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Ortsvektor – Definition

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Martin Wabnik
Ortsvektor – Definition
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Grundlagen zum Thema Ortsvektor – Definition

Ein Ortsvektor ist nicht etwas ein Vektor, der sich an einem bestimmten Ort befindet, sondern ein Ortsvektor ist ein Vektor, der durch einen Ort definiert wird. Orte sind Punkte im Koordinatensystem. Legt man einen Ort fest, so gibt es nur einen einzigen Pfeil, der vom Koordinatenursprung zu diesem Ort führt. Dieser Pfeil repräsentiert genau einen Vektor, nämlich den Ortsvektor, der durch diesen Ort definiert wird. Im Video schauen wir uns die ganze Sache noch graphisch-optisch an.

Transkript Ortsvektor – Definition

Hi. Was ist ein Ortsvektor? Das wollen wir jetzt mal klären und das ist auch schnell gemacht. Ein Ortsvektor ist ein Vektor, der durch einen Ort definiert wird. Wir haben ein Koordinatensystem. Normalerweise sind in der Vektorrechnung die Koordinatensysteme dreidimensional. Hier für das Video ist es aber gut, wenn wir das zweidimensional haben. In diesem Koordinatensystem befindet sich ein freundlicher Punkt. Der hier hat die Koordinaten (-3∣2). Und der Punkt soll A heißen. So ein Punkt ist ein geometrischer Ort. Und jeder geometrische Ort definiert einen Ortsvektor. In diesem Fall ist es der Ortsvektor 0A mit den Koordinaten -3, 2. Was dann also die Koordinaten dieses Punktes sind. Vektoren werden durch Pfeile repräsentiert. Und dieser Ortsvektor wird typischerweise durch den Pfeil repräsentiert, der vom Koordinaten-Ursprung zu diesem Punkt führt. Ein Vektor ist eine Einheit aus Länge und Richtung. Die Länge dieses Pfeils ist die Länge dieses Vektors. Und die Richtung dieses Pfeils ist die Richtung dieses Vektors. Dieser Vektor ist nicht dieser Pfeil. Dieser Pfeil repräsentiert diesen Vektor. Und auch wenn sich dieser Pfeil an einem bestimmten Ort befindet und dieser Ortsvektor durch diesen bestimmten Ort definiert wird, befindet sich dieser Vektor nicht an einem bestimmten Ort. Und um das mal grafisch, optisch deutlich zu machen, kann man diesen Pfeil hier vervielfältigen. Alle Pfeile, die so entstehen, haben dieselbe Länge und dieselbe Richtung. Und alle Pfeile repräsentieren ein und denselben Vektor. So, dann haben wir gesehen, was ein Ortsvektor ist. Das ist ein richtiger Vektor, der wie alle anderen Vektoren zwar keinen Ort hat, aber durch einen solchen definiert wird. Unter uns gesagt: Meistens denkt man bei Ortsvektor an den einen Pfeil, der vom Koordinaten-Ursprung zum Punkt geht. Hat man das im Kopf, lässt sich die eine oder andere Aufgabe vielleicht besser verstehen. Das ist zwar mathematisch nicht ganz richtig. Aber richtig falsch ist es auch nicht. Ciao.

Ortsvektor – Definition Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ortsvektor – Definition kannst du es wiederholen und üben.
  • Nenne die Definition des Ortsvektors.

    Tipps

    Ein Ortsvektor führt zu einem bestimmten Ort.

    Ein Ortsvektor ist insbesondere ein Vektor.

    Lösung

    Zu einem Punkt im Koordinatensystem, zum Beispiel $A(-3|2)$, existiert ein Vektor, der vom Koordinatenursprung zu diesem Punkt führt.

    Für den Beispielpunkt bedeutet dies:

    • Gehe $3$ Einheiten in die negative $x_1$-Richtung und
    • $2$ Einheiten in die positive $x_2$-Richtung.
    Der Ortsvektor ist dann:

    • $\vec {OA}=\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix}$
    Allgemein ist ein Ortsvektor ein Vektor, der durch einen geometrischen Ort definiert wird. Ein Punkt ist so ein geometrischer Ort.

  • Beschreibe, wie man von einem Punkt zu dem dazugehörigen Ortsvektor kommt.

    Tipps

    Liegt der Anfangspunkt eines Vektors im Koordinatenursprung $O(0\vert 0)$ und sein Endpunkt im Punkt $A$, so heißt dieser Vektor Ortsvektor $\vec{OA}$ von $A$.

    Der Ortsvektor von $B(5\vert 7)$ lautet:

    • $\vec {OB}=\begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix}$

    Ist der Punkt $P(x\vert y)$ gegeben, so lautet der zugehörige Ortsvektor $\vec{OP}=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

    Lösung

    Der Ortsvektor heißt Ortsvektor, weil er von dem Koordinatenursprung zu diesem Ort führt.

    Er wird durch den Ort, also durch den Punkt, definiert.

    Er befindet sich nicht an diesem Ort.

    Der Ortsvektor von $A(-3\vert 2)$ lautet:

    • $\vec {OA}=\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix}$
  • Ordne den Punkten ihre Ortsvektoren zu.

