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Quadratische Funktionen f(x) = (x + d)²

Quadratische Funktionen der Form $f(x) = (x + d)2$ können einfach grafisch dargestellt werden, indem man sich auf den Parameter $d$ konzentriert. Ein positives $d$ verschiebt die Parabel nach links, ein negatives nach rechts. Entscheidend ist der Scheitelpunkt bei $S(-d|0)$. Interessiert? Das und vieles mehr finden Sie im folgenden Text!

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Team Digital
Quadratische Funktionen f(x) = (x + d)²
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse

Quadratische Funktionen f(x) = (x + d)² Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadratische Funktionen f(x) = (x + d)² kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib den Scheitelpunkt der verschobenen Normalparabeln $g$ und $h$ an.

    Tipps

    Bei einem Punkt ist der erste Wert immer der $x$-Wert und der zweite Wert der $y$-Wert.

    Die Parabeln wurden nur in $x$-Richtung verschoben.

    Hier ist $S(-3|0)$.

    Lösung

    Der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Wird die Normalparabel entlang der $x$-Achse nach links oder rechts verschoben, so hat die Funktionsgleichung die Form $f(x)=(x+d)^2$.

    Der Scheitelpunkt ist der tiefste Punkt der Normalparabel. Wir nennen ihn $S$. Er wird – wie alle Punkte in der Mathematik – in der Form $S(x_S \vert y_S)$ angegeben. Da die Parabel nicht in $y$-Richtung verschoben ist, ist der $y$-Wert $0$. Den $x$-Wert können wir direkt an der $x$-Achse ablesen. Er entspricht $-d$ aus der Funktionsgleichung.

    Für $g(x)=(x+2)^2$ erhalten wir:

    $S_1(-2\vert0)$

    Für $h(x)=(x-3)^2$ erhalten wir:

    $S_2(3\vert0)$

  • Beschreibe die Verschiebung der Normalparabel.

    Tipps

    $f(x)=(x+1)^2$

    Der Scheitelpunkt der Funktion $f(x)=(x-d)^2$ lautet $S(d|0)$.

    Lösung

    Der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.

    Der Funktionsgraph der Funktion $f(x)=(x+d)^2$ ist die Normalparabel, welche nach rechts oder links, also entlang der $x$-Achse und nicht der $y$-Achse, verschoben wurde. Dies gilt auch für das Beispiel $f(x)=(x+3)^2$.

    Für $f(x)=(x+d)^2$ gilt:

    Ist $d<0$, wird die Normalparabel nach rechts verschoben.
    Der Scheitelpunkt der Funktion $f(x)=(x-d)^2$ lautet $S(d|0)$.

    Ist $d>0$, wird die Normalparabel nach links verschoben.
    Der Scheitelpunkt der Funktion $f(x)=(x+d)^2$ lautet $S(-d|0)$.

    Beispiele:

    Der Funktionsgraph der Funktion $f(x)=(x+5)^2$ entspricht der Normalparabel, welche um $5$ Einheiten nach links verschoben wurde. Der Scheitelpunkt der Funktion lautet $S(-5|0)$.
    Für die Beispielfunktion $f(x)=(x-4)^2$ ist der Scheitelpunkt also $S(4|0)$.

  • Ermittle, welcher Funktionsgraph zu der Funktion $f(x)$ gehört.

    Tipps

    Diese Parabel gehört zu der Funktion $f(x) = (x-1)^2$.

    $f(x)=(x+d)^2$

    In der Klammer wird addiert, wenn die Parabel nach links verschoben ist, und subtrahiert, wenn die Parabel nach rechts verschoben ist.

    Lösung

    Der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Wird die Normalparabel nur entlang der $x$-Achse nach links oder rechts verschoben, so lautet die zugehörige Funktionsgleichung $f(x)=(x+d)^2$. Dabei wird in der Klammer addiert, wenn die Parabel nach links verschoben ist, und subtrahiert, wenn die Parabel nach rechts verschoben ist.

    Beispiel:

    $f(x) = (x+2)^2$

    Bei unserem Funktionsterm wird in der Klammer addiert, die Parabel ist also nach links verschoben. Da in der Klammer $2$ addiert wird, ist die Parabel um $2$ Einheiten nach links verschoben.

    Der Scheitelpunkt der Funktion lautet $S(-2 \vert 0)$.

    Die anderen dargestellten Parabeln gehören zu folgenden Funktionsgleichungen:

    • $f(x) = (x+1)^2$
    • $f(x) = (x-1,5)^2$
    • $f(x) = (x-3)^2+2$
    • $f(x) = (x-2)^2$
  • Ordne jedem Funktionsgraphen die passende Funktionsgleichung zu.

    Tipps

    Achte darauf, dass in der Klammer addiert wird, wenn die Parabel nach links verschoben ist, und subtrahiert wird, wenn die Parabel nach rechts verschoben ist.

    Die Parabel ist um $2$ Einheiten nach links verschoben, daher lautet der Funktionsterm $f(x)=(x+2)^2$.

