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Potenzen üben – Zehner potenzieren

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Ø 3.3 / 8 Bewertungen

Die Autor/-innen
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Martin Wabnik

Potenzen üben – Zehner potenzieren

lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Potenzen üben – Zehner potenzieren

Was lernst du heute Neues? Wie potenziert man Vielfache von Zehnern ohne Taschenrechner? Dies ist eine Übung dazu, wie man ohne Taschenrechner Potenzen zum Beispiel von Vielfachen von Zehnern berechnen kann. Du solltest bereits wissen, was eine Potenz ist und wie sie definiert ist. Des Weiteren wäre es von Vorteil, wenn du fit im Kopfrechnen bist. Wenn du möchtest, dann kannst du zunächst versuchen die Potenz selbständig zu berechnen und dein Ergebnis im Anschluss überprüfen. Du kannst entscheiden! Viel Spaß mit dem Video!

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. sind echt tolle videos allerdings würd ich für zukünftige videos ein mikrophone empfehlen

    Von Baked Toast, vor etwa 4 Jahren

Potenzen üben – Zehner potenzieren Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Potenzen üben – Zehner potenzieren kannst du es wiederholen und üben.
  • Berechne das Ergebnis der Potenzaufgabe.

    Tipps

    Potenzieren mit $4$ bedeutet das Multiplizieren der Basis mit sich selbst. Dabei kommt die Basis viermal als Faktor vor:

    $a^4=a\cdot a\cdot a\cdot a$.

    Das Potenzieren von Zehnerpotenzen kannst du dir wie folgt merken:

    Wenn du eine Zehnerpotenz mit vier potenzierst, wird die Anzahl der Nullen vervierfacht.

    Wird eine Zahl mit einer Zehnerpotenz multipliziert, kann man die Anzahl der Nullen hinter die Zahl schreiben.

    So ist zum Beispiel

    $123\cdot 100=12300$.

    Lösung

    Es soll $40^4$ berechnet werden.

    $40^4$ ist die abkürzende Schreibweise für das Produkt $40\cdot 40\cdot 40\cdot 40$.

    Da $40=4\cdot 10$ ist, kann das obige Produkt auch wie folgt geschrieben werden:

    $40\cdot 40\cdot 40\cdot 40=4\cdot 10\cdot 4\cdot 10\cdot 4\cdot 10\cdot 4\cdot 10$.

    Es kommt also der Faktor $4$ sowie der Faktor $10$ jeweils viermal vor:

    • $4^4=256$ und
    • $10^4=10000$.
    Somit ist $40^4=4^4 \cdot 10^4 = 256\cdot 10000$.

    Nun kann man die $1$ weglassen und die Nullen der $10000$ hinter die $256$ schreiben und erhält das Ergebnis

    $40^4=2560000$.

  • Ergänze die Erklärung, warum man beim Multiplizieren einer Zahl mit einer Zehnerpotenz die Anzahl der Nullen hinter die Zahl schreiben kann.

    Tipps

    Das Distributivgesetz lautet:

    $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$.

    Gemäß dem Stellensystem besteht eine ganze Zahl aus Einern, Zehnern, Hundertern, ....

    Es gilt:

    • Summand + Summand = Summe.
    • Faktor $\cdot$ Faktor = Produkt.

    Wenn eine Summe mit einer Zahl multipliziert wird, muss die Summe in Klammern gesetzt werden.

    Lösung

    Um nachzuweisen, dass man bei $256\cdot 10000=2560000$ die Nullen hinter die Zahl schreiben kann, schreibt man $256$ als Summe der Hunderter, Zehner und Einer:

    $256=200+50+6$.

    Damit ist

    $256\cdot 10000=(200+50+6)\cdot 10000$.

    Mit dem Distributivgesetz erhält man:

    $(200+50+6)\cdot 10000=200\cdot 10000+50\cdot 10000+6\cdot 10000$.

    Nun können die einzelnen Summanden berechnet und dann addiert werden:

    $200\cdot 10000+50\cdot 10000+6\cdot 10000=2000000+500000+60000=2560000$.

  • Schreibe die jeweilige Potenz als Produkt.

    Tipps

    Die Potenzschreibweise $a^n$ ist eine abkürzende Schreibweise für ein Produkt:

    $a\cdot ...\cdot a$,

    dabei kommt die Basis $a$ in diesem Produkt $n$-mal vor. $n$ ist der Exponent der Basis:

    $a^n = \underbrace{a \cdot a\cdot a .... \cdot a}_{\substack{n-\text{mal}}}$

    Zum Beispiel ist

    $4^5=4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4$.

