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Lösungswege für spezielle quadratische Gleichungen 05:01 min

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Transkript Lösungswege für spezielle quadratische Gleichungen

Lina arbeitet seit 35 Jahren in der Abteilung für Gleichungen. Das Lösen quadratischer Gleichungen findet sie einfach himmlisch! Aber heute hat sie Gleichungen bekommen, die sehen irgendwie etwas anders aus. Bei denen fehlt doch was! Deshalb beschäftigt sich Lina mit den Lösungswegen für spezielle quadratische Gleichungen. Aber welche speziellen Gleichungen sind dabei gemeint? Dazu wiederholen wir zunächst, wie die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung aussieht. Die Glieder im quadratischen Term heißen quadratisches Glied, lineares Glied und Absolutglied. Einzelne Quadratische Gleichungen unterscheiden sich durch die Koeffizienten dieser Glieder. Und die Koeffizienten führen daher auch auf die Lösungen dieser Gleichungen. Ist einer der Koeffizienten gleich Null, vereinfacht sich das Finden einer Lösung ganz erheblich. Der Koeffizient des quadratischen Glieds darf aber nicht Null werden, denn dann hätten wir keine quadratische Gleichung. Beginnen wir mit dem Fall, dass wir eine quadratische Gleichung ohne Absolutglied bzw. ohne Konstante gegeben haben. Schauen wir uns dazu dieses Beispiel an. Weil in beiden Gliedern x' vorkommt, dürfen wir es so ausklammern. Nun können wir den Satz vom Nullprodukt anwenden. Der besagt, dass ein Produkt Null ist, wenn einer der Faktoren Null ist. Wir setzen also den ersten Faktor gleich Null und erhalten sofort die erste Lösung: x1 gleich Null' Setzen wir den anderen Faktor gleich Null, erhalten wir eine lineare Gleichung. Stellen wir diese nach 'x' um, kommen wir auf die zweite Lösung. Eine quadratische Gleichung ohne Absolutglied, aber mit linearem Glied besitzt immer zwei Lösungen, von denen eine Null ist. Schauen wir uns nun eine Gleichung ohne lineares Glied an. Dazu können wir dieses Beispiel näher betrachten. Diese Form heißt auch reinquadratische Form. Um hier die Lösungen zu finden, bringen wir die Gleichung zunächst in Normalform. Dann holen wir die 9 auf die andere Seite. Nun müssen wir nur noch die Wurzel ziehen. Wir erhalten zwei Lösungen, 3 und 'minus3'. Beide ergeben quadriert nämlich 9. Der Betrag beider Lösungen ist gleich groß. Schauen wir uns nun noch dieses Beispiel an. Wir gehen genauso vor: Zuerst bringen wir die Gleichung in Normalform und stellen nach 'x Quadrat' um. Weil unter der Wurzel eine negative Zahl steht, können wir die Wurzel diesmal nicht ziehen. Die Gleichung besitzt daher keine Lösung. Eine quadratische Gleichung mit Absolutglied, aber ohne lineares Glied besitzt entweder zwei betragsgleiche Lösungen oder keine. Dabei kommt es darauf an, ob eine positive oder eine negative Zahl unter der Wurzel auftaucht. Haben wir eine quadratische Gleichung ohne lineares Glied und ohne Absolutglied gegeben, ist die Lösung Null. Dann gibt es auch nur diese eine Lösung. Fassen wir das noch einmal zusammen. Besitzt eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form kein Absolutglied, aber ein lineares Glied, dann besitzt sie immer zwei Lösungen, von denen eine Null ist. Aus der quadratischen Gleichung ergibt sich außerdem eine lineare Gleichung, deren Lösung durch Umstellen ermittelt werden kann. Die Form einer quadratische Gleichung, die in allgemeiner Form kein lineares Glied, aber ein Absolutglied besitzt, heißt auch reinquadratische Form. Sie besitzt entweder zwei betragsgleiche Lösungen, oder keine, je nachdem, welcher Wert nach dem Umstellen unter der Wurzel auftaucht. Besitzt eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form weder lineares Glied noch Absolutglied, dann besitzt sie genau eine Lösung: Null. Das geht sogar noch schneller, als das Lösen von normalen quadratischen Gleichungen. Einfach himmlisch!

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