30 Tage kostenlos testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Lösungswege für spezielle quadratische Gleichungen

Bewertung

Ø 4.4 / 8 Bewertungen

Die Autor/-innen
Avatar
Team Digital
Lösungswege für spezielle quadratische Gleichungen
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Lösungswege für spezielle quadratische Gleichungen

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, quadratische Gleichungen, in denen das Absolutglied und/oder das lineare Glied Null ist, zu lösen.

Zunächst lernst du, wie du quadratische Gleichungen ohne Absolutglied löst. Anschließend werden quadratische Gleichungen ohne lineares Glied betrachtet. Abschließend lernst du, welche Lösung eine quadratische Gleichung besitzt, die weder über ein Absolutglied, noch ein lineares Glied verfügt.

Lerne etwas über das Lösen quadratischer Gleichungen.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie quadratische Gleichung, Lösung, Lösungsmenge, allgemeine Form, reinquadratische Form, Absolutglied und lineares Glied.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was quadratische Gleichungen sind und in welchen Formen sie vorliegen können.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, etwas über die bestimmung von Nullstellen einer quadratischen Funktion zu lernen.

Transkript Lösungswege für spezielle quadratische Gleichungen

Lina arbeitet seit 35 Jahren in der Abteilung für Gleichungen. Das Lösen quadratischer Gleichungen findet sie einfach himmlisch! Aber heute hat sie Gleichungen bekommen, die sehen irgendwie etwas anders aus. Bei denen fehlt doch was! Deshalb beschäftigt sich Lina mit den Lösungswegen für spezielle quadratische Gleichungen. Aber welche speziellen Gleichungen sind dabei gemeint? Dazu wiederholen wir zunächst, wie die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung aussieht. Die Glieder im quadratischen Term heißen quadratisches Glied, lineares Glied und Absolutglied. Einzelne Quadratische Gleichungen unterscheiden sich durch die Koeffizienten dieser Glieder. Und die Koeffizienten führen daher auch auf die Lösungen dieser Gleichungen. Ist einer der Koeffizienten gleich Null, vereinfacht sich das Finden einer Lösung ganz erheblich. Der Koeffizient des quadratischen Glieds darf aber nicht Null werden, denn dann hätten wir keine quadratische Gleichung. Beginnen wir mit dem Fall, dass wir eine quadratische Gleichung ohne Absolutglied bzw. ohne Konstante gegeben haben. Schauen wir uns dazu dieses Beispiel an. Weil in beiden Gliedern x' vorkommt, dürfen wir es so ausklammern. Nun können wir den Satz vom Nullprodukt anwenden. Der besagt, dass ein Produkt Null ist, wenn einer der Faktoren Null ist. Wir setzen also den ersten Faktor gleich Null und erhalten sofort die erste Lösung: x1 gleich Null' Setzen wir den anderen Faktor gleich Null, erhalten wir eine lineare Gleichung. Stellen wir diese nach 'x' um, kommen wir auf die zweite Lösung. Eine quadratische Gleichung ohne Absolutglied, aber mit linearem Glied besitzt immer zwei Lösungen, von denen eine Null ist. Schauen wir uns nun eine Gleichung ohne lineares Glied an. Dazu können wir dieses Beispiel näher betrachten. Diese Form heißt auch reinquadratische Form. Um hier die Lösungen zu finden, bringen wir die Gleichung zunächst in Normalform. Dann holen wir die 9 auf die andere Seite. Nun müssen wir nur noch die Wurzel ziehen. Wir erhalten zwei Lösungen, 3 und 'minus3'. Beide ergeben quadriert nämlich 9. Der Betrag beider Lösungen ist gleich groß. Schauen wir uns nun noch dieses Beispiel an. Wir gehen genauso vor: Zuerst bringen wir die Gleichung in Normalform und stellen nach 'x Quadrat' um. Weil unter der Wurzel eine negative Zahl steht, können wir die Wurzel diesmal nicht ziehen. Die Gleichung besitzt daher keine Lösung. Eine quadratische Gleichung mit Absolutglied, aber ohne lineares Glied besitzt entweder zwei betragsgleiche Lösungen oder keine. Dabei kommt es darauf an, ob eine positive oder eine negative Zahl unter der Wurzel auftaucht. Haben wir eine quadratische Gleichung ohne lineares Glied und ohne Absolutglied gegeben, ist die Lösung Null. Dann gibt es auch nur diese eine Lösung. Fassen wir das noch einmal zusammen. Besitzt eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form kein Absolutglied, aber ein lineares Glied, dann besitzt sie immer zwei Lösungen, von denen eine Null ist. Aus der quadratischen Gleichung ergibt sich außerdem eine lineare Gleichung, deren Lösung durch Umstellen ermittelt werden kann. Die Form einer quadratische Gleichung, die in allgemeiner Form kein lineares Glied, aber ein Absolutglied besitzt, heißt auch reinquadratische Form. Sie besitzt entweder zwei betragsgleiche Lösungen, oder keine, je nachdem, welcher Wert nach dem Umstellen unter der Wurzel auftaucht. Besitzt eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form weder lineares Glied noch Absolutglied, dann besitzt sie genau eine Lösung: Null. Das geht sogar noch schneller, als das Lösen von normalen quadratischen Gleichungen. Einfach himmlisch!