    Lösung

    Um die Potenzen von Zehnerzahlen zu berechnen, macht man sich zunächst klar, wofür die Potenzschreibweise steht. Diese ist eine abkürzende Schreibweise für ein Produkt, in welchem die Basis $a$ insgesamt $n$-mal mit sich selbst multipliziert wird:

    $a^n = \underbrace{a \cdot a\cdot a .... \cdot a}_{\substack{n-\text{mal}}}$

    • $30^3=30\cdot 30\cdot 30$, die Basis $30$ kommt hier dreimal als Faktor vor.
    • $30^5=30\cdot 30\cdot 30\cdot 30\cdot 30$, die Basis $30$ kommt hier fünfmal als Faktor vor.
    • $70^3=70\cdot 70\cdot 70$, die Basis $70$ kommt hier dreimal als Faktor vor.
    • $70^4=70\cdot 70\cdot 70\cdot 70$, die Basis $70$ kommt hier viermal als Faktor vor.
  • Ordne der jeweiligen Potenzaufgabe die Lösung zu.

    Tipps

    Es gilt $a^2=a\cdot a$, $a^3=a\cdot a\cdot a$, ...

    Schreibe jeweils die Basis als Produkt.

    Zum Beispiel $70=7\cdot 10$.

    Verwende die Rechenregel zum Rechnen mit Potenzen:

    $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$.

    Es ist:

    • $10^2=100$
    • $10^3=1000$.
    • ... die Anzahl der Nullen entspricht dem Exponenten.

    Lösung

    Um Zehnerzahlen zu potenzieren, werden diese als Produkte geschrieben und entsprechend dem Exponenten multipliziert.

    Es gilt $a^2=a\cdot a$, $a^3=a\cdot a\cdot a$ ...

    Allgemein gilt: $a^n = \underbrace{a \cdot a\cdot a \cdot .... \cdot a}_{\substack{n-\text{mal}}}$

    Unter Verwendung der Rechenregel zum Rechnen mit Potenzen $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$ kann wie folgt gerechnet werden:

    1. $50^2=(5\cdot10)^2=5^2\cdot 10^2=25\cdot 100=2500$.
    2. $50^3=(5\cdot10)^3=5^3\cdot 10^3=125\cdot 1000=125000$.
    3. $50^4=(5\cdot10)^4=5^4\cdot 10^4=625\cdot 10000=6250000$.
    Was man hier feststellen kann, ist, dass $10^n$ als Potenzwert eine Zahl mit einer $1$ und $n$ Nullen hat.

  • Beschreibe, was der Term $40^4$ bedeutet.

    Tipps

    $40^4$ ist eine Potenz. Dabei ist $40$ die Basis und $4$ der Exponent.

    Die Potenzschreibweise $a^n$ steht abkürzend für das Produkt:

    $a\cdot a\cdot ... \cdot a$.

    In diesem Produkt steht der Faktor $a$ $n$-mal:

    $a^n = \underbrace{a \cdot a\cdot a .... \cdot a}_{\large\substack{n-\text{mal}}}$

    Zum Beispiel ist $2^3=2\cdot 2\cdot 2$.

    Lösung

    Wenn man die Zehnerpotenz $40^4$ berechnen soll, muss man wissen, dass $40^4$ eine Potenz ist, also eine abkürzende Schreibweise für

    $40^4=40\cdot 40\cdot 40\cdot 40$.

  • Leite das Ergebnis der Potenzaufgabe her.

    Tipps

    Schreibe die Dezimalzahl $0,2$ als Bruch.

    Verwende die Rechenregeln zum Rechnen mit Potenzen:

    $\large\left(\frac ab\right)^5=\frac{a^5}{b^5}$.

    Es ist:

    • $10^2=100$
    • $10^3=1000$.
    • ... die Anzahl der Nullen entspricht dem Exponenten.

    Wenn du eine ganze Zahl mit einer Dezimalzahl der Form $0,0...01$ multiplizierst, steht in dem Produkt die Einerzahl der ganzen Zahl an der gleichen Stelle wie die $1$ in der Dezimalzahl.

    Lösung

    Ähnlich wie beim Potenzieren von Zehnerzahlen kann man beim Potenzieren von Zehnteln vorgehen:

    $0,2^5=\left(\frac2{10}\right)^5=\large\frac{2^5}{10^5}$.

    Nun können sowohl im Zähler als auch im Nenner die Potenzen berechnet werden:

    $\large\frac{2^5}{10^5}=\frac{32}{100000}$.

    Die Einerzahl von $32$ steht also in einer Dezimalzahl an der fünften Stelle hinter dem Komma:

    $0,2^5=0,00032$.

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