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Polynomdivision - Erklärung

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Martin Wabnik

Polynomdivision - Erklärung

lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse - 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Polynomdivision - Erklärung

Einführung: Polynomdivision

Bei der Polynomdivision wird, wie der Name bereits andeutet, ein Polynom durch ein anderes Polynom dividiert. Bspw. sind sowohl $-x^2-7x -12$ als auch $x+4$ Polynome.

Polynomdivision Erklärung

Am Beispiel $\left(-x^2-7x -12\right):(x+4)=...$ wird nun das Vorgehen bei der Polynomdivision erklärt:

1. Zunächst wird der erste Summand $-x^2$ des Dividenden durch den ersten Summanden des Divisors $x$ geteilt:$\frac{-x^2}{x}=-x$

2. Dieses Ergebnis wird hinter dem Gleichheitszeichen aufgeschrieben.

3. Nun wird das Ergebnis $-x$ mit dem Divisor $x+4$ multipliziert zu $-x^2-4x$.

4. Das Produkt wird vom Dividenden subtrahiert: $-x^2-7x -12-\left(-x^2-4x\right)=-3x-12$. Dies ist der „neue“ Dividend.

5. Es geht weiter wie im Schritt 1: $\frac{-3x}{x}=-3$. Dieses Ergebnis wird hinter $-x$ auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens aufgeschrieben.

6. Wieder wird das Ergebnis mit dem Divisor multipliziert $-3\cdot (x+4)=-3x-12$.

7. Schließlich wird das Produkt von dem Dividenden subtrahiert $-3x-12-(-3x-12)=0$.

Damit ergibt sich:

$-x^2-7x -12=(x+4)\cdot(-x-3)$

Polynomdivision Beispiel

Polynomdivision Anwendung

Eine häufige Anwendung der Polynomdivision ist das Bestimmen von Nullstellen von Polynomen, deren Grad höher als $2$ ist.

Beispiel 1

Es ist bereits bekannt, dass die Funktion $f$ mit $f(x)=-x^3+3x^2-2$ eine Nullstelle bei $x=1$ hat. Dies kann durch Einsetzen überprüft werden. Diese kubische Funktion könnte noch zwei weitere Nullstellen besitzen. Um diese zu ermitteln, wird der kubische Funktionsterm durch $x-1$ dividiert. Es wird immer von $x$ die bereits bekannte Nullstelle subtrahiert.

Polynomdivision Nullstellen einer kubischen Gleichung bestimmen

Der quadratische Term, der bei dieser Polynomdivision herausgekommen ist, kann nun gleich $0$ gesetzt werden und mit Hilfe der pq-Formel ausgerechnet werden. Die Lösungen dieser Gleichung sind die gesuchten Nullstellen der kubischen Funktion.

Polynomdivision Beispiel

Bei den ersten beiden Beispielen kam zum Schluss immer der Rest $0$ heraus. Dies muss nicht immer so sein.

Beispiel 2

Bei der Polynomdivision $\left(-x^2+2x+2\right):(x+1)$ bleibt bspw. der Rest $-1$ übrig.

Polynomdivision mit Rest

Polynomdivision - Erklärung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Polynomdivision - Erklärung kannst du es wiederholen und üben.
  • Vervollständige die Polynomdivision.

    Tipps

    Im ersten Schritt teilst du den ersten Summanden des Dividenden durch den ersten Summanden des Divisors und schreibst das Ergebnis hinter das Gleichheitszeichen.

    Den aktuellen Term, den du hinter das Gleichheitszeichen schreibst, multiplizierst du mit dem Divisor und schreibst das Ergebnis in die aktuelle Zeile der schriftlichen Division.

    Beachte die Minusklammern.