    Lösung

    Der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Wird die Normalparabel nur entlang der $x$-Achse nach links oder rechts verschoben, lautet die zugehörige Funktionsgleichung $f(x)=(x+d)^2$. Dabei wird in der Klammer addiert, wenn die Parabel nach links verschoben ist, und subtrahiert, wenn die Parabel nach rechts verschoben ist.

    Somit ergeben sich die folgenden Funktionsgleichungen:

    • Die Parabel ist um $1,5$ Einheiten nach rechts verschoben: $f(x)=(x-1,5)^2$.
    • Die Parabel ist um $1$ Einheit nach links verschoben: $f(x)=(x+1)^2$.
    • Die Parabel ist gar nicht verschoben: $f(x)=x^2$.
    • Die Parabel ist um $1$ Einheit nach rechts verschoben: $f(x)=(x-1)^2$.
  • Vervollständige die Wertetabelle der Funktion $f(x) = x^2$.

    Tipps

    Da es sich um eine quadratische Funktion handelt, musst du beim Ausfüllen der Wertetabelle quadrieren.

    Hier ist der Funktionsgraph der gegebenen Funktion abgebildet. Man nennt den Graphen auch Normalparabel.
    Wie du siehst, sind alle Funktionswerte, also alle $y$-Werte, positiv.

    Beispiel:

    $f(x) = x^2$

    $x=3$: $\quad y=3^2=9$

    Lösung

    Bei der Funktion $f(x)=x^2$ handelt es sich um eine quadratische Funktion, welche nicht verschoben wurde. Ihren Funktionsgraphen nennt man Normalparabel: Der Scheitelpunkt der Funktion $f(x)$ ist $S(0|0)$.
    Die weiteren Funktionswerte können wir durch quadrieren berechnen:

    • $x=-2$: $\quad y= (-2)^2 = 4$
    • $x=-1$: $\quad y= (-1)^2 = 1$
    • $x=0$: $\quad y= 0^2 = 0$
    • $x=1$: $\quad y= 1^2 = 1$
    • $x=2$: $\quad y= 2^2 = 4$

    Somit ergibt sich folgende Wertetabelle:

    $\begin{array}{rr} x& y\\ \hline -2& 4\\ -1& 1\\ 0 & 0\\ 1& 1\\ 2&4\\ \end{array}$

  • Ermittle die Gleichung der Funktion, welche zu der Wertetabelle gehört.

    Tipps

    Die allgemeine Funktionsgleichung lautet $f(x)=(x+d)^2$.

    Du musst den Wert für $d$ ermitteln.

    Dir reicht ein Wertepaar der Wertetabelle aus, um $d$ zu bestimmen. Ein Wertepaar besteht aus einem $x$-Wert und einem $y$-Wert.

    Setze das Wertepaar, das du gewählt hast, in die allgemeine Funktionsgleichung ein und löse sie nach $d$ auf.

    Du kannst den $x$-Wert des Scheitelpunktes auch mittels der Symmetrie der Parabel bestimmen. Untersuche dafür die Wertetabelle auf Symmetrie.

    Lösung

    Jede Funktion kann durch eine Wertetabelle, einen Funktionsgraphen oder auch durch eine Funktionsgleichung dargestellt werden.

    Wir haben von der Funktion $f(x)$ die Wertetabelle gegeben. Außerdem wissen wir aufgrund der vorgegebenen Struktur der Funktionsgleichung, dass wir es mit einer quadratischen Funktion zu tun haben. Dabei handelt es sich beim Funktionsgraphen um eine Normalparabel, welche nach rechts oder links verschoben wurde. Die zugehörige Funktionsgleichung lautet allgemein:

    $f(x)=(x+d)^2$

    Wir müssen also die Variable $d$ ermitteln. Dazu können wir eines der in der Wertetabelle gegebenen Wertepaare in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen und nach $d$ auflösen.
    Wir wählen beispielhaft das Wertepaar $x=-1$ und $y=9$:

    $\begin{array}{rcll} y & = & (x+d)^2 & \\ 9 & = & (-1+d)^2 & \vert \sqrt{} \\ 3 & = & -1+d & \vert +1 \\ 4 & = & d & \end{array}$

    Wir erhalten mit $d=4$ diese Funktionsgleichung:

    $f(x)=(x+4)^2$

    Alternativ können wir die Funktionsgleichung auch über die Symmetrie der Parabel bestimmen.

    Wir untersuchen dazu die Wertetabelle auf Symmetrie: Der $y$-Wert $4$ taucht bei den beiden $x$-Werten $-6$ und $-2$ auf. Der $x$-Wert des Scheitelpunktes muss also in der Mitte zwischen $-6$ und $-2$ liegen:

    $\frac{-6 + (-2)}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

    Somit hat der Scheitelpunkt die Koordinaten $S(-4 \vert 0)$.

    Als Funktionsgleichung ergibt sich erneut:

    $f(x)=(x+4)^2$