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Polynomdivision – Erklärung

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Team Digital
Polynomdivision – Erklärung
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Polynomdivision – Erklärung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Polynomdivision – Erklärung kannst du es wiederholen und üben.
  • Vervollständige die Polynomdivision.

    Tipps

    Das Vorgehen bei der Polynomdivision entspricht dem Vorgehen bei der schriftlichen Division ganzer Zahlen.

    Nachdem der erste Summand des Ergebnisses ermittelt worden ist, muss dieser mit dem Divisor verrechnet werden. Dieser Term wird dann vom Dividenden abgezogen.

    Lösung

    Wir betrachten die Polynomdivision $\left(x^3+6x^2-x-30\right):(x+3)$ Schritt für Schritt:

    1. Zuerst wird der erste Summand $x^3$ des Dividenden durch den ersten Summanden des Divisors $x$ geteilt:

    $\frac{x^3}{x}=x^2$

    2. Dieses Ergebnis wird hinter dem Gleichheitszeichen aufgeschrieben.

    3. Nun wird das Ergebnis $x^2$ mit dem Divisor $x+3$ multipliziert zu $x^3+3x^2$.

    4. Das Produkt wird vom Dividenden subtrahiert:

    $x^3+6x^2-x-30-\left(x^3+3x^2\right)=3x^2-x-30$

    Dies ist der „neue“ Dividend.

    5. Es geht weiter wie in Schritt 1:

    $\frac{3x^2}{x}=3x$

    Dieses Ergebnis wird hinter $x^2$ auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens aufgeschrieben.

    6. Wieder wird das Ergebnis mit dem Divisor multipliziert:

    $3x\cdot (x+3)=3x^2+9x$

    7. Das Produkt wird vom Dividenden subtrahiert:

    $3x^2-x-30-\left(3x^2+9x\right)=-10x-30$

    8. Erneut geht es weiter wie in Schritt 1:

    $\frac{-10x}{x}=-10$

    Dieses Ergebnis wird hinter $3x$ auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens aufgeschrieben.

    9. Das Ergebnis wird mit dem Divisor multipliziert:

    $-10\cdot (x+3)=-10x-30$

    10. Schließlich wird das Produkt von dem Dividenden subtrahiert:

    $-10x-30-(-10x-30)=0$

    Damit ergibt sich:

    $\left(x^3+6x^2-x-30\right):(x+3) = x^2+3x-10$

  • Gib an, was bei der Polynomdivision zu beachten ist.

    Tipps

    Es sind zwei Aussagen richtig.

    Für eine Division gilt allgemein:

    $\text{Dividend} : \text{Divisor} = \text{Quotient}$

    Lösung

    Bei der Polynomdivision wird ein Polynom durch ein anderes geteilt. Ein Polynom kann dadurch in mehrere kleinere Polynome zerlegt werden. Das Vorgehen entspricht im Allgemeinen dem Vorgehen bei der schriftliche Division ganzer Zahlen.


    Wir betrachten die einzelnen Aussagen:


    • Der Grad des Polynoms des Divisors darf nicht größer sein als der Grad des Polynoms des Dividenden.
    Diese Aussage ist richtig. Denn nur wenn der Grad des Polynoms des Divisors nicht größer ist als der Grad des Polynoms des Dividenden, erhalten wir als Ergebnis ein Polynom.


    • Es darf kein Rest bleiben: Die letzte Zeile ergibt null.
    Diese Aussage ist falsch: Es darf ein Rest bleiben. Diesen ergänzen wir als Quotient $\dfrac{\text{Rest}}{\text{Divisor}}$ als weiteren Summanden im Ergebnis.


    • Beim Dividenden müssen zu Beginn die Summanden nach der Größe der Exponenten sortiert werden.
    Diese Aussage ist richtig. Denn nur dann können wir nach unserem Schema „dividieren – multiplizieren – subtrahieren“ vorgehen.


