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Logarithmusgleichungen lösen 09:47 min

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Transkript Logarithmusgleichungen lösen

Hallo, “Logarithmengleichungen” ist ein schwieriges Wort, aber die Gleichungen, die dahinterstecken, sind auch nicht komplizierter als die Gleichungen, die du bisher bearbeitet hast. Jede Art von Gleichungen hat ihre eigenen Lösungsmethoden und so ist es auch bei den Logarithmengleichungen, die Lösungsmethode besteht im Wesentlichen aus drei Schritten. Das sind nämlich “Definitionsbereich bestimmen”, “Entlogarithmieren” und “die Probe durchführen”. Nun, was ist tatsächlich neu an dieser Methode? Definitionsbereich bestimmen ist es nicht, denn das kennst du zum Beispiel von Wurzelgleichungen. Probe durchführen ebenfalls nicht, denn das kennst du auch von Wurzelgleichungen aber wahrscheinlich auch von quadratischen Gleichungen. Das einzige, das neu ist, ist das Entlogarithmieren und das ist nur ein ganz kleiner Schritt. Und wie die Methode funktioniert, sehen wir uns jetzt mal an zwei Beispielen an. Die Gleichung lautet log2(2x) = 3. Und wir beginnen mit dem Definitionsbereich, den schreibt man als D mit Doppelstrich, das werden wir gleich sehen. Der Logarithmus ist nur dann definiert, wenn der Numerus, hier also 2x, größer als null ist. Das bedeutet, 2x > 0 und wenn wir hier durch zwei teilen, dann sehen wir das ist genau dann der Fall, wenn x > 0 ist. Damit ist also der Definitionsbereich bestimmt, er besteht aus dem offenen Intervall von 0 bis unendlich. Offen ist das Intervall deshalb, weil ja unendlich keine Zahl ist und nach links ist es offen, weil die 0 nicht mit zum Intervall gehört. Und jetzt kommt das Entlogarithmieren, dafür verwenden wir hier die Definition des Logarithmus. Der Wert des Logarithmus drei, ist ja laut Definition die Zahl, mit der man die Basis 0 potenzieren muss, um den Numerus 2x zu erhalten. Hier steht also, dass wenn man 2 mit 3 potenziert, man 2x erhält. Und wenn man das hinschreibt, ist das einfach eine lineare Gleichung, nämlich 23 = 2x. Die Gleichung müssen wir jetzt lösen, wir machen eine Termumformung. Da wir nämlich 23 ausrechnen, das ist 8, 8 = 2x, und wenn wir noch durch zwei teilen, erhalten wir dann 4 = x. Und da 4 im Definitionsbereich liegt, ist 4 die Lösung dieser Logarithmengleichung. Jetzt fehlt noch die Probe, und dazu setzen wir für x 4 in die Ausgangsgleichung ein, wir erhalten dann also log2(2×4) = 3. Und das ist richtig, denn der log2(8) = 3, weil 23 = 8 ist. Jetzt können wir also die Lösungsmenge hinschreiben, hier das L mit dem Doppelstrich. Die Lösungsmenge besteht aus der Menge, die die Zahl 4 enthält. Noch eine kleine Anmerkung zum Verfahren hier, aus mathematischer Sicht würde es reichen, entweder die Probe zu machen oder den Definitionsbereich zu bestimmen. Da du aber beides können solltest, zeige ich hier natürlich beide Verfahren. Kommen wir zum nächsten Beispiel, wir haben log4(3x + 4) = log4(2x + 2). Wir können wieder mit dem Definitionsbereich anfangen und müssen dazu zwei Ungleichungen lösen, denn es muss 3x + 4 >0 sein, damit dieser Logarithmus definiert ist, die Ungleichungen