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Rechnen mit römischen Zahlen

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Ø 3.7 / 150 Bewertungen

Die Autor*innen
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André Otto
Rechnen mit römischen Zahlen
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse

Beschreibung Rechnen mit römischen Zahlen

An Vorkenntnissen solltet ihr bereits das Video „ Was sind römische Zahlen? “ geschaut haben. Wir rufen uns zunächst die römischen Zahlzeichen in Erinnerung. Nach der Wiederholung der Additions- und Subtraktionsregel für die römischen Zahlen üben wir die Umwandlung römischer Zahlen in Dezimalzahlen. Auch die andere Richtung wird geübt. Zum Ende des Films zeigen wir dir die Addition und Multiplikation römischer Zahlen, ohne die römischen Zahlen zuerst in die Dezimalschreibweise umzuformen. Schließlich wirst du erkennen, dass das Addieren und Multiplizieren im alten Rom nicht einfach war.

46 Kommentare

46 Kommentare
  1. Ich fand das Video toll ich finde es so bewundernswert wie viel Arbeit ihr in die ganze Sache steckt! Ich bin in der vierten klasse und lerne schon fast seit der ersten Klasse mit Sofatutor ich finde eure Videos echt super klasse! Ihr verdient wirklich Respekt.

    Von Claudia2104 Haeusser, vor 7 Monaten
  2. Hat mir halbwegs gehopfen

    Von Aisha Guthmann, vor 9 Monaten
  3. =☆☆☆☆☆
    =⭐⭐⭐⭐⭐
    =⭐⭐⭐⭐☆
    Aber es kann auch 🌟🌟🌟🌟🌟Goldene sterne!!!!!

    Von Amy606324, vor 11 Monaten
  4. schlecht

    Von Lasse K., vor 12 Monaten
  5. also ich fand es halbwegs hilfreich

    Von Stefan Kochi, vor fast 2 Jahren
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Rechnen mit römischen Zahlen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Rechnen mit römischen Zahlen kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, für welche Dezimalzahl das jeweilige römische Zahlzeichen steht.

    Tipps

    $DL$ steht für $550$.

    Mille ist lateinisch für $1000$.

    Lösung

    Es gibt 7 verschiedene römische Zahlzeichen:

    • $\text{I}~\hat{=}~1$
    • $\text{V}~\hat{=}~5$
    • $\text{X}~\hat{=}~10$
    • $\text{L}~\hat{=}~50$
    • $\text{C}~\hat{=}~100$
    • $\text{D}~\hat{=}~500$
    • $\text{M}~\hat{=}~1000$
    Bei fast allen Zahlzeichen kann man sich ein paar Eselsbrücken schaffen, um sie sich zu merken:
    • Wenn man eine Strichliste macht, steht jeder Strich für eine $1$. So kann man sich $I$ merken.
    • Die Zeichen $M$ und $C$ sind aus dem Lateinischen abgeleitet: Mille bedeutet $1000$. Millenium ist ein anderes Wort für Jahrtausend. Centum bedeutet $100$. Es findet sich zum Beispiel in dem englischen Wort für Jahrhundert wieder: Century.
    • Das Zeichen $X$ kann man mit ein wenig Phantasie aus zwei $V$s zusammensetzen. Dazu dreht man eines auf den Kopf und hängt es unten an das andere. So kann man sich merken, dass $X$ das Doppelte von $V$ ist.
    • Mit noch mehr Phantasie kann man aus zweimal $L$ ein $C$ machen. Wieder dreht man eines auf den Kopf und setzt es diesmal oben an das andere. Das entstehende $C$ ist zwar eckig, als Eselsbrücke reicht das jedoch aus.

  • Bestimme zu den römischen Zahlen die Darstellung als Dezimalzahl.

    Tipps

    Was besagen die Additions- und die Subtraktionsregel?

    Bei $\text{DCCCXXXVII}$ stehen die Zeichen von links nach rechts in absteigender Reihenfolge. Du kannst also einfach alle Zeichen mit der Additionsregel addieren.

    Bei $\text{CM}$ und bei $\text{XL}$ steht jeweils ein kleineres Zahlzeichen vor einem größeren.

    Du kannst eine römische Zahl immer in Teile zerlegen, bei denen dann jeweils nur die Additions- oder die Subtraktionsregel verwendet wird. Zum Beispiel:

    $\text{CMXLIII}~=~\text{CM}+\text{XL}+\text{III}$.

