4; 7 }, dann erhält man die Menge { 3; 7 }, weil nur die Elemente 3 und 7 sowohl in der Menge A als auch in der Menge B vorkommen. Die Schnittmenge gehört zu den Grundkonzepten der Mathematik, deren Kenntnis das Verständnis vieler mathemtischer Handlungen erleichtert.

Transkript Schnittmenge

Hallo, wenn du eine Urlaubsreise planst oder wenn du dir überlegst, welchen Beruf du ergreifen möchtest, dann hat das mathematisch gesehen viel mit Schnittmengen zu tun. Und wenn du weißt, was Mengen sind und was Elemente sind, dann können wir uns gemeinsam jetzt mal diese Definition der Schnittmengen ansehen. Das Zeichen hier ist das Zeichen für die Schnittmenge, liest sich A geschnitten B und ist so eine Art umgedrehtes U. Die Schnittmenge AB zweier Mengen A und B ist die Menge der Elemente, die in A und auch in B vorkommen. Die Schnittmenge bezeichnet man auch als Durchschnittsmenge – deshalb steht hier das Gleichheitszeichen, weil es das gleiche ist – oder man kann auch einfach sagen der Durchschnitt von A und B. Veranschaulichen kann man sich solche Schnittmengen mit Fan-Diagrammen. Das ist jetzt mal die Menge A zum Beispiel und hier ist die Menge B. Und da sind jetzt irgendwelche Zahlen drin: eins, fünf, drei, sieben, acht, neun, zwei, z.B. Die drei und die acht sind in der Menge A, die drei und die acht sind auch in der Menge B, deshalb sind sie im Durchschnitt der beiden Mengen. Das heißt, wir haben jetzt hier AB={3;8}. Manchmal hat man auch Fan-Diagramme ohne Symbole. Und wenn man sagt, dass man jetzt über den Durchschnitt redet der beiden Mengen, dann schraffiert man das hier z.B. so und dann sagt man, so da ist jetzt die Schnittmenge. So schauen wir uns ein paar Beispiele dazu an. Wir haben hier die Menge M, die besteht aus den geraden natürlichen Zahlen bis 40. Und wir haben hier die Menge B, das sind die Primzahlen kleiner als 40. Hier habe ich mal die Menge M aufgebaut und da die Menge B. Was passiert, wenn man jetzt beide Mengen schneidet? Dann kommt eine Schnittmenge heraus und zwar ist MB={2}. Zwei ist nämlich die einzige gerade Primzahl, ja und die ist dann hier im Durchschnitt der beiden Mengen. Dann kommen wir zum nächsten Beispiel: wir haben jetzt die Menge A, das sind die Natürlichen Zahlen von eins bis 40 und diese Menge soll jetzt mit B geschnitten werden. Ja, ich bastele die eben hier noch mal zurecht, hier alle Zahlen von eins bis 40, alle Natürlichen Zahlen. Das Beispiel habe ich gewählt, weil ja B Teilmenge von A ist und dann ergibt sich grundsätzlich die Frage, was passiert, wenn man jetzt den Schnitt von A und B bildet? Naja, der Durchschnitt, die Schnittmenge ist dann einfach gleich B. Dann haben wir noch die Menge F. Die Menge F besteht aus den Natürlichen Zahlen kleiner gleich 40. Ja, und da siehst du gleich, das ist die gleiche Menge wie die da, also alle Zahlen, die auf dem Tisch liegen. Die Frage ist halt, was passiert, wenn man zwei gleiche Mengen schneidet? Dann kann man sich aussuchen, was rauskommt. AF=A=F. Und zum guten Schluss eine spezielle Menge, nämlich G, die leere Menge. Was passiert, wenn man die leere Menge mit einer A, vernünftigen Menge, schneidet? Dann kommt die leere Menge raus. Denn die Elemente, die in beiden Mengen enthalten sind, sind ja keine Elemente, also haben wir hier AG={ }. So und was hat das ganze jetzt mit einer Urlaubsreise zu tun? Wenn du deinen Urlaub planst, dann überlegst du dir, wo du hinfährst. Und um das herauszufinden, könntest du erstmal deine Wünsche aufschreiben, z.B. so. Das bedeutet, entsprechend deines ersten Wunsches kommen alle Ziele in Frage, die am Meer liegen. Das ist die Menge der Ziele am Meer. Dann kommen nach dem zweiten Wunsch alle Ziele in Frage, an denen sich viele junge Leute befinden. Das soll jetzt mal diese Menge hier sein. Da sind alle Ziele mit jungen Leuten enthalten. Dann kommen alle Ziele in Frage mit Sportangeboten. Das ist hier. Und dann haben wir noch alle Ziele mit vielen Sonnentagen und das soll mal in dieser Menge sein. Und hier ist der Schnitt aller Mengen. Und da befindet sich dein Traumziel. Und so ähnlich ist es mit der Berufswahl, du kannst erst deine Wünsche aufschreiben, dann kommt da z.B. raus, dass du gerne mit Menschen arbeitest, dass du gerne reist, dass du gerne Probleme schnell und konkret löst und auch dass du gerne etwas herstellen würdest. Und mit jedem Wunsch fallen immer mehr Berufe weg, die dich nicht interessieren und wenn du alle Wünsche aufgeschrieben hast, dann bleibt in der Mitte, in der Schnittmenge, nur noch ein Beruf übrig und das ist dann dein Traumberuf. Viel Spaß damit, Tschüss!