können wir umformen, indem wir -4 rechnen und anschließend geteilt durch 3. Das kann ich in einem Schritt machen, wenn man -4 rechnet, haben wir -4 auf der rechten Seite stehen, wenn wir dann noch durch 3 teilen, stehen da -4/3. Und x > -4/3. Die zweite Ungleichung ergibt sich hier, denn 2x + 2 > 0, damit dieser Logarithmus definiert ist. Auch hier können wir schnell vorgehen, wir rechnen -2 und teilen anschließend durch 2. Und dann steht da x > -1. Das größte Intervall, das nun diese beiden Bedingungen erfüllt, ist das offene Intervall von -1 bis plus unendlich. Und jetzt kommt wieder der spannende Moment des Entlogarithmierens, und diesmal können wir dazu einen Satz verwenden, nämlich den hier. “Sind Logarithmen gleicher Basis gleich, dann sind auch deren Numeri gleich.” Hier steht das nochmal in Zeichen, ein Logarithmus und noch ein Logarithmus gleicher Basis, die Numeri müssen dann also auch gleich sein, wenn diese Gleichung hier richtig ist: logab1=logab2 => b1 = b2. Das heißt bei uns hier, wenn diese Gleichung richtig sein soll, dann müssen auch die Numeri gleich sein, dann muss auch gelten, 3x + 4 = 2x + 2. Und dieser Folgerungspfeil gilt tatsächlich nur in eine Richtung, aber da sage ich gleich noch was zu. Diese Gleichung können wir jetzt wie gewohnt lösen, wir können -2x rechnen und -4, dann steht hier x = -2. Und dann stellen wir direkt fest, -2 kommt ja im Definitionsbereich gar nicht vor, also haben wir hier, ist nicht Element des Definitionsbereichs und daraus folgt, dass die Lösungsmenge L leer ist. Obwohl wir keine Lösung haben, haben wir eine Lösungsmenge, die ist aber leer. Hier sieht man jetzt auch, warum dieser Folgerungspfeil nur in diese Richtung gilt. Denn wenn wir hier für x -2 einsetzen, ist zwar diese Gleichung richtig, aber da das Ergebnis dann jeweils -2 ist, ist diese Gleichung hier oben nicht richtig, denn die Logarithmen sind nicht definiert, das heißt es nicht einmal eine Gleichung, von daher wäre der Folgerungspfeil in die andere Richtung hier falsch. Wir können nun noch die Probe machen. Wir setzen -2 hier in die Ausgangsgleichung für das x ein und erhalten dann log4(3×(-2)+4) = log4(2×(-2)+2) und dieses Ergebnis ist gleich -2. Und dabei kommt auch minus zwei raus, also haben wir wieder log4(-2) und das ist nicht definiert, ebenso ist das nicht definiert und das nicht und das nicht. Und deshalb habe ich hier zum Beispiel auch kein Äquivalenzzeichen hingeschrieben, weil das hier zwei sinnlose Ausdrücke sind. Es sind nicht einmal Gleichungen. Ja, das waren zwei erste Beispiele zu den Logarithmengleichungen, hier ist nochmal die Lösungsmethode, wir haben schon gesehen, dass das entscheidend Neue das Entlogarithmieren ist. Das haben wir auf zwei verschiedene Arten kennengelernt, einmal mit der Anwendung der Definition und einmal mit Anwendung eines Lehrsatzes. Es gibt grundsätzlich noch ein paar mehr Möglichkeiten, mit Logarithmengleichungen umzugehen. Diese Verfahren kannst du aber im Zuge deiner Beschäftigung mit den Logarithmengleichungen ganz entspannt auf dich zukommen lassen, denn schwieriger als das, was wir jetzt gemacht haben, werden diese auch nicht sein. Viel Spaß damit, tschüss.