    Lösung

    Bei der Umwandlung von römischen Zahlen in Dezimalzahlen sind die Additions- und die Subtraktionsregel relevant.

    Die Additionsregel wird angewendet, wenn Zahlzeichen in absteigender Reihenfolge stehen, wenn also kein Zeichen einen kleineren Wert hat als das Zeichen rechts davon. Dann werden die Werte der Zahlzeichen aufaddiert:

    • $\text{CXI}~=~100 + 10 + 1~=~111$
    • $\text{DCCCXXXVII}~=~500+100+100+100+10+10+10+5+1+1~=~837$
    Kommt es vor, dass rechts neben einem Zeichen ein Zeichen mit einem größeren Wert steht, so wird das kleinere vom größeren subtrahiert. Das ist die Subtraktionsregel. So gilt zum Beispiel: $\text{CM}~=~ 1000 - 100~=~ 900$ und $\text{XL}~=~ 50 - 10~=~ 40$. Dann ergeben sich für die beiden anderen Aufgaben:
    • $\text{CMLVIII}~=~\text{CM}+\text{LVIII}~=~(1000-100)+50+5+1+1+1~=~958$
    • $\text{CMXLIII}~=~\text{CM}+\text{XL}+\text{III}~=~(1000-100)+(50-10)+1+1+1~=~943$
    Die Klammern wurden hier nur gesetzt, um zu zeigen, wo die Subtraktionsregel angewendet wurde.

  • Bestimme zu den Dezimalzahlen die Darstellung als römische Zahl.

    Tipps

    Zerlege die Zahlen in Summen, deren Summanden du leichter als römische Zahlen darstellen kannst. Zum Beispiel:

    $541 = 500 + 40 +1$.

    Wie kannst du zum Beispiel $40$ oder $400$ als römische Zahlen schreiben? Denk an die 3-Zeichenregel! Du darfst $40$ nicht als $\text{XXXX}$ schreiben.

    Verwende die Subtraktionsregel. Es gilt:

    • $400=500-100$
    • $40=50-10$
    • $90=100-10$

    Lösung

    Beim Umwandeln von Dezimalzahlen in römische Zahlen muss man neben der Additions- und Subtraktionsregel besonders auf die 3-Zeichenregel achten. Sie besagt, dass niemals mehr als drei gleiche Zeichen nebeneinander stehen. Man stellt zum Beispiel die Zahl $40$ nicht als $\text{XXXX}$ dar, sondern wendet die Subtraktionsregel an: $40 ~\hat{=}~ \text{XL}$. Hier steht $\text{X}$ mit Wert $10$ vor $\text{L}$, das einen größeren Wert von $50$ hat. $\text{XL}$ hat somit den Wert $50 - 10 = 40$. Damit ergibt sich für $541$:

    • $541~=~500+40+1~\hat{=}~\text{D + XL + I}~=~\text{DXLI}$.
    Laut 3-Zeichenregel schreibt man für $400$ nicht $\text{CCCC}$, sondern $\text{CD}$, da $500 - 100~=~400$. Dann ergibt sich für $412$:

    • $412~=~400 + 10 + 2 ~\hat{=}~ \text{CD + X + II}~=~\text{CDXII}$.
    Die 3-Zeichenregel hat auch zur Folge, dass $90$ nicht als $50 + 40 ~\hat{=}~ \text{LXXXX}$, sondern als $100 - 10 ~\hat{=}~ \text{XC}$ dargestellt wird:
    • $97~=~90 + 7~=~100-10+7~\hat{=}~ \text{XC + VII}~=~\text{XCVII}$.
  • Prüfe, welche Additionen das gleiche Ergebnis liefern.

    Tipps

    Zerlege zunächst beide Summanden in ihre Bestandteile. Achte dabei darauf, ob du die Subtraktionsregel anwenden musst.

    Sortiere die Zahlzeichen dann nach der Größe ihres Wertes. Wie kannst du das Resultat vereinfachen?

    Gleiche Zahlzeichen kannst du durch andere Zeichen ersetzen.

    Steht zwischen zwei gleichen Zahlzeichen ein Minuszeichen, so heben sich diese beiden Zeichen gegenseitig auf.