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. Ich fande es sehr sehr hilfreich! Dankeschön !

    Von The Dolan Twins, vor mehr als 4 Jahren

Schnittmenge Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Schnittmenge kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Definition der Schnittmenge wieder.

    Tipps

    Das Zeichen $\cup$ kann man auch als „oder” verstehen. Es bezeichnet die Vereinigungsmenge.

    Eine Menge ist die Gesamtheit aller ihrer Elemente.

    $A\subset B$ bedeutet, dass $A$ eine Teilmenge von $B$ ist.

    Lösung

    Die Schnittmenge, auch Durchnittsmenge oder einfach kurz Durchschnitt genannt, umfasst also jene Elemente, die in beiden Mengen vorkommen.

    Man schreibt dafür entweder $A \cap B$ oder $B \cap A$.

    Im Venn-Diagramm kannst du erkennen, dass es sich dabei um den überlappenden Bereich beider Mengen handelt.

    Ein Beispiel zur Schnittmenge:

    In einer Herde Schafe sind einige Tiere an Maul- und Klauenseuche erkrankt, während viele Tiere auch unter Flöhen leiden. Die gemeinsame Schnittmenge bilden all jene Tiere, die beide Merkmale aufweisen, die also an Maul- und Klauenseuche erkrankt sind und unter Flohbefall leiden.

  • Ergänze das Venn-Diagramm.

    Tipps

    Eines der gegebenen Elemente gehört weder zur Menge A noch zur Menge B und kann deshalb keinem Bereich im Diagramm zugeordnet werden.

    In den überlappenden Bereich gehören alle Elemente, die beiden Mengen A und B zuzuordnen sind.

    Lösung

    Das linke Oval stellt die Menge A dar. Hier hinein gehört auch die Zahl 1, die nicht Element der Menge B ist.

    Die Zahl 2, die ausschließlich Element der Menge B ist, gehört ins rechte Oval, das bereits als Menge B gekennzeichnet ist.

    Der sich überlappende Teil beider Mengen wird auch als Schnittmenge oder Durchschnitt bezeichnet. Hier hinein gehört die Zahl 8, da diese in beiden Mengen vorkommt. Man kann diesen Bereich in mathematischer Schreibweise auch mit $A \cap B=\{3; 8\}$ beschreiben.

  • Arbeite heraus, welche Aussagen über die Schnittmengen der gegebenen Mengen treffen kannst.

