Quadratische Funktionen f(x) = (x+d)² 04:47 min

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Transkript Quadratische Funktionen f(x) = (x+d)²

Hallo. Es geht um Funktionen, deren Terme diese Form haben können. Wir können uns einmal ein paar konkrete Funktionsterme und die zugehörigen Graphen ansehen, um festzustellen, welche Eigenschaften Funktionen dieser Form haben. Fangen wir an mit der Normalparabel. Der Funktionsterm ist x2. Trotzdem hat diese Funktion diese Form, denn man kann einfach x + 0 schreiben und dann quadrieren, da hat man halt für d 0 eingesetzt. Und dann passt das wieder. Das ist der Graph, wie gesagt, ist die Normalparabel. Wie geht es weiter? (x + 3)2. Da bekommen wir auch eine Normalparabel, aber eine, die sich verschoben hat. Wenn man einmal vergleicht, hier ist der Scheitelpunkt bei 0, da ist der Scheitelpunkt bei -3, das heißt dieser Graph hier ist um drei Einheiten nach links verschoben gegenüber dieser Normalparabel. Dann haben wir (x + 1)2. Der Scheitelpunkt ist hier bei -1, das heißt dieser Graph ist um eine Einheit nach links verschoben gegenüber der Normalparabel. Wenn wir jetzt schreiben (x - 4)2, dann ist dieser Graph hier um vier Einheiten nach rechts verschoben, wieder gegenüber der Normalparabel, aber das meint man ja immer damit, wenn man sagt, dass der Graph verschoben ist. Noch ein Beispiel, (x - 2)2. Der Scheitelpunkt liegt bei 2. Dieser Graph ist um zwei Einheiten nach rechts verschoben. So, was haben wir jetzt gesehen? Wir haben gesehen, wenn d positiv ist, dann ist die Parabel um d-Einheiten nach links verschoben. Wenn d negativ ist, ist die Parabel um d-Einheiten nach rechts verschoben. Ich weiß, dass viele Leute meinen, das müsste umgekehrt sein, also wenn man hier zum Beispiel x - 2 hinschreibt, dass dann die Parabel um zwei Einheiten nach links verschoben sein müsste. Es ist aber nicht der Fall. Wenn du es nicht glaubst, kannst du eine Wertetabelle machen und dann den Graphen zeichnen, dann wirst du ja sehen, dass ich recht habe. Manchmal kann man in der Mathematik auch so richtig recht haben, aber zur Sache. Wir könnten diesen Lehrsatz jetzt noch aufschreiben. Das kann man aber auch wesentlich kürzer machen, und zwar indem man sich den Scheitelpunkt ansieht. Der Scheitelpunkt einer Parabel ist ja, wenn die Parabel nach oben geöffnet ist, der tiefste Punkt. Wenn die Parabel nach unten geöffnet ist, ist es der höchste Punkt. Und wenn wir wissen, wo der Scheitelpunkt ist, dann wissen wir auch, um wie viele Einheiten die Parabel verschoben wurde. Wenn eine Funktion ein Funktionsterm mit dieser Form hat, dann liegt der Scheitelpunkt bei (-d|0). Also x-Koordinate ist -d. Die y-Koordinate ist 0. Überlegen wir noch einmal kurz, was das jetzt bedeutet. Wenn wir hier zum Beispiel den Funktionsterm (x + 3) haben, dann ist d = 3. Die x-Koordinate ist -3, also hier -3. Dann sehen wir auch, dass das richtig ist. Wenn wir hier (x - 2) haben, muss man vielleicht noch einmal, um das ganz deutlich zu machen, einmal um die Ecke denken. Wie groß ist d? Was haben wir für d eingesetzt? Hier ist das x, da ist das Pluszeichen. Und das d ist bei uns -2. Wenn jetzt der Scheitelpunkt bei -d ist, dann bedeutet das, dass er bei -(-2) ist, in diesem Fall also bei +2. Und hier können wir auch sehen, dass das genauso richtig ist. Noch eine kleine Anmerkung zur Methode. Also wir haben uns jetzt ein paar Beispiele angeguckt und haben dann gesagt, okay dann ist das immer so. Also so geht es natürlich nicht. Das ist nicht Mathematik. Wenn man Mathematik streng formal aufbaut, muss man alles beweisen, was man behauptet. Und dann kann man auch recht haben, wenn man es bewiesen hat, aber auch erst dann, haben wir jetzt hier nicht gemacht, aber der Beweis wird in der Schule sowieso nicht gemacht. Der Beweis würde hier nichts weiter zu Tage fördern, keine neuen Erkenntnisse bringen. Und die Beispiele sind sehr einfach verfügbar. Du kannst einfach ein Funktionsterm aufschreiben, Wertetabelle machen und Graphen zeichnen. Und dann siehst du ja die Verschiebung. Also unter den Umständen würde ich dann an dieser Stelle sagen, verzichten wir auf einen Beweis. Und dann ist die Wiese auch grün. Und wir sind hier fertig. Viel Spaß damit. Tschüss.