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. cooles video es hat mir wirklich weitergeholfen und es ist super erklärt

    Von S K., vor 5 Monaten

Lösungswege für spezielle quadratische Gleichungen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lösungswege für spezielle quadratische Gleichungen kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe die Eigenschaften spezieller quadratischer Gleichungen.

    Tipps

    Eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form lautet:

    • $\underbrace{ax^2}_{\text{quadratisches}\\ \text{Glied}} + \underbrace{bx}_{\text{lineares} \\ \text{Glied}} + \underbrace{c}_{\text{Absolutglied}} = 0$
    Dabei sind $a$, $b$ und $c$ Koeffizienten.

    Für die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung gilt $a\neq 0$. Ist $b=0$ und $c\neq 0$, so liegt eine reinquadratische Gleichung vor.

    Lösung

    Eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form lautet:

    • $\underbrace{ax^2}_{\text{quadratisches}\\ \text{Glied}} + \underbrace{bx}_{\text{lineares} \\ \text{Glied}} + \underbrace{c}_{\text{Absolutglied}} = 0$
    Dabei sind $a$, $b$ und $c$ Koeffizienten. Es gilt immer $a\neq 0$.

    Variante 1: $ax^2+ bx +0= 0$

    • $b\neq 0$
    • $c=0$
    Besitzt eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form kein Absolutglied, aber ein lineares Glied, dann besitzt sie immer zwei Lösungen, von denen eine Null ist.

    Eine quadratische Gleichung dieser Form kann man durch Ausklammern der Variablen lösen. So wird die quadratische Gleichung als Multiplikation dargestellt, die eine lineare Gleichung als Faktor enthält.

    Variante 2: $ax^2+ 0\cdot x+ c= ax^2+ c=0$

    • $b=0$
    • $c\neq 0$
    Besitzt eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form kein lineares Glied, aber ein Absolutglied, dann besitzt sie entweder zwei betragsgleiche Lösungen oder keine Lösung.

    Eine quadratische Gleichung dieser Form heißt auch reinquadratische Form.

    Variante 3: $ax^2+ 0\cdot x+ 0=ax^2=0$

    • $b=0$
    • $c=0$
    Besitzt eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form weder ein lineares Glied noch ein Absolutglied, dann besitzt sie eine Lösung, nämlich Null.

  • Berechne die Lösungen der speziellen quadratischen Gleichungen.

    Tipps

    Eine quadratische Gleichung kann maximal zwei Lösungen besitzen.

    Erhältst du beim Umformen eine negative Zahl unter der Wurzel, so hat die quadratische Gleichung keine Lösung.

    Lösung

    Eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form lautet:

    • $\underbrace{ax^2}_{\text{quadratisches}\\ \text{Glied}} + \underbrace{bx}_{\text{lineares} \\ \text{Glied}} + \underbrace{c}_{\text{Absolutglied}} = 0$
    Es gilt immer $a\neq 0$. Die Koeffizienten $b$ und $c$ können aber durchaus gleich Null sein und so kommen dann die folgenden speziellen quadratischen Gleichungen zustande.

    • Variante 1: Besitzt eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form kein Absolutglied, aber ein lineares Glied, dann besitzt sie immer zwei Lösungen, von denen eine Null ist.
    • Variante 2: Besitzt eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form kein lineares Glied, aber ein Absolutglied, dann besitzt sie entweder zwei betragsgleiche Lösungen oder keine Lösung.
    • Variante 3: Besitzt eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form weder ein lineares Glied noch ein Absolutglied,
    dann besitzt sie eine Lösung, nämlich Null.

