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Logarithmus – Einführung 04:43 min

Textversion des Videos

Transkript Logarithmus – Einführung

Hallo, in diesem Video geht es um den Logarithmus. Was ist ein Logarithmus? Wir betrachten die folgende Gleichung: a hoch b = c und stellen uns vor, eine der drei hier vorkommenden Zahlen ist unbekannt. Zunächst sei a unbekannt. Wie kann man diese unbekannte Zahl finden? Das ist ganz einfach, wir ziehen die Beta Wurzel aus c. Wenn c unbekannt ist, dann ist es noch einfacher, wir brauchen nur a hoch b zu berechnen. Was ist aber wenn b unbekannt ist? Wie findet man b? Genau dafür hat man sich den Logarithmus ausgedacht. b ist der Logarithmus von c zu Basis a. Also der Logarithmus gibt uns den Exponenten, mit welchem die Basis a potenziert werden muss, um die Zahl c zu bekommen. Die linke Form nennt man die Potenzschreibweise der Gleichung und die rechte die Logarithmusschreibweise. Die Zahlen werden wie folgt bezeichnet: Exponent, Basis und Potenzwert in der Potenzschreibweise. Und Logarithmus, Numerus und Logarithmusbasis in der Logarithmusschreibweise. Wir betrachten zwei Beispiele. Gesucht sei der Logarithmus von 9 zu Basis 3. Das heißt, wir suchen eine Zahl, mit der wir 3 potenzieren müssen, um die Zahl 9 zu erhalten. Die Lösung in diesem einfachen Beispiel können wir erraten, das ist die 2. Im zweiten Beispiel suchen wir den Logarithmus von 1000 zu Basis 10. In der Potenzschreibweise heißt das, das wir den Exponenten suchen, mit dem wir 10 potenzieren müssen, um 1000 zu erhalten. Auch hier ist die Lösung sofort klar. Das ist die 3. Nicht für alle Werte von Logarithmusbasis und Numerus können Logarithmen definiert werden. Wir betrachten zum Beispiel folgende Gleichung. Logarithmus von 1000 zu Basis 0 ist gleich x. In der Potenzschreibweise heißt das. 0 hoch x ist gleich 1000. Wenn man 0 potenziert, kann man nur 0 bekommen. Und niemals 1000. Diese Gleichung ist ganz klar unlösbar. Die gleiche Situation tritt auch für alle negativen Basen auf. Als Beispiel betrachten wir den Logarithmus von 8 zu Basis -2. In der Potenzschreibweise heißt das, -2 hoch x ist gleich 8. Auch diese Gleichung hat keine Lösung. Das heißt um den Logarithmus berechnen zu können müssen wir fordern, dass die Logarithmusbasis größer 0 ist. Als Nächstes betrachten wir den Logarithmus von 8 zu Basis 1. In der Potenzform heißt das 1 hoch x ist gleich 8. Diese Gleichung ist auch unlösbar, denn der Potenzwert kann nie 8 werden. Egal welche Zahl wir für x einsetzen, es bleibt immer 1. Das heißt, die Basis darf auch nicht 1 sein. Wir nehmen uns nun den Numerus vor. Und betrachten den Logarithmus von 0 zu Basis 3. Das heißt 3 hoch x muss 0 sein. Das geht natürlich nicht, denn 3 hoch x bleibt für alle x größer 0. Was ist mit einem negativen Numerus? Wir betrachten den Logarithmus von -9 zu Basis 3. Das heißt 3 hoch x muss gleich -9 sein. Das geht natürlich noch weniger. Das heißt, die Basis darf auch nicht 1 sein. Zusammenfassend noch einmal die Definition. Der Logarithmus von c zu Basis a ist der Exponent x, mit dem man die Basis a potenzieren muss, um den Potenzwert c zu erhalten. Die Basis und der Numerus müssen dabei größer 0 sein, und die Basis außerdem ungleich 1. Zum Schluss noch eine interessante Eigenschaft des Logarithmus. Wenn wir x aus der rechten Gleichung in die linke einsetzen so bekommen wir a hoch Logarithmus von c zu Basis a ist gleich c. Genauso anders herum. Wenn wir c aus der linken Gleichung in die Rechte einsetzen, so bekommen wir x ist gleich Logarithmus von a hoch x zu Basis a. Das heißt, Logarithmieren und Potenzieren zur gleichen Basis heben sich gegenseitig auf. Soviel zum Logarithmus. Danke für Ihr Interesse und weiterhin viel Spaß mit der Mathematik.

10 Kommentare
  1. Sehr schön knapp und einfach auf den Punkt gebracht

    Von Meerie Lissy, vor etwa 2 Monaten
  2. Schönes Video, ein Akzent stört bei sowas aber immer

    Von Jacob 4, vor 6 Monaten
  3. Es währe schön gewesen, wenn er erklärt hätte warum die Zahl dort und dort aufgeschrieben wird. Ansonsten tolle Erklärung.

    Von M Planitzer, vor 8 Monaten
  4. Danke!!

    Von Nike & Finn S., vor mehr als einem Jahr
  5. Super!!

