Potenzen mit negativen Exponenten - Erklärung 2

Potenzen mit negativen Exponenten - Erklärung 2 Übung

• Gib die Definition einer Potenz mit negativem Exponenten an.

  Tipps

  Schaue dir die folgenden Potenzen mit der Basis $2$ an:

  • $2^0=1$;
  • $2^1=2$;
  • $2^2=4$;
  • $2^3=8$.

  Du multiplizierst also jedes Mal mit $2$.

  Drehe die Reihenfolge der Zweierpotenzen um.

  • $2^3=8$
  • $2^2=4$
  • $2^1=2$
  • $2^0=1$
  • $2^{-1}=?$

  Hier dividierst du immer durch $2$. Was ist dann $2^{-1}$?

  Richtig, $1:2=\frac12=\frac1{2^1}$.

  Dividiere $\frac12$ nochmals durch $2$. Dies führt zu

  $2^{-2}=\frac14=\frac1{2^2}$.

  Lösung

  Merke dir: Wenn du eine Potenz mit einer Basis $a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ und einem negativen Exponenten $-n$ mit $n\in\mathbb{N}$ hast, kannst du diese auch so schreiben:

  $a^{-n}=\frac1{a^n}$.

  Schaue dir einige Beispiele an:

  • $2^{-4}=\frac1{2^4}$;
  • $5^{-3}=\frac1{5^3}$;
  • $0,5^{-5}=\frac1{0,5^5}$.

  • Warum darf $a$ nicht $0$ sein? Du würdest ansonsten durch $0$ dividieren.
  • Warum muss $n$ eine natürliche Zahl sein? Wäre $n$ rational, zum Beispiel $n=\frac12$, dann läge eine Quadratwurzel vor. Das wird problematisch, sobald die Basis negativ ist. Um diese problematischen Fälle auszuschließen, legen wir hier fest, dass $n$ natürlich sein muss.
  • Übrigens darf $n$ $0$ sein.

• Ergänze die Reststrahlung nach einer gegebenen Anzahl von Jahren.

  Tipps

  Der radioaktive Stoff verliert nach einem Jahr die Hälfte seiner Radioaktivität.

  Nach $5$ Jahren ist von der ursprünglichen Radioaktivät also noch $\frac{r}{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}$ vorhanden.

  Beachte:

  • $\frac1{\frac12}=2$ und
  • $\frac1{\left(\frac12\right)^2}=\frac1{\frac14}=4$.

  Du kannst $\frac12$ auch so schreiben:

  $\frac12=\left(\frac12\right)^1$.

  Lösung

  Wir schauen uns hier ein Beispiel an, wie negative Exponenten erklärt werden können.

  Wir stellen uns einen radioaktiven Stoff mit der Strahlung $r$ vor. Dieser Stoff habe eine Halbwertzeit von einem Jahr. Dies ist die Zeit, die vergeht, bis nur noch die Hälfte der Strahlung vorhanden ist.

  • Nach einem Jahr beträgt die Strahlung noch $r\cdot\frac12=r\cdot \left(\frac12\right)^1$.
  • Nach einem weiteren Jahr, also nach $2$ Jahren, beträgt die Strahlung noch $r\cdot \left(\frac12\right)^2$.
  • Nach $3$ Jahren beträgt die Strahlung noch $r\cdot \left(\frac12\right)^3$.
  • Dies kann so fortgesetzt werden.

  Heute, also zum Zeitpunkt $0$, beträgt die Strahlung $r\cdot \left(\frac12\right)^0$. Es muss also $r\cdot \left(\frac12\right)^0 = r$ gelten. Das führt zu $\left(\frac12\right)^0=1$.

  Welchen Strahlungswert hatte der Stoff vor einem Jahr? Da war die Strahlung doppelt so groß.

  Wir führen die Potenzschreibweise fort: Die Strahlung beträgt also $r\cdot \left(\frac12\right)^{-1}=r\cdot \frac1{\left(\frac12\right)^1}=r\cdot 2$.

  Vor zwei Jahren betrug die Strahlung $r\cdot \left(\frac12\right)^{-2}=r\cdot \frac1{\left(\frac12\right)^2}=r\cdot 4$.

  Also gilt:

  • $\left(\frac12\right)^{-1}=\frac1{\left(\frac12\right)^1}$ und
  • $\left(\frac12\right)^{-2}=\frac1{\left(\frac12\right)^2}$.

• Ordne die Potenz mit negativem Exponenten dem jeweils gleichwertigen Term zu.

  Tipps

  Die Basis bleibt erhalten. In der Potenz änderst du im Nenner das Vorzeichen des Exponenten.