    Wir erhalten so die folgenden Lösungen:

    Gleichung 1: $~2x^2-6x=0$

    Wir haben hier eine quadratische Gleichung ohne Absolutglied. Also können wir die Variable $x$ ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden. Demnach ist ein Produkt dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist:

    $\begin{array}{rcll} 2x^2-6x &=& 0 & \vert ~\text{ausklammern} \\ x(2x-6) &=& 0 & \\ \end{array}$

    Nun können wir beide Faktoren getrennt betrachten:

    $\begin{array}{llllllllllll} x_1 &=& 0 & & & & & & 2x_2-6 &=& 0 & \vert +6 \\ & & & & & & & & 2x_2 &=& 6 & \vert :2 \\ & & & & & & & & x_2 &=& 3 & \\ \\ \end{array}$

    Gleichung 2: $~2x^2-18=0$

    Wir haben hier eine reinquadratische Gleichung. Diese besitzt entweder zwei betragsgleiche Lösungen oder keine Lösung:

    $\begin{array}{rcll} 2x^2-18 &=& 0 & \vert +18 \\ 2x^2 &=& 18 & \vert :2 \\ x^2 &=& 9 & \vert \sqrt{~} \\ x_{1,2} &=& \pm\sqrt{9} & \\ \\ x_1 &=& 3 & \\ x_2 &=& -3 & \\ \\ \end{array}$

    Gleichung 3: $~5x^2=0$

    Eine Gleichung ohne lineares Glied und Absolutglied hat immer die Lösung $x=0$.

    Gleichung 4: $~2x^2+18=0$

    Wir haben hier eine reinquadratische Gleichung. Diese besitzt entweder zwei betragsgleiche Lösungen oder keine Lösung:

    $\begin{array}{rcll} 2x^2+18 &=& 0 & \vert -18 \\ 2x^2 &=& -18 & \vert :2 \\ x^2 &=& -9 & \vert \sqrt{~} \\ x_{1,2} &=& \pm\sqrt{-9} & \\ \\ \end{array}$

    Diese Gleichung hat also keine Lösung.

  • Erschließe die Art der quadratischen Gleichung.

    Tipps

    Folgende Formen stellen quadratische Gleichungen ohne Absolutglied dar:

    • $ax^2+bx=0$
    • $x(ax+b)=0$
    • $ax^2=-bx$

    Eine quadratische Gleichung ohne lineares Glied und Absolutglied hat immer die Lösung $0$.

    Lösung

    Eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form lautet:

    • $\underbrace{ax^2}_{\text{quadratisches}\\ \text{Glied}} + \underbrace{bx}_{\text{lineares} \\ \text{Glied}} + \underbrace{c}_{\text{Absolutglied}} = 0$
    Es gilt immer $a\neq 0$. Die Koeffizienten $b$ und $c$ können aber durchaus gleich Null sein und so kommen dann die folgenden speziellen quadratischen Gleichungen zustande.

    Variante 1

    Besitzt eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form kein Absolutglied, aber ein lineares Glied, dann besitzt sie immer zwei Lösungen, von denen eine Null ist. Dieser Variante können wir die folgenden Gleichungen zuordnen:

    • $x(3x+6)=0$
    • $x^2+x=0$
    • Variante 2
    Besitzt eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form kein lineares Glied, aber ein Absolutglied, dann besitzt sie entweder zwei betragsgleiche Lösungen oder keine Lösung. Hierzu passen folgende Gleichungen:

    • $\quad x^2=9\quad$
    • $2x^2-8=0$
    • $16-x^2=0$
    • $2x^2+6=0$
    • Variante 3: Besitzt eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form weder ein lineares Glied noch ein Absolutglied,
    dann besitzt sie eine Lösung, nämlich Null. Dieser Variante ordnen wir folgende Gleichungen zu:

    • $x^2=0$
    • $0=x^2$
    Die übrigen Gleichungen sind keine quadratischen Gleichungen. In einer quadratischen Gleichung ist der höchste Exponent der Variablen die $2$. Gleichungen mit höherem oder niedrigerem Maximalgrad (höchster Grad/ größter Exponent) als $2$ sind keine quadratischen Gleichungen.

  • Ermittle die Lösungen der quadratischen Gleichungen.

    Tipps

    Enthält eine quadratische Gleichung kein Absolutglied, so kannst du die Variable $x$ ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden.

    Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt dann Null ist, wenn einer der Faktoren Null ist.

    Enthält eine quadratische Gleichung kein lineares Glied, so hat sie entweder zwei betragsgleiche Lösungen oder keine Lösung.

