Quadratische Gleichungen zu rechteckigen Flächen aufstellen und lösen (2)

Quadratische Gleichungen zu rechteckigen Flächen aufstellen und lösen (2) Übung

• Stelle die Gleichungen zu den Aussagen auf.

  Tipps

  Mach dir die jeweilige Aufgabenstellung an Zahlenbeispielen klar:

  Klaus ist 12 Jahre alt, seine Schwester Karla 8 Jahre. Klaus ist 4 Jahre älter als Karla.

  Der Flächeninhalt eines Rechtecks sei $120~cm^2$, der eines Quadrats $40~cm^2$. Dann gilt, dass der Flächeninhalt des Rechtecks dreimal so groß ist wie der des Quadrats.

  Es gilt $\large{\frac{a}{b}=c \Leftrightarrow a=b\cdot c}$.

  Lösung

  1. Die Seite $a$ ist um $9~cm$ kürzer als die Seite $b$: Wenn $a$ zum Beispiel $27~cm$ lang ist, dann ist $b$ $36~cm$ lang. Es gilt $27+9=36$. Also muss die Gleichung lauten $a+9=b$ oder äquivalent dazu $a=b-9$.
  2. Die Aussage, dass der Flächeninhalt eines Rechtecks ($A_R$) viermal so groß ist wie der eines Quadrates ($A_Q$), lässt sich so als Gleichung schreiben: $\frac{A_R}{4}=A_Q$ und diese ist äquivalent zu $A_R=A_Q \cdot 4$.

  • Die Gleichung $a+b=9$ gehört zu der Aussage: Die Summe der beiden Seiten sei $9~cm$.
  • Die Gleichung $a=b+9$ gehört zu der Aussage, dass $a$ um $9~cm$ länger ist als $b$.
  • Die Gleichung $4 \cdot A_R = A_Q$ besagt, dass der Flächeninhalt des Quadrates viermal so groß ist wie der des Rechtecks.

• Berechne die Lösung der Textaufgabe.

  Tipps

  Beim Auflösen von Gleichungen gilt: Klammern zuerst

  Es ist notwendig, am Ende einer Textaufgabe eine Probe durchzuführen.

  Im vierten Schritt muss die Gleichung durch einen Faktor geteilt werden.

  Lösung

  Der Flächeninhalt des Quadrates mit der Seitenlänge $a$ ist $A_Q=a^2$ und der des Rechtecks mit de Seiten $a$ und $b$ $A_R=a \cdot b$.

  Da $b$ $3~cm$ länger ist als $a$, kann das Seitenverhältnis $b=a+3$ in der Rechteckfläche eingesetzt werden $A_R=a\cdot (a+3)$.

  Dann erhalten wir die Gleichung $a^2+6=a(a+3)$ mit nur einer Variablen $a$. Diese können wir dann lösen.

  1. Zuerst lösen wir die Klammer auf der rechten Seite auf:

  $\Leftrightarrow a^2+6=a^2+3a$

  2. Dann subtrahieren wir auf beiden Seiten $a^2$ und erhalten

  $\Leftrightarrow 6=3a$

  3. Dann teilen wir die Gleichung durch $3$ und erhalten die Seitenlänge des Quadrates in $cm$.

  $\Leftrightarrow a=2$

  4. Zur Probe wird dann $a=2$ in die Ausgangsgleichung eingesetzt.

  $\begin{align*} 2^2+6&=2(2+3)\\ \Leftrightarrow 10&=10. \end{align*}$ $\surd$

  Die Aussage ist richtig. Also ist die Kantenlänge des Quadrates $a$ $2~cm$ lang.

• Arbeite zu jedem der Seiten- oder Flächenverhältnisse die entsprechende Gleichung heraus.

  Tipps

  Du kannst dir bei jedem dieser Beispiele Zahlenbeispiele ausdenken.

  Zum Beispiel: Die Seitenlänge $a$ ist dreimal so lang wie $b$. Wenn $b=2 ~cm$ gilt, dann ist $a$ dreimal so lang also $6~ cm$.

  Paul besitzt $120$ CDs mehr als Paula.

  Wenn zum Beispiel Paul $630$ CDs besitzt, wie viele CDs besitzt dann Paula?

  Lösung

  Die Seite $a$ eines Rechtecks ist doppelt so lang wie die Seite $b$. Sei zum Beispiel $a=20~cm$, dann muss $b=10~cm$ sein, denn $20=2 \cdot 10$. Die gesuchte Gleichung ist also $a=2 \cdot b$.

  Der Flächeninhalt eines Rechtecks ($A_R$) ist um $3~ m^2$ größer als die Hälfte des Flächeninhaltes eines Quadrates ($A_Q$). „Größer als“ bedeutet, dass auf einen Term etwas addiert werden muss. Aber auf welchen wird addiert? Auch dies kannst du dir wieder an Zahlenbeispielen klar machen. Die Gleichung ist $A_R=\frac{A_Q}{2}+3~m^2$.

  Die Seitenlänge $b$ ist das Dreifache der Seitenlänge $a$ vermindert um $4~cm$. „Das Dreifache“ bedeutet mal $3$ und „vermindert“ bedeutet „minus“. Somit ist die gesuchte Gleichung $b=3 \cdot a-4~cm$.

  Die Summe der Flächeninhalte eines Rechtecks ($A_R$) und eines Quadrates ($A_Q$) ist $120 ~cm^2$. Die Summe ist das Ergebnis einer Addition, also lautet die Gleichung hier $A_R+A_Q=120~cm^2$.

• Ermittle die Länge und die Breite eines Fußballfeldes.