    • Bei der Probe wird das Ergebnis mit dem Dividenden multipliziert.
    Diese Aussage ist falsch: Bei der Probe wird das Ergebnis mit dem Divisor multipliziert. Dieses Produkt muss gleich dem Dividenden sein.
  • Bestimme das Ergebnis der Polynomdivision.

    Tipps

    Achte auf korrekte Vorzeichen.

    Beim dritten Beispiel bleibt ein Rest.

    Lösung

    Wir gehen bei der Polynomdivision nach dem Schema „dividieren – multiplizieren – subtrahieren“ vor. In den einzelnen Beispielen ergibt sich:

    Beispiel 1:

    $~~~ (x^{3} +x^{2} +8x-28)~:~(x-2) ~=~x^{2} + 3x+14$

    $\underline{-(x^{3}-2x^{2})}$

    $~~~~~~~~~~~~~\,3x^{2}+8x-28$

    $\quad \quad ~ \underline{-(3x^{2}-6x) }$

    $\qquad \qquad \quad ~~ 14x-28$

    $\qquad \quad \quad ~~ \underline{-(14x-28)}$

    $\qquad \qquad \qquad \quad \quad ~~~~0$

    Beispiel 2:

    $~~~ (6x^{3} - 3x^{2} \qquad ~ + 9)~:~(x + 1)~=~6x^{2} - 9x + 9$

    $\underline{- (6x^{3} + 6x^{2})}$

    $~~~~~~~~~~~~~~~ \,9x^{2} \qquad ~ + 9$

    $\qquad~~~ \underline{- (9x^{2} - 9x) }$

    $\qquad \qquad \qquad ~~ \,9x + 9$

    $\qquad \qquad \quad ~~\underline{- (9x - 9)}$

    $\qquad \qquad \qquad \qquad ~~ ~~0$

    Beispiel 3:

    $~~~ (12x^{3}+5x^2 ~~~~~~~~~~~~~~ -~10)~:~(x-2)~=~12x^2 + 29x + 58 ~~~ \left(+~\frac{116}{x-2} ~~\text{Rest}\right)$

    $\underline{-(12x^{3}-24x^2) }$

    $~~~~~~~~~~~~~~~~~ \,29x^2 ~~ ~~~~~~~~~~-~10$

    $\qquad ~~~~~ \underline{-(29x^2-58x) }$

    $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-58x~ - ~10$

    $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\underline{-(58x - 116) }$

    $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+~126$

  • Berechne das Ergebnis der Polynomdivision.

    Tipps

    Vergiss die Vorzeichen der Zahlen nicht!

    Im Dividenden kommt kein $x^2$ vor, aber im Ergebnis schon.

    Mache die Probe, falls du unsicher bist.

    Lösung

    $~~~ (2x^{4}+4x^3 ~~~~~~~~~~~~~ -~~x~~ - ~6)~:~(x+3)~=~2x^3 - 2x^2 + 6x + 19 ~~~ \left(-~\frac{63}{x+3} ~~\text{Rest}\right)$

    $\underline{-(2x^4+6x^3) }$

    $~~~~~~~~~~~ \,-~2x^3 ~~~~~~~~~~~-~~x ~~~ -~6$

    $\qquad \underline{-(-~2x^3-6x^2) }$

    $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~6x^2 - ~~x ~~~- ~6$

    $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\underline{-(~6x^2+18x)}$

    $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-~19x~- ~6$

    $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\underline{-(19x+57)}$

    $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-63$

  • Gib zu jeder Polynomdivision die passende Probe an.

    Tipps

    Bei der Probe multiplizierst du das Ergebnis der Polynomdivision mit dem Divisor. Dieses Produkt muss gleich dem Dividenden sein.