    Lösung

    Man kann Summen von römischen Zahlen zum Beispiel lösen, indem man die Zahlen in ihre Bestandteile zerlegt, diese dann nach Größe sortiert und dann bestimmte Zeichen sinnvoll ersetzt. So kann man zum Beispiel fünf hintereinander folgende $\text{X}$ durch $\text{L}$ ersetzen:

    $\begin{array}{lll} \text{LXXX}+\text{XX} &=& \text{L} + \underbrace{\text{X + X + X + X + X}}_{\text{L}} \\ &=& \text{L + L} \\ &=& \text{C} \end{array}$

    Manchmal kann man mehrere Gruppen von mehrfachen Zeichen ersetzen:

    $\begin{array}{lll} \text{LXXII}+\text{LXXXI} &=& \text{L + X + X + I + I + L + X + X + X + I} \\ &=& \underbrace{\text{L + L}}_{\text{C}} + \underbrace{\text{X + X + X + X + X}}_{\text{L}} + \text{I + I + I}\\ &=& \text{CLIII} \end{array}$

    Bei der nächsten Rechnung entstehen nach dem Ersetzen neue Gruppen, die ersetzt werden können:

    $\begin{array}{lll} \text{CCXXIII}+\text{DXXVII} &=& \text{C + C + X + X + I + I + D + X + X + V + I + I}\\ &=& \text{D + C + C + X + X + X + X + V} + \underbrace{\text{I + I + I + I + I}}_{\text{V}}\\ &=& \text{D + C + C + X + X + X + X} + \underbrace{\text{V + V}}_{\text{X}}\\ &=& \text{D + C + C } + \underbrace{\text{X + X + X + X + X}}_{\text{L}}\\ &=& \text{DCCL} \end{array}$

    Beim Auflösen muss man darauf achten, ob die Subtraktionsregel benutzt werden muss. Dann kann es nach dem Umsortieren sein, dass sich zwei gleiche Zeichen wegen des Minuszeichens aufheben:

    $\begin{array}{lll} \text{XC}+\text{LXIII} &=& \text{C - X + L + X + I + I + I}\\ &=& \text{C + L} + \underbrace{\text{X - X}}_{\text{hebt sich auf}} + \text{I + I + I}\\ &=& \text{CLIII} \end{array}$

    Die beiden Typen der Vereinfachung, Ersetzen und Aufheben, können sich auch vermischen:

    $\begin{array}{lll} \text{XXXIX}+\text{LXI} &=& \text{X + X + X + X - I + L + X + I}\\ &=& \text{L + }\underbrace{\text{X + X + X + X + X}}_{\text{L}} + \underbrace{\text{I - I}}_{\text{hebt sich auf}} \\ &=& \text{C} \end{array}$

    Auch bei der letzten Aufgabe waren beide Typen vermischt:

    $\begin{array}{lll} \text{CDXX}+\text{CCCXXX} &=& \text{D - C + X + X + C + C + C + X + X + X}\\ &=& \text{D + C + C} + \underbrace{\text{C - C}}_{\text{hebt sich auf}} + \underbrace{\text{X + X + X + X + X}}_{\text{L}}\\ &=& \text{DCCL} \end{array}$

  • Ermittle, wo die Additions- und Subtraktionsregel richtig angewendet wurden.

    Tipps

    Steht bei $\text{CM}$ das kleinere oder größere Zeichen weiter vorne?

    Die Subtraktionsregel besagt:

    Wenn bei 2 nebeneinander stehenden Zeichen das mit dem kleineren Wert vor dem mit dem größeren Wert steht, so wird das kleine von dem großen subtrahiert. Steht bei $\text{CM}$ das kleinere oder größere Zeichen weiter vorne?

    Das Zeichen $\text{M}$ hat einen höheren Wert als $\text{D}$.

    Lösung

    Die Additionsregel wird angewendet, wenn bei zwei aufeinanderfolgenden Zahlzeichen entweder beide Zeichen gleich sind oder das erste größer als das zweite ist. Die beiden Zahlen werden dann addiert. Bei diesen drei Zahlen muss die Additionsregel angewendet werden:

    • $II = 1 + 1 = 2$
    • $XV = 10 + 5 = 15$
    • $MD = 1000 + 500 = 1500$
    Bei $MD$ hatte sich ein Fehler eingeschlichen. $M$ steht für $1000$ und steht vor $D$, das für $500$ steht. Da das größere Zeichen zuerst steht, werden beide Zahlen addiert.