5 Kommentare
  1. Default

    hat mir niht so gut gefalle

    Von Itslearning Nutzer 2535 1130228, vor 9 Monaten
  2. Default

    Sehr hilfreich :)

    Von Itslearning Nutzer 2535 1130228, vor 9 Monaten
  3. Default

    gutes Video, sehr gediegen.

    Von K Deicke Und A Hempel, vor 12 Monaten
  4. 2018 04 17 %283%29

    jut

    Von Roman049, vor mehr als einem Jahr
  5. Default

    gut

    Von Jörg S., vor mehr als 2 Jahren

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Quadratische Funktionen: f(x)=(x+d)² (1 Videos)

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Quadratische Funktionen f(x) = (x+d)² Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadratische Funktionen f(x) = (x+d)² kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe die Art der Verschiebung eines Graphen mit der Funktion $f(x)=(x+d)^2$.

    Tipps

    Dies ist die Parabel zu $f(x)=(x+1)^2$.

    Mach dir klar, wie der Scheitelpunkt von $f(x)=(x+d)^2$ aussieht.

    Daran kannst du die Verschiebung erkennen.

    Der Scheitelpunkt von $f(x)=(x+d)^2$ liegt auf einer Koordinatenachse.

    Auf welcher liegt er, auf der x-Achse oder auf der y-Achse?

    Lösung

    Da ganz allgemein der Scheitelpunkt von $f(x)=a(x+d)^2+e$ durch $S(-d|e)$ gegeben ist, ist der Scheitelpunkt von $f(x)=(x+d)^2$ gegeben durch $S(-d|0)$. Der Scheitelpunkt liegt also auf der x-Achse.

    Eine Funktion, deren Scheitelpunkt auf der y-Achse liegt, besitzt die Gleichung $f(x)=x^2+e$.

    Also liegt hier eine Verschiebung entlang der x-Achse vor.

    Hier siehst du die Parabel zu $f(x)=(x-1)^2$. Sie entsteht aus der Parabel zu $f(x)=x^2$ durch Verschiebung um 1 Einheit nach rechts.

    Verallgemeinert bedeutet dies:

    • Wenn $d>0$, dann ist die Parabel um d Einheiten nach links verschoben.
    • Wenn $d<0$, dann ist die Parabel um d Einheiten nach rechts verschoben.

  • Bestimme, wie der Funktionsgraph verschoben ist.

    Tipps

    Dies ist die Parabel zu einer der Funktionsgleichungen.

    Überlege dir, wie die Scheitelpunkte der Funktionen lauten.

    Alle Scheitelpunkte liegen auf der x-Achse.