7 Kommentare
  1. Hallo Melbadde,
    kannst du genauer sagen, was dir an diesem Video nicht gefallen hat? Wurde beispielsweise etwas deiner Ansicht nach nicht ausführlich genug erklärt? Wir freuen uns immer über Verbesserungsvorschläge.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jeanne O., vor 12 Monaten
  2. gut erklärt ist was anderes!

    Von Melbadde, vor 12 Monaten
  3. Super! Vielen Dank!

    Von Dazz Ruzz, vor fast 4 Jahren
  4. @Juliane Viola D.: Danke dir. Wir haben das gerade korrigiert.

    Von Martin B., vor mehr als 4 Jahren
  5. Upps, da geht beim Abschicken immer was verloren: Edit: Im Lösungsweg steht x < 5 (4. Zeile in meinem ursprünglichen Text), und dies ist falsch.

    Von Juliane Viola D., vor mehr als 4 Jahren
  1. Edit: x<5, in der 4.Zeile, das < ist rausgefallen , und dies ist auch die falsche Zeile im Lösungsweg.

    Von Juliane Viola D., vor mehr als 4 Jahren
  2. Kleines Fehlerchen im Lösungsweg von log10(5-x)=1.

    5-x>0 ok.
    -x>-5 (steht nicht da, aber richtig)
    x<5 (hier steht in der Lösung: x>5, aber es wurde durch -1geteilt, und beim Teilen dreht sich das Vorzeichen um)
    Die Definitionsmenge wurde richtig angegeben (-unendlich, 5) ergibt sich aber nicht aus x>5.

    Falsch ist also die zweite Zeile:x>5 und heißt richtig x<5.
    Danke für die Korrektur!

    Das Video und die Übungen sind gut.

    Von Juliane Viola D., vor mehr als 4 Jahren
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Logarithmusgleichungen lösen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Logarithmusgleichungen lösen kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe das Vorgehen beim Lösen von Logarithmengleichungen.

    Tipps

    Für welche Werte ist der Logarithmus definiert?

    Zum Entlogarithmieren einer Gleichung können wir sie in eine Gleichung mit Potenzen umschreiben.

    Lösung

    Wir bestimmen den Definitionsbereich durch das Lösen einer Ungleichung. Da der Numerus stets positiv sein muss, setzen wir diesen $> 0$ und lösen nach x auf.

    Im Video haben wir zwei Wege kennengelernt, um Gleichungen zu Entlogarithmieren. Zum einen durch das Anwenden der Definition von Logarithmen, also das Umschreiben in eine lineare Gleichung, welche dann nach x aufgelöst wird. Zum anderen durch das Anwenden eines Lehrsatzes, welcher besagt: „Sind Logarithmen gleicher Basis gleich, dann sind auch deren Numeri gleich.“ Wir setzen also in einem solchen Fall die Numeri gleich und lösen die Gleichung nach x auf.

    Nach der Berechnung von x führen wir eine Probe für jeden berechneten x-Wert, welcher in der Definitionsmenge enthalten ist, durch. Wir setzen dafür den jeweiligen Wert in die Ausgangsgleichung ein und berechnen die Terme. Stehen auf beiden Seiten der Gleichung dieselben Ergebnisse, so ist unsere Lösung richtig und wir können sie in der Lösungsmenge angeben.

  • Gib die Fehler in der Bestimmung des Definitionsbereiches der angegebenen Gleichung an.

    Tipps

    Nicht nur die Elemente der Rechnung können falsch sein, auch der Erklärungstext kann Fehler enthalten.

    Darf der Numerus von Logarithmen nur negativ oder nur positiv sein?

    Stelle eigenständig die korrekt aufgestellte Ungleichung nach $x$ um. Stimmen die Werte überein?

    Welches Zeichen verwendet man für die Angabe des Definitionsbereiches?

    Lösung

    Wir gehen Zeile für Zeile durch und prüfen die Richtigkeit der Aussagen.

    Logarithmen sind nicht definiert für negative Numeri, daher müssen diese stets positiv sein. Wir stellen also Ungleichungen mit Numerus $> 0$ auf und lösen diese jeweils nach $x$ auf:

    $ \begin{align*} 3x+4 &> 0 &|& -4 ~| :3 \\ x &> -\frac{4}{3} \\ \\ 2x+2 &> 0 &|& -2~ |: 2 \\ x &> -1 \end{align*} $

    Der größtmögliche Definitionsbereich entspricht dann $\mathbb{D} =(-1; \infty)$.

  • Bestimme die gesuchten Größen.

    Tipps

    Entlogarithmiere die Gleichungen und stelle anschließend nach der gesuchten Größe um.