    Lösung

    Bei einer Polynomdivision gehen wir wie folgt vor:

    • Wir teilen den ersten Summanden des Dividenden durch den ersten Summanden des Divisors. Das Ergebnis schreiben wir hinter das Gleichheitszeichen.
    • Mit dem Ergebnis müssen wir dann rückmultiplizieren. Wir multiplizieren hierzu das Ergebnis mit dem Divisor. Das Produkt schreiben wir in die Zeile unter dem Dividenden.
    • Den so erhaltenen Term ziehen wir von unserem Dividenden ab, wobei wir immer auf die Minusklammer achten! Den resultierenden Rest schreiben wir in die nächste Zeile der Polynomdivision.
    • Nun machen wir wieder beim ersten Schritt weiter, und zwar so lange, bis wir alle Glieder des Dividenden berücksichtigt haben. Geht die Division ohne Rest auf, so erhalten wir bei der letzten Subtraktion der Terme die Differenz Null.
    Damit erhalten wir die hier abgebildete Polynomdivision:

    Schritt 1: Wir teilen $-x^2$ durch $x$ und erhalten $-x$, was wir hinter das Gleichheitszeichen schreiben.

    Schritt 2: Wir multiplizieren $-x$ mit $(x+4)$ und erhalten $(-x^2-4x)$. Diesen Term schreiben wir unter den Dividenden.

    Schritt 3: Dieses Produkt ziehen wir vom Dividenden ab und erhalten die Differenz $-3x$, welche wir in die nächste Zeile schreiben.

    Schritt 4: Nun ziehen wir das nächste Glied des Dividenden, also $-12$ in diese Zeile runter.

    Schritt 5: Hier gehen wir wieder wie im ersten Schritt vor. Wir teilen nun $-3x$ durch $x$ und erhalten $-3$, was wir hinter $-x$ in die Ergebniszeile schreiben.

  • Bestimme mit Hilfe der Probe das korrekte Ergebnis der Polynomdivision.

    Tipps

    Du führst die Probe durch, indem du den Divisor jeweils mit den möglichen Ergebnissen multiplizierst.

    Es gilt:

    $(a+b)\cdot (c+d)=ac+ad+bc+bd$

    Lösung

    Wir ermitteln das Ergebnis, indem wir für alle angegebenen Terme die Probe durchführen. Die Probe führen wir durch, indem wir den Divisor jeweils mit diesen Termen multiplizieren. Entspricht das resultierende Polynom dem Dividenden, so ist dieser Term die Lösung der Polynomdivision. Bei der Multiplikation zweier Summanden gehen wir wie folgt vor:

    $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$

    Damit erhalten wir:

    • $(x-3)\cdot (x+4)=x^2+4x-3x-12=x^2+x-12\neq -x^2-7x-12$
    • $(-x-3)\cdot (x+4)=-x^2-4x-3x-12=-x^2-7x-12~\checkmark$
    • $(-x+3)\cdot (x+4)=-x^2-4x+3x+12=-x^2-x+12\neq -x^2-7x-12$
    • $(x+3)\cdot (x+4)=x^2+4x+3x+12=x^2+7x+12\neq -x^2-7x-12$
    • $(-3-x)\cdot (x+4)=-3x-12-x^2-4x=-x^2-7x-12~\checkmark$
    Wegen der Kommutativität können wir das Ergebnis $-x-3$ auch angeben als $-3-x$. Damit sind diese beiden Varianten korrekt.

  • Ermittle den Quotienten der Polynomdivision.

    Tipps

    Teile zunächst den ersten Summanden des Dividenden durch den ersten Summanden des Divisors. Schreibe das Ergebnis hinter das Gleichheitszeichen. Multipliziere dann das Ergebnis mit dem Divisor. Schreibe das Produkt in die Zeile unter dem Dividenden.

    Subtrahiere das Produkt von dem Dividenden. Achte dabei auf die Minusklammer!

    Lösung

    Wir führen die Polynomdivision $(x^3-2x^2-5x+6):(x-1)$ wie folgt durch.