    Lösung

    Du kannst

    • entweder zu jeder der Funktionsgleichungen eine Wertetabelle erstellen und den Graphen der Funktion, die zugehörige Parabel, zeichnen
    • oder den Scheitelpunkt bestimmen.
    Du wirst jeweils erkennen, welche Verschiebung vorliegt. Da das $d$ zu $x$ addiert oder von $x$ subtrahiert wird, liegt eine Verschiebung entlang der x-Achse vor, das heißt, nach rechts oder nach links. Bei einer Funktionsgleichung, deren Scheitelpunkt auf der x-Achse liegt, kannst du dir überlegen, welcher x-Wert eingesetzt werden muss, damit der Funktionswert $y=0$ herauskommt. Dieser x-Wert markiert dann die Stelle des Scheitelpunktes.
    • Der Scheitelpunkt von $f(x)=(x+3)^2$ lautet $S(-3|0)$. Hier liegt also eine Verschiebung um 3 Einheiten nach links vor.
    • Der Scheitelpunkt von $f(x)=(x+1)^2$ lautet $S(-1|0)$. Hier liegt also eine Verschiebung um 1 Einheit nach links vor.
    • Der Scheitelpunkt von $f(x)=(x-4)^2$ lautet $S(4|0)$. Hier liegt also eine Verschiebung um 4 Einheiten nach rechts vor.
    • Der Scheitelpunkt von $f(x)=(x-2)^2$ lautet $S(2|0)$. Hier liegt also eine Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts vor.

  • Gib den Scheitelpunkt $S ~ (x_1|y_1)$ der abgebildeten Funktion an.

    Tipps

    Achte auf das Vorzeichen in der x-Koordinate des Scheitelpunktes.

    Der Scheitelpunkt liegt auf der x-Achse.

    Lösung

    Die Funktion $f(x)=(x+3)^2$ liegt in Scheitelpunktform vor.

    Wenn wir die allgemeine Schreibweise $f(x)=a(x+d)^2+e$ zugrunde legen, ist hier $a=1$, was heißt, dass eine Normalparabel vorliegt, $d=3$ und $e=0$. Da $e=0$ gilt, liegt der Scheitelpunkt auf der x-Achse.

    Der Scheitelpunkt lautet mit der oben angegebenen Scheitelpunktform $S(-d|e)$, also in diesem Beispiel $S(-3|0)$.

  • Erschließe, in welcher Art die Graphen der Funktionen verschoben sind.

    Tipps

    Für den Graphen der Funktion $f(x)=(x+d)^2$, der lediglich entlang der x-Achse verschoben ist, gelten folgende Regeln. Er ist

    • um $d$ Einheiten nach rechts verschoben, wenn $d<0$ und
    • um $d$ Einheiten nach links, wenn $d>0$.

    Sei $f(x)=x^2+e$. Die zugehörige Parabel entsteht aus der Normalparabel durch Verschiebung entlang der y-Achse

    • um $e$ Einheiten nach oben, wenn $e>0$ und
    • um $e$ Einheiten nach unten, wenn $e<0$.

    Die Verschiebungen können auch kombiniert werden.

    Du kannst dir jede Verschiebung auch an dem Scheitelpunkt klar machen.

    Lösung

    Je nachdem, wie eine Funktion verändert wird, erfolgt eine Verschiebung der Parabel zu $f(x)=x^2$ entlang der Koordinatenachsen:

    • $f(x)=(x+d)^2$ kennzeichnet eine Verschiebung entlang der x-Achse
    • $f(x)=x^2+e$ deutet auf eine Verschiebung entlang der y-Achse hin.
    Dabei gibt es wieder Unterschiede, je nach Vorzeichen des addierten Terms $d$ oder $e$:
    • $d>0$ – Verschiebung um $d$ Einheiten nach links,
    • $d<0$ – Verschiebung um $d$ Einheiten nach rechts,
    • $e>0$ – Verschiebung um $e$ Einheiten nach oben,
    • $e<0$ – Verschiebung um $e$ Einheiten nach unten.
    Diese Verschiebungen können auch kombiniert werden.