    Wurzeln kann man in die Potenzschreibweise umwandeln:

    $\sqrt[n]{r}=r^\frac{1}{n}$

    Lösung

    Wir wenden die Definition der Logarithmen an, nach der die Gleichungen $\log_b(a)=x$ und $b^x=a$ gleichwertig sind, und lösen die Gleichung nach der gesuchten Größe auf:

    $ \begin{align*} \log_b (81) &=2 \\ b^2 &=81 &|& \sqrt{~~}\\ b &= 9 \\ \\ \log_5 (a) &=2 \\ 5^2 &= a \\ a &=25 \\ \\ \log_b (64) &=3 \\ b^3 &= 64 &|& \sqrt[3]{~~}\\ b &= 4 \\ \\ \log_49 (a) &=\frac{1}{2} \\ 49^{\frac{1}{2}} &= a \\ \sqrt{49} &= a \\ a &= 7 \end{align*} $

  • Beschreibe, wie du die angegebene Logarithmusgleichung lösen kannst.

    Tipps

    Erinnere dich an die drei Schritte der Lösungmethode von Logarithmengleichungen. Halte die Reihenfolge ein.

    Die Lösungsmenge enthält ausschließlich Werte, die in der Definitionsmenge enthalten sind und die Gleichung erfüllen, also deren Probe erfolgreich war.

    Lösung

    Gegeben ist die Logarithmengleichung $\log_2(2x)=3$

    Die Lösungsmethode solcher Gleichungen besteht aus drei Schritten:

    1. Definitionsbereich bestimmen
    2. Entlogarithmieren
    3. Probe durchführen
    Wir beginnen also mit dem Bestimmen des Definitionsbereiches. Der Numerus eines Logarithmus' muss stets positiv sein, daher stellen wir eine Ungleichung mit Numerus $> 0$ auf und lösen diese nach $x$ auf. Somit wissen wir, welche Werte für $x$ eingesetzt werden dürfen, und bestimmen den Definitionsbereich.

    Nun kommen wir zum zweiten Schritt, dem Entlogarithmieren. Es gibt mehrere Möglichkeiten, Gleichungen zu Entlogarithmieren. Wir verwenden hier die Definition der Logarithmen, welche uns die gegebene Gleichung in eine lineare Gleichung umschreibt, die wir dann leicht nach $x$ auflösen können. Unser Ergebnis ist nur dann eine Lösung, wenn es zum einen im Definitionsbereich liegt und wenn zum anderen die Probe erfolgreich ist. Ist dies der Fall, so können wir unsere Lösungen in der Lösungsmenge angeben.

  • Bestimme die Lösung der Logarithmengleichungen, deren Richtigkeit du mit einer Probe überprüfst.

    Tipps

    Entlogarithmiere die Gleichungen z.B. durch die Anwendung der Definition oder des dir bekannten Lehrsatzes.

    Führe stets eine Probe durch, denn dein berechneter Wert könnte auch außerhalb des Definitionsbereiches liegen.

    Lösung

    Logarithmengleichungen wie $\log_4(-8x)=2$ und $\log_9(-x)=\frac{1}{2}$ lösen wir durch die Anwendung der Definition $\log_b(a)=x ~ \Leftrightarrow ~ b^x=a$. Unser Ergebnis prüfen wir anschließend mit Hilfe der Probe. Wir lösen die erste Aufgabe:

    $ \begin{align*} \log_4(-8x) &=2 \\ 4^2 &= -8x &|& :(-8) \\ x &= -2 \end{align*}$

    Eine Probe bestätigt die Richtigkeit:

    $ \begin{align*} \log_4(-8\cdot (-2)) &=2 \\ \log_4(16) &=2 \\ \end{align*} $

    Die zweite Aufgabe lösen wir folgendermaßen:

    $ \begin{align*} \log_9(-x) &=\frac{1}{2} \\ 9^\frac{1}{2} &= -x &|& :(-1) \\ x &= -3 \end{align*} $

    Auch hier bestätigt die Probe, dass wir richtig gerechnet haben:

    $ \begin{align*} \log_9(-(-3)) &=\frac{1}{2} \\ \log_9(3) &=\frac{1}{2} \\ \end{align*} $

    Gleichungen wie $\log_2{2x}=\log_2{8}$ und $\log_{5}\frac{4}{x}=\log_{5}x$ lösen wir mit Hilfe des Lehrsatzes, welcher besagt: „Sind Logarithmen gleicher Basis gleich, dann sind auch deren Numeri gleich.“ Da bei beiden Gleichungen jeweils die Basen übereinstimmen, setzen wir nur die Numeri gleich und lösen nach $x$ auf. Auch hierbei darf die Probe nicht fehlen. In der dritten Aufgabe rechnen wir