    Tipps

    Die Koordinaten eines Ortsvektors zu einem Punkt stimmen mit den Koordinaten des Punktes überein.

    Der Ortsvektor zu einem Punkt ist eindeutig.

    Lösung

    Die Zahlenfolge bei den Punkten und den Vektoren verändert sich nicht. Es wird nur in einer anderen Form angegeben. Es gilt also allgemein für einen Punkt $X$ mit dem Ortsvektor $\vec {OX}$:

    • $X(x_1|x_2|x_3)$ hat den Ortsvektor $\vec {OX}=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix}$.
    Somit gilt insbesondere:

    • $P(1|2|3)$ hat den Ortsvektor $\vec {OP}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2\\ 3 \end{pmatrix}$.
    • $A(-1|2|3)$ hat den Ortsvektor $\vec {OA}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2\\ 3 \end{pmatrix}$.
    • $U(1|-2|-3)$ hat den Ortsvektor $\vec {OU}=\begin{pmatrix} 1 \\ -2\\ -3 \end{pmatrix}$.
    • $L(-1|-2|-3)$ hat den Ortsvektor $\vec {OL}=\begin{pmatrix} -1 \\ -2\\ -3 \end{pmatrix}$.
  • Überprüfe die Aussagen.

    Tipps

    Der Nullvektor ist gegeben durch:

    $\vec 0=\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$

    Der Vektor $\vec{AB}$ ist der Vektor, der von $A$ nach $B$ verläuft.

    Er wird als Verbindungsvektor bezeichnet.

    Zu einem beliebigen Punkt ist der Ortsvektor dadurch gegeben, dass die Koordinaten des Punktes in der gleichen Reihenfolge spaltenweise geschrieben werden.

    Der Gegenvektor des Vektors $\vec a$ ist gegeben durch:

    $-\vec a=\begin{pmatrix} -a_1 \\ -a_2\\ -a_3 \end{pmatrix}$

    Lösung
    • Der Ortsvektor eines beliebigen Punktes verläuft von dem Koordinatenursprung zu diesem Punkt. Es handelt sich also um den Verbindungsvektor $\vec{OA}$.
    • Um den Verbindungsvektor von zwei Punkten zu bestimmen, zieht man von dem Ortsvektor des Endpunktes den des Anfangspunktes ab: $\vec{AB}=\vec {OB}-\vec {OA}$.
    • Sei $A(a_1|a_2|a_3)$ ein Punkt des Raumes und $\vec a$ der zugehörige Ortsvektor, dann ist der zu $-\vec{a}$ gehörende Punkt gegeben durch $A'(-a_1|-a_2|-a_3)$.
    • Der Ortsvektor des Koordinatenursprungs $O$ ist der Nullvektor.
  • Gib den Ortsvektor des Punktes $A(-3|2)$ an.

    Tipps

    Ein Ortsvektor wird

    • mit einem Pfeil über der Bezeichnung,
    • in Spaltenschreibweise und
    • mit Gleichheitszeichen geschrieben.

    Hier siehst du den Ortsvektor zu $B(-1\vert 3)$:

    $\vec {OB}=\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$

    Lösung

    Zu dem Punkt $A(-3|2)$ gehört der Ortsvektor:

    $\vec {OA}=\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix}$

    Da $a_1=-3$ und $a_2=2$, trifft auch folgende Schreibweise zu:

    $\vec {OA}=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$

    Was ist dabei zu beachten?

    • Der Ortsvektor wird mit dem gleichen Buchstaben wie der Punkt, der Bezeichnung für den Koordinatenursprung $O$ davor und einem Vektorpfeil über diesen beiden bezeichnet.
    • Der Vektor wird in Spaltenschreibweise geschrieben.
    • Im Gegensatz zur Schreibweise des Punktes wird bei einem Vektor das Gleichheitszeichen verwendet.

  • Ermittle den Ortsvektor, der den zurückgelegten Weg beschreibt.

    Tipps

    Zeichne dir ein Koordinatensystem und trage die entsprechenden Richtungen ein. Bei der Skalierung kannst du zum Beispiel nutzen, dass $100 \text{ m}$ in der Wirklichkeit einem $1 \text{ cm}$ im Koordinatensystem entspricht.

    Bestimme den Punkt, zu dem das Flugzeug fliegt.

    Wenn du den Punkt hast, kannst du den zugehörigen Ortsvektor ablesen.

    Die Koordinatenachse verläuft in östlicher Richtung. Das bedeutet, dass sich:

    • der Westen auf dem negativen Teil und
    • der Osten auf dem positiven Teil
    der Achse befindet.

    Lösung

    Ein Flugzeug bewegt sich vom Flughafen, welcher dem Koordinatenursprung entspricht,

    • $5000~\text{m}$ nach oben,
    • $5000~\text{m}$ in östlicher Richtung und
    • $10000~\text{m}$ in südlicher Richtung.
    Der zugehörige Punkt ist dann $L(5000|10000|5000)$.

    Dazu gehört der Ortsvektor

    $\vec {OL}=\begin{pmatrix} 5000 \\ 10000\\ 5000 \end{pmatrix}$

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