    Tipps

    Notiere dir zunächst die Elemente aller Mengen, um dir einen Überblick zu verschaffen.

    Ein Venn-Diagramm, auch Mengendiagramm genannt, kann dir dabei helfen, Überschneidungen zu erkennen, so dass du eventuelle Schnittmengen leichter bestimmen kannst.

    Wenn eine Menge komplett Teil einer anderen, größeren Menge ist, so spricht man auch von einer „Teilmenge”. Schneidet man eine Teilmenge mit der größeren Menge, so bekommt man wieder die Teilmenge heraus.

    Die Schnittmenge mit einer leeren Menge ist eine leere Menge, da es keine gemeinsamen Elemente gibt.

    Lösung

    Die Mengen lassen sich wie folgt beschreiben:

    $A=\big\{1; 2; 3; ... ; 30\big\}$, $B=\big\{2; 3; 5; ... ; 29\big\}$, $C=\big\{1; 2; 3; ... ; 30\big\}$, $D=\big\{\big\}$

    Augenscheinlich fällt die Menge B komplett in den Bereich der Menge A. Die Schnittmenge ist deren gemeinsamer Anteil, also die komplette Menge B: $A\cap B=B$.

    Es lässt sich auch erkennen, dass die Mengen A und C identisch sind. Diese Mengen sind Teilmengen voneinander. Die Schnittmenge entspricht jeder ihrer einzelnen Mengen: $A\cap C=A=C$.

    Zwischen der leeren Menge D und der Menge A gibt es keine Schnittmenge, da keine gemeinsamen Elemente existieren: $A\cap D=D$.

    Merke dir auch: Eine der gegebenen Mengen kann zwar komplett als Schnittmenge fungieren, aber die Schnittmenge kann damit höchstens die Elemente umfassen, die die kleinere Menge beinhaltet. Deshalb kann die Schnittmenge zwischen den Mengen A und B nicht die Menge A sein, denn diese ist größer.

  • Ermittle die Anzahl der Elemente für die vorgegebenen Mengen.

    Tipps

    Wie du sicher schnell feststellen konntest, ist es nahezu unmöglich, alle in Frage kommenden Teiler zur Bestimmung der Mengen aufzuschreiben.

    Es gibt jedoch eine kleine „Abkürzung”: Um festzustellen wie viele Elemente in die Menge der durch 3 teilbaren Zahlen fallen, musst kannst du 1000 durch 3 teilen.

    Danach musst du dein Ergebnis abrunden.

    Genau so kannst du auch mit der Menge $T_7$ verfahren.

    Als Schnittmenge ist jedoch die Anzahl der durch 3 und 7 teilbaren Zahlen gesucht. Dazu kannst du folgende Überlegung nutzen:

    Eine Zahl ist durch 3 und 7 teilbar, genau dann sie sich durch 21 teilen lässt.

    Lösung

    Um festzustellen wie viele Elemente in die Menge der durch 3 teilbaren Zahlen fallen, musst kannst du 1000 durch 3 teilen: $1000:3=333,\overline{3}$.

    Danach musst du dein Ergebnis abrunden: $333$ Zahlen befinden sich also in $T_3$.

    Analog rechnest du für $|T_7|$: $1000:7=142,\overline{857142}$ ergibt abgerundet $142$ Zahlen in $T_7$.

    Die Schnittmenge ließe sich nur unter erheblichem Zeitaufwand dadurch bestimmen, dass man sich die Mengen der durch 3 und 7 Teilbaren Zahlen aufschreibt und die gemeinsamen Elemente „herausfiltriert”.

    Deshalb ist es empfehlenswert, sich der Teilbarkeitsregeln zu bedienen: Wenn eine Zahl durch 3 und 7 teilbar sein soll, muss diese Zahl auch durch deren Produkt 21 teilbar sein.

    Somit ergibt sich: $|T_{3} \cap T_7|=1000 : 21 \approx 47,6$.