  Tipps

  Du hast zwei Gleichungen, eine für den Umfang und eine für das Verhältnis der Seiten. Du musst eine der beiden nach einer Größe auflösen, welche du dann in die andere Gleichung einsetzen kannst.

  So erhältst du eine Gleichung mit einer Unbekannten.

  Wenn du eine Textaufgabe gelöst hast, ist es sinnvoll, das Ergebnis in die Gleichungen zur Probe einzusetzen.

  Lösung

  Ordne bei einer Textaufgabe am Anfang den unbekannten Größen Variablen zu. Die Länge bezeichnen wir mit $a$ und die Breite mit $b$. Es gilt $a>b$.

  Der Umfang des Fußballfeldes beträgt $370~m$. Dies führt zu der Gleichung $2(a+b)=370~m$.

  Die längere Seite ist $15~m$ länger als die kürzere führt zu der Gleichung $a=b+15~m$.

  Setze $a$ in der Gleichung für den Umfang ein. Wir lassen der Übersicht halber die Einheiten weg. $\begin{align*} 2((b+15)+b)&=370~|~:2\\ (b+15)+b&=185~|~-15\\ 2b&=170 ~|~:2\\ b&=85. \end{align*}$

  Jetzt setzen wir $b$ in eine der Anfangsgleichung ein. Wir wählen hier die zweite. $a=85~m+15~m=100~m$.

  Das Fußballfeld ist also $100~m$ lang und $85~m$ breit.

  Die Probe liefert $2(100+85)=370$ $\surd$. Wir können auch noch den Flächeninhalt des Fußballfeldes berechnen. $100~m \cdot 85~m=8.500~m^2$. Das Fußballfeld ist also $8.500~m^2$ groß.

• Bestimme die Größen und Gleichungen zu der Textaufgabe.

  Tipps

  Bei einer Textaufgabe weist du den gesuchten Größen Variablen zu.

  Du stellst eine Gleichung auf mit diesen Variablen und löst diese Gleichung.

  Wenn eine Seite $a$ 5 cm länger ist als die andere $b$, führt dies zu der Gleichung:

  • $a+5=b$ oder
  • $a=b+5$?

  Mach dir dies an Zahlenbeispielen klar.

  Das Alter von Karl sei $h$. Das Alter von seiner Schwester Antonia sei $g$. Wenn Antonia doppelt so alt wie Karl ist, dann gilt $h\cdot 2 =g$.

  Lösung

  1. Die vier Seiten eines Quadrates sind gleich lang. Diese Seite wird mit $a$ bezeichnet.
  2. Zwei Seiten des Rechtecks sind genau so lang, also auch $a$ und die beiden anderen Seiten werden mit $b$ bezeichnet. Dass die Seite $b$ um $3~cm$ länger ist als $a$, wird durch die Gleichung $a+3=b$ beschrieben.
  3. Die Fläche des Quadrates ist um $6~cm^3$ kleiner als die des Rechtecks führt zu der Gleichung $A_Q+6=A_R$.

  Mit diesen drei Aussagen kann man die Lösung der Aufgabe ermitteln.

• Berechne die Seitenlängen des Rechtecks.

  Tipps

  Mache dir eine Skizze von den beiden Rechtecken R1 und R2. Kennzeichne die entsprechenden Seiten bei R1 mit den Variablen $a$ und $b$.

  Wenn man $a$ und $b$ beim fünften Schritt in die Flächeninhalte von R1 und R2 einsetzt, erhält man die Gleichung

  $(a+11) \cdot (b-6)=a \cdot b -84$

  Wenn man $a$ aus (1) in die Gleichung (2) einsetzt, erhält man die Gleichung

  $-6\cdot (6b-47)+11b=-18$

  Das Ergebnis von $b$ liegt zwischen $10$ und $15$. Das Ergebnis von $a$ zwischen zwischen $20$ und $30$.

  Lösung

  Stelle zunächst die Gleichungen zu den Seitenverhältnissen und dem Verhältnis der Flächeninhalte auf.

  • $a+11=6(b-6)$. Die Länge von R2 ist um $11~cm$ länger als $a$, die Breite um $6~cm$ kürzer als $b$. Das Rechteck R2 ist sechsmal so lang wie breit.
  • $(a+11)(b-6)=ab-84$. Hier steht links die Fläche von R2 und rechts die um $84~cm^2$ verringerte Fläche von R1.

  Zunächst formen wir die 2. Gleichung um und wir erhalten (2):

  $\begin{align*} (a+11)(b-6)&=ab-84\\ ab+11b-6a-66&=ab-84 &|& -ab+66 \\ 11b-6a&=-18. \end{align*}$

  Die 1. Gleichung kann nach $a$ aufgelöst werden und wir erhalten (1):

  $\begin{align*} a+11&=6(b-6)\\ a+11&=6b-36 &|& -11 \\ a&=6b-47. \end{align*}$

  $a$ wird jetzt in die Gleichung (2) eingesetzt.

  $\begin{align*} 11b-6(6b-47)&=-18\\ 11b-36b+282&=-18 &|& -282\\ -25b&=-300 &|& :(-25)\\ b&=12. \end{align*}$

  Fast fertig. Nun muss $b=12$ noch in die Gleichung $a=6b-47$ eingesetzt werden und somit ist $a=25$.

  Die Seiten des Rechtecks R1 sind also $12~cm$ und $25~cm$ lang. Die Seitenlängen des Rechtecks R2 sind entsprechend $6~cm$ und $36~cm$. Der Flächeninhalt des ersten Rechtecks beträgt $300~cm^2$ und der des zweiten Rechtecks $216~cm^2$.