  Schaue dir ein Beispiel an:

  $7^{-3}=\frac1{7^3}$.

  Lösung

  Für $a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ und $n\in\mathbb{N}$ gilt:

  $a^{-n}=\frac1{a^n}$.

  Wir üben dies an ein paar Beispielen:

  • $(-2)^{-5}=\frac1{(-2)^5}$;
  • $5^{-5}=\frac1{5^5}$;
  • $(-5)^{-3}=\frac1{(-5)^3}$;
  • $0,5^{-3}=\frac1{0,5^3}$;
  • $\left(\frac12\right)^{-3}=\frac1{\left(\frac12\right)^3}$;
  • $\left(\frac15\right)^{-2}=\frac1{\left(\frac15\right)^2}$.

• Berechne, wie viel Geld Paul in den vergangenen Jahren besessen hat.

  Tipps

  Beachte, dass Paul zu seinem gesparten Geld $20\%$ hinzu bekommt.

  Lass uns dies einmal für das kommende Jahr berechnen. Er hat $432~€$. Dazu kommen $20\%$ von $432~€$, also $86,40~€$. Dann hat er im kommenden Jahr $432~€+86,40~€=518,40~€$.

  Du kannst auch etwas einfacher mit $1,2=1+\frac{20}{100}$ multiplizieren:

  $432~€\cdot 1,2=518,40~€$.

  Umgekehrt, also wenn du rückwärts rechnen möchtest, musst du dividieren.

  Lösung

  Wenn du berechnen möchtest, wie viel Paul nach weiteren $1$, $2$, ... Jahren gespart hat, rechnest du:

  $432~€\cdot 1,2^n$.

  Dabei ist $n$ die Anzahl der Jahre.

  Auf die $1,2$ kommt man mit Hilfe folgender Überlegung: Auf das bereits vorhandene Geld erhält Paul $20\%$. Dies sind $432~€\cdot 0,2 = 86,40~€$. Insgesamt hat Paul also $432~€ + 86,40~€ = 518,40~€$. Dies entspricht $432~€\cdot(1+0,2) = 518,40~€$.

  Umgekehrt kannst du wie folgt rechnen:

  $432~€\cdot 1,2^{-n}$.

  So findest du heraus, wie viel Geld Paul bereits vor $n$ Jahren gespart hatte.

  Also hatte Paul vor $3$ Jahren bereits folgenden Betrag gespart:

  $432~€\cdot 1,2^{-3}=432~€\cdot\frac1{1,2^3}=250~€$.

• Ergänze die Erklärung, warum die Basis nicht $0$ sein darf.

  Tipps

  Verwende die folgende Definition einer Potenz mit dem Exponenten $n\in\mathbb{N}$:

  $a^n=\underbrace{a\cdot ...\cdot a}_{\text{n mal}}$.

  Bei der Definition (1. Tipp) von Potenzen mit natürlichen Exponenten gibt es keine Einschränkung an die Basis $a$.

  Schaue dir das folgende Beispiel an: $0^2=0\cdot 0=0$.

  Lösung

  Für $a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ und $n\in\mathbb{N}$ gilt:

  $a^{-n}=\frac1{a^n}$.

  Es muss $a\neq 0$ sein.

  Warum ist das so? Nehmen wir einmal $a=0$ an, dann ist $a^n=0^n=0$. Das bedeutet allerdings, dass bei der obigen Formel durch $0$ geteilt werden würde. Dies ist nicht möglich.

• Berechne den jeweiligen Potenzwert.

  Tipps

  Verwende $a^{-n}=\frac1{a^n}$.

  Du kannst Doppelbrüche wie folgt umschreiben:

  $\frac{\frac ab}{\frac cd}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}$.

  Wenn die Basis ein Bruch ist, potenzierst du sowohl den Zähler als auch den Nenner:

  $\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$.

  Lösung

  Es gibt in der Mathematik Terme, die so aussehen, als ob man sie nie ausrechnen könnte. Selbst das Eingeben in den Taschenrechner ist ziemlich aufwendig.

  Wenn du allerdings die bekannten Rechenregeln streng anwendest und ruhig rechnest, klappt das schon.

  • $\frac1{2^{-3}}=\frac1{\frac1{2^3}}=2^3=8$
  • $\frac1{\frac1{\left(\frac13\right)^{-4}}}=\frac1{\left(\frac13\right)^4}=\frac1{\frac{1^4}{3^4}}=\frac1{\frac{1}{3^4}}=3^4=81$
  • $\left(\frac15\right)^{-3}=\frac1{\left(\frac15\right)^{3}}=\frac1{\frac{1^3}{5^3}}=\frac1{\frac{1}{5^3}}=5^3=125$