    Das Ergebnis muss abgerundet werden, da die Zahl 21 nur 47 mal ganz in die Zahl 1000 passt.

    Die Schnittmenge $T_{3} \cap T_{7}$ besteht also aus 47 gemeinsamen Elementen.

    Es war also für die Beantwortung der Frage von Tims Vater nicht unbedingt notwendig, die Anzahl der durch 3 bzw. 7 teilbaren Zahlen zu ermitteln.

  • Bestimme die gemeinsame Schnittmenge der Mengen M und B.

    Tipps

    Notiere zunächst alle Elemente der Mengen M und B, um dir einen ersten Überblick zu verschaffen.

    Du musst dafür nicht unbedingt alle Zahlen aufschreiben: Es genügt, wenn du die ersten Elemente und das letzte Element bestimmst.

    Primzahlen sind immer nur durch sich selbst und die Zahl 1 teilbar.

    Die Schnittmenge besteht aus den Elementen, die in beiden Mengen vorkommen. Dies betrifft hier nur eine Zahl, da es nur eine gerade Primzahl gibt.

    Lösung

    Die Mengen M und B kann man so beschreiben:

    $M=\big\{2; 4; 6; ... ;40\big\}$ und $B=\big\{Primzahl<40\big\}$.

    Also beinhaltet $B$ die Zahlen $2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31$ und $37$.

    Wenn man sich nun alle Primzahlen vor Augen hält, wird man schnell feststellen, dass es nur eine gerade Primzahl, nämlich die 2, gibt. Alle anderen Primzahlen sind ja per Definition nur durch sich selbst und die Zahl 1 teilbar.

    Somit fällt nur die Zahl 2 in die Schnittmenge der Mengen M und B: $M \cap B = \{ 2\}$.

    Manchmal ist es also durchaus hilfreich, die Schnittmenge durch logische Überlegungen zu bestimmen: Insbesondere dann, wenn es sich um sehr große Mengen handelt, deren Elemente man nicht mehr alle aufschreiben möchte.

  • Untersuche, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine rote Zahlkarte auf den Boden fällt.

    Tipps

    Ein Skatblatt verfügt insgesamt über 32 Spielkarten.

    Es existieren die Farben schwarz und rot, die sich jeweils gleichmäßig in Kreuz und Pik bzw. Herz und Karo aufteilen.

    Jede Farbe enthält die Zahlen 7, 8, 9 und 10 sowie die Bilder Bube, Dame, König und das Ass.

    Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit benötigst du die Anzahl der günstigen Ergebnisse $|E|$ und die Anzahl aller möglichen Ergebnisse $|\Omega |$.

    Die Formel zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit lautet:

    $P(E)=\frac{|E|}{|\Omega |}$.

    Die Anzahl der günstigen Ergebnisse entspricht der Schnittmenge zwischen den roten Karten und den Zahlkarten.

    Der Ereignisraum $\Omega$ entspricht der Gesamtheit aller Karten.

    Lösung

    Die zunächst gesuchte Schnittmenge aus roten Zahlkarten lautet:

    $R \cap Z=\big\{Karo 7; Karo 8; Karo 9; Karo 10; Herz 7; Herz 8; Herz 9; Herz 10 \big\}$.

    Nun muss nur noch die Wahrscheinlichkeit mit der Formel $P(E)=\frac{|E|}{|\Omega |}$ berechnet werden.

    $|E|$ ist die Anzahl der Elemente der Schnittmenge, während $|\Omega |$ die Gesamtzahl der Karten repräsentiert.

    Man setzt also die Anzahl der für meine Frage positiven Ergebnisse mit der Gesamtzahl der möglichen Ausgänge in Relation:

    $P(E)=\frac{8}{32}=\frac{1}{4}=25~\%$.

    Die Chancen stehen also $1:4$ oder $25~\%$, dass der Windstoß eine rote Zahlkarte auf den Boden wirft.

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