    Schritt 1

    Wir teilen den ersten Summanden des Dividenden durch den ersten Summanden des Divisors. Das Ergebnis schreiben wir hinter das Gleichheitszeichen:

    • $x^3:x=x^2$
    Schritt 2

    Mit dem Ergebnis müssen wir dann rückmultiplizieren. Wir multiplizieren hierzu das Ergebnis mit dem Divisor. Das Produkt schreiben wir in die Zeile unter dem Dividenden:

    • $(x-1)\cdot x^2=x^3-x^2$
    Schritt 3

    Den so erhaltenen Term ziehen wir von unserem Dividenden ab, wobei wir immer auf die Minusklammer achten! Den resultierenden Rest schreiben wir in die nächste Zeile der Polynomdivision:

    • $x^3-2x^2-5x+6-(x^3-x^2)=x^3-2x^2-5x+6-x^3+x^2=-x^2-5x+6$
    alle übrigen Schritte

    Nun machen wir beim ersten Schritt weiter, und zwar so lange, bis wir alle Glieder des Dividenden berücksichtigt haben. Geht die Division ohne Rest auf, so erhalten wir bei der letzten Subtraktion die Differenz Null:

    • Mit $-x^2:x=-x$ kommt als nächstes in die Ergebniszeile $-x$. Mit $(x-1)\cdot (-x)=-x^2+x$ erhalten wir die Subtraktion $-x^2-5x+6-(-x^2+x)=-6x+6$. Dieser Term kommt in die nächste Zeile der Polynomdivision.
    • Wieder sind wir beim ersten Schritt und erhalten $-6x:x=-6$. Wir schreiben $-6$ in die Ergebniszeile und bestimmen das Produkt $(x-1)\cdot (-6)=-6x+6$. Diesen Term schreiben wir in die nächste Zeile der Division und erhalten die Subtraktion $-6x+6-(-6x+6)=0$.
    Nun sind wir fertig und haben in der Ergebniszeile insgesamt folgendes Polynom erhalten:

    • $(x^3-2x^2-5x+6):(x-1)=x^2-x-6$
  • Bestimme die resultierenden Polynome.

    Tipps

    Schritt 1: Teile den ersten Summanden des Dividenden durch den ersten Summanden des Divisors.

    Schritt 2: Rückmultipliziere das Ergebnis mit dem Divisor.

    Schritt 3: Subtrahiere den erhaltenen Term vom Dividenden.

    Schritt 4: Mache nun beim ersten Schritt weiter.

    Sieh dir das hier abgebildete Beispiel an.

    Lösung

    Wir wiederholen an dem ersten Beispiel $(3x^3 - 10x^2 + 7x - 12):(x-3)$ die einzelnen Schritte der Polynomdivision:

    Schritt 1: Wir teilen den ersten Summanden des Dividenden durch den ersten Summanden des Divisors. Das Ergebnis schreiben wir hinter das Gleichheitszeichen.

    • $3x^3:x=3x^2$
    Schritt 2: Mit dem Ergebnis müssen wir dann rückmultiplizieren. Wir multiplizieren hierzu das Ergebnis mit dem Divisor. Das Produkt schreiben wir in die Zeile unter dem Dividenden. Wir schreiben unter den Dividenden also das folgende Produkt:

    • $3x^2(x-3)=3x^3-9x^2$
    Schritt 3: Den so erhaltenen Term ziehen wir von unserem Dividenden ab, wobei wir immer auf die Minusklammer achten! Den resultierenden Rest schreiben wir in die nächste Zeile der Polynomdivision. Wir erhalten hier:

    • $(3x^3 - 10x^2 + 7x - 12)-(3x^3-9x^2)=-x^2+7x-12$
    Schritt 4: Nun machen wir beim ersten Schritt weiter, und zwar so lange, bis wir alle Glieder des Dividenden berücksichtigt haben. Geht die Division ohne Rest auf, so erhalten wir bei der letzten Subtraktion die Differenz Null.

    • Wir führen wieder den ersten Schritt aus: $-x^2:x=-x$
    • Jetzt folgt: $-x(x-3)=-x^2+3x$
    • Nun subtrahieren wir wieder: $-x^2+7x-12-(-x^2+3x)=4x-12$
    • Jetzt führen wir wieder den 1. Schritt aus: $4x:x=4$
    • Wir erhalten das Produkt: $4(x-3)=4x-12$
    • Die Differenz ist nun: $4x-12-(4x-12)=0$
    • Insgesamt haben wir folgenden Quotienten erhalten: $3x^2-x+4$
    Bei den hier betrachteten Beispielen geht die Division immer vollständig auf, wir haben also keinen Rest. Gehen wir wie oben beschrieben vor, erhalten wir folgende Lösungen:

    • $(3x^3 - 10x^2 + 7x - 12):(x-3)=3x^2 -x + 4$
    • $(x^3 - 6x^2 - x + 6):(x-1)=x^2-5x-6$
    • $(-4x^3 - 7x^2 + 3x + 2):(x+2)=-4x^2+x+1$
    • $(4x^3 - 5x^2 - 4x - 4 ):(x-2)=4x^2+3x+2$
  • Beschreibe, wie du bei einer Polynomdivision vorgehst.

    Tipps

    Der erste Schritt einer Polynomdivision lautet:

    $(x^3 + 2x^2 - x - 2) : (x - 1) = x^2$

    Im nächsten Schritt musst du $x^2$ mit dem Divisor multiplizieren und das Produkt in die Zeile unter dem Dividenden schreiben.

    Lösung

    Bei einer Polynomdivision gehen wir wie folgt vor:

    • Wir teilen den ersten Summanden des Dividenden durch den ersten Summanden des Divisors. Das Ergebnis schreiben wir hinter das Gleichheitszeichen. Bei der hier abgebildeten Division entspricht diesem Schritt die Rechnung: $~-x^2:x=-x$
    • Mit dem Ergebnis müssen wir dann rückmultiplizieren. Wir multiplizieren hierzu das Ergebnis mit dem Divisor. Das Produkt schreiben wir in die Zeile unter dem Dividenden, hier: $~(x+4)\cdot -x=(-x^2-4x)$
    • Den so erhaltenen Term ziehen wir von unserem Dividenden ab, wobei wir immer auf die Minusklammer achten! Den resultierenden Rest schreiben wir in die nächste Zeile der Polynomdivision. Hier erhalten wir also: $~-x^2-7x-12-(-x^2-4x)=-x^2-7x-12+x^2+4x=-3x-12$
    • Nun machen wir beim ersten Schritt weiter, und zwar so lange, bis wir alle Glieder des Dividenden berücksichtigt haben. Geht die Division ohne Rest auf, so erhalten wir bei der letzten Subtraktion die Differenz Null. Wir rechnen hier also erst $-3x:x=-3$ und dann multiplizieren wir $-3$ mit $x+4$, sodass wir das Produkt $-3x-12$ erhalten. Die Subtraktion $-3x-12-(-3x-12)=0$ und damit bleibt hier kein Rest übrig.
  • Erschließe das Ergebnis der Polynomdivision.

    Tipps

    Du kannst die fehlenden Glieder im Dividenden ergänzen, indem du vor diese den Koeffizienten $0$ schreibst. Sieh dir folgendes Beispiel an:

    $-2x^4+x+5=-2x^4+0x^3+0x^2+x+5$

    Achte auf die Vorzeichen der Koeffizienten.

    Lösung

    Um dir die Rechnung zu vereinfachen, kannst du die fehlenden Glieder im Dividenden ergänzen, indem du vor diese den Koeffizienten $0$ schreibst. Anschließend gehst du wie gewohnt vor:

    Schritt 1: Wir teilen den ersten Summanden des Dividenden durch den ersten Summanden des Divisors. Das Ergebnis schreiben wir hinter das Gleichheitszeichen.

    Schritt 2: Mit dem Ergebnis müssen wir dann rückmultiplizieren. Wir multiplizieren hierzu das Ergebnis mit dem Divisor. Das Produkt schreiben wir in die Zeile unter dem Dividenden.

    Schritt 3: Den so erhaltenen Term ziehen wir von unserem Dividenden ab, wobei wir immer auf die Minusklammer achten! Den resultierenden Rest schreiben wir in die nächste Zeile der Polynomdivision.

    Schritt 4: Nun machen wir beim ersten Schritt weiter, und zwar so lange, bis wir alle Glieder des Dividenden berücksichtigt haben. Geht die Division ohne Rest auf, so erhalten wir bei der letzten Subtraktion die Differenz Null.

    So erhältst du die hier abgebildete Polynomdivision.

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