    $ \begin{align*} 2x &= 8 &|& :2 \\ x &= 4 \end{align*} $

    , was wir durch eine Probe bestätigen können:

    $ \begin{align*} \log_2{2 \cdot 4} &= \log_2{8} \\ \log_2{8} &= \log_2{8} \\ \end{align*} $

    Bei der letzten Aufgabe rechnen wir

    $ \begin{align*} \frac{4}{x} &= x &|& \cdot x \\ 4 &= x^2 &|& \sqrt{~~} \\ x_1 &= 2 \\ x_2 &= -2 \end{align*} $

    Die Probe zeigt, dass für $\log_{5}\frac{4}{x}=\log_{5}x$ nur $x=2$ eine Lösung der Gleichung ist:

    $ \begin{align*} \log_{5}\frac{4}{2} &=\log_{5}2 \\ \log_{5}2 &=\log_{5}2 \\ \\ \log_{5}\frac{4}{-2} &=\log_{5}2 \\ \log_{5}(-2) &\neq \log_{5}2 \\ \end{align*} $

  • Ermittle jeweils den Definitionsbereich und die Lösungsmenge der Gleichung.

    Tipps

    Man kann den Logarithmus nicht von beliebigen Numeri bestimmen. Welche Bedingung muss gelten? Stelle eine Ungleichung auf und löse nach $x$ auf.

    Entlogarithmiere die Gleichung und löse anschließend nach $x$ auf.

    Lösung

    Gesucht sind jeweils der Definitionsbereich sowie die Lösungsmenge der einzelnen Gleichungen.

    Wir beginnen mit dem Definitionsbereich der Gleichung $\log_{10}(5-x)=1$. Da der Numerus immer positiv sein muss, stellen wir folgende Ungleichung auf und lösen diese nach $x$ auf:

    $ \begin{align*} 5-x &> 0 &|& -5~| :(-1) \\ x &< 5 \\ \mathbb{D} &= (- \infty ;5 ) \end{align*} $

    Nun bestimmen wir die Lösungsmenge, welche nur Lösungen der Gleichung enthält, die auch im Definitionsbereich enthalten sind:

    $ \begin{align*} \log_{10}(5-x) &= 1 \\ 10^1 &= 5-x &|& -5 ~| :(-1) \\ x &= -5 \in \mathbb{D} \\ \mathbb{L} &= \{ -5 \} \end{align*} $

    Gleichermaßen gehen wir bei der Bestimmung des Definitionsbereiches und der Lösungsmenge der anderen drei Gleichungen vor:

    Für $\log_2(x-1)=0$ gilt:

    $ \begin{align*} x-1 &> 0 &|& +1 \\ x &> 1 \\ \mathbb{D} &= (1; \infty ) \\ \\ \log_2(x-1)&=0 \\ 2^0 &= x-1 &|& +1 \\ x &= 2 \in \mathbb{D} \\ \mathbb{L} &= \{ 2 \} \end{align*} $

    Für $\log_i(x)=\log_i(\frac{9}{x})$ gilt:

    $ \begin{align*} x &> 0 \\ \\ \frac{9}{x} &> 0 \\ x &> 0 \\ \mathbb{D} &= (0; \infty ) \\ \\ \log_i(x)&=\log_i(\frac{9}{x})\\ x &= \frac{9}{x} &|& \cdot x \\ x^2 &= 9 &|& \sqrt{~~} \\ x_1 &=3 \in \mathbb{D} \\ x_2 &=-3 \notin \mathbb{D} \\ \mathbb{L} &= \{ 3 \} \end{align*} $

    Für $\log_a(3)=\log_a(\frac{x}{6})$ gilt:

    $ \begin{align*} \frac{x}{6} &> 0 &|& \cdot 6 \\ x &> 0 \\ \mathbb{D} &= (0; \infty ) \\ \\ \log_a(3)&=\log_a(\frac{x}{6}) \\ 3 &= \frac{x}{6} &|& \cdot 6 \\ x &= 18 \in \mathbb{D} \\ \mathbb{L} &= \{ 18 \} \end{align*} $