    Die Subtraktionsregel wird angewendet, wenn ein kleineres Zahlzeichen vor einem größerem steht. Das kleinere wird dann von dem größeren subtrahiert. Bei diesen drei Zahlen muss die Subtraktionsregel angewendet werden:

    • $IV = 5 - 1 = 4$
    • $XL = 50 - 10 = 40$
    • $CM = 1000 - 100 = 900$
    Bei $CM$ hatte sich ein Fehler eingeschlichen. $C$ steht für $100$ und steht vor $M$, das für $1000$ steht. Da $C$ kleiner als $M$ ist und davor steht, wird subtrahiert.

  • Berechne die Produkte der römischen Zahlen.

    Tipps

    Eine Zahl $a$ mit einer anderen Zahl $b$ zu multiplizieren ist gleichbedeutend dazu, $b$-mal die Zahl $a$ zu addieren.

    In diesem Beispiel würde man $\text{CI}+\text{CI}+\text{CI} = \text{C + I + C + I + C + I} = \text{CCCIII}$ rechnen.

    Was kommt heraus, wenn du $\text{C}$, $\text{V}$ und $\text{I}$ mit $10$ multiplizierst?

    Zerlege $\text{LXII}~\cdot~\text{IV}$ in die Summe aus $\text{L + L + L + L}$, $\quad \text{X + X + X + X}$ und $~\text{I + I + I + I + I + I + I + I}$.

    Du kannst $\text{X + X + X + X}$ mit Hilfe der Subtraktionsregel darstellen.

    $\text{I + I + I + I + I + I + I + I}$ kannst du aufteilen in $\text{I + I + I + I + I}$ und $\text{I + I + I}$.

    Lösung

    $\text{MCV}~\cdot~\text{II}~=~\text{MMCCX}$:

    Die Multiplikation mit $\text{II}$, als Dezimalzahl $2$, ist nichts anderes, als $\text{MCV}$ zu sich selbst zu addieren:

    $\text{MCV}~\cdot~\text{II}~=~\text{MCV}+\text{MCV}~=~ \text{M+C+V+M+C+V}~=~\text{M}+\text{M}+\text{C}+\text{C}+\text{V}+\text{V}~=~\text{MMCCX}$. Wichtig ist hierbei, dass $\text{V}$, $\text{L}$ und $\text{D}$ nicht zweimal hintereinander stehen können. $\text{VV}$ wird zu $\text{X}$, $\text{LL}$ zu $\text{C}$ und $\text{DD}$ zu $\text{M}$.

    $\text{CVI}~\cdot~\text{X}~=~\text{MLX}$:

    Hier kann man ausnutzen, dass zu einigen Zahlzeichen auch das 10-fache als Zahlzeichen existiert:

    • $\text{C}\cdot\text{X} = \text{M}$
    • $\text{V}\cdot\text{X} = \text{L}$
    • $\text{I}\cdot\text{X} = \text{X}$
    Dann ergibt sich für die Aufgabe:

    $\text{CVI}~\cdot~\text{X}~=~\underbrace{\text{C}\cdot\text{X}}_{\hat{=}~\text{M}}+\underbrace{\text{V}\cdot\text{X}}_{\hat{=}~\text{L}}+\underbrace{\text{I}\cdot\text{X}}_{\hat{=}~\text{X}}~=~\text{MLX}$

    $\text{LXII}~\cdot~\text{IV}~=~\text{CCXLVIII}$:

    $\text{IV}$ als Dezimalzahl ist $4$. Bei der Aufgabe $\text{LXII}~\cdot~\text{IV}$ wird also viermal $\text{L + X + I + I}$ aufaddiert. Man kann dies in 3 einfachere Teilsummen aufspalten und diese separat berechnen:

    • $\text{L + L + L + L} = \text{CC}$
    • $\text{X + X + X + X} = \text{XL}$
    • $\text{I + I + I + I + I + I + I + I} = \text{VIII}$
    Dann ergibt sich für das gesuchte Produkt:

    $\begin{array}{lll} \text{LXII}~\cdot~\text{IV} &=& \underbrace{\text{L + L + L + L}}_{=~ \text{CC}} + \underbrace{\text{X + X + X + X}}_{=~ \text{XL}} + \underbrace{\text{I + I + I + I + I + I + I + I}}_{=~ \text{VIII}}\\ \\ &=& \text{CC + XL + VIII}~=~\text{CCXLVIII} \end{array}$

    $\text{CCXLVIII}$ verletzt keine der Regeln für die Bildung von römischen Zahlen und ist somit die gesuchte Lösung.

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