    Für eine Division gilt allgemein:

    $\text{Dividend} : \text{Divisor} = \text{Quotient}$

    Beispiel:

    $\underbrace{48}_{\text{Dividend}} : \underbrace{6}_{\text{Divisor}} = \underbrace{8}_{\text{Ergebnis}}$

    Wir machen folgende Probe:

    $\underbrace{8}_{\text{Ergebnis}} \cdot \underbrace{6}_{\text{Divisor}}$

    Dieses Produkt ist dann gleich dem Dividenden – in diesem Fall $48$.

    Lösung

    Das Vorgehen bei der Polynomdivision entspricht dem Vorgehen bei der schriftliche Division. Du musst dich also nur an das nachfolgende Schema halten, um auf die richtige Lösung zu kommen:

    $\text{Dividend} : \text{Divisor} = \text{Quotient}$

    Nichtsdestotrotz kann es passieren, dass sich Fehler einschleichen. Um zu überprüfen, ob du richtig gerechnet hast, kannst du die Probe machen. Dazu multiplizierst du das Ergebnis der Polynomdivision mit dem Divisor. Dieses Produkt muss gleich dem Dividenden sein. Dann hast du alles richtig gemacht.

    Erste Rechnung:

    $\underbrace{(5x^3-17x^2+4x+6)}_{\text{Dividend}} : \underbrace{(x-3)}_{\text{Divisor}} = \underbrace{5x^2-2x-2}_{\text{Quotient}}$

    Wir machen folgende Probe:

    $\underbrace{5x^2-2x-2}_{\text{Quotient}} \cdot \underbrace{(x-3)}_{\text{Divisor}}$

    Dieses Produkt ist dann gleich dem Dividenden, also $5x^3-17x^2+4x+6$.

    Zweite Rechnung:

    $\underbrace{(4x^3-5x^2-4x-4)}_{\text{Dividend}} : \underbrace{(x-2)}_{\text{Divisor}} = \underbrace{4x^2+3x+2}_{\text{Quotient}}$

    Wir machen folgende Probe:

    $\underbrace{4x^2+3x+2}_{\text{Quotient}} \cdot \underbrace{(x-2)}_{\text{Divisor}}$

    Dieses Produkt ist dann gleich dem Dividenden, also $4x^3-5x^2-4x-4$.

    Dritte Rechnung:

    $\underbrace{(x^3-2x^2-8x+21)}_{\text{Dividend}} : \underbrace{(x+3)}_{\text{Divisor}} = \underbrace{x^2-5x+7}_{\text{Quotient}}$

    Wir machen folgende Probe:

    $\underbrace{5x^2-2x-2}_{\text{Quotient}} \cdot \underbrace{(x+3)}_{\text{Divisor}}$

    Dieses Produkt ist dann gleich dem Dividenden, also $x^3-2x^2-8x+21$.

  • Überprüfe die Rechnungen.

    Tipps

    Auch wenn eine Polynomdivision keinen Rest hat, kann sie einen Fehler enthalten.

    Nur eine der vier Rechnungen ist korrekt.

    Lösung

    Bei der Polynomdivision gibt es einige häufig auftauchende Fehler, die wir vermeiden wollen:

    • Vorzeichenfehler
    • Fehler in den Potenzen
    • Divisor wird nicht korrekt multipliziert

    Wir überprüfen nun die gegebenen Beispiele:

    Beispiel 1:

    $~~~ (10x^{3} + ~~~~ x^{2} + 9)~:~(\color{#FF66FF}{x}$$ + 1)~=~10x^2 - \color{#FF66FF}{9}$

    $\underline{- (10x^{3} + 10x^{2})}$

    $~~~~~~~~~~~~~~~ \,-9x^{2} + 9$

    $\qquad~~~ \color{#FF66FF}{\underline{- (-9x^2 - 9)}}$

    $\qquad \qquad \qquad ~~ \,0$

    Bei diesem Beispiel wurden beim Multiplizieren die Potenzen falsch notiert. Korrekt lautet die Polynomdivision:

    $~~~ (10x^{3}+ ~~~~ x^2 ~~~~~~~~~~~ +9)~:~(x+1)~=~10x^2 - 9x + 9$

    $\underline{-(10x^{3}+10x^2)}$

    $~~~~~~~~~~~~~~~~~ \,-9x^2 ~~ ~~~~~~~~+9$

    $\qquad ~~~~~ \underline{-(-9x^2-9x) }$

    $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~9x ~+ 9$

    $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\underline{-(9x+9)}$

    $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~0$

    Beispiel 2:

    $~~~ (x^{3} -5x^{2} ~~~~~+16x-30)~:~(x\color{#FF66FF}{-}$ $3) ~=~x^{2} \color{#FF66FF}{-}$ $ 2x+22 ~~~ \left(+~\frac{66}{x-3} ~~\text{Rest}\right)$

    $\underline{-(x^{3}-3x^{2})} $

    $~~~~~~~~~~~~~~\,-2x^{2}+16x-30$

    $\quad \quad ~~ \color{#FF66FF}{\underline{-(-2x^{2}-6x) }}$

    $\qquad \qquad \qquad ~~~~22x-30$

    $\qquad \quad \quad ~~~~~~~ \underline{-(22x-66)}$

    $\qquad \qquad \qquad \quad \quad ~~~~+66$

    Hier gibt es einen Vorzeichenfehler. Korrekt lautet die Polynomdivision:

    $~~~ (x^{3} -5x^{2} ~~~~~+16x-30)~:~(x-3) ~=~x^{2} - 2x+10$

    $\underline{-(x^{3}-3x^{2}) }$

    $~~~~~~~~~~~~~~\,-2x^{2}+16x-30$

    $\quad \quad ~~ \underline{-(-2x^{2}+6x)}$

    $\qquad \qquad \qquad ~~~~10x-30$

    $\qquad \quad \quad ~~~~~~~ \underline{-(10x-30)}$

    $\qquad \qquad \qquad \quad \quad ~~~~~~~~0$

    Beispiel 3:

    $~~~ (2x^{3} + 6x^{2} ~~-7x + 4)~:~(x+4) ~=~2x^{2} - 2x+1$

    $\underline{-(2x^{3}+8x^{2}) }$

    $~~~~~~~~~~~~~~\,-2x^{2}-7x+4$

    $\quad \quad ~~ \underline{-(-2x^{2}-8x)}$

    $\qquad \qquad \qquad ~~~~~~~x+4 $

    $\qquad \quad \quad ~~~~~~~~~~ \underline{-(x+4)}$

    $\qquad \qquad \qquad \quad \quad ~~~~~~0$

    Dieses Beispiel enthält keinen Fehler.


    Beispiel 4:

    $~~~ (x^{3} +x^{2} ~~~+8x-10)~:~(x-3) ~=~x^{2} + 4x-4 ~~~ \left(-~\frac{22}{x-3} ~~\text{Rest}\right)$

    $\underline{-(x^{3}-3x^{2}) }$

    $~~~~~~~~~~~~~~\,4x^{2}+8x-10$

    $\quad \quad ~~ \underline{-(4x^{2}-12x)}$

    $\qquad \qquad \qquad \color{#FF66FF}{-4x}$$-10$

    $\qquad \quad \quad ~~~ \underline{-(-4x+12)}$

    $\qquad \qquad \qquad \quad \quad ~~-22$

    Hier ist die Subtraktion falsch. Korrekt lautet die Polynomdivision:

    $~~~ (x^{3} +x^{2} ~~~+8x-10)~:~(x-3) ~=~x^{2} + 4x+20 ~~~ \left(+~\frac{50}{x-3} ~~\text{Rest}\right)$

    $\underline{-(x^{3}-3x^{2})}$

    $~~~~~~~~~~~~~~\,4x^{2}+8x-10$

    $\quad \quad ~~ \underline{-(4x^{2}-12x)}$

    $\qquad \qquad \qquad 20x-10$

    $\qquad \quad \quad ~~~ \underline{-(20x-60)}$

    $\qquad \qquad \qquad \quad \quad ~~~~50$