    Von Juliane Viola D., vor fast 5 Jahren
  1. @Deniz C.
    Die Lösung ist x=2, da
    3^1=3*1=3
    3²=3*3=9
    3³=3*3*3=27
    Also ist x=2 die gesuchte Lösung.
    Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen.

    Von Giuliano Murgo, vor mehr als 5 Jahren
  2. Die Lösung im ersten Beispiel muss x = 3 lauten

    Von Deniz C., vor mehr als 5 Jahren
  3. Guten Tag,

    Ich habe die letzte Eigenschafte von Logarithmus (also die gleichungen, und ihre Verhaeltnisse) nicht ganz klar verstanden. :/

    Von Raphael B., vor fast 7 Jahren
  4. @Lolsusl
    Ich werde mal versuchen, es dir zu erklären: Natürlich ist -2 hoch 2 = 4, aber dass das klappt, ist mehr oder weniger Zufall. Bei den meisten anderen Zahlen, die man anstatt 4 einsetzen könnte, würde kein vernünftiges Ergebnis herauskommen. Nehmen wir mal Folgendes: Log von Wurzel 2 zur Basis -2 = x, dann wäre also (-2) hoch x = Wurzel 2. Die einzige Zahl, die für x in Frage kommt, ist 1/2, weil (zumindest ohne das Minus) gilt: 2 hoch 1/2 = Wurzel 2. "Hoch 1/2" bedeutet aber Wurzelziehen und das darf man bei einer negativen Zahl nicht. Sobald der Exponent, also hier das x, eine Bruchzahl ist, kommt man in Teufels Küche, denn dann müsste man, -2 hoch "Bruch" rechnen und das bedeutet Wurzelziehen aus einer negativen Zahl. Und das geht mit den reellen Zahlen nicht.
    Aus dem gleichen Grund sind die Exponentialfunktionen "f(x) = a hoch x" nur für positives a (und a ungleich 1) definiert. Denn wäre a zum Beispiel -1, und wir setzen für x = 1/2 ein, was soll dann "-1 hoch 1/2" (Wurzel aus -1) bedeuten?

    Ich hoffe, ich konnte dir helfen.

    Von Steve Taube, vor etwa 10 Jahren
  5. Ich habe eine Frage zur negativen Basis.

    Logarithmus von 4 zur Basis -2 ist doch zum Beispiel aber lösbar.
    Denn -2 hoch 2 ist 4.

    Von Lolsusl, vor mehr als 10 Jahren
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Logarithmus – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Logarithmus – Einführung kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die Lösungen von $x=\log_39$ und $y=\log_{10}1000$.

    Tipps

    Was bedeutet $\log_39=x$ in Potenzschreibweise?

    a mit x potenzieren bedeutet, dass man a genau x-mal mit sich selber multipliziert.

    Mit welcher Zahl muss man 10 potenzieren, um 1000 zu erhalten?

    Lösung

    Logarithmen kann man im Kopf besser berechnen, wenn man sie in Potenzschreibweise umschreibt.

    So können wir $\log_39=x$ als $3^x=9$ schreiben. Man sieht nun leicht, dass dann x = 2 die Lösung ist, da $3^2 = 3 \cdot 3=9$ ergibt.

    Wenn wir $\log_{10}1000=y$ in Potenzschreibweise $10^y=1000$ schreiben, dann finden wir y = 3 als Lösung, da $10^3= 10\cdot 10\cdot 10 =1000$.

  • Gib die Schreibweise und Bezeichnungen von Logarithmen und Potenzen an.

    Tipps

    Was bezeichnet bei $a^x=c$ den Exponenten, die Basis bzw. den Potenzwert?

    Achte auf Groß- und Kleinschreibung. Variablen bzw. Parameter werden stets kleingeschrieben.

    Lösung

    Die Potenzschreibweise $a^x=b$ unterscheidet sich wesentlich von der Logarithmusschreibweise $x=\log_ab$.

    Bei der Potenzschreibweise bezeichnen wir a als Basis, x als Exponent und b als Potenzwert.

    Bei der Potenzschreibweise bezeichnen wir a als Logarithmusbasis, x als Logarithmus und b als Numerus.

  • Leite das Logarithmusgesetz für die Summe zweier Logarithmen zur gleichen Basis her.

    Tipps

    Nutze das Potenzgesetz $a^{x+y}=a^x\cdot a^y$.

    Statt der Logarithmusschreibweise kannst du auch zur Potenzschreibweise übergehen und umgekehrt.

    Beim Beweisen fängt man mit einer Idee oder einem geeigneten Ansatz an. Im Anschluss geht man auf den eigentlichen Beweis ein und unterstreicht am Ende nochmals, was man nun gezeigt hat.

    Lösung

    Die Rechenregeln für Logarithmen helfen dir beim Berechnen und Vereinfachen von Logarithmen. Wir wissen bereits, dass sich Potenzieren und Logarithmieren zur selben Basis gegenseitig aufheben.

    Das gezeigte Logarithmusgesetz besagt, dass die Summe zweier Logarithmen zur gleichen Basis dem Logarithmus vom Produkt der Numeri zur unveränderten Basis entspricht.

