Mengen und Elemente

Mengen und Elemente Übung

• Ergänze die Erklärung zu den Begriffen der Menge und des Elementes.

  Tipps

  Menge kommen häufig in der Mathematik vor. Du kannst dir diese wie einen Sack vorstellen oder eine Kiste oder ...

  In diesem Sack oder ... befindet sich irgendetwas.

  In dem Sack kann sich auch nichts befinden. Dies ist die leere Menge.

  Deine Schulklasse ist auch eine Menge. Die Elemente sind die einzelnen Schüler.

  Lösung

  Eine Menge ist eine Gesamtheit, die Dinge oder Individuen enthält.

  Die Dinge oder Individuen, die sich in der Menge befinden, heißen Elemente.

• Beschreibe, wie Mengen geschrieben werden.

  Tipps

  Ganz wichtig: Mengen werden mit Mengenklammern, den geschweiften Klammern $\{$ sowie $\}$ beschrieben.

  Wenn du dir eine Menge wie einen Sack vorstellst: Kann dieser Sack auch leer sein?

  Lösung

  Mengen werden mit geschweiften Klammern geschrieben: $\{$ und $\}$.

  Zum Beispiel

  • $\{$Kopf; Zahl$\}$
  • $\{1;2;3;4;...\}$
  • $\{~\}$ - in dieser Menge befindet sich kein Element. Dies ist die leere Menge.

• Entscheide, in welcher Menge die Elemente liegen.

  Tipps

  Stelle dir die Menge jeweils wie einen Sack vor: Du hast drei Säcke.

  Es gibt ein Element, welches sich in keiner der Mengen befindet.

  Lösung

  In der Menge $A$ befinden sich die Elemente $a$, $b$, $c$ und $d$.

  In der Menge $B$ befinden sich als Elemente die Zahlen von $1$ bis $10$, dies wird durch die drei Punkte angedeutet, um nicht alle Zahlen aufschreiben zu müssen.

  In der Menge befinden sich die Elemente Paul, Luis und Willi, allerdings nicht Lotte.

• Stelle die Mengen gegenüber, welche identisch sind.

  Tipps

  Die Reihenfolge der Elemente einer Menge spielt keine Rolle.

  Elemente, welche mehrmals aufgeschrieben werden, sind trotzdem nur einmal in der Menge.

  Lösung

  Zum einen ist die Reihenfolge der Elemente in einer Menge beliebig und zum anderen kommt jedes Element in einer Menge nur einmal vor, auch wenn es mehrmals aufgeschrieben ist. Somit gilt für die folgenden Mengen Gleichheit:

  • $\{2;4;6;8\}=\{2;6;6;4;8\}$
  • $\{2;4;8\}=\{4;2;8\}$
  • $\{4;6;8\}=\{6;6;4;8\}$
  • $\{2;4;6\}=\{2;6;6;4\}$

• Fasse zusammen, was bei Mengen zu beachten ist.

  Tipps

  Wenn eine Menge ein Sack ist, dann sind alle Dinge oder Individuen in dem Sack Elemente der Menge.

  Solche Dinge oder Elemente, welche sich nicht in dem Sack befinden, sind nicht Elemente der Menge.

  In einem Sack sind die Elemente kunterbunt verteilt.

  Lösung

  Die Reihenfolge der Elemente in einer Menge spielt keine Rolle.

  $\{1;2;3\}=\{2;3;1\}$.

  Es kommt jedes Element nur einmal vor, auch wenn es mehrmals aufgeschrieben ist:

  $\{2;3;1\}=\{2;3;3;1\}$.

  Die Schreibweise $e\in M$ bedeutet, dass das Element $e$ in der Menge $M$ liegt.

  Die Elemente werden dabei mit Kleinbuchstaben und Mengen mit Großbuchstaben geschrieben.

  Die Schreibweise $e\not\in M$ bedeutet, dass das Element $e$ nicht in der Menge $M$ liegt.

• Zeige alle Elemente auf, welche sich in der Menge befinden.

  Tipps

  In der Menge $A$ befinden sich fünf, in $B$ sechs und in $C$ drei Elemente.

  Die Menge der natürlichen Zahlen ist auch eine Menge:

  $\mathbb{N}=\{1;2;3;...\}$.

  Gerade Zahlen sind die Zahlen, die durch $2$ teilbar sind.

  Lösung

  Mengen können auch über die Eigenschaften ihrer Elemente beschrieben werden:

  • $A$ ist die Menge aller geraden natürlichen Zahlen, die kleiner sind als $12$: $A=\{2;4;6;8;10\}$.
  • $B$ ist die Menge aller ganzen Zahlen die größer sind als $-3$ und kleiner als $4$: $B=\{-2;-1;0;1;2;3\}$.
  • $C$ ist die Menge aller natürliche Zahlen kleiner als $16$, die durch $5$ teilbar sind: $C=\{5;10;15\}$.