    Somit ist

    • $f(x)=x^2-1$ eine Verschiebung um 1 Einheit nach unten,
    • $f(x)=(x-1)^2$ eine Verschiebung um 1 Einheit nach rechts,
    • $f(x)=(x+1)^2$ eine Verschiebung um 1 Einheit nach links,
    • $f(x)=x^2+1$ eine Verschiebung um 1 Einheit nach oben,
    • $f(x)=(x-1)^2-1$ eine Verschiebung um jeweils 1 Einheit nach rechts und nach unten und
    • $f(x)=(x+1)^2-1$ eine Verschiebung um jeweils 1 Einheit nach links und nach oben.

  • Ordne der Parabel die Funktionsgleichung zu.

    Tipps

    Überlege dir, ob zum Beispiel bei $f(x)=(x+2)^2$ eine Verschiebung nach rechts oder nach links vorliegt.

    Zu der Scheitelpunktform $f(x)=a(x+d)^2+e$ gehört der Scheitelpunkt $S(-d|e)$.

    Du kannst dir die Funktionsgleichung an dem Scheitelpunkt klar machen.

    Lösung

    Zu der Scheitelpunktform $f(x)=a(x+d)^2+e$ ist der Scheitelpunkt $S(-d|e)$ gegeben. An der Lage des Scheitelpunktes kannst du die Verschiebung erkennen. Beachte, dass bei der x-Koordinate des Scheitelpunktes das Vorzeichen vertauscht ist, die y-Koordinate wird abgeschrieben.

    1. Bei der ersten Parabel kannst du den Scheitelpunkt $S(-1|0)$ erkennen. Die zugehörige Funktionsgleichung lautet demnach $f(x)=(x+1)^2$.
    2. Bei der zweiten Parabel kannst du den Scheitelpunkt $S(1|0)$ erkennen. Die zugehörige Funktionsgleichung lautet demnach $f(x)=(x-1)^2$.
    3. Bei der dritten Parabel kannst du den Scheitelpunkt $S(2|0)$ erkennen. Die zugehörige Funktionsgleichung lautet demnach $f(x)=(x-2)^2$.
    4. Bei der vierten Parabel kannst du den Scheitelpunkt $S(-2|0)$ erkennen. Die zugehörige Funktionsgleichung lautet demnach $f(x)=(x+2)^2$.
    5. Bei der vierten Parabel kannst du den Scheitelpunkt $S(1,5|0)$ erkennen. Die zugehörige Funktionsgleichung lautet demnach $f(x)=(x-1,5)^2$.
  • Erläutere, wie die Parabel verschoben werden kann, damit der Punkt auf der verschobenen Parabel liegt.

    Tipps

    Schreib dir zu der jeweiligen Verschiebung die Funktionsgleichung $f(x)=(x+d)^2$ auf.

    Um zu überprüfen, ob ein Punkt auf einem Funktionsgraphen liegt, setzt du die x-Koordinate in die Funktionsgleichung ein. Der so erhaltene Funktionswert muss dann die y-Koordinate des Punktes sein. Ansonsten liegt er nicht auf dem Graphen.

    Es gibt zwei verschiedene Parabeln, auf denen der Punkt liegt.

    Lösung

    Hier siehst du zwei Verschiebungen der Parabel von oben: einmal um 2 Einheiten nach rechts und einmal um 4 Einheiten. Die zugehörigen Funktionsgleichungen lauten $f(x)=(x-1)^2$ und $f(x)=(x-3)^2$. Der Punkt liegt auf dieser Parabel, denn für beide Funktionen gilt $f(2)=1$.

    Eine Verschiebung um 2 Einheiten nach links führt zu der Gleichung $f(x)=(x+3)^2$. Auf dieser Parabel liegt der Punkt nicht, da $f(2)=(2+3)^2=5^2=25 \neq 1$.

    Eine Verschiebung um 4 Einheiten nach links führt zu der Gleichung $f(x)=(x+5)^2$. Auf dieser Parabel liegt der Punkt nicht, da $f(2)=(2+5)^2=7^2=49 \neq 1$.