    Kurz: $\log_ac_1+\log_ac_2=\log_a(c_1\cdot c_2)$.

    Du kannst nun dieses Gesetz zur Vereinfachung von Aufgaben wie $\log_62+\log_63 = \log_6(2\cdot 3)=\log_66=1$ verwenden.

  • Bestimme, welche Gleichungen nicht lösbar sind.

    Tipps

    Nicht für alle Werte von Logarithmus, Basis und Numerus können Logarithmen definiert werden. Welche Einschränkungen gibt es?

    Schreibe die Gleichungen in die Potenzschreibweise um. Welche Gleichungen sind nicht lösbar?

    Lösung

    Nicht für alle Werte von Logarithmus, Basis und Numerus können Logarithmen definiert werden. Basis und Numerus unterliegen gewissen Einschränkungen.

    Wenn wir $\log_01000=x$ und $\log_{(-2)}8=x$ in die Potenzschreibweise $0^x=1000$ und $(-2)^x=8$ umformen, dann stellen wir fest, dass es keine Lösung für x gibt, wenn die Basis a $\le$ 0 ist.

    Durch das Beispiel $x=\log_18$ und deren Potenzschreibweise $1^x=8$ stellen wir fest, dass die Basis a auch nicht 1 sein darf. Denn egal welche Zahl wir für x einsetzen, 1 $\cdot$ 1 $\cdot$ ... $\cdot$ 1 ergibt stets 1.

    Der Numerus kann ebenfalls nicht beliebig sein. Er muss stets größer als Null sein, denn weder $\log_30$ noch $\log_3(-9)$ sind lösbar.

    Für die Basis a gibt es also die notwendigen Einschränkungen, dass a > 0 und a $\neq$ 1 sein muss. Für den Numerus c gibt es die notwendige Einschränkung, dass c > 0 sein muss, damit die Gleichungen lösbar sind.

  • Berechne die Logarithmen.

    Tipps

    Forme in die Potenzschreibweise um und bestimme anschließend den Exponenten.

    Was ergibt eine beliebige Zahl hoch 0 immer?

    Lösung

    Die Logarithmen lassen sich leichter bestimmen, wenn wir die dazugehörige Potenzschreibweise betrachten und dann die Zahl x finden, mit der man die Basis potenzieren muss, um eine wahre Aussage zu erhalten.

    $x=\log_327 \Leftrightarrow 3^x=27 \Leftrightarrow x=3$, denn $3^3=27$.

    $x=\log_{2}\frac{1}{8} \Leftrightarrow 2^x=\frac{1}{8} \Leftrightarrow x=-3$ , denn $2^{-3}= \frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$.

    $x=\log_51 \Leftrightarrow 5^x=1 \Leftrightarrow x=0$, denn $5^0=1$.

    $x=\log_3\frac{1}{9} \Leftrightarrow 3^x=\frac{1}{9} \Leftrightarrow x=-2$, denn $3^{-2}= \frac{1}{3 ^2}=\frac{1}{9} $.

    Wenn du beispielsweise die Potenzschreibweise für $x=\log_{0,2}{0,04}$, nämlich $0,2^x=0,04$ aufgestellt hast, dann musst du dir die Frage stellen: Wie oft muss ich 0,2 mit sich selbst multiplizieren, um 0,04 zu erhalten? Die Antwort ist 2, denn 0,2$^2$ = 0,2 $\cdot$ 0,2 = 0,04.

    Wie wir wissen gibt es für die Basis von Logarithmen Einschränkungen, eine davon besagt, dass die Basis niemals 1 sein darf. Somit ist $x=\log_15 \Leftrightarrow 1^x=5$ nicht lösbar, da $1^x$ immer $1$ ergibt.

  • Entscheide, welche Aufgaben die Lösung 2 bzw. die Lösung 3 haben.

    Tipps

    Schreibe den Logarithmus in die Potenzschreibweise um.

    Was passiert, wenn du jeweils zur selben Basis logarithmierst und im Anschluss potenzierst?

    Lösung

    Potenzen und Logarithmen hängen eng zusammen, d.h., jeden Logarithmus können wir in eine Potenzschreibweise überführen und umgekehrt. Es gilt:

    $x=\log_ac \quad \Leftrightarrow \quad a^x=c$.

    Damit haben wir, dass $\log_28=\log_327=\log_5125=\log_7343=\log_8512=\log_{10}10^3=\log_{100}10^6=3$ gilt, denn $2^3=8$, $3^3=27$, $5^3=125$, $7^3=343$, $8^3=512$, $10^3=10^3$ und $100^3=10^6$.

    Außerdem berechnen wir $\log_39=\log_749=\log_981=\log_{12}144=\log_{15}225=\log_{20}400=\log_{100}10^4=2$ wegen $3^2=9$, $7^2=49$, $9^2=81$, $12^2=144$, $15^2=225$, $20^2=400$ und $100^2=10^4$.

    Potenzieren und Logarithmieren zur gleichen Basis heben sich gegenseitig auf, sodass $2^{\log_23}=3$ und $3^{\log_32}=2$.