    Lösung

    Enthält eine quadratische Gleichung kein lineares Glied, so hat sie entweder zwei betragsgleiche Lösungen oder keine Lösung. Gleichungen dieser Form sind:

    Beispiel 1

    $\begin{array}{rcll} x^2-4 &=& 0 & \vert +4 \\ x^2 &=& 4 & \vert \sqrt{~} \\ x_{1,2} &=& \pm\sqrt{4} & \\ \\ x_1 &=& 2 & \\ x_2 &=& -2 & \end{array}$

    Beispiel 2

    $\begin{array}{rcll} -3x^2+3 &=& 0 & \vert -3 \\ -3x^2 &=& -3 & \vert :(-3) \\ x^2 &=& 1 & \vert \sqrt{~} \\ x_{1,2} &=& \pm\sqrt{1} & \\ \\ x_1 &=& 1 & \\ x_2 &=& -1 & \\ \\ \end{array}$

    Enthält eine quadratische Gleichung kein Absolutglied, so kannst du die Variable $x$ ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden. Dieser besagt, dass ein Produkt dann Null ist, wenn einer der Faktoren Null ist. Gleichungen dieser Form sind:

    Beispiel 3

    $\begin{array}{rcl} 3x^2+6x &=& 0 \\ x\cdot(3x+6) &=& 0 \\ \\ x_1 &=& 0 \end{array}$

    Für die zweite Lösung setzen wir den linearen Faktor gleich Null und erhalten:

    $\begin{array}{rcll} 3x+6 &=& 0 & \vert -6 \\ 3x &=& -6 & \vert :3 \\ x_2 &=& -2 \\ \\ \end{array}$

    Beispiel 4

    $\begin{array}{rcl} x^2+6x &=& 0 \\ x\cdot (x+6) &=& 0 \\ \\ x_1 &=& 0 \end{array}$

    Für die zweite Lösung setzen wir den linearen Faktor gleich Null und erhalten:

    $\begin{array}{rcll} x+6 &=& 0 & \vert -6 \\ x_2 &=& -6 \end{array}$

  • Benenne die Glieder in der allgemeinen Form der quadratischen Gleichung.

    Tipps

    Damit man von einer quadratischen Gleichung sprechen kann, darf das quadratische Glied nicht wegfallen, daher gilt immer $a\neq 0$.

    In der Gleichung $x^2+5=0$ fehlt das lineare Glied.

    Lösung

    Eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form lautet:

    • $\underbrace{ax^2}_{\text{quadratisches}\\ \text{Glied}} + \underbrace{bx}_{\text{lineares} \\ \text{Glied}} + \underbrace{c}_{\text{Absolutglied}} = 0$
    Es gilt immer $a\neq 0$. Die Koeffizienten $b$ und $c$ können aber durchaus gleich Null sein und so kommen dann die folgenden speziellen quadratischen Gleichungen zustande.

    Variante 1: $~ax^2+bx=0$

    • Besitzt eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form kein Absolutglied, aber ein lineares Glied, dann besitzt sie immer zwei Lösungen, von denen eine Null ist.
    Variante 2: $~ax^2+c=0$

    • Besitzt eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form kein lineares Glied, aber ein Absolutglied, dann besitzt sie entweder zwei betragsgleiche Lösungen oder keine Lösung.
    Variante 3: $~ax^2=0$

    • Besitzt eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form weder ein lineares Glied noch ein Absolutglied,
    dann besitzt sie eine Lösung, nämlich Null.
  • Bestimme die Lösung der Gleichung.

    Tipps

    Vereinfache die linke und rechte Seite der Gleichung so weit wie möglich. Forme die Gleichung dann so um, dass auf einer Seite der Gleichung eine Null steht.

    Die erste binomische Forme lautet:

    • $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
    Lösung

    Gegeben ist folgende Gleichung:

    • $(x+1)^2+11(x^2-3)=2x(2x+1)$
    Wir vereinfachen zunächst die linke und rechte Seite der Gleichung so weit wie möglich. Dann formen wir die Gleichung so um, dass auf einer Seite der Gleichung eine Null steht.

    $\begin{array}{rcll} (x+1)^2+11(x^2-3) &=& 2x(2x+1) & \\ x^2+2x+1+11x^2-33 &=& 4x^2+2x & \\ 12x^2+2x-32 &=& 4x^2+2x & \vert -2x \\ 12x^2-32 &=& 4x^2& \vert -4x^2 \\ 8x^2-32 &=& 0 & \\ \end{array}$

    Wir erhalten hier eine quadratische Gleichung ohne lineares Glied. Diese hat entweder zwei betragsgleiche oder keine Lösung. Es folgt:

    $\begin{array}{rcll} 8x^2-32 &=& 0 & \vert +32 \\ 8x^2 &=& 32 & \vert :8 \\ x^2 &=& 4 & \vert \sqrt{~} \\ x_{1,2} &=& \pm\sqrt{4} & \\ \\ x_{1} &=& 2 & \\ x_{2} &=& -2 & \\ \end{array}$

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
Im Vollzugang erhältst du:

10.840

Lernvideos

44.357

Übungen

38.999

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer/
-innen

running yeti

In allen Fächern und Klassenstufen.